Cw05_S

wiczenie 5

STATYCZNA PRÓBA SKRĘCANIA I WYZNACZANIE MODUŁU

SPRĘŻYSTOŚCI POSTACIOWEJ

Opracował: dr inż. Stefan Sawiak

1. Wprowadzenie

Próbę skręcania przeprowadza się na próbkach okrągłych o odpowiednio dobranych

częściach uchwytowych, które pozwalają na zamocowanie próbek w skręcarce. Próbkę
obciąża się na końcach dwoma, równoważącymi się momentami skręcającymi M

działającymi w płaszczyznach prostopadłych do osi próbki. Zakładamy, że próbka skręca się
równomiernie, czyli kąt obrotu poprzecznego przekroju jest proporcjonalny do odległości
tego przekroju od końca części pomiarowej próbki. Powstały wtedy stan odkształcenia próbki
określa wartość jednostkowego kąta skręcenia

φ′

odniesionego do jej długości pomiarowej.

Jest on równy

′

(1)

gdzie:

φ′

– jednostkowy kąt skręcenia odniesiony do długości pomiarowej próbki,

–

całkowity kąt skręcenia próbki, l

– długość pomiarowa próbki.

Rys. 1. Skręcanie próbki okrągłej

Powyższa równość wynika z założenia, słusznego dla materiałów jednorodnych, że

podczas odkształcenia próbki nie ulegają deformacji jej kołowe przekroje płaskie ze względu
na symetrię obrotową, a jedynie obracają się względem siebie o kąt

. Natomiast warstwy

równoległe do osi próbki układają się wzdłuż linii śrubowej, nachylonej pod kątem

tworzącej próbki.
Ze związku (1) wynika, że kąty odkształcenia postaciowego współosiowych warstw
walcowych w próbce są proporcjonalne do odległości

tych warstw od środka próbki, czyli

max

=const,

(2)

gdzie:

max

– kąt odkształcenia postaciowego włókien skrajnych,

– kąt odkształcenia

postaciowego włókien leżących wewnątrz próbki w odległości

od osi próbki, r – promień

max

przekroju poprzecznego próbki,

– promień przekroju poprzecznego warstwy wewnętrznej

próbki.
Ponieważ w obszarze sprężystości obowiązuje prawo Hooke'a wyrażające się w przypadku
skręcania wzorem

(3)

oraz

max

(4)

przy czym: G – moduł sprężystości postaciowej materiału próbki (moduł Kirchhoffa),

–

naprężenie tnące od skręcania.
Ze wzorów (2) i (3) wynika zależność

const.

(5)

Wartość stałej C we wzorze (5) można otrzymać z warunku równości momentów sił
zewnętrznych i wewnętrznych o postaci (rys. 2)

Rys. 2. Moment skręcający sił zewnętrznych i naprężenia styczne

( )

⋅

∫

ρτ

(6)

gdzie

( )

∫

– biegunowy moment bezwładności przekroju.

Stąd

(7)

czyli równanie (5) przyjmuje postać

(8)

Dla

otrzymuje się największe naprężenia tnące, działające na konturze

zewnętrznym próbki równe

max

(9)

gdzie

– biegunowy wskaźnik przekroju na skręcanie równy

(10)

Biegunowy moment bezwładności J

pełnego przekroju kołowego wynosi (rys. 2)

( )

≅

⋅

∫

πρ

(11)

natomiast biegunowy wskaźnik przekroju na skręcanie W

pełnego przekroju kołowego

wynosi

≅

(12)

Podstawiając (12) do (9) otrzymujemy

max

≅

(13)

Związek między kątem skręcania

, a kątem odkształcenia postaciowego

jest

następujący (rys. 1)

max

⋅

(14)

czyli

max

⋅

(15)

albo

(16)

skąd

(17)

Dla pełnego przekroju kołowego wzory (15) i (16) przyjmują postać

≅

(18)

≅

(19)

2. Cel ćwiczenia

2.1. Cel ogólny

Celem ogólnym jest zapoznanie się ze sposobem przeprowadzenia tzw. statycznej próby

skręcania prętów okrągłych, sposobem prowadzenia pomiarów, zapoznanie się ze zjawiskiem
histerezy sprężystej, nabycie umiejętności wyznaczania wielkości charakterystycznych przy
skręcaniu dla stali węglowej.

