5.2 - Fizyka atomowa 16-25

FIZYKA ATOMOWA

LICZBY KWANTOWE W MODELU ATOMU BOHRA

Stan fizyczny elektronu poddanego działaniu jądra atomowego określają cztery
liczby kwantowe: główna (n), poboczna (l), magnetyczna (m), i spinowa (s).

1. Główna liczba kwantowa.

Liczba ta określa moment pędu elektronu związany z jego ruchem orbitalnym

====

; n

∈

2. Poboczna liczba kwantowa.

Liczba ta jest związana z kształtem orbity elektronowej, a zatem równieŜ ma wpływ
na orbitalny moment pędu elektronu. Jeśli wielkości półosi orbity elektronowej
oznaczymy: a i b, to wielkość małej półosi jest równa:

====

++++

; l

∈

{0,1,2,...... n-1}

====

Energia kinetyczna elektronu zmienia się wraz ze zmianą momentu pędu. Zmiana
energii całkowitej jest zawsze związana ze zmianą energii kinetycznej, a zatem
zmiana momentu pędu oznacza zawsze zmianę energii całkowitej elektronu.

3. Magnetyczna liczba kwantowa.

Elektron poruszający się wokół jądra atomowego moŜe być traktowany jako swoisty
prąd. Takiemu elektronowi moŜna zatem przypisać moment magnetyczny. Jeśli
torem ruchu jest okrąg, otrzymujemy:

µµµµ

ππππ

eVr

====

==== ⋅⋅⋅⋅ ====

====

Korzystając z pierwszego postulatu Bohra, otrzymujemy:

mVr

====

µµµµ

;

µµµµ

====

µµµµ

====

µµµµ

====

µµµµ

- magneton Bohra

Orbitalny moment magnetyczny ma ten sam kierunek co orbitalny moment pędu,
lecz wektory te mają przeciwne zwroty, bowiem ładunek elektronu jest ujemny.

Elektron  krąŜący  wokół  jądra  atomowego  znajduje  się  w  polu  magnetycznym
wytworzonym  przez  macierzyste  jądro,  inne  elektrony,  lub  wytworzonym  przez
czynnik  zewnętrzny. Wektor momentu pędu ustawia się w takim polu pod pewnym
kątem  do  indukcji  tego  pola.  Liczbę  moŜliwych  ustawień,  jak  równieŜ  wartości
kątów określa tzw. magnetyczna liczba kwantowa.

∈

{-L, -l + 1...... 0 ....... + l }

W pierwszej wersji modelu atomu Bohra wartość kąta

αααα

określona była równaniem :

cos

αααα ====

Wektor momentu magnetycznego, jak równieŜ wektor
momentu pędu wykonuje obrót wokół osi

. Z takim

obrotem wiąŜe się energia:

E = -

µµµµ

B cos

αααα

Magnetyczna  liczba  kwantowa  ma  zatem  takŜe  wpływ  na  energię  elektronu.
Doświadczalne  badania  światła  wysyłanego  przez  atomy  w  róŜnych  warunkach
pozwalają  określić  wartość  energii  elektronu  związanego  z  jądrem  atomowym.
Wzrost dokładności pomiarów doprowadził do naniesienia poprawki. Obecnie uwaŜa
się,  Ŝe  kąt  jaki  tworzy  wektor  momentu  magnetycznego  z  kierunkiem

jest

określony równaniem:

(((( ))))

cos

αααα ====

++++

l l

Ostatecznie związek ten został potwierdzony przez falową teorię atomu.

4. Spinowa liczba kwantowa.

wiatło wysyłane przez pary sodu jest praktycznie monochromatyczne, jednakŜe

przy dokładnym badaniu okazuje się, Ŝe światło to zawiera dwie długości fali o
wartościach

5,890

⋅⋅⋅⋅

-7

5,896

⋅⋅⋅⋅

-7

. Oznacza to, Ŝe elektrony odpowiedzialne

za  emisję  tego  promieniowania  muszą  nieznacznie  róŜnić  się  energią.  Podobne
efekty  zaobserwowano  takŜe  w  przypadku  innych  pierwiastków.  Aby  wyjaśnić  to
zjawisko  przyjęto,  Ŝe  oprócz  ruchu  obiegowego  elektron  porusza  się  takŜe  ruchem
wirowym  wokół  własnej  osi.  Z  ruchem  wirowym  elektronu  jest  związany  zarówno
mechaniczny  moment  pędu  zwany  spinem,  jak  równieŜ  spinowy  moment
magnetyczny.

W roku 1925 S. Goudsmit i G.E. Uhlenbeck opierając się na danych
doświadczalnych przypisali spinowemu momentowi magnetycznemu elektronu
wartość równą magnetonowi Bohra.

