Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i
Czebyszewa

mgr in

. Grzegorz Kraszewski

Klasyczne filtry Butterwortha i Czebyszewa s

to b

bierne obwody LC b

układy aktywne z

ujemnym sprz

ęż

eniem zwrotnym zbudowane na wzmacniaczach operacyjnych. Cyfrowym

odpowiednikiem takich filtrów s

filtry równie

z ujemnym sprz

ęż

eniem zwrotnym, zwane filtrami

rekurencyjnymi, b

filtrami z niesko

czon

odpowiedzi

impulsow

(ang. IIR - Infinite Impulse

Response).

Najcz

stszym sposobem formułowania problemu zaprojektowania filtru jest podanie jego

stotliwo

ci granicznej, przy której wzmocnienie spada o 3 dB (71% w skali liniowej), oraz rz

filtru. Jest to jednak sformułowanie nieprecyzyjne, bo nic nie mówi o tłumieniu w pa

mie zaporowym i

zakłada z góry rz

d filtru. Znacznie bardziej precyzyjnym i lepiej dostosowanym do potrzeb

praktycznych jest okre

lenie charakterystyki filtru przez podanie dwóch punktów: ko

ca pasma

przepustowego (punkt P) i pocz

tku pasma zaporowego (punkt R). Punkty te znajduj

charakterystyce amplitudowej filtru (wzmocnienie w funkcji cz

stotliwo

ci) i wyznaczaj

pole, w którym

mie

musi charakterystyka projektowanego filtru. Na rysunku obok obie charakterystyki, zielona

i niebieska spełniaj

zało

one wymagania, poniewa

nie przebiegaj

przez zakreskowane obszary

zabronione wyznaczone punktami P i R. Warto zauwa

e o ile charakterystyka zawsze przechodzi

przez punkt P, o tyle nie musi przechodzi

przez punkt R, mo

e przechodzi

pod nim, wtedy mo

emy

powiedzie

e filtr z zapasem spełnia wymagania projektowe. Z poło

enia punktów P i R wynika rz

filtru. Oczywi

cie im bardziej stromo musi opada

charakterystyka amplitudowa mi

dzy punktami P i

R, tym rz

d filtru b

dzie wi

kszy.

Tak wi

c danymi pocz

tkowymi do obliczenia filtru s

stotliwo

ść

ca pasma przepustowego (f ),

Najwi

ksze dopuszczalne tłumienie w pa

mie przepustowym (A ), dla filtru Czebyszewa ten

parametr okre

la jednocze

nie dopuszczalne zafalowanie charakterystyki amplitudowej w

mie przepustowym,

stotliwo

ść

pocz

tku pasma zaporowego (f ),

Wymagane minimalne tłumienie w pa

mie zaporowym (A ).

W celu praktycznego pokazania omawianego sposobu projektowania filtrów, podaj

c wzory i teori

jednocze

nie projektował konkretny filtr dolnoprzepustowy o nast

puj

cych parametrach:

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

1 z 8

2013-09-01 22:16

A = 0,5 dB, f = 3 kHz, A = 20 dB, f = 7 kHz.

Obliczenie rz

du filtru

Pierwszym krokiem jest obliczenie dwóch współczynników okre

laj

cych nasz filtr. S

to współczynnik

selektywno

ci k, oraz współczynnik dyskryminacji d. Współczynnik selektywno

ci okre

la jak blisko

siebie poło

one s

stotliwo

ci punktów P i R, gdy punkty te zbli

w poziomie do siebie, to

współczynnik d

ąż

y do 1. Współczynnik ten okre

lony jest wzorem:

Współczynnik dyskryminacji natomiast okre

la wzajemn

relacj

dzy maksymalnym tłumieniem w

mie przepustowym i minimalnym tłumieniem w pa

mie zaporowym. Obliczamy go ze wzoru:

