1
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
00510
Mechanika relatywistyczna D
Stałość prędkości światła.
Dylatacja czasu, kontrakcja długości.
RównowaŜność masy i energii.
Energia i pęd w ujęciu relatywistycznym.
Teoria względności.
Instrukcja dla zdającego
1.
Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 22
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2.
Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i sta-
łych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do od-
dawanej pracy.
3.
Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawar-
tość arkusza.
4.
Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowa-
dzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5.
Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6.
W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7.
Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8.
Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informa-
cje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9.
Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
ś
yczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Maj
ROK 2008
Dane osobowe właściciela arkusza
2
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Temat: 46
PrzybliŜony charakter mechaniki klasycznej.
1.
Mechanika, oparta na niutonowskich zasadach dynamiki, nazywa się mechaniką klasyczną.
Mechanika ta daje poprawny opis ruchów wszystkich ciał makroskopowych, z którymi mamy
do czynienia na Ziemi. śadnego doświadczenia ani Ŝadnej teorii fizycznej nie moŜna jednak
traktować jako prawdy absolutnej. UŜywając terminu „poprawny opis” mamy na myśli opis
pozostający w zgodzie z naszymi doświadczeniami i pomiarami dokonywanymi oczywiście
ze skończoną dokładnością.
2.
Mechanika klasyczna jest jedną z najdoskonalszych teorii fizycznych i jej stworzenie było
niewątpliwie triumfem myśli ludzkiej. Bez znajomości mechaniki klasycznej niemoŜliwy był-
by skok techniczny, jakiego dokonała ludzkość w ostatnich dwu stuleciach, ani teŜ ogromny
rozwój współczesnej fizyki w wieku dwudziestym.
3.
Fakt, Ŝe mechanika klasyczna wyjaśnia tak wiele zjawisk nie tylko w świecie, w którym obra-
camy się na co dzień, ale takŜe w skali naszego Układu Słonecznego, skłaniał dziewiętnasto-
wiecznych fizyków do przeceniania jej moŜliwości.. Wydawało się, Ŝe na gruncie praw me-
chaniki oraz stworzonej pod koniec XIX wieku teorii elektromagnetyzmu moŜna będzie wyja-
ś
nić wszystkie zjawiska fizyczne poczynając od zjawisk w skali atomowej, a kończąc na zja-
wiskach w skali kosmicznej. Niektórzy wielcy fizycy wręcz uwaŜali, Ŝe proces poznawania
podstawowych praw przyrody został w zasadzie zakończony. Tymczasem pod koniec wieku
XIX okazało się, Ŝe dwie podstawowe teorie fizyczne - mechanika i elektromagnetyzm - nie
są ze sobą zgodne. Wszystkie prawa mechaniki klasycznej mają identyczną postać we wszyst-
kich układach inercjalnych (jest to treść zasady względności Galileusza - Newtona). Nato-
miast podstawowe prawa teorii elektromagnetyzmu - równania Maxwella - nie mają tej wła-
ś
ciwości. Początkowo przypuszczano, Ŝe błąd tkwi w teorii elektromagnetyzmu. Starano się
więc tak ją zmodyfikować, by jej równania miały identyczną postać we wszystkich układach
inercjalnych. Zmodyfikowana teoria elektromagnetyzmu prowadziła jednak do wniosków
sprzecznych z doświadczeniem. Okazało się, Ŝe trzeba zmodyfikować nie teorię elektroma-
gnetyzmu, lecz pozornie doskonałą mechanikę klasyczną oraz wzory wiąŜące ze sobą spo-
strzeŜenia obserwatorów w róŜnych układach inercjalnych. Wykazał to w 1905 roku Einstein.
Teorię przez niego stworzoną nazywamy szczególną teorią względności, a zmodyfikowaną w
myśl teorii względności mechanikę - mechaniką relatywistyczną.
4.
Mechanika klasyczna pozostaje w doskonałej zgodzie z mechaniką relatywistyczną, we
wszystkich układach odniesienia, w których prędkości poruszających się ciał są bardzo małe
w porównaniu z prędkością światła w próŜni W zakresie prędkości ciał, porównywalnych z
prędkością światła, obie teorie prowadzą do zupełnie róŜnych wniosków.