µµµµ

====

µµµµ

= 0,9273

⋅⋅⋅⋅

-23

A m

µµµµ

αααα

Traktując elektron jak kulkę o promieniu

-15

, której ładunek jest równomiernie

rozłoŜony w przestrzeni, biorąc pod uwagę efekty relatywistyczne określono
spinowy moment pędu elektronu i spinowy moment magnetyczny:

ππππ

====

ππππ

−−−−

====

µµµµ

Wynika stąd, Ŝe ich stosunek jest równy:

====

µµµµ

Spinowy moment pędu elektronu ma wartość:

====

µµµµ

⋅⋅⋅⋅

====

PoniewaŜ spinowy moment pędu elektronu jest wektorem, więc względna wartość
spinowego momentu pędu wynosi:

⋅⋅⋅⋅

====

±±±±

====

∈

∈ −−−−





































RóŜne znaki odpowiadają przeciwnym zwrotom wektora

Z mechaniki kwantowej wynika poprawka, zgodnie z któr

warto

ść

spinowego

momentu p

du jest równa:

((((

))))

⋅⋅⋅⋅

++++

====

;

====

- spinowa liczba kwantowa

Uwzgl

dniaj

c powy

poprawk

, spinowy moment magnetyczny jest równy:

((((

))))

⋅⋅⋅⋅

++++

====

µµµµ

(((( ))))

µµµµ

s s

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

µµµµ

====

⋅⋅⋅⋅

Spinowy moment magnetyczny powoduje,

e wyst

puje oddziaływanie mi

dzy

wiruj

cym elektronem i zewn

trznym polem magnetycznym. Wektor

µµµµ

ustawia si

w tym polu w taki sposób,

e tworzy z wyró

nionym kierunkiem k

t okre

lony przez

tzw. spinow

magnetyczn

liczb

kwantow

==== ±±±±

cos

αααα ====

Wektor spinowego momentu magnetycznego, jak
równie

wektor spinowego momentu p

du wykonuje

obrót wokół osi B

Z takim obrotem wi

ąŜ

e si

energia: E = -

µµµµ

B cos

αααα

O energii elektronu zwi

zanego z j

drem atomowym

decyduj

zatem cztery liczby kwantowe, chocia

w ró

nym stopniu. Zalet

modelu

atomu Bohra jest mo

liwo

ść

pogl

dowego przedstawienia budowy atomu. Liczne

trudno

ci jakie powstaj

przy wyja

nianiu zjawisk znanych z do

wiadczenia

(nadprzewodnictwo, nadciekło

ść

, efekt tunelowy i inne) bior

e cz

stki

materialnej nie mo

na traktowa

jak małej, twardej kuleczki o ograniczonych

rozmiarach.

Słabo

tego modelu jest narzucanie praw obowi

zuj

cych w

wiecie atomu w

formie postulatów. Trudno

ci modelu atomu Bohra usuwa model falowy atomu. Jest

to model matematyczny i jako taki mało pogl

dowy. Obydwa modele wzajemnie si

uzupełniaj

. Posługuj

c si

modelem atomu nie mo

na jednak zapomina

o tym,

dy model stanowi jedynie przybli

enie rzeczywisto

ci.

FALOWY MODEL ATOMU

dej ruchomej cz

stce mo

na przypisa

fal

de Broglie’a o długo

λλλλ ====

Fal

jednowymiarow

, biegn

w kierunku osi x

opisuje równanie:

====

−−−−











sin

lub

∂∂∂∂
∂∂∂∂

∂∂∂∂

====

wzgl

dnie

∂∂∂∂
∂∂∂∂

++++

====

Fala taka odpowiadałaby cz

stce poruszaj

cej si

w kierunku

W przestrzeni

wokół j

dra atomowego znajduj

elektrony, które poruszaj

pod działaniem

sił kulombowskich. Ka

demu z nich mo

na przypisa

przestrzenn

fal

kulist

opisan

równaniem :

∂∂∂∂ ψ

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ψ

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ψ

∂∂∂∂

ω ψψψψ

++++

====

αααα

µµµµ

W przypadku fal mechanicznych czy akustycznych

jest funkcj

opisuj

wychylenie cz

steczek o

rodka uczestnicz

cych w ruchu falowym. Dla elektronu w

polu sił j

dra atomowego,

jest to tzw. funkcja falowa, opisuj

ca stan fizyczny

elektronu. Stała

jest zwi

zana z okresem funkcji

a zatem równie

z długo

fali.