Dla podanych przykładowych warto

ci liczbowych po podstawieniu ich do wzoru otrzymamy: k =

0,42857 i d = 0,035107. Rz

d filtru Butterwortha obliczamy ze współczynników k i d z nast

puj

cego

wzoru:

d filtru Czebyszewa natomiast okre

la si

z podobnego, ale jednak nieco innego wzoru:

Po podstawieniu danych przykładowych otrzymamy dla filtru Butterwortha rz

d 3,952968, dla filtru

Czebyszewa rz

d 2,711062. W rzeczywisto

ci rz

d filtru nie mo

e by

ułamkowy, musi by

liczb

naturaln

. Otrzymane liczby nale

y wi

c zaokr

gli

w gór

. Zaokr

glenie w dół spowodowałoby,

charakterystyka filtru przechodziłaby ponad punktem R, a wi

c filtr nie spełniałby zało

. Dlatego dla

przykładowego filtru Butterwortha przyjmujemy rz

d 4, dla filtru Czebyszewa rz

d 3. Rz

d filtru

Czebyszewa dla tych samych danych b

dzie zawsze mniejszy lub równy rz

dowi filtru Butterwortha.

stotliwo

ść

graniczna filtru

stotliwo

ść

graniczna inaczej definiowana jest dla filtru Butterwortha i filtru Czebyszewa. W

dolnoprzepustowym filtrze Czebyszewa jest to najwy

sza cz

stotliwo

ść

, dla której tłumienie filtru nie

przekracza zało

onych zafalowa

charakterystyki. Jest to wi

c dokładnie cz

stotliwo

ść

punktu P na

wykresie. Dla filtru Butterwortha natomiast cz

stotliwo

ść

graniczna, to taka, przy której nast

puje

spadek wzmocnienia o 3 dB wzgl

dem sygnału stałego (o cz

stotliwo

ci 0). Cz

stotliwo

ść

ta jest

ksza od f je

eli A jest mniejsze ni

3 dB. Je

eli tłumienie w punkcie P wynosi 3 dB, to oczywi

cie

stotliwo

ść

graniczna jest cz

stotliwo

punktu P. Cz

stotliwo

ść

graniczn

filtru Butterwortha

na okre

ze wzoru:

−

k =

(1)

d =

0,1

−1

0,1

−1

(2)

n =

|log d|

|log k|

(3)

arc cosh −

( )

arc cosh

−

( )

(4)

0,1A

−1

(

)−

(5)

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

2 z 8

2013-09-01 22:16

Dla filtru przykładowego w wersji Czebyszewa cz

stotliwo

ść

graniczna jest równa f a wi

c wynosi

3000 Hz. Dla filtru Butterwortha otrzymamy po podstawieniu do wzoru (5) cz

stotliwo

ść

graniczn

równ

3902,27 Hz.

Filtr prototypowy

Po okre

leniu rz

du i cz

stotliwo

ci granicznej obliczamy filtr prototypowy, to znaczy taki filtr

analogowy którego cz

stotliwo

ść

graniczna wynosi 1 Hz. Transmitancja tego filtru to funkcja

operatora ró

niczkowania s o postaci:

Mianowniki transmitancji filtrów prototypowych zostały

stablicowane

. Posta

mianownika dla filtru

Butterwortha zale

y wył

cznie od rz

du filtru, dla filtru Czebyszewa dodatkowym parametrem jest

zało

one zafalowanie charakterystyki amplitudowej (równe tłumieniu A ). Dla filtru przykładowego

odczytujemy z tablic:

filtr Butterwortha

(s + 0,765366864s + 1)·(s + 1,847759065s + 1)

filtr Czebyszewa

(s + 0,62646s + 1,14245)·(s + 0,62646)

