KILKA ZADA ´
N O SZEREGACH
1. Zbada´c zbie˙zno´s´c i zbie˙zno´s´c bezwzgle
,
dna
,
szeregu
P
∞
n=1
a
n
, je´sli a
n
=
a.
(n!)
2
(2n)!
;
a
,
. (−1)
n
n+1
(n+2)
√
n
;
c.
√
n + 1 −
√
n ;
´
c.
2
n
·n!
n
n
;
d. (−1)
n(n+1)/2
√
n + 1 −
√
n
;
e.
3
n
·n!
n
n
e
,
.
1
(3n−2)(3n+1)
;
f.
1
n
√
n+1
;
g.
1
1000n+1
;
h.
1
√
(2n−1)(2n+1)
;
i.
(n!)
2
2
n
;
j.
4·7·10·...·(4+3n)
2·6·10·...·(2+4n)
;
k.
n
2
(2+
1
n
)
n
;
l.
n
5
2
n
+3
n
;
l.
n−1
n+1
n(n−1)
;
m.
n
3
(
√
2+(−1)
n
)
n
3
n
;
n.
√
n+a −
4
√
n
2
+n+b , a, b ∈ R;
´
n.
((n+1)!)
n
2!·4!·6!·...·(2n)!
;
o.
1·3·5·...·(2n−1)
2·4·6·...·(2n)
k
, k ∈ N ;
´
o.
(−1)
n
√
n+(−1)
n
;
p.
(−1)
n
n
√
n
;
r.
(−1)
n
n+(−1)
n
;
s.
n
√
a − 1 , a > 0 ;
´s.
n
√
n − 1 ;
t.
n
√
n − 1
2
;
u.
n
√
n − 1
n
;
w.
x
n
(1+x)(1+x
2
)(1+x
3
)...(1+x
n
)
, x 6= −1;
x. e−(1+1/n)
n
;
y. n
k
x
n
, x ∈ R , k ∈ N ;
z.
n!·e
n
n
n+p
, p ∈ N ;
˙z
∗
(−1)
bn
√
2c 1
n
.
2. Obliczy´c sume
,
szeregu
P
∞
n=1
a
n
, je´sli a
n
=
a.
2
n
x
2
n
1 + x
2
n
;
b.
x
2
n−1
1 − x
2
n
, x 6= ±1 ;
c. nq
n
, |q| < 1
d. n
2
q
n
, |q| < 1 ;
e.
1
n(n+1)(n+2)
;
f.
1
n(n+3)(n+6)
;
g.
1
n(n+1)(n+2)(n+3)
;
h.
1
n(n+1)(n+3)(n+4)
;
i.
1
√
n(n+1) ·(
√
n+
√
n+1)
;
j.
n
n
4
+n
2
+1
;
k. (−1)
n (2n+1)
3
(2n+1)
4
+4
=
1
3
1
4
+4
−
3
3
3
4
+4
+
5
3
5
4
+4
−
7
3
7
4
+4
+ · · · .
3. Obliczy´c sume
,
szeregu
∞
X
n=4
n − 1
n!
.
4. Obliczy´c sume
,
szeregu
∞
X
n=2
∞
X
n=2
1
k
n
!
.
5.
X
p,q≥2
1
p
q
− 1
, tu ka˙zda liczba p
q
wyste
,
puje jeden raz nawet wtedy, gdy 4
2
= 2
4
.
6. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnego szeregu zbie˙znego
∞
X
n=0
a
n
o wyrazach dodatnich istnieje taki
cia
,
g liczb dodatnich (b
n
) , kt´orego granica
,
jest ∞ , ˙ze
∞
X
n=0
a
n
b
n
jest szeregiem zbie˙znym.
Nie ma wie
,
c najwolniej zbie˙znego szeregu.
1
Indukcja, nier´owno´sci, kresy, granice cia
,
g´ow
7. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnego szeregu rozbie˙znego
∞
X
n=0
a
n
o wyrazach dodatnich istnieje cia
,
g
taki liczb dodatnich (b
n
) , kt´orego granica
,
jest 0 , ˙ze
∞
X
n=0
a
n
b
n
jest szeregiem rozbie˙znym.
Nie ma wie
,
c najwolniej rozbie˙znego szeregu.
8. Dowie´s´c, ˙ze szereg
P
a
n
jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego
cia
,
gu (b
n
) zbie˙znego do 0 szereg
P
a
n
b
n
jest zbie˙zny.
9.
Dowie´s´c, ˙ze je´sli (a
n
) jest dowolnym cia
,
giem liczb dodatnich rzeczywistych, to szereg
∞
X
n=1
a
n
(1 + a
1
)(1 + a
2
) . . . (1 + a
n
)
jest zbie˙zny. Niech P = lim
n→∞
(1+a
1
)(1+a
2
) . . . (1+a
n
)
.