2.2. Cele szczególne

1. Wyznaczenie modułu sprężystości postaciowej Kirchhoffa G i liczby Poissona

2. Wykonanie dla próbki stalowej wykresów:

a. histerezy sprężystej τ(γ) w zakresie liniowo – sprężystym,
b. naprężenie τ(γ) – kąt odkształcenia postaciowego γ.

3. Wyznaczenie wielkości charakteryzujących stal pod względem wytrzymałościowym

przy skręcaniu (granica plastyczności na skręcanie: R

i wytrzymałość na skręcanie

3. Wykres skręcania

Do celów praktycznych wykres skręcania sporządza się w układzie współrzędnych M

–

, gdzie: M

– moment skręcający próbkę,

– kąt skręcenia próbki (rys. 3)

Rys. 3. Wykres skręcania próbki stalowej o średniej zawartości węgla

3. Definicje

3.1. Granica proporcjonalności na skręcanie

[MPa = N/mm

(20)

gdzie: M

−

największa wartość momentu skręcającego, przy którym odkształcenie materiału

pozostaje jeszcze proporcjonalne do kąta skręcenia (spełnione jest prawo Hooke’a) (rys. 3),
W

−

wskaźnik przekroju na skręcanie.

3.2. Granica sprężystości na skręcanie

sps

[MPa = N/mm

(21)

gdzie: M

−

największy moment skręcający, przy którym jeszcze nie pojawia się

odkształcenie plastyczne (trwałe) materiału (rys. 3), W

−

wskaźnik przekroju na skręcanie.

3.3. Granica plastyczności na skręcanie

[MPa = N/mm

(22)

gdzie: M

−

moment skręcający, kiedy następuje jego pierwszy spadek (rys. 3), W

−

wskaźnik przekroju na skręcanie.

3.4. Wytrzymałość na skręcanie

[MPa = N/mm

(23)

gdzie: M

−

największy moment skręcający występujący w próbce, po przekroczeniu granicy

plastyczności (rys. 3), W

−

wskaźnik przekroju na skręcanie.

Wielkości występujące w (20)

(23) są naprężeniami (umownymi), odpowiadającymi

charakterystycznej wartości momentu, odniesionemu do początkowego przekroju
poprzecznego próbki.

4. Obliczanie wartości charakterystycznych

4.1. Obliczanie granic wytrzymałościowych

W praktyce przeprowadza się wyznaczanie:

−

granicy proporcjonalności na skręcanie,

−

granicy sprężystości na skręcanie,

−

granicy plastyczności na skręcanie,

−

wytrzymałości na skręcanie.
Granica proporcjonalności jest granicą stosowalności prawa Hooke'a. W pobliżu tej

granicy leży granica sprężystości, przez którą rozumiemy taką wartość naprężenia tnącego, po
przekroczeniu którego pojawia się trwałe odkształcenie materiału. Przy granicy plastyczności
pojawiają  się  wyraźne  odkształcenia  trwałe,  które  zmieniają  kierunek  przebiegu  krzywej
skracania.  Cechy  granicy  plastyczności  przy  skręcaniu  nie  występują  tak  wyraźnie  jak  przy
próbie  rozciągania  miękkiej  stali,  gdyż  odkształcania  plastyczne  pojawiają  się  najpierw  w
zewnętrznej  warstwie  próbki  a  zatem  nie  powstają  równocześnie  w  całym  przekroju.
Począwszy  od  załamania,  charakteryzującego  granicę  plastyczności,  krzywa  skręcania
wzrasta na ogół bardzo łagodnie aż do zniszczenia próbki.

Ms [kNm]

1,5

1,2

0,9

0,6

0,3

Obroty

bna

0,25

0,5

0,75 1

Rys. 4. Wykresy skręcania dla materiałów plastycznych

Na szczególną uwagę zasługuje wykres skracania dla żeliwa i dla stali hartowanej.