Jak wida

mianownik transmitancji filtru M(s) jest wielomianem zmiennej s. Miejsca zerowe tego

mianownika s

zwane biegunami filtru. Bieguny filtru s

liczbami zespolonymi o ujemnej cz

ęś

rzeczywistej (gdyby który

biegun miał dodatni

ęść

rzeczywist

, to filtr byłby niestabilny). Filtr ma

tyle biegunów ile wynosi jego rz

d. Filtry o rz

dzie parzystym maj

bieguny zespolone sprz

ęż

one

parami. W filtrze o rz

dzie nieparzystym jeden biegun jest ujemny rzeczywisty, reszta jest zespolona,

sprz

ęż

ona parami. Bieguny mo

na bardzo prosto obliczy

wyliczaj

c pierwiastki trójmianów w

nawiasach. Dla przykładowego filtru Butterwortha otrzymamy dwie pary biegunów zespolonych
sprz

ęż

onych:

s = −0,382683±j0.923880
s = −0,923880±j0.382683

Dla filtru Czebyszewa otrzymamy jeden biegun rzeczywisty i par

biegunów zespolonych

sprz

ęż

onych:

s = −0,62646
s = −0,31323±j1,021928

Skalowanie cz

stotliwo

ci i przekształcenie nieliniowe

Jak napisałem wcze

niej, filtr prototypowy obliczony jest dla cz

stotliwo

ci granicznej 1 Hz. Nale

teraz przeskalowa

jego bieguny, tak aby odpowiadały zało

onej cz

stotliwo

ci granicznej. Oprócz

tego nale

y dokona

przekształcenia nieliniowego. Polega ono na potraktowaniu przeskalowanej

stotliwo

ci funkcj

tangens rozci

gni

w taki sposób,

e warto

ść

na osi x przesuwa si

stotliwo

ci próbkowania sygnału. Przekształcenie nieliniowe jest elementem transformacji z

dziedziny analogowego operatora s (ró

niczkowanie) do dziedziny cyfrowego operatora z (opó

nienie

H(s)

M(s)

(6)

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

3 z 8

2013-09-01 22:16

Filtr Butterwortha:

s = −0,218404±j0,527273
s = −0,527273±j0,218404

Filtr Butterwortha:

s = 0,706684±j0,405647
s = 0,571001±j0,135764

o 1 takt zegara). Przy projektowaniu filtrów cyfrowych ł

czy si

operacj

skalowania i przekształcenia

nieliniowego w jedn

, obliczaj

c współczynnik skaluj

cy W z nast

puj

cego wzoru:

W powy

szym wzorze wyst

puj

ca w mianowniku warto

ść

f to cz

stotliwo

ść

próbkowania

filtrowanego sygnału cyfrowego. Przy obliczeniach trzeba te

pami

o tym,

e argument funkcji

tangens jest w radianach. Dla filtru Butterwortha i Czebyszewa współczynnik W liczymy oddzielnie,
poniewa

z reguły filtry te maj

inne cz

stotliwo

ci graniczne (chyba,

e A wynosi 3 dB, wtedy obie

stotliwo

ci b

równe). Dla naszego przykładowego filtru Butterwortha f wynosi 3902,27 Hz, a

współczynnik W = 0,570758. Dla filtru Czebyszewa f = 3000 Hz, W = 0,43405608.

Po obliczeniu współczynnika W transformujemy bieguny filtru prototypowego. Jest to bardzo prosta
operacja, dla filtru dolnoprzepustowego po prostu mno

ymy W przez biegun. Dla filtru

górnoprzepustowego dzielimy W przez biegun. Po przemno

eniu (dla filtru dolnoprzepustowego)

otrzymamy nast

puj

ce bieguny:

Filtr Czebyszewa:

s = −0,135959±j0,443573
s = −0,271917

Przej

cie do transmitancji cyfrowej (operatora z)

Matematycznie

cisłe przej

cie z operatora analogowego s do cyfrowego operatora z dane jest

wzorem:

gdzie T to okres próbkowania sygnału. Wydaje si

to prost

zale

, dopóki nie zauwa

ymy,

wykładnik pot

gi jest liczb

zespolon

, co znacznie komplikuje obliczenia. Dlatego w praktyce stosuje

pewne przybli

enie wzoru teoretycznego zwane przekształceniem dwuliniowym lub bilinearnym.