Wyrazi´c sume
,
szeregu za pomoca
,
P ∈ [1, ∞] .
10. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy a > −1 .
11. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny bezwzgle
,
dnie wtedy i tylko wtedy, gdy a ≥ 0 .
12. Dowie´s´c, ˙ze je´sli szereg
∞
X
n=1
|a
n+1
− a
n
| jest zbie˙zny, to cia
,
g (a
n
) ma sko´
nczona
,
granice
,
.
Poda´c przyk lad ´swiadcza
,
cy o nieprawdziwo´sci twierdzenia odwrotnego.
13. Dowie´s´c, ˙ze je´sli (a
n
) jest ´sci´sle rosna
,
cym cia
,
giem liczb dodatnich, to szereg
∞
X
n=1
1−
a
n
a
n+1
jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy cia
,
g (a
n
) jest ograniczony.
14. Dowie´s´c, szereg
∞
X
n=1
a
n
jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego
cia
,
gu (b
n
) zbie˙znego do 0 szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbie˙zny.
15. Dowie´s´c, ˙ze je´sli
∞
X
n=1
|a
n+1
− a
n
| < ∞ , lim
n→∞
a
n
= 0 i cia
,
g sum cze
,
´sciowych szeregu
∞
X
n=1
b
n
jest ograniczony, to szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbie˙zny.
16. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbie˙zny dla ka˙zdego szeregu zbie˙znego
∞
X
n=1
b
n
wtedy i tylko
wtedy, gdy
∞
X
n=1
|a
n+1
−a
n
| <∞.
17. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=1
a
n
b
n
jest zbie˙zny dla ka˙zdego szeregu
∞
X
n=1
b
n
, kt´orego cia
,
g sum
cze
,
´sciowych jest ograniczony, wtedy i tylko wtedy, gdy
∞
X
n=1
|a
n+1
− a
n
| < ∞ i lim
n→∞
a
n
= 0.
18. Niech a
n
=
(−1)
n−1
√
n
= b
n
. Wykaza´c, ˙ze iloczyn szereg´ow
P
a
n
i
P
b
n
jest rozbie˙zny.
19. Czy ze zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
2
n
?
20. Czy ze zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
o wyrazach dodatnich wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
2
n
?
21.
∗
Czy ze zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
3
n
?
2
Indukcja, nier´owno´sci, kresy, granice cia
,
g´ow
22. Czy ze zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
o wyrazach dodatnich wynika zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
3
n
?
23. Udowodni´c naste
,
puja
,
ce twierdzenie Ces`aro: Je´sli szeregi
∞
X
n=0
a
n
i
∞
X
n=0
b
n
sa
,
zbie˙zne i dla
ka˙zdego n zachodza
,
wzory c
n
=
n
X
i=0
a
i
b
n−i
, s
n
= c
0
+ c
1
+ · · · + c
n
, to
lim
n→∞
1
n
s
0
+ s
1
+ · · · + s
n−1
=
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
.
24. Udowodni´c, ˙ze je´sli oba szeregi
∞
X
n=1
a
n
,
∞
X
n=1
b
n
i ich iloczyn sa
,
zbie˙zne, to zachodzi r´owno´s´c
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
=
∞
X
n=0
(a
0
b
n
+ a
1
b
n−1
+ · · · + a
n
b
0
) .
25. Niech s(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
i c(x) =
∞
X
n=0
(−1)
n x
2n
(2n)!
. Udowodni´c, ˙ze oba szeregi sa
,
zbie˙zne dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x .
26. Udowodni´c, ˙ze prawdziwe sa
,
r´owno´sci:
a. c(x)
2
+ s(x)
2
= 1 dla ka˙zdej liczby x ∈ R ;
b. c(x)c(y) − s(x)s(y) = c(x + y) dla dowolnych x, y ∈ R ;
c. c(x)s(y) + s(x)c(y) = s(x + y) dla dowolnych x, y ∈ R , gdzie c(x), s(x) sa
,
szeregami
zdefiniowanym w poprzednim zadaniu.
27. Dowie´s´c, ˙ze je´sli cia
,
g (a
n
) sk lada sie
,
z liczb dodatnich oraz 1 < lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
= g , to
szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny.
Wsk.: por´owna´c szereg
P
a
n
z szeregiem
P
1
n
p
, 1 < p < g .
28. Dowie´s´c, ˙ze je´sli cia
,
g (a
n
) sk lada sie
,
z liczb dodatnich oraz 1 > lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
, to
szereg
∞
X
n=0
a
n
jest rozbie˙zny.
