Wykorzystanie całek oznaczonych w geometrii
(wzory)
Beata Wysocka
17 marca 2013
1
Wzory dla funkcji f określonej:
y = f (x), x ∈ [a, b].
1.1
Pole pod wykresem funkcji.
|P | =
b
Z
a
f (x)dx
Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b].
1.2
Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół
osi OX.
|V | = π
b
Z
a
f
2
(x)dx
Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b].
1.3
Objętość bryły powstałej z obrotu wykresu funkcji wokół
osi OY .
|V | = 2π
b
Z
a
xf (x)dx
Założenia: funkcja f jest ciągła i nieujemna na [a, b], a ≥ 0.
1
1.4
Długość krzywej będącej wykresem funkcji.
|L| =
b
Z
a
q
1 + (f
0
(x))
2
dx
Założenia: funkcja f ma ciągłą pochodną na [a, b].
1.5
Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji
wokół osi OX.
|S| = 2π
b
Z
a
f (x)
q
1 + (f
0
(x))
2
dx
Założenia: funkcja f jest nieujemna na [a, b] i ma ciągłą pochodną na tym
przedziale.
1.6
Pole powierzchni powstałej z obrotu wykresu funkcji
wokół osi OY .
|S| = 2π
b
Z
a
x
q
1 + (f
0
(x))
2
dx
Założenia: funkcja f ma ciągłą pochodną na [a, b], a ≥ 0.
2
Wzory dla krzywej w postaci parametrycznej.
Krzywa dana jest równaniami parametrycznymi:
(
x = x(t)
y = y(t)
t ∈ [α, β]
2.1
Pole pod krzywą.
|P | =
β
Z
α
|x
0
(t)|y(t)dt
Założenia: funkcje x
0
oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna na tym
przedziale.
2
2.2
Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX.
|V | = π
β
Z
α
|x
0
(t)|y
2
(t)dt
Założenia: funkcje x
0
oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna na tym
przedziale.
2.3
Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY .
|V | = 2π
β
Z
α
x
0
(t)x(t)y(t)dt
Założenia: funkcje x, x
0
, y są ciągłe i nieujemne na [α, β].
2.4
Długość krzywej.
|L| =
β
Z
α
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
dt
Założenia: funkcje x
0
oraz y
0
są ciągłe na [α, β]
2.5
Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OX.
|S| = 2π
β
Z
α
y(t)
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
dt
Założenia: funkcje y
0
, x
0
oraz y są ciągłe na [α, β], y jest nieujemna.
2.6
Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OY .
|S| = 2π
β
Z
α
x(t)
q
(x
0
(t))
2
+ (y
0
(t))
2
dt
Założenia: funkcje x, x
0
, y
0
są ciągłe i nieujemne na [α, β].
3
3
Wzory dla krzywej określonej współrzędnymi
biegunowymi.
Krzywa dana jest równaniem biegunowym:
r = g(ϕ)
ϕ ∈ [α, β]
3.1
Pole obszaru ograniczonego krzywą.
|S| =
1
2
β
Z
α
g
2
(ϕ)dϕ
Założenia: g jest funkcją ciągłą na [α, β].
3.2
Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OX.
|V | = π
β
Z
α
(g
0
(ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ)g
2
(ϕ)sin
2
ϕdϕ
Założenia: g i g
0
są ciągłe na [α, β].
3.3
Objętość bryły powstałej z obrotu krzywej wokół osi OY .
|V | = 2π
β
Z
α
(g
0
(ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ)g
2
(ϕ)sinϕcosϕdϕ
Założenia: g i g
0
są ciągłe na [α, β].
3.4
Długość krzywej.
|L| =
β
Z
α
q
g
2
(ϕ) + (g
0
(ϕ))
2
dϕ
Założenia: g i g
0
są ciągłe na [α, β].
4
3.5
Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OX.
|S| = 2π
β
Z
α
g(ϕ)sinϕ
q
g
2
(ϕ) + (g
0
(ϕ))
2
dϕ
Założenia: g i g
0
są ciągłe na [α, β].
3.6
Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej wokół
osi OY .
|S| = 2π
β
Z
α
g(ϕ)cosϕ
q
g
2
(ϕ) + (g
0
(ϕ))
2
dϕ
Założenia: g i g
0
są ciągłe na [α, β].
4
Wyprowadzanie wzorów
Wzory dla krzywych w postaci parametrycznej oraz biegunowej można wy-
prowadzić na podstawie wzorów dla postaci y = f (x).
4.1
Algorytm dla postaci parametrycznej.
Mamy funkcję postaci y = f (x). Podstawiamy x = t, z tego mamy y = f (t).
Otrzymujemy funkcję w postaci parametrycznej :
(
x = x(t) = t
y = y(t) = f (t)
Ponadto należy zauważyć, że:
x
0
(t)dt = dx
oraz
y
0
(t)dt = f
0
(x)dx
. Znając te równości można do wzorów dla funkcji y = f (x) podstawić:
• x(t) w miejsce x,
• x
0
(t)dt w miejsce dx,
• y(t) w miejsce f (x),
•
y
0
(t)
x
0
(t)
w miejsce f
0
(x).
5
4.2
Algorytm dla postaci biegunowej.
Możemy skorzystać z faktu:
(
x = rcosϕ = g(ϕ)cosϕ
y = rsinϕ = g(ϕ)sinϕ
Otrzymaliśmy postać parametryczną. Możemy więc skorzystać z po-
przednich własności zamieniając:
• g(ϕ)cosϕ z x(t),
• g(ϕ)sinϕ z y(t),
• dϕ z dt,
• (g
0
(ϕ)cosϕ − g(ϕ)sinϕ) z x
0
(t),
• (g
0
(ϕ)sinϕ + g(ϕ)cosϕ) z y
0
(t).
6