Egzamin z Algebry, 8 IX 2011
1. Zadanie wstępne
Nr
Zadanie
Odp.
1
Wyznaczyć moduł i argument główny liczby zespolonej będącej wartością
wyrażenia
1 + i
i
Rozwiązanie:
z =
1 + i
i
=
(1 + i) · (−i)
i · (−i)
= 1 − i
|z| =
q
1
1
+ (−1)
2
=
√
2
cos ϕ =
1
√
2
, sin ϕ = −
1
√
2
=⇒ ϕ = −
π
4
+ 2kπ , k ∈ Z
Arg z ∈< 0, 2π) =⇒ Arg z =
7π
4
|z|
=
√
2
,
Arg z =
7π
4
2
Dla jakiej wartości parametru p ∈ R wyznacznik macierzy A ma wartość
dodatnią?
A =
0 1 0 0
1 2 p 3
2 3 0 1
1 4 1 0
Rozwiązanie:
detA =
0 1 0 0
1 2 p 3
2 3 0 1
1 4 1 0
= 1 · (−1)
1+2
1 p 3
2 0 1
1 1 0
= −1 · (p + 6 − 1) = −p − 5
Stosujemy rozwinięcia Laplace’a względem pierwszego wiersza.
−p − 5 > 0 =⇒ p < −5
p < −5
3
Dla danych wektorów ~a = [1, 2, 3] , ~b = [1, 0, 0] oraz ~c = [0, 1, 0] obliczyć
~a ◦ (~b × ~c)
Rozwiązanie:
~a ◦ (~b × ~c) =
1 2 3
1 0 0
0 1 0
= 3
3
4
Wyznaczyć współrzędne środka elipsy: x
2
+ 9y
2
− 2x − 36y + 28 = 0 .
Rozwiązanie:
(x − 1)
2
− 1 + 9(y − 2)
2
− 36 + 28 = 0 =⇒
(x − 1)
2
9
+ (y − 2)
2
= 1
S(1, 2)
środek elipsy
S(1, 2)
5
Napisać równanie sfery o środku w punkcie P (2, 1, 1) stycznej do płaszczy-
zny π : x + 2y + 2z + 3 = 0
Rozwiązanie:
R =
|2 + 2 + 2 + 3|
√
1
2
+ 2
2
+ 2
2
=
9
3
= 3
odległość P od π
(x − 2)
2
+ (y − 1)
2
+ (z − 1)
2
= 9
równanie sfery
1
2. Rozwiązać równanie z
3
− (4 + 3i)z
2
+ (1 + 5i)z = 0 , z ∈ C
Rozwiązanie:
z(z
2
− (4 + 3i)z + (1 + 5i)) = 0
z
1
= 0
z
2
− (4 + 3i)z + (1 + 5i) = 0
∆ = (−(4 + 3i))
2
− 4(1 + 5i) = 16 + 24i − 9 − 4 − 20i = 3 + 4i
Obliczamy
w =
√
∆ =⇒ w
2
= ∆
w = x + iy , x, y ∈ R
postać algebraiczna
(x + iy)
2
= 3 + 4i
x
2
+ 2ixy − y
2
= 3 + 4i
Rozwiązujemy układ równań:
(
x
2
− y
2
= 3
2xy = 4
y =
2
x
x
2
−
4
x
2
= 3
x
4
− 3x
2
− 4 = 0
Podstawiamy t = x
2
t
2
− 3t − 4 = 0
∆ = 9 + 16 = 25
√
∆ = 5
t
1
= 4 , t
2
= −1
x
2
= t
1
=⇒ x
2
= 4 =⇒ x
1
= 2 , x
2
= −2
x
2
= t
2
=⇒ x
2
= −1 brak rozwiązań ponieważ x ∈ R
y
1
=
2
x
1
= 1
y
2
=
2
x
2
= −1
stąd w = ±(2 + i)
Obliczmy:
z
2
=
4 + 3i + w
2
=
4 + 3i + 2 + i
2
= 3 + 2i
z
3
=
4 + 3i − w
2
=
4 + 3i − 2 − i
2
= 1 + i
Odpowiedź:
Pierwiastki wielomianu:
z
1
= 0 , z
2
= 3 + 2i , z
3
= 1 + i
2
3. Wyznaczyć niewiadomą x z układu równań
2x +
y − z
+
t =
5
x +
y + z − 2t = −1
x − 2y + z
+
t =
2
x
+ z
=
3
Rozwiązanie:
Obliczamy
|A| =
2
1 −1
1
1
1
1 −2
1 −2
1
1
1
0
1
0
= {k
0
1
= k
1
−k
3
} =
3
1 −1
1
0
1
1 −2
0 −2
1
1
0
0
1
0
= 3·(−1)
1+1
1 1 −2
−2 1
1
0 1
0
=
3(4 − 1) = 9
Stosujemy rozwinięcie Laplace’a względem pierwszej kolumny.