Rys. 5. Wykresy skręcania dla: 1) żeliwa, 2) stali nawęglanej i zahartowanej

Jeśli granica sprężystości i plastyczności nie przebiega wyraźnie na wykresie skracania,

to można ją wyznaczyć korzystając z zależności pomiędzy kątem odkształcenia postaciowego

i wydłużeniem względne

(24)

Ponieważ dla oznaczenia umownej granicy plastyczności przy rozciąganiu przyjmuje się

= 0,2%, a zatem dla umownej granicy plastyczności na skracanie

= 0,4%, stąd

odpowiednikiem R

0,2

będzie R

es0,4

przy skręcaniu. Wszystkie wskaźniki przy oznaczeniach

ważnych dla rozciągania należy więc pomnożyć przez 2, czyli

⋅

(25)

Otrzymamy wtedy wielkość dopuszczalnego kąta skręcania wyrażonego w radianach.
Wielkość kąta

, odpowiadającego umownej wartości

, odmierzamy na wykresie podobnie

jak przy próbie rozciągania. Wyznaczona w ten sposób wartość momentu M

0,4

, posłuży do

umownego obliczenia R

es0,4

Jednostkowy k

t skr

cenia

φ′

Wykreślną metodą wyznaczania przybliżonej wartości umownej granicy plastyczności

es0,4

przedstawiono na rys. 7.

Rys. 6. Wykreślna metoda wyznaczania przybliżonej wartości umownej granicy plastyczności R

es0,4

4.2. Obliczanie modułu sprężystości postaciowej G

Moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchhoffa) G w zakresie odkształceń

sprężystych i proporcjonalnych przy skręcaniu definiuje się moduł jako stosunek naprężenia
stycznego τ przy jednoosiowym stanie naprężenia do odpowiadającego mu odkształcenia
postaciowego względnego γ (rys. 7):

(26)

Rys. 7. Zależność

= f(

)

w przypadku odkształceń sprężystych i proporcjonalnych

Graficzna interpretacja modułu G: jest to współczynnik kierunkowy prostoliniowego

odcinka wykresu rozciągania

= f(

) i jest równy co do wartości liczbowej tangensowi kąta

nachylenia prostoliniowej części wykresu skręcania.

Uwaga 1: W przypadku odkształceń sprężystych i nie proporcjonalnych, kiedy wykres

skręcania nie wykazuje odcinka o przebiegu prostoliniowym (jak w przypadku żeliwa lub
stali sprężynowej), oblicza się moduł sprężystości styczny lub sieczny.

Jednostkowy k

t skr

cenia

φ′

0,4

φ′

= 0,004

Rys. 8. Moduł styczny G

i moduł sieczny G

Moduł styczny G

definiuje się jako

(27)

jest równy tangensowi kąta nachylenia stycznej do krzywej skręcania w określonym

punkcie (rys. 8, graficzna interpretacja modułu G

Moduł sieczny G

definiuje się jako

∆

(28)

Jest on równy tangensowi kąta nachylenia siecznej krzywej skręcania poprowadzonej przez 2
punkty wykresu (rys. 8). Moduły G

i G

wyznacza się w zakresie obciążeń odpowiadających

naprężeniom w przedziale 10%

90% umownej granicy sprężystości.

Uwaga 2: W niektórych zagadnieniach analitycznych wytrzymałości materiałów stosuje

się pojęcia: modułu stycznego lub siecznego – w odniesieniu do zakresu odkształceń poza
zakresem sprężystości – wówczas definicje i graficzne interpretacje modułów są analogiczne
jak podano wyżej.

4.3. Obliczanie momentu skręcającego w obszarze plastycznym

Po przekroczeniu obszaru proporcjonalności przestaje obowiązywać prawo Hooke'a.

Wraz  z  osiągnięciem  stanu  plastyczności  pojawia  się  inny  rozkład  naprężeń  niż  w  stanie
sprężystym.  Nakładanie  się  odkształceń  plastycznych  na  sprężyste  wywołuje  naprężenia
wstępne  zniekształcając  prawdziwy  obraz  przejścia  materiału  ze  stanu  sprężystego  do
plastycznego. Dla próbki o przekroju kołowym obliczenie wielkości naprężenia tnącego, przy
której  zewnętrzna  warstewka  próbki  osiąga  granicę  plastyczności,  nie  nastręcza  trudności.
Począwszy  bowiem  od  momentu  M

, nie zmieniają swej wielkości naprężenia

max

zwiększeniem się wartości M, jeżeli pominąć na ogół niezbyt silne umocnienie zaznaczające
się podczas skręcania metali plastycznych. Wykres naprężeń stycznych z trójkątnego
przechodzi na trapezowy, ażeby ostatecznie zamienić się na prostokątny (rys. 10).