Fakt ten stał się początkowo przyczyną wielu ataków na teorię względności. Przeciwnicy tej
teorii zarzucali jej brak logiki i niezgodność ze zdrowym rozsądkiem. Trudno im było uwie-
rzyć, Ŝe tak doskonała mechanika klasyczna moŜe zostać podwaŜona. Tymczasem to oni wy-
kazywali brak logiki i zdrowego rozsądku.
5.
Mechanika klasyczna zrodziła się z obserwacji ruchów ciał makroskopowych na Ziemi i w
Układzie Słonecznym i do opisu takich ruchów została stworzona. Brak jest jakichkolwiek
podstaw do przypuszczenia, Ŝe musi ona obowiązywać w zakresie prędkości bliskich prędko-
ś
ci światła. Trzeba sobie zdawać sprawę, Ŝe teoria względności wcale nie obala mechaniki
klasycznej, lecz jedynie kwestionuje stosowalność tej teorii w zakresie prędkości, zupełnie nie-
znanej jej twórcom.
3
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
6.
RównieŜ próby zastosowania mechaniki klasycznej do opisu mikroświata - cząstek elemen-
tarnych, atomów i cząsteczek - skończyły się niepowodzeniem. W tym zakresie mechanika
klasyczna została zastąpiona mechaniką kwantową, której początek dali Planck i Bohr. Me-
chanika kwantowa prowadzi do wniosków równie, a moŜe bardziej niezgodnych ze „zdrowym
rozsądkiem” niŜ mechanika relatywistyczna. Jednak mechanika kwantowa zastosowana do
opisu ciał makroskopowych daje zgodne wyniki z mechaniką klasyczną.
7.
Zarówno mechanika relatywistyczna, jak mechanika kwantowa są w obecnej chwili równie
dobrze ugruntowane doświadczalnie, jak mechanika klasyczna w XIX wieku. Nie da się
wręcz wyliczyć wszystkich faktów doświadczalnych, potwierdzających obie te teorie. Nie
oznacza to oczywiście, Ŝe teorie te stanowią ostatnie słowo fizyki. MoŜna jednak z całą pew-
nością stwierdzić, Ŝe Ŝadna doskonalsza teoria nie moŜe ich zastąpić, a raczej obalić, podobnie
jak ani mechanika relatywistyczna ani mechanika kwantowa nie obaliły mechaniki klasycz-
nej. KaŜda doskonalsza teoria będzie zawierać z pewnością zarówno mechanikę klasyczną,
jak i mechanikę kwantową oraz szczególną teorię względności jako przybliŜone teorie obo-
wiązujące dla określonego zakresu zjawisk. Mechanika klasyczna musi pozostać w kaŜdej
teorii fizycznej jako przybliŜona teoria ruchów ciał makroskopowych, poruszających się z
niewielkimi prędkościami.
8.
Trzeba mieć na uwadze fakt, Ŝe istnieją dwie teorie względności Einsteina: szczególna teoria
względności (skrót STW) i tak zwana ogólna teoria względności (OTW). W literaturze popu-
larnej, przez teorię względności rozumie się zazwyczaj teorię szczególną. My zajmować się
będziemy wyłącznie szczególną teorią względnością (STW) zawierającą mechanikę relatywi-
styczną, nie będziemy natomiast analizować ogólnej teorii względności (OTW), czyli teorii
grawitacji.
9.