29. Poda´c przyk lad takiego cia
,
gu (a
n
) o wyrazach dodatnich dodatnich, dla kt´orego zachodzi
r´owno´s´c lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
= 1 i szereg
∞
X
n=0
a
n
jest rozbie˙zny.
30. Poda´c przyk lad takiego cia
,
gu (a
n
) o wyrazach dodatnich dodatnich, dla kt´orego zachodzi
r´owno´s´c lim
n→∞
n
a
n
a
n+1
− 1
= 1 i szereg
∞
X
n=0
a
n
jest zbie˙zny.
31. Dowie´s´c, ˙ze je´sli nierosna
,
cy cia
,
g (a
n
) sk lada sie
,
z liczb dodatnich a szereg
∞
X
n=0
a
n
jest
zbie˙zny, to lim
n→∞
na
n
= 0 . Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?
32. Niech wyrazy szeregu zbie˙znego
P
∞
n=1
a
n
be
,
da
,
dodatnie. Udowodni´c, ˙ze dla ka˙zdego k ∈ N
zbie˙zne sa
,
r´ownie˙z szeregi
∞
X
n=1
1
n
√
a
n
i
∞
X
n=1
k
√
a
n
· a
n+1
· . . . · a
n+k−1
.
33. Dowie´s´c, ˙ze je´sli |x| ≤
1
2
, to
√
1 + x − 1 −
x
2
+
x
2
8
−
x
3
16
< 0,005 .
34. Dowie´s´c, ˙ze je´sli szereg
P
∞
n=0
a
n
jest bezwzgle
,
dnie zbie˙zny i b
n
=
a
0
+2a
1
+···+2
n
a
n
2
n+1
, to
3
Indukcja, nier´owno´sci, kresy, granice cia
,
g´ow
zachodzi r´owno´s´c
P
∞
n=0
a
n
=
P
∞
n=0
b
n
.
35. Za l´o˙zmy, ˙ze wyrazy szeregu rozbie˙znego
∞
X
n=1
a
n
sa
,
dodatnie i s
n
= a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
dla
n = 1, 2, . . . Dowie´s´c, ˙ze szereg
a.
∞
X
n=1
a
n
1+a
n
jest rozbie˙zny;
b.
∞
X
n=1
a
n
s
n
jest rozbie˙zny;
c.
∞
X
n=1
a
n
s
2
n
jest zbie˙zny;
d.
∞
X
n=1
a
n
1+n
2
·a
n
jest zbie˙zny;
e.
∞
X
n=1
a
n
1+n·a
n
mo˙ze by´c zbie˙zny lub rozbie˙zny.
36. Dowie´s´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x istnieje dok ladnie jeden taki cia
,
g liczb ca lko-
witych nieujemnych (a
n
)
∞
n=1
, ˙ze:
dla ka˙zdego n ≥ 2 zachodzi nier´owno´s´c a
n
≤ n − 1 , przy czym jest ona jest ostra dla
niesko´
nczenie wielu liczb naturalnych n , oraz x = a
1
+
1
2!
a
2
+
1
3!
a
3
+ · · · .
Dowie´s´c, ˙ze x ∈ Q wtedy i tylko wtedy, gdy dla prawie wszystkich n zachodzi r´owno´s´c
a
n
= 0 .
37. Dowie´s´c, ˙ze je´sli 0 < x ≤ 1 , to istnieje dok ladnie jeden taki cia
,
g liczb naturalnych, ˙ze
1 < k
1
≤ k
2
≤ k
3
≤ . . . oraz x =
1
k
1
+
1
k
1
k
2
+
1
k
1
k
2
k
3
+ · · · , przy czym liczba x jest wy-
mierna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna n
0
, ˙ze dla n ≥ n
0
zachodzi
r´owno´s´c k
n
= k
n
0
.
38. Czy zbie˙zno´s´c szeregu
P
a
n
wynika z tego , ˙ze dla ka˙zdej liczby p ∈ N zachodzi wz´or
lim
n→∞
(a
n+1
+ a
n+2
+ · · · + a
n+p
) = 0 ?
39. Szereg
P
∞
n=0
a
n
jest zbie˙zny. Czy wynika sta
,
d zbie˙zno´s´c szeregu:
(a) a
1
+ a
2
+ a
4
+ a
3
+ a
8
+ a
7
+ a
6
+ a
5
+ a
16
+ a
15
+ a
14
+ a
13
+ a
12
+ a
11
+ a
10
+ a
9
+
a
32
+ · · · + a
17
+ a
64
+ · · · ;
(b) a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
7
+ a
6
+ a
8
+ a
9
+ a
11
+ a
13
+ a
15
+ a
10
+ a
12
+ a
14
+ a
16
+
a
17
+ · · · + a
31
+ a
18
+ · · · + a
32
+ · · · ?
40. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=2
1
n ln n
jest rozbie˙zny.
41. Dowie´s´c, ˙ze szereg
∞
X
n=2
1
n ln
2
n
jest zbie˙zny.
42. Dla jakich a ∈ R szereg
P
∞
n=2
ln n
a
jest zbie˙zny?
43. Dla jakich a ∈ R szereg
P
∞
n=1
a
n
ln n jest zbie˙zny?
44. Dla jakich a ∈ R szereg
P
∞
n=1
a
n
e
−an
2
jest zbie˙zny?
45. Czy szereg
P
∞
n=1
(−1)
bln nc 1
n
jest zbie˙zny?
46. Niech (a
n
) be
,
dzie cia
,
giem liczb dodatnich. Udowodni´c, ˙ze naste
,
puja
,
ce trzy warunki sa
,
r´ownowa˙zne:
(i) szereg
P
∞
n=1
a
n
jest zbie˙zny;
(ii) cia
,
g (p
n
) o wyrazie p
n
= (1 + a
1
)(1 + a
2
) · . . . · (1 + a
n
) jest zbie˙zny;
(iii) istnieje taka liczba k ∈ N , ˙ze cia
,
g (q
n
) o wyrazie q
n
= (1 − a
k
)(1 − a
k+1
) · . . . · (1 − a
n
)
ma granice
,
dodatnia
,
i sko´
nczona
,
.
Uwaga. Je´sli a
n
6= 1 dla ka˙zdego n , to mo˙zna przyja
,
´c, ˙ze k = 1 .
47. Obliczy´c sume
,
szeregu
P
∞
n=1
2
n
cos nπ
5
n−1
.
48. Obliczy´c sume
,
szeregu
P
∞
n=1
2
n
(5+cos nπ)
n
.
4
Indukcja, nier´owno´sci, kresy, granice cia
,
g´ow
49. Czy szereg
P
∞
n=1
1
n
sin
(2n+1)π
4
jest zbie˙zny? Je´sli tak, to czy bezwzgle
,
dnie?
50. Wykaza´c, ˙ze szereg
P
∞
n=1
sin n jest rozbie˙zny.
51. Dowie´s´c, ˙ze ln 2 =
1
2
+
1
2
·
1
2
2
+
1
3
·
1
2
3
+
1
4
·
1
2
4
+ · · · .
52. Czy szereg
∞
X
n=1
1
n!
n
e
n
jest zbie˙zny?
53. Dowie´s´c, ˙ze je´sli n ∈ N , to zachodzi wz´or ln(n+1)−ln n = =
2
2n+1
1+
1
3
1
(2n+1)
2
+
1
5
1
(2n+1)
4
+
1
7
1
(2n+1)
6
+ · · ·
.
54. Korzystaja
,
c z wzoru z poprzedniego zadania obliczy´c ln 2 i ln 5 z dok ladno´scia
,
do pie
,
ciu
miejsc po przecinku (bez u˙zycia sprze
,
tu elektronicznego).
55. Dla jakich x ∈ R szereg jest zbie˙zny?
a.
P
∞
n=1
n
−p
x
n
, p ∈ R ;
b.
P
∞
n=1
1
n
3
n
+ (−2)
n
x
n
;
c.
P
∞
n=1
(n!)
2
(2n)!
(x + 1)
n
;
d.
P
∞
n=1
1·3·5·...·(2n−1)
2·4·6·...·(2n)
p
x
n
;
e.
P
∞
n=1
a
n
2
x
n
, a ∈ (0, 1) ;
f.
P
∞
n=1
1 +
1
n
n
2
x
n
;
g.
P
∞
n=1
1 +
1
2
+ · · · +
1
n
x
n
;
h.
P
∞
n=1
1
2
n
x
n
2
;
i.
P
∞
n=1
1
n
(−1)
b
√
nc
x
n
;
j.
P
∞
n=1
1
sin
n
n
x
n
;
k.
P
∞
n=1
1
ln n
n
1 + 2 cos
nπ
4
x
n
;
l.
P
∞
n=1
1
n
a
n
+
1
n
2
b
n
n
2
x+1
2
n
, gdzie a > 0 , b > 0 ;
m.
P
∞
n=1
1
n
10
`(n)
(2 − x)
n
, `(n) to liczba cyfr liczby n .
56. Wykaza´c, ˙ze
∞
X
n=1
arctg
2
n
2
=
3π
4
.
57. Wykaza´c, ˙ze
∞
X
n=1
arctg
1
n
2
+ n + 1
=
π
4
.
5