W przypadku całkowitego uplastycznienia przekroju wartość momentu M

można

otrzymać z warunku równości momentów sił zewnętrznych i wewnętrznych o postaci (rys. 9)

∆

Rys. 9. Rozkład naprężeń tnących w obszarze plastycznym

( )

πρ

⋅

∫

czyli

(29)

Rys. 10. Schemat naprężeń stycznych w poprzecznym przekroju skręconej próbki (dla materiału doskonale

jednorodnego i przy pominięciu umocnienia): a) w obszarze czysto sprężystym, b) w obszarze odkształceń

sprężysto

−

plastycznym, c) w obszarze odkształceń czysto plastycznych (przegub plastyczny)

W przypadku uplastycznienia się tylko warstwy zewnętrznej przekroju wartość momentu M

jest równa (rys. 10)

( )

πρ

⋅

∫

(30)

Dla tych obu wartości momentu skręcającego określa się dwie granice plastyczności materiału
na skręcanie: teoretyczną i rzeczywistą.

5. Próbki do próby skręcania

Do próby skręcania używa się próbek o długości pomiarowej (5

20)d

. Najczęściej

przyjmuje się L

= 10d

. Kształt próbki do prób skręcania przedstawiono na rys. 11.

Rys. 11. Próbka do prób skręcania prętów okrągłych

6. Przeprowadzenie próby

wiczenie wykonywane jest na dwóch stanowiskach:

−

stanowisko, na którym kąt skręcania w danym przekroju próbki mierzymy za pomocą

aparatu Martensa,

−

maszyna do skręcania zwana skręcarką.

6.1. Pomiar kąta skręcenia za pomocą aparatu Martensa

Kąt skręcania w danym przekroju próbki obliczamy za pomocą aparatu Martensa w

sposób następujący (rys. 12):

≅

(31)

gdzie

S = S

–

(32)

Stąd

≅

(33)

gdzie:

−

wartość odczytów na skalach 1 i 2 aparatu Martensa w [mm] z dokładnością do

0,1 mm,

−

odległość skali od lusterka równa 1 m.

Podczas próby stosuje się próbkę o średnicy

d = 10 mm, natomiast promień R tarczy, na

której zawieszamy ciężarki jest równy

R = 152 mm.

Kąt skręcenia próbki jest równy (rys. 13)

−

[rad].

(34)

LUSTERKA

ĘŻ

ARKI

Rys. 12. Schemat urządzenia do pomiaru kąta skręcenia

= (5

20)d

PRÓBKA

SKALA

LUNETA

LUSTERKO

Rys. 13. Schemat aparatu Martensa do pomiaru kąta skręcenia

6.2. Wykonanie statycznej próby skręcania na skręcarce

Skręcarka składa się z następujących zespołów: urządzenia napędowego 1 z przekładnią

o napędzie ręcznym lub mechanicznym, uchwytów do próbek 3, 4, siłomierza 8 mierzącego
wartość momentu skręcającego i samoczynnego zapisu wykresu.

Pokazana na rys. 14 skręcarka wyposażona jest w przekładnię ślimakową 1 o napędzie

ręcznym lub mechanicznym z odpowiednio dobranym przełożeniem.

A-A

Rys. 14. Schemat skręcarki

Próbkę 2 o odpowiednich końcówkach umieszcza się w uchwytach: napędowym 3 i

pomiarowym  4,  z  którym  połączona  jest  dźwignia  5.  Na  dźwigni  tej  osadza  się  wymienne
obciążniki  6,  odpowiednio  do  obranego  i  przewidzianego  dla  danej  maszyny  zakresu
momentu  skracającego.  Wychylenie  dźwigni  ciężarowej  podczas  obciążenia  próbki  z
położenia  pionowego  wykorzystuje  się  do  pomiaru  wartości  momentu  skracającego.  Obrót
dźwigni  poprzez  zębatkę  7  powoduje  obrót  wskazówki  siłomierza  8,  wyskalowanej  w

PRÓBKA

jednostkach momentu skręcającego. Wykres skręcania wykreślany jest na bębnie przez rysik
sprzężony ze wskazówką siłomierza. Napęd bębna uzyskuje się za pomocą linki połączonej z
uchwytem 3 i 4.