MoŜna by się zapytać, po co sobie głowę zawracać mechaniką relatywistyczną skoro więk-
szość prędkości z Ŝycia codziennego jest znacznie mniejsza od prędkości światła. Oto kilka
przyczyn stanowiących podsumowanie niniejszego tematu:
a)
waŜnym przedmiotem badań fizyki jest światło, a światło ma prędkość v = c,
b)
teoria światła wywodzi się z teorii elektryczności. WaŜne fakty elektryczne, takie jak pole
magnetyczne i indukcja elektromagnetyczna zaleŜą od prędkości światła. Poprawne jest
stwierdzenie, Ŝe teoria elektryczności jest teorią relatywistyczną. Na przykład, najpierw trzeba
zrozumieć teorię względności, zanim moŜna naprawdę zrozumieć teorię magnetyzmu,
c)
cząstki, którymi zajmuje się fizyka jądrowa i fizyka cząstek elementarnych, poruszają się z
prędkościami zbliŜonymi (lub równymi) prędkości światła. Np. fotony i neutrina zawsze poru-
szają się z prędkością v =c,
d)
Nowoczesna astronomia ma wiele do czynienia z teorią względności. Odległe galaktyki poru-
szają się z prędkościami bliskimi prędkości światła. Nowe zjawiska, jak gwiazdy neutronowe,
pulsary, czarne dziury, wyraźnie objawiają efekty relatywistyczne,
e)
aby osiągnąć zrozumienie mechaniki kwantowej powinniśmy przedyskutować takie tematy
jak zjawisko fotoelektryczne i zjawisko Comptona, w których trzeba znać relatywistyczne
związki między energią, masą i pędem,
f)
zobaczymy, Ŝe teoria względności jawnie kłóci się ze zdrowym rozsądkiem i doświadczeniem
Ŝ
ycia codziennego, pierwsza reakcja jest: ona nie moŜe być prawdziwa ! Ze względów intelek-
tualnych i filozoficznych jest waŜne, aby taką sytuację poddać szczególnej uwadze. Nawet
dziś jest jeszcze paru intelektualistów, którzy nie akceptują wszystkich konsekwencji tej teorii.
To jest nasz pierwszy przykład zjawisk przyrody, które otwarcie naruszają zdrowy rozsądek.
4
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Temat: 47
Stałość prędkości światła.
1.
Centralnym paradoksem jest to, Ŝe prędkość światła musi być taka sama dla wszystkich
obserwatorów. Na rys. 1 pokazano przykład tego, co narusza zdrowy rozsądek i jest
sprzeczne z naszym doświadczeniem.
Pojazd kosmiczny B
r
v
B
Impuls światła
r
v
impulsu
A
ZIEMIA
Rys. 1
Obserwator A na Ziemi i obserwator B w pojeździe kosmicznym jednocześnie mierzą
prędkość tego samego impulsu światła.
Przypuśćmy, Ŝe pojedynczy impuls (czyli błysk) światła mija obserwatora A stojącego na
Ziemi. W tej samej chwili obserwator B, poruszający się z prędkością
r
v
B
, przesuwa się
obok i patrzy na ten sam impuls światła. Zgodnie z tym wszystkim, czego nauczyliśmy się
dotychczas, powinien on widzieć impuls światła biegnący wolniej, z prędkością
(1)
v
v
v
imp
imp
B
'
=
−
Jednak, gdyby przeprowadzić eksperyment, to nie tylko obserwator A zmierzyłby v
imp
= c,
gdzie c = 2 998 10
8
,
⋅
m
s
,
lecz równieŜ obserwator B zmierzyłby v
imp
'
= c i to dla tego samego impulsu, i w tej samej
chwili.
Innym przykładem byłoby dwóch obserwatorów, jeden spoczywający względem odległej
gwiazdy, a drugi poruszający się szybko ku gwieździe. Obaj uzyskują ten sam wynik:
v
c
ś
wiat a
ł
=
. Głównym punktem wyjścia w teorii względności Einsteina jest to, Ŝe prędkość
ś
wiatła jest zawsze c = 2 998 10
8
,
⋅
m
s
niezaleŜnie od prędkości obserwatora i niezaleŜnie
od prędkości źródła światła.
Einstein wytłumaczył ten „dziwny” wynik „dziwnymi” własnościami przestrzeni i czasu.
Postulował, Ŝe przestrzeń widziana przez poruszającego się obserwatora „kurczy się” w
kierunku 1
2
2
−
v
c
razy, i Ŝe czas mierzony przez poruszającego się obserwatora „zwal-
nia” tyle samo razy. Istotnie, Einstein „zoperował” przestrzeń i czas tak, aby:
∆
∆
x
t
c
'
'
=
5
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
dla dowolnego impulsu światła widzianego przez dowolnego obserwatora poruszającego
się ze stałą prędkością (x’ i t’ są przestrzenią i czasem mierzonymi przez poruszającego
się obserwatora).