ππππ

T V

====

;

==== ====

λλλλ

ππππ

====

Energia kinetyczna ruchomej cz

stki wi

ąŜ

e si

z jej p

dem:

====

Energi

kinetyczn

na okre

jako ró

nic

pomi

dzy energi

całkowit

potencjaln

= E - E

((((

))))

====

−−−−

Stan fizyczny elektronu pozostaj

cego w polu sił kulombowskich j

dra atomowego

opisuje zatem funkcja

spełniaj

ca równanie:

((((

))))

∂∂∂∂ ψ

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ψ

∂∂∂∂

∂∂∂∂ ψ

∂∂∂∂

++++

−−−−

====

Powy

sze równanie zostało podane w roku 1926 przez austriackiego fizyka -

teoretyka  Erwina  Schrödingera  (1887  -  1961)  -  profesora  wielu  uczelni,  m.in.  w
Berlinie,  Oxfordzie  i  Wrocławiu.  Schrödinger  jest  jednym  z  twórców  mechaniki
kwantowej.  Za  falow

teori

atomu otrzymał nagrod

Nobla (w roku 1933).

Znalezienie rozwi

zania równania Schrödingera jest mo

liwe tylko w najprostszych

przypadkach. Zwykle trzeba stosowa

przybli

one metody rozwi

. Rozwi

zaniem

równania Schrödingera jest funkcja

okre

lona jedynie dla niektórych warto

energii. Poszczególnym warto

ciom energii przypisuje si

liczby kwantowe,

analogicznie jak w modelu atomu Bohra. W pierwszym przybli

eniu warto

energii, dla których istniej

funkcje falowe okre

laj

ce stan elektronu zale

Ŝą

głównej liczby kwantowej (n). Zespół stanów o tej samej warto

ci głównej liczby

kwantowej nazywa si

powłok

elektronow

. Zbiór funkcji falowych opisuj

cych

powłok

elektronow

zawiera n

funkcji. Ró

one nieznacznie warto

energii, dla której s

okre

lone. Mo

liwe warto

ci energii w ramach powłoki okre

przede wszystkim orbitalna liczba kwantowa l. Nazwa tej liczby kwantowej
wywodzi si

z modelu atomu Bohra, gdzie liczba l

okre

lała warto

ść

orbitalnego

momentu p

du elektronu.

(((( ))))

++++

====

; l

∈

{ 0,1,2....... n-1}

Dla l = 0

warto

ść

momentu p

du elektronu byłaby równa zeru. Takiej mo

liwo

model atomu Bohra nie przewidywał. W modelu falowym nie istnieje poj

cie orbity

elektronowej, a zatem nazwa liczby kwantowej mo

e by

myl

ca. Orbitaln

liczb

kwantow

nale

y rozumie

jako jedn

z liczb okre

laj

cych pewien podzbiór funkcji

falowych. Dla ka

dej warto

ci liczby l

istnieje zatem podzbiór funkcji falowych

okre

lonych dla stanów ró

cych si

nieznacznie energi

. Ten podzbiór funkcji

okre

la podpowłok

liwe warto

ci energii w ramach podpowłoki okre

la magnetyczna liczba

kwantowa m

W modelu atomu Bohra okre

lała ona rzut momentu magnetycznego

zwi

zanego z ruchem orbitalnym, na kierunek pola magnetycznego.

(((( ))))

cos

αααα ====

++++

l l

; m

∈

{ -l.....0.....+l }

W modelu falowym atomu liczba m

okre

la nast

pny podzbiór funkcji falowych, z

których ka

da wyznacza jeden z mo

liwych stanów układu j

dro - elektron.

Funkcja falowa

jest funkcj

o zmiennej zespolonej i jej warto

ci nie mog

okre

lone w zbiorze liczb rzeczywistych. Kwadrat funkcji

a dokładniej iloczyn

funkcji

i funkcji z ni

sprz

ęŜ

onej

∗∗∗∗

jest funkcj

okre

lon

w zbiorze liczb

rzeczywistych. Okre

la on prawdopodobie

stwo znalezienia si

elektronu w

przestrzeni

wokół

dra

atomowego.

Zbiór

punktów

przestrzeni

gdzie

prawdopodobie

stwo znalezienia si

elektronu jest najwi

ksze, tworzy tzw. orbital.

Orbital okre

la kształt chmury elektronowej wokół j

dra atomowego. Cz

steczce

na przypisywa

orbitale cz

steczkowe, które s

kombinacj

orbitali atomowych.

Nakładanie si

chmur elektronowych decyduje o kierunkach powstałych wi

chemicznych.

Poni

ej przedstawiono kilka charakterystycznych kształtów orbitali.

