2. Tw. o trzech siłach: 
Trzy nierównoległe do siebie działające w jednej płaszczyźnie pozostają w równowadze 
wtedy i tylko w tedy gdy tworzą układ zbieżny a ich kierunki tworzą trójkąt 
zamknięty.P

1

=P

2

+P

3 

 
 

3. Tw. Varignona: 

Suma momentów sił układu zbieżnego względem dowolnego punktu jest równa 

momentowi wypadkowej tego układu względem punktu ∑

n

i=1

r∙∑P

i

=r∙W 

 
4. Para sił: 
Parą sił nazywamy układ 2 sił równoległych do siebie, równych co do wielkości, przeciwnie 

skierowanych P

1

+P

2

=0 

 
5. Moment siły (moment obrotowy) siły F względem punktu O jest to iloczyn wektorowy 

promienia wodzącego r, o początku w punkcie O i końcu w punkcie przyłożenia siły, oraz 
siły F: 
                 

 

10. Kinematyczne równania ruchu: x=x(t). y=y(t). z=z(t) 

 
11. Prędkość 
v=lim Δr/Δt = dr/dt = r’  prędkość zawsze jest styczna do toru i zawsze jest wektorem 

v=x’i+y’j+z’k  v=√(x’)

2

+(y’)

2

+(z’)

2

 

 
12. Przyspieszenie 

a=lim Δv/Δt = dv/dt = r’’ przyspieszenie nigdy nie jest styczne do toru chyba że jest linią 
prostą  v=x’’i+y’’j+z’’k  v=√(x’’)

2

+(y’’)

2

+(z’’)

2 

 
13. Przyspieszenie styczne i normalne: 

a

s

=dv/dt – przyspieszenie styczne 

a

n

=v

2

/ρ – przyspieszenie normalne 

 

14. Droga:  s=∫

t2

t1

Vdt 

 
18. Rodzaje ruchów bryły sztywnej: 

1. ruch postępowy - to taki ruch w którym dowolna prosta sztywno związana z tą bryłą 
zajmuje położenie wzajemnie równoległe (3 stopnie swobody). 
2. ruch obrotowy - to taki ruch bryły w którym dowolne dwa punkty bryły są nieruchome, 
prosta przechodząca przez dwa punkty to oś obrotu (1 stopień swobody). 

3.ruch płaski - to taki ruch bryły w którym dowolny przekrój tej bryły płaszczyzną zajmuje 
położenie równoległe i jest równoległy do pewnej stałej płaszczyzny zwanej kierującą (3 
stopnie swobody). 

4. ruch kulisty - to taki ruch bryły w którym bryła porusza się dookoła nieruchomego 
punktu bryły (3 stopnie swobody). 
5. ruch ogólny -jest to złożenie ruch postępowego i kulistego. 

 
19. Ruch postępowy bryły sztywnej: 
Opis ruchu bryły to opis każdego punktu bryły czyli całej bryły r

i

=r

a

+ρ

i

  

Niech prosta przechodzi przez punkty A i P. 

ρ

i

=const;  V=

dt

dr

;  a=

dt

dV

;  r’

i

=V

i

=r’

a

+0;  V

i

=V

a

;  V’

i

=a

i

=a

a

;  tory  wszystkich  punktów  są 

równoległe(prędkość i przyspieszenie wszystkich punktów są jednakowe). 

 
20. Ruch obrotowy bryły: 
V

i

=ω*ρ

i

  –  prędkość  punktu  bryły;  a

i

=є*ρ

i

+ω

2

ρ

i

  –  przyspieszenie  punktu  bryły;  ω=

r

V

  - 

prędkość kątowa; є=

dt

d



 - przyspieszenie kątowe; 

 

24. Ruch płaski bryły: 
v=v

o

+ω



r’      a=a

o

+ε



r’+ω(ω∙r’)-ω

2

r’ 

 

25. Tw. o trzech rzutach – jeśli bryła znajduje się w ruchu płaskim to rzuty prędkości 2 
dowolnych punktów A i B na łączące je proste są równe. 
Taki punkt należący do bryły lub leżący poza nią który w pewnej chwili ma prędkość 0 

nazywa się chwilowym środkiem obrotu (punkt C). Przy pomocy chwilowego środka obrotu 
możemy znaleźć prędkość punktów posługując się wzorem v=ω



CA. Wektor prędkości 

kątowej jest zawsze taki sam i jest jeden dla wszystkich punktów bryły. 