2.
*Doświadczenie Michelsona - Morleya.
Dopóki w 1905 roku nie została ogłoszona teoria względności Einsteina, większość fizy-
ków rozumowała, Ŝe musi istnieć jakiś ośrodek, w którym rozchodzą się fale światła, po-
dobnie jak powietrze jest ośrodkiem, w którym rozchodzą się fale dźwiękowe. Ten ośro-
dek dla fal świetlnych został nazwany eterem. W takim przypadku układ odniesienia, któ-
ry by spoczywał względem eteru, byłby wyróŜnionym układem odniesienia. Tylko w tym
układzie odniesienia spełniona byłaby równość:
v
c
ś
wiat a
ł
=
. Dla obserwatora mającego
prędkość v względem eteru, prędkość światła, gdy obserwator porusza się w kierunku
ź
ródła światła byłaby równa (c + v). UwaŜano eter za ośrodek „fizyczny”, lecz nie mający
masy - koncepcja trudna do pojęcia, łagodnie mówiąc.
W latach osiemdziesiątych ubiegłego stulecia przeprowadzono doświadczenia, których
wyniki były spójne z zasadą, Ŝe światło biegnie z prędkością c, niezaleŜnie od prędkości
ź
ródła lub obserwatora, a więc przeczyły hipotezie istnienia eteru. PoniewaŜ Ziemia poru-
sza się z prędkością v = 30
km
s
wokół Słońca, więc zwolennicy teorii eteru uwaŜali, Ŝe
muszą być okresy w roku, kiedy Ziemia ma względem eteru prędkość co najmniej 30
km
s
(lub eter ma prędkość 30
km
s
względem Ziemi).
r
v
Z
r
v
eteru
Słońce
r
v
Z
v
Z
= 30
km
s
Rys. 2
Wówczas dla obserwatora na Ziemi (rys. 2) światło biegnące w tym samym kierunku co
eter miałoby prędkość (c + v) względem Ziemi , a światło biegnące w kierunku przeciw-
nym miałoby prędkość (c - v), gdzie v jest co najmniej równe 30
km
s
.
Zatem, zgodnie z prawem składania prędkości z punktu widzenia mechaniki Newtona,
prędkość światła będąc zmienną spowoduje, Ŝe czasy, w ciągu których promienie światła
przebędą odległość l wyniosą w obu wspomnianych przypadkach:
(1)
t
l
c
v
oraz
t
l
c
v
1
2
=
−
=
+
6
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
A jeśli światło przebywa drogę l w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu, to:
(2)
( )
t
c
l
v t
3
2
3
2
1
= ⋅
+ ⋅
skąd otrzymujemy
(3)
t
l
c
v
c
3
2
2
1
1
= ⋅
−
.
Sądząc, Ŝe t
1
, t
2
i t
3
są róŜne Michelson postanowił ujawnić te róŜnice obserwując obraz
interferencyjny W tym celu został skonstruowany specjalny interferometr, w którym bieg
promieni wzajemnie się krzyŜuje. Schemat interferometru Michelsona pokazuje rys. 3.