|A
x
| =
5
1 −1
1
−1
1
1 −2
2 −2
1
1
3
0
1
0
= {k
0
1
= k
1
−3k
3
} =
8
1 −1
1
−4
1
1 −2
−1 −2
1
1
0
0
1
0
= 1·(−1)
4+3
8
1
1
−4
1 −2
−1 −2
1
=
−(8 + 2 + 8 + 1 − 32 + 4) = 9
Stosujemy rozwinięcie Laplace’a względem czwartego wiersza.
Stąd:
x =
|A
x
|
|A|
=
9
9
= 1
Odpowiedź
x = 1
3
4. Znaleźć rzut prostej l :
x − 3
1
=
y − 5
2
=
z + 1
0
na płaszczyznę π : x + 3y − 2z − 6 = 0
Rozwiązanie:
~
v = [1, 2, 0]
wektor kierunkowy prostej
~
n = [1, 3, −2]
wektor normalny płaszczyzny
wektor normalny płaszczyzny rzutującj π
1
jest równy:
−
→
n
1
= ~
v × ~
n =
i j
k
1 2
0
1 3 −2
= −4i + 3k − 2k + 2j = [−4, 2, 1]
równanie płaszczyzny π
1
:
−4x + 2y + z + D = 0
weźmy dowolny punkt prostej l np. P (3, 5, −1) . Punkt P ∈ π
1
=⇒
−12 + 10 − 1 + D = 0 =⇒ D = 3
π
1
: −4x + 2y + z + 3 = 0
Równanie rzutu prostej l na płaszczyznę π w postaci krawędziowej:
l
0
:
(
−4x + 2y + z + 3 = 0
x + 3y − 2z − 6 = 0
4
5. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez środek sfery x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x − 10y +
4z − 6 = 0 prostpadłej do płaszczyzny π : x − 3y + 4z − 8 = 0
Rozwiązanie:
Przekształcamy równanie sfery do postaci kanonicznej:
(x + 1)
2
− 1 + (y − 5)
2
− 25 + (z + 2)
2
− 4 − 6 = 0
(x + 1)
2
+ (y − 5)
2
+ (z + 2)
2
= 36
Środek sfery jest w punkcie O(−1, 5, −2) .
Wektor kierunkowy prostej jest wektorem normalnym płaszczyzny:
~
v = [1, −3, 4]
Równanie szukanej prostej:
x + 1
1
=
y − 5
−3
=
z + 2
4
6. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do powierzchni:
x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x + 4y − 6z − 11 = 0 i prostopadłych do prostej
x − 4
4
=
y − 1
3
=
z − 1
1
Odpowiedź:
l :
x + 1
1
=
y − 5
−3
=
z + 2
4
5
7. Obliczyć pole trójkąta utworzonego przez proste:
x
1
=
y
1
=
z
1
,
x − 3
0
=
y − 3
−3
=
z − 3
−6
,
x − 3
3
=
y
0
=
z + 3
−3
Rozwiązanie:
Szukamy wierzchołków trójkąta:
A :
x = y
y = z
x = 3
y−3
−3
=
z−3
−6
=⇒ A(3, 3, 3)
B :
x = y
y = z
y = 0
x−3
−3
=
z+3
−3
=⇒ B(0, 0, 0)
C :
x = 3
y−3
−3
=
z−3
−6
y = 0
x−3
−3
=
z+3
−3
=⇒ z = −3 =⇒ C(3, 0, −3)
Uwaga: punkty te są rozwiązaniami układów równań - spełnione są wszystkie cztery
równania.
Wektory rozpinające trójkąt:
−→
AB = [−3, −3, −3] ,
−→
AC = [0, −3, −6] ,
Pole trójkąta:
P =
1
2
|
−→
AB ×
−→
AC|
−→
AB ×
−→
AC =
i
j
k
−3 −3 −3
0 −3 −6
= 18i + 9k − 9i − 18j = [9, −18, 9]
P =
1
2
q
9
2
+ (−18)
2
+ 9
2
=
9
2
√
6
Odpowiedź:
Pole trójkata jest równe
9
2
√
6
6