 
33. Ruch złożony bryły 
Ruchem bezwzględnym punktu materialnego nazywamy ruch względem nieruchomego 
układu. 

Ruchem względnym punktu materialnego nazywamy ruch punktu względem ruchomego 
układu współrzędnych. 
Ruchem unoszenia punktu materialnego nazywamy ruch punktu sztywno związanego z 

układem ruchomym obserwowanym względem nieruchomego układu. 
v=v

u

+v

w

 

v

u

=v

o

+ω



r’ 

a=a

u

+a

w

+a

c 

a

u

=a

o

+ε



r’+ω



(ω



r’) 

a

c

=2ω



v

w 

 
36. Przyspieszenie Coriolisa 

Przyspieszenie Coriolisa równe jest podwojonemu iloczynowi wektorowemu prędkości 
kątowej układu ruchomego i prędkości względem punktu A. p

c

=2ω×v

r. 

Przyspieszenie 

Coliolisa nie występuje gdy ruchem unoszenia są ruchy: prostoliniowy, harmoniczny prosty 
i postępowy (



= zero),gdy wektor prędkości kątowej jest równoległy do wektora 

prędkości względnej oraz gdy prędkość względna jest równa zeru. 
 

37. Prawa Newtona: 
I prawo bezwładności: punkt materialny, na który nie działa żadna siła lub działające siły 
się równoważą, pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii 
prostej.  

II prawo: przyśpieszenie punktu materialnego jest proporcjonalne do siły działającej na 
ten punkt i ma kierunek taki jak ta siła. F=ma. 
III prawo akcji i reakcji: siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych 

mają jednakowe wartości, leżą na prostej łączącej te punkty i są przeciwnie skierowane.  

IV prawo zasady superpozycji: jeżeli na punkt materialny działa jednocześnie kilka sił, to 
każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają jak jedna siła 
równa wektorowej sumie danych sił.  
V prawo powszechnego ciążenia: Każde dwa punkty materialne o masach m

1 

i m

2 

przyciągają się z siłą wprost 

proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r 
między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. F=k m

1

m

2

/r

2 

 
38. Zasada d’Alamberta: 

Suma sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny jest w każdej 
chwili równa zeru. 
F+(-ma)=0 
 
39. Zasada zachowania pędu:  

jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na ten układ materialny jest 
równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały: dp/dt=F; F=0; dp/dt=0; p=const. 
 

40. Zasada pędu: Pochodna względem czasu pędu układu punktów materialnych jest 
równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ. ma=F ; a=dv/dt 
→ m dv/dt=F ; m=const. d/dt (mv)=F → dp/dt=F. 
Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu) Przyrost pędu układu 
materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił 
zewnętrznych działających na ten układ. p(t)-p(0)=∫

t

0

Fdt 

 

41. Kręt punktu 
Krętem k

o

 punktu materialnego o masie m względem punktu O nazywamy moment pędu 

p=mv tego punktu materialnego względem punktu O: k

o

=r



p=r



mv. 

Zasada krętu: pochodna względem czasu krętu układu punktów materialnych względem 
dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił 
zewnętrznych względem tego samego punktu. dk

o

/dt=M

o

 

Zasada zachowania krętu: jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem 
nieruchomego punktu redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły) 
względem tego punktu jest wielkością stałą. Jeżeli M

o

=0 to k

0

=const. 

 
43. Dynamiczne równania ruchu punktu: 
a=dv/dt e

s

 +v

2

/ρ e

n

 

e

s

=m dv/dt 

e

n

=m v

2

/ρ 

e

b

=e

s



e

n 

 

57. Drgania: 

Drgania swobodne mx’’=-kx ; ω

2

=k/m → x’’+ ω

2

x=0 

x=Asinω

o

t gdzie. x-wychylenie ciała z położenia równowagi w chwili czasu t, A – amplituda 

drgań, ω – częstość kołowa drgań. Brak tłumienia i brak wymuszenia. 
58. Drgania tłumione mx’’+βx’+kx=0 ; x’’+β/m x’+k/m x=0 ; β/m = 2u ; k/m=ω

2

 

Drgania słabo tłumione(u<ω).Okres drgań jest dłuższy od okresy drgań nie tłumionych 

zachodzących pod działaniem takiej samej siły sprężystej. Drgania tłumione nie są 
drganiami periodycznymi. Drgania silnie tłumione (u>ω) drgania tłumione są drganiami 
aperiodycznymi dla tych drgań wychylenie maleje wykładniczo z czasem. Tłumienie 

krytyczne (u=ω). 

60.Drgania wymuszone mx’’+kx=Hsinpt gdzie p- częstość kołowa siły wymuszającej, 
H- amplituda wymuszenia; 
x’’+k/m x=H/m sinpt; x’’+ω

2

x=hsinp 

p<ω – wówczas przesunięcie fazowe dąży do 0 i mówimy że częstość siły wymuszającej 

jest zgodna w fazie z siłą wymuszającą 
p>ω – przesunięcie fazowe dąży do –π i wychylenia drgań harmonicznych zależy od masy 
ciała wykonującego drgania 

p=ω – przesunięcie fazowe dąży do π/2 i zachodzi zjawisko rezonansu.