Orbital cząsteczkowy dla H

Orbital cząsteczkowy dla NH

Orbital atomowy S

Orbital atomowy P

Mechanika kwantowa Schrödingera nie przewidywała spinu elektronowego.
Istnienie spinu nale

ało wprowadzi

jako odr

bny postulat. Wynika to st

e teoria

ta była teori

przybli

, zaniedbuj

efekty relatywistyczne. Wa

nym

uzupełnieniem mechaniki kwantowej jest teoria spinu elektronowego opracowana
przez wielkiego angielskiego fizyka - teoretyka P.A.M. Diraca, profesora
uniwersytetów w Cambridge i w Oxfordzie, członka Royal Society. Teoria powstała
w roku 1929. W roku 1933 Dirac został laureatem nagrody Nobla. Stosuj

c podobne

postulaty co Schrödinger, ale zast

puj

c nierelatywistyczny wzór na energi

jego

odpowiednikiem relatywistycznym, Dirac wykazał,

e elektron musi mie

wewn

trzny moment p

du i wewn

trzny moment magnetyczny. Był to wielki triumf

teorii relatywistycznej; nadało to poj

ciu spinu elektronu solidn

podstaw

teoretyczn

i nierozł

cznie zwi

zało go z efektami relatywistycznymi.

Spin elektronowy jest z samej swej natury wielko

nieklasyczn

. Wi

zanie spinu

elektronowego z modelem klasycznym, w którym elektron jest wiruj

kulk

przynosi wi

cej szkody ni

ytku. Jedn

z najbardziej imponuj

cych cech

współczesnych teorii kwantów jest sposób, w jaki teorie te stopniowo prowadz

bardziej

cisłego opisu atomu. Pierwotny model atomu Bohra pozwalał jedynie na

wyja

nienie najprostszych zjawisk zachodz

cych w atomie wodoru, takich jak np.

serie widmowe. Model ten zawodził ju

jednak nawet w przypadku atomu helu.

Falowy model atomu Schrödingera, z uzupełnieniami Diraca pozwala na poprawny
opis atomów zło

onych. Posługiwanie si

modelem falowym wymaga jednak

solidnego przygotowania matematycznego. Istotn

trudno

jest tak

e konieczno

ść

zrezygnowania z wyobra

enia sobie atomu w taki sposób, jaki nasuwa model atomu

Bohra.

STANY PODSTAWOWE ATOMÓW

Warto

ść

energii elektronu zwi

zanego z j

drem atomowym jest okre

lona przez

warto

ci liczb kwantowych: głównej ( n )

orbitalnej ( l ), magnetycznej (

)

magnetycznej spinowej ( m

). Zbiór elektronów ka

dego atomu podlega zakazowi

Pauliego, zgodnie z którym elektrony mog

pozostawa

w takich stanach energii,

które ró

przynajmniej jedn

liczb

kwantow

. W stanie podstawowym

elektrony zajmuj

stany o najmniejszej energii. Zamieszczona poni

ej tabela

przedstawia

rozmieszczenie

elektronów

poszczególnych

powłokach

podpowłokach w stanie podstawowym.

l.p.

symbol

2s 2p

2s 2p 2d

l.p

symbol

2s 2p

3s 3p 3d

4s 4p 4d 4f

2 6

2 5

2 6

2 1

2 6

2 6 1

2 2

2 6

2 6 2

2 3

2 6

2 6 3

2 4

2 6

2 6 4

2 5

2 6

2 6 5

2 6

2 6 6

2 6

2 6 7

2 6

2 6 8

2 6

2 1

2 6

2 6 9

2 6

2 2

2 6

2 6 10

2 6

2 3

2 6

2 6 10

2 1

2 6

2 4

2 6

2 6 10

2 2

l.p

symbol

2s 2p

3s 3p 3d

4s 4p 4d 4f

5s 5p 5d 5f

6s 6p 6d

2 6

2 6 10

2 3

2 6

2 6 10

2 4

2 6

2 6 10

2 5

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 2

2 6

2 6 10

2 6 4

2 6

2 6 10

2 6 5

2 6

2 6 10

2 6 5

2 6

2 6 10

2 6 7

2 6

2 6 10

2 6 8

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 1

2 6

2 6 10

2 2

2 6

2 6 10

2 3

2 6

2 6 10

2 4

2 6

2 6 10

2 5

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 2

2 6

2 6 10

2 6 10 3

2 6

2 6 10

2 6 10 4

2 6

2 6 10

2 6 10 5

2 6

2 6 10

2 6 10 6

2 6

2 6 10

2 6 10 7

2 6

2 6 10

2 6 10 7

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 9

2 6

2 6 10

2 6 10 10

2 6

2 6 10

2 6 10 11

2 6

2 6 10

2 6 10 12

2 6

l.p.

symbol

2s 2p

3s 3p 3d

4s 4p 4d 4f

5s 5p 5d 5f

6s 6p 6d

2 6

2 6 10 2 6 10 13

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 2

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 3

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 4

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 5

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 6

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 7

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 9

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 2

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 3

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 4

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 5

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 2

2 6 2

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 3

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 4

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 5

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 6

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 7

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 8

2 6 1

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 10

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 11

2 6

100

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 12

2 6

101

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 10 13

2 6

102

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6

103

2 6

2 6 10

2 6 10 14

2 6 1