Przybli

enie to wygl

da nast

puj

co:

Gdzie s' jest to przetransformowany wcze

niej biegun filtru analogowego, a z biegun filtru cyfrowego.

Takie przekształcenie jest znacznie prostsze obliczeniowo i daje dobre rezultaty praktyczne.
Przekształcenie zachowuje sprz

ęż

enie biegunów, to znaczy

e para biegunów zespolonych

sprz

ęż

onych s pozostaje par

biegunów zespolonych sprz

ęż

onych z. Dzi

ki temu dla pary biegunów

sprz

ęż

onych mo

na wykona

tylko połow

oblicze

. Podobnie biegun rzeczywisty pozostaje po

przekształceniu biegunem rzeczywistym. Dla przykładowego filtru bieguny po przekształceniu
dwuliniowym s

nast

puj

ce:

Filtr Czebyszewa:

s = 0,795271±j0,372823
s = 0,760628

Wyliczenie transmitancji

W = 2tg

( )

(7)

z = e

(8)

2 + s′
2 − s′

(9)

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

4 z 8

2013-09-01 22:16

Wyliczenie transmitancji polega na wstawieniu obliczonych biegunów do mianownika, oraz wstawieniu
odpowiednich zer (miejsc zerowych licznika) do licznika. Do oblicze

w MatLabie wymna

amy

wszystkie bieguny (podobnie zera) przez siebie a

do uzyskania w liczniku i mianowniku wielomianów

stopnia N równego rz

dowi filtru. Do praktycznej realizacji filtru korzystniej jest pozostawi

licznik i

mianownik jako iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i drugiego. Odpowiada to wykonaniu filtru
jako kaskadowego poł

czenia filtrów pierwszego i drugiego rz

du. Takie rozwi

zanie jest korzystne

poniewa

znacznie zmniejsza wra

liwo

ść

filtru na zaokr

glenia współczyników wzmacniaczy.

Szczególnie warto wi

c je zastosowa

w przypadku pracy w arytmetyce stałoprzecinkowej. Wtedy

dy biegun rzeczywisty odpowiada blokowi pierwszego rz

du, a ka

da para zespolonych biegunów

sprz

ęż

onych – blokowi drugiego rz

du.

Blok I rz

Blok taki powstaje z bieguna rzeczywistego i ma jedno zero w punkcie −1 (filtr górnoprzepustowy ma
zero w punkcie 1). Licznik transmitancji ma zatem posta

z + 1

Mianownik natomiast (zakładaj

e biegun wynosi c)

z − c

Od transmitancji mo

na przej

ść

do schematu blokowego, korzystaj

c z definicji transmitancji, jest to

bowiem stosunek transformaty sygnału wyj

ciowego Y(z) do transformaty sygnału wej

ciowego X(z).

Dla bloku pierwszego stopnia mamy zatem:

Y(z) / X(z) = (z + 1) / (z − c)

Y(z)(z − c) = X(z)(z + 1)

zY(z) − cY(z) = zX(z) + X(z)

Y(z) − z cY(z) = X(z) + z X(z)
Y(z) = X(z) + z X(z) + z cY(z)

Z ostatniego wzoru bezpo

rednio mo

na narysowa

schemat blokowy bloku filtru I rz

du.

Przykładowy filtr Butterwortha nie posiada biegunów rzeczywistych, a wi

c i bloków I rz

du. Filtr

Czebyszewa posiada jeden biegun rzeczywisty, odpowiadaj

cy mu blok ma transmitancj

Blok II rz

Blok ten powstaje z pary biegunów zespolonych sprz

ęż

onych i ma podwójne zero w punkcie -1 (filtr

górnoprzepustowy ma podwójne zero w punkcie 1). Zatem licznik transmitancji tego bloku ma posta

(z + 1) = z + 2z + 1

Mianownik natomiast przyjmuje posta

(przy parze biegunów a±jb)

[z − (a − jb)][z − (a + jb)] = z − 2az + (a + b )