M’
S A M
S’
Rys. 3
Ze źródła światła S promienie świetlne padają pod kątem
π
4
na płasko - równoległościen-
ną i półprzepuszczalną płytkę A, która dzieli promienie na dwie wiązki wzajemnie prosto-
padłe. KaŜda z wiązek po odbiciu od płaskich zwierciadeł M i M’ ponownie pada na tę
samą płytkę. Część światła biegnie w kierunku źródła, a część trafia do punktu S’, w któ-
rym obserwuje się interferencję spowodowaną róŜnicą dróg przebytych przez promienie z
obu wiązek. Jeśli AM = AM’, to róŜnica dróg moŜe wyniknąć tylko wskutek róŜnego cza-
su, w ciągu którego światło pokona te odcinki, biegnąc w jedną i drugą stronę. Obracając
interferometr, moŜna uzyskać ustawienie jednego ramienia, np. AM równolegle do kie-
runku ruchu Ziemi. Wówczas czas, w ciągu którego światło pokona drogę AM tam i z
powrotem, według wzoru (1) , jest równy
(4)
t
t
t
l
v
c
= + =
⋅
−
1
2
2
2
2
1
Drugi promień przebędzie drogę AM’ tam i z powrotem w ciągu czasu 2 t
3
. Zatem róŜnica
czasów będzie wynosić:
(5)
∆
t
t
t
l
c
v
c
v
c
=
− =
⋅
−
−
−
2
2
1
1
1
1
3
2
2
2
2
7
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
PoniewaŜ ułamek
v
c
=
β
jest mały, to w przybliŜeniu
(6)
∆
t
l
c
=
⋅
β
2
Po obrocie całego interferometru o kąt
π
2
znak
∆
t zmieni się i całkowite
∆
t
0
podwoi się
(7)
∆
t
l
c
0
2
2
=
⋅
β
Wówczas powinno nastąpić przesunięcie obrazu interferencyjnego o pewną część odległo-
ś
ci między maksimami. Dokładniej: zmiana czasu przebiegu światła powinna objawić się
jako zmiana obrazu interferencyjnego (amplitudy dwóch fal mogą się odjąć i dać zmniej-
szenie natęŜenia światła). Nawet wartość tak mała jak 30
km
s
juŜ powinna dać wyraźnie
mierzalny efekt.
Jednak w doświadczenia Michelsona i Morleya nie udało się ujawnić Ŝadnego przemiesz-
czenia prąŜków w obrazie interferencyjnym, przy obrocie przyrządu o kąt
π
2
. Ujemny re-
zultat wielokrotnie powtarzanego doświadczenia Michelsona i Morleya wykazał, Ŝe pręd-
kość światła nie zaleŜy od stanu ruchu układu, w którym odbywa się pomiar. Wynik ten
jest sprzeczny z prawem składania prędkości w mechanice Newtona, która dla duŜych
prędkości jest nieprzydatna.
MoŜna by spodziewać się, Ŝe ta seria doświadczeń powinna mieć głęboki wpływ na Ein-
steina, gdy formułował swoje rozwiązanie problemu. Tak się jednak nie stało. Znacznie
więcej niepokoiły go niespójności między równaniami teorii elektromagnetyzmu i me-
chaniki klasycznej. Einstein z zainteresowaniem rozwaŜał co się stanie, gdy ktoś będzie
gonił impuls świetlny i w końcu dogoni go biegnąc z prędkością v
c
≈
. Zajmował się
więc tym problemem, jakie zmiany w klasycznych pojęciach czasu i przestrzeni trzeba
wprowadzić, aby prędkość światła wydawała się jednakowa dla wszystkich obserwatorów
i aby równania teorii elektromagnetyzmu miały taką sama formę dla wszystkich obserwa-
torów poruszających się ze stałą prędkością względem siebie.
3.
Końcowe wnioski: Jak zobaczymy, rewizja pojęć przestrzeni i czasu, dokonana przez Ein-
steina, wynika wprost z dwóch podstawowych zasad:
a)
prędkość światła jest stała dla wszystkich obserwatorów, jest największą prędkością i
Ŝ
adna cząstka z większą prędkością poruszać się nie moŜe,
b)
musi być spełniona zasada względności Galileusza - Newtona, inaczej mówiąc - nie
moŜe być wyróŜnionego układu odniesienia ani nie istnieje sposób wyznaczenia pręd-
kości bezwzględnej.
Rzeczywiście, jeŜeli zamkniemy oczy lecąc pasaŜerskim samolotem odrzutowym, bę-
dziemy odnosić to samo wraŜenie jakbyśmy byli w spoczynku. Z zasady względności wy-
nika, ze nie ma takich doświadczeń fizycznych, które moglibyśmy przeprowadzić we-
wnątrz samolotu odrzutowego, aby wyznaczyć jego prędkość. Przez „wewnątrz samolotu”
rozumiemy całkowity brak kontaktu ze światem zewnętrznym.
