POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA - Studia stacjonarne - InŜynieria i Ochrona Środowiska
Rysunek techniczny, Geometria wykreślna i grafika inŜynierska - ćwiczenie nr 02,
Zadania 01. Twierdzenie o punkcie węzłowym. Przy kreśleniu przekrojów płaszczyznami figur przestrzennych (solid) wygodnie jest
posługiwać się znanym, prostym twierdzeniem: W danej trójce płaszczyzn krawędzie (edge) poszczególnych par tych płaszczyzn
pokrywają się lub są trzema róŜnymi prostymi przecinającymi sie w jednym punkcie. RozwiąŜmy, posługując się tym twierdzeniem,
następujące: Zadanie 011. Dany jest ostrosłup (pyramid) czworokątny ABCDW o podstawie (base) ABCD na płaszczyźnie
α
oraz
płaszczyzna
β
określona przez punkty K,L,M leŜące odpowiednio na krawędziach AW,BW,CW (Rys.011). Wyznaczyć punkt N, w
którym płaszczyzna
β
(KLM) przecina krawędź DW. Rozwiązanie: Proste AB i KL mają punkt wspólny 1 (dlaczego?). Podobnie proste
BC i LM mają punkt wspólny 2. Punkty 1,2 leŜą równocześnie na płaszczyznach
β
i
α
. Prosta 12 jest krawędzią tych płaszczyzn.
RozwaŜmy płaszczyzny
β
,
α
,
γ
(CDW). Mamy
β
∩
α
=pr.12,
β
∩
γ
=e,
α
∩
γ
=pr.CD. Zgodnie z twierdzeniem o punkcie węzłowym proste
12, CD, e pokrywają się lub mają jeden punkt wspólny. Proste 12, CD przecinają się w punkcie 3. Prosta e musi przechodzić przez
punkt 3 i, oczywiście, przez punkt M. Jest więc wyznaczona jednoznacznie. Szukany punkt N otrzymamy w przecięciu prostych e i
DW. MoŜna sprawdzić, Ŝe proste AD, 12, KN przecinają się w jednym punkcie (dlaczego?). W oparciu o powyŜsze twierdzenie
przedstawiono konstrukcję przekroju sześcianu z sześciennym wycięciem (Rys.012A, 012B).
1. Korzystając z twierdzenia o punkcie węzłowym oraz z równoległości pewnych płaszczyzn brzegowych bryły wykreślić przekrój
(Rys.013ABCDE) bryły powstałej z sześcianu płaszczyzną określoną przez trzy punkty na krawędziach bryły (punkty leŜą w
odległości 1/2 lub 1/3 długości krawędzi od wierzchołka bryły). 2. Czy przekrój sześcianu moŜe być: trójkątem, czworokątem,
pięciokątem, sześciokątem, siedmiokątem itd. Czy przekrój ten moŜe być trójkątem równobocznym, kwadratem, pięciokątem
foremnym, sześciokątem foremnym. W przypadkach pozytywnych wykreślić te przekroje.
Rys.012A.
B
A
C
D
K
L
M
N
2
1
3
e
W
Rys.011.