Podobnie jak przy bloku pierwszego rz

du korzystamy z definicji transmitancji, aby uzyska

wzór

definiuj

cy posta

schematu blokowego

Y(z) / X(z) = (z + 2z + 1) / (z − 2az + a + b )

−1

H(z)

z + 1

z − 0,760628

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

5 z 8

2013-09-01 22:16

z Y(z) − 2azY(z) + (a + b )Y(z) = z X(z) + 2zX(z) + X(z)

Y(z) − 2az Y(z) + (a + b )z Y(z) = X + 2z X(z) + z X(z)

Y(z) = X(z) + 2z X(z) + z X(z) + 2az Y(z) − (a + b )z Y(z)

Przykładowy filtr Butterwortha posiada dwie pary biegunów zespolonych sprz

ęż

onych, b

dzie zatem

miał dwa bloki drugiego rz

du. Dla bieguna z transmitancja wyniesie

Dla bieguna z transmitancja wyniesie

Przykładowy filtr Czebyszewa posiada jedn

par

biegunów zespolonych sprz

ęż

onych. Transmitancja

odpowiadaj

cego mu bloku jest nast

puj

Do weryfikacji oblicze

w MatLabie niezb

dna jest kompletna transmitancja filtru jako cało

ci.

Uzyskujemy j

wstawiaj

c wszystkie bieguny jako miejsca zerowe mianownika, oraz N-krotne zero w

punkcie -1 jako miejsce zerowe licznika, a nast

pnie wymna

c. Równowa

nym sposobem jest

wymno

enie przez siebie transmitancji wszystkich bloków filtru. Tramsmitancja przykładowego filtru

Butterwortha ma posta

Transmitancja filrtu Czebyszewa natomiast

W programie MatLab mo

na sprawdzi

charakterystyk

amplitudow

przykładowego filtru wydaj

nast

puj

ce polecenie (warto

ci liczbowe dla przykładowego filtru Butterwortha):

freqz([1

1],[1

-2.555369

2.622493

-1.245102

0.228714],10:10:20000,44100)

Pierwszy wektor zawiera kolejne współczynniki wielomianu licznika transmitancji, drugi kolejne
współczynniki mianownika.

Charakterystyki filtru przykładowego

W celu weryfikacji metody projektowania sprawdziłem charakterystyki otrzymanych filtrów korzystaj

z funkcji freqz() programu MatLab. Punkty P i R z zało

projektowych s

zaznaczone kolorem

czerwonym. Pewnym zaskoczeniem mo

e by

fakt,

e w pasmie przenoszenia wzmocnienie nie

wynosi 0 dB, to mo

na jednak łatwo skorygowa

umieszczaj

c tłumik o odpowiednim tłumieniu (50 dB

dla filtru Butterwortha i 45,3 dB dla filtru Czebyszewa). Praktycznie realizuj

c filtr w arytmetyce

stałoprzecinkowej warto podzieli

tłumik na kilka tłumików rozmieszczonych przed filtrem, mi

dzy jego

blokami oraz za filtrem, tak aby ich sumaryczne tłumienie było równe wymaganemu. W ten sposób
zapobiega si

powstaniu przepełnienia arytmetycznego w blokach filtru, oraz pogarszaniu stosunku

−1

−2

−1

−2

−1

−2

−1

−2

H(z) =

+ 2z + 1

− 1,413368z + 0,663952

H(z) =

+ 2z + 1

− 1,412002z + 0,344474

H(z) =

+ 2z + 1

− 1,590542z + 0,771453

H(z) =

+ 4z + 1

+ 4z

2,622493z

− 1,245102z + 0,228714

2,555369z

−

H(z) =

+ 3z + 1

2,351170z

− 1,981264z + 0,586789

−

Projektowanie filtrów cyfrowych Butterwortha i Czebyszewa

http://teleinfo.pb.edu.pl/krashan/articles/filtry_iir/

6 z 8

2013-09-01 22:16