Zestaw_01_MP 

 

Zadanie 1 

Dane są trzy wektory: 

ˆ

ˆ

ˆ

3

3 - 2

a

i

j

k





, 

ˆ

ˆ

ˆ

4

2

b

i

j

k

  



 oraz 

ˆ

ˆ

ˆ

2

2

c

i

j

k







. Proszę obliczyć: 





a

b

c





, 





a

b c





 oraz 





a

b

c





. 

Zadanie 2 

Proszę udowodnić, że jeśli suma dwóch wektorów jest prostopadła do ich różnicy, to te wektory muszą 
mieć jednakową długość. 

Zadanie 3 

Proszę wykazać, że pole trójkąta, którego dwoma bokami są wektory  a  i 

b

, jest równe 

1

2

a b



. 

Zadanie 4 

Proszę  wykazać,  że  iloczyn 





a

b c





  jest  równy  objętości  równoległościanu  zbudowanego  na 

wektorach  a , 

b

 i  c . 

Zadanie 5 

Dwa wektory, których długości wynoszą a i b, tworzą kąt 



, gdy ich początki znajdują się w jednym 

punkcie.  Proszę  wyznaczyć  ich  składowe  w  prostokątnym  układzie  współrzędnych,  a  następnie 

udowodnić, że suma  r tych wektorów ma długość 

2

2

2

cos

r

a

b

ab









. 

Zadanie 6 

Położenie  ciała  poruszającego  się  wzdłuż  osi  x  jest  dane  wzorem:  x(t)  =  3t  -  4t

2

  +  t

3

,  przy  czym  x 

wyrażone jest w metrach, a t w sekundach.  

a)  Proszę znaleźć położenie ciała w chwili t = 3 s. 
b)  Jakie jest przemieszczenie ciała od chwili t = 0 do chwili  t = 4 s? 
c)  Ile wynosi prędkość ciała w chwili t = 2 s? 
d)  Czy ciało porusza się ze stałą prędkością, czy też jego prędkość zmienia się wraz z upływem 

czasu? 

e)  Ile wynosi średnia prędkość ciała w przedziale czasu od t = 2 s do t = 4 s? 

Zadanie 7 

Pociąg A ma długość s

A

, a pociąg B ma długość s

B

. Gdy pociągi mijają się, jadąc w tę samą stronę, to 

czas, który upływa od chwili, gdy lokomotywa A dogoni ostatni wagon pociągu B do chwili, gdy ostatni 
wagon pociągu A minie lokomotywę B, wynosi t

1

. Gdy pociągi jadą w przeciwne strony, czas mijania 

wynosi t

2

. Proszę obliczyć prędkości v

A

 i v

B

 obu pociągów.