7. Obliczenia

7.1. Moduł sprężystości postaciowej G

−−−−

materiał o charakterystyce liniowo

−−−−

sprężystej

Moduł sprężystości postaciowej (moduł Kirchhoffa) G obliczamy jako (rys. 8)

∆

(35)

gdzie:

∆

(36)

∆

≅

∆

(37)

Po podstawieniu (36) i (37) do (35) otrzymujemy

(

)

∆

≅

∆

(38)

Korzystamy ze zbioru punktów w układzie τ(γ) (naprężenie

−−−−

odkształcenie postaciowe

względne całkowite).

Po naniesieniu punktów w układzie współrzędnych ustalamy zbiór punktów znajdujących

się w zakresie liniowo –sprężystym charakterystyki materiału; pomijamy ostatni punkt z tego
zakresu. W przypadku, kiedy punkty ułożone są na linii prostej, moduł G obliczamy

−

∆

(39)

gdzie  odległość  punktów  2  i  1jest  możliwie  duża.  Natomiast  kiedy  wyniki  pomiarów  są
obarczone  większymi  błędami  i  występują  odchylenia  punktów  od  zakładanej  linii  prostej,
można otrzymać wynik w pewnym stopniu niezależny od błędów, przyjmując (rys. 15):
1.  punkty pomiarowe z zakresu 10

90% przedziału liniowego;

2. z pominięciem punktów znacznie odległych od zakładanej linii prostej.
Wówczas

−−−−

dla n + 1 uwzględnianych punktów – moduł G można obliczyć jako:

∑

−

(40)

7.2. Współczynnik Poissona

νννν

Obowiązuje zależność [9, 10]

(

)

(41)

po przekształceniu której, otrzymujemy zależność, z której można obliczyć Współczynnik
Poissona

−

(42)

Rys. 15. Obliczanie modułu G – odchylenia punktów od linii prostej (n = 5)

8. Wykonanie sprawozdania

W sprawozdaniu należy umieścić:

1.  tytuł i cele ćwiczenia,
2.  definicje: modułu sprężystości oraz umownych granic sprężystości i plastyczności,
3.  schemat  aparatu  Martensa  do  pomiaru  kąta  skręcania  –  rysunek  z  objaśnieniami  części

składowych,

4. podać definicję modułu

G oraz sposób jego obliczenia,

5. podać zależność między modułem

G i E oraz

6. sposób obliczenia liczby Poissona

7. podać zestawienie wyników badań i wielkości obliczanych w tabeli pomiarowej 1; pod

tabelą pomiarową 1 podać przykład obliczenia wartości z jednego wiersza,

8. narysować wykresy:

(

) – ¼ pętli histerezy sprężystej,

9. narysować wykres

) przy obciążeniu stale rosnącym i stale malejącym,

10. wykonać obliczenie wielkości charakterystycznych, stanowiących cel ćwiczenia; zapisać

wyniki w sprawozdaniu,

11. zamieścić wykres skręcania próbki uzyskany na skręcarce.

i=1

punkt pomini

0,9

0,1

i=2

i=3

i=4

i=5

Tabela pomiarowa 1. Wykres

= f(

)

−

[N]

[Nm]

[mm]

[rad

⋅

]

[rad

⋅

]

[MPa]

…

100

110

100

…

Literatura

[1] Bachmacz W.: Wytrzymałość materiałów. Badania doświadczalne. Skrypt Politechniki Częstochowskiej,

Częstochowa 1973.

[2] Banasik M.: Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów. PWN, Warszawa 1977.
[3] Boruszak A., Sykulski R., Wrześniowski K.: Wytrzymałość materiałów. Doświadczalne metody badań.

Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1977.

[4]   Dyląg Z., Orłoś Z.: Wytrzymałość zmęczeniowa materiałów. Warszawa. WNT 1962.
[5]   Jastrzębski P., Mutermilch J., Orłoś W.: Wytrzymałość materiałów. Warszawa. Arkady 1985.
[6]  Katarzyński S., Kocańda S., Zakrzewski M.: Badania właściwości mechanicznych metali. WNT, Warszawa

1967.

[7] Łączkowski R.: Wytrzymałość materiałów. Gdańsk. WPG 1988.
[8] Mazurkiewicz S.: Laboratorium z wytrzymałości materiałów. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej,

Kraków 1978.

[9] Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wzory wykresy i tablice wytrzymałościowe. Warszawa. WNT

1996.

[10] Orłoś Z.: Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń. PWN, Warszawa 1977.
[11] Walczyk Z.: Wytrzymałość materiałów. Gdańsk. WPG 1998.