8
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Temat: 48
Dylatacja czasu.
1.
Analizę elementów kinematyki relatywistycznej rozpoczniemy od zastosowania dwóch postu-
latów, które noszą nazwy:
◊
zasady względności Einsteina (wszystkie prawa przyrody są takie same we wszystkich in-
ercjalnych układach odniesienia),
◊
zasady stałości prędkości światła (prędkość światła w próŜni jest taka sama we wszyst-
kich inercjalnych układach odniesienia i nie zaleŜy od ruchu źródeł i odbiorników świa-
tła).
2.
*Zrozumiemy dlaczego Einstein uwaŜał za konieczne zmienić pojęcie czasu. Zastosujemy
oba postulaty Einsteina do prostego rodzaju zegara zwanego „zegarem świetlnym”. Tworzą
go dwa równoległe zwierciadła, oddalone od siebie o stałą odległość L (rys. 1).
zwierciadła
t = 0
r
v
L
τ
⋅
c
A B
impulsy światła
Rys. 1
W kaŜdym z dwóch zegarów (rys. 1) jest zamknięty impuls światła biegający tam i z powro-
tem. Niech
τ
będzie czasem potrzebnym, aby impuls światła, który wystartował z dolnego
zwierciadła, uderzył w zwierciadło górne. Za kaŜdym razem, gdy światło uderza w zwiercia-
dło mamy „tyknięcie” zegara. Zaczynamy, gdy dwa zegary tykają synchronicznie. Czas mię-
dzy tyknięciami jest
τ
=
L
c
.
Niech teraz zegar B porusza się w prawo z prędkością
r
v ,jak na rys. 2. Najpierw moŜemy so-
bie postawić pytanie, czy będzie się wydawało, Ŝe poruszający się zegar ma taką samą długość
jak zegar A. Zgodnie z zasadą względności, obaj obserwatorzy są na równych prawach i obaj
powinni obserwować takie same efekty, to jest moŜliwe tylko wtedy, gdy dla obu obserwato-
rów oba zegary mają taką samą długość.
Pozostałą część dyskusji będziemy prowadzić z punktu widzenia obserwatora spoczywającego
względem zegara A. Taki obserwator widzi, Ŝe droga, którą impuls światła przebywa od jed-
nego końca do drugiego końca zegara B, jest dłuŜsza. Impuls światła B musi biec po przekąt-
nej (rys. 2) i zgodnie z zasadą stałości prędkości światła, musi poruszać się z taką samą pręd-
kością jak impuls światła w zegarze A.
9
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
τ
sekund później
A B
c T
⋅
c
⋅
τ
r
v
v T
⋅
Rys. 2
Tak więc, aby dotrzeć do górnego zwierciadła, impuls światła B zuŜyje więcej czasu niŜ im-
puls światła A (według obserwatora A). Nazwijmy ten dłuŜszy czas T. Wówczas długość dro-
gi po przekątnej jest równa
c T
⋅
. Stosując twierdzenie Pitagorasa (rys. 2) otrzymamy
(1)
(
)
c T
v T
c
⋅
= ⋅
+ ⋅
2
2
2
(
)
(
)
τ
, skąd mamy
(2)
T
v
c
=
−
⋅
1
1
2
2
τ
W teorii względności czynnik
1
2
2
−
v
c
występuje tak często, Ŝe nadano mu symbol
γ
.
Według spoczywającego obserwatora, czas między tyknięciami poruszającego się zegara jest
równy T, co jest dłuŜsze od
τ
, czasu między tyknięciami gdy, którykolwiek zegar spoczywa.
Musimy dojść do wniosku, Ŝe kaŜdy obserwator stwierdzi, iŜ poruszający się zegar tyka wol-
niej
γ
razy niŜ identyczny zegar spoczywający.
W równaniu (2)
τ
nazywa się czasem własnym. Jest to odstęp czasu między dwoma zdarze-
niami, które obserwator widzi tym samym punkcie przestrzeni. Wówczas T jest czasem mię-
dzy tymi zdarzeniami, zmierzonymi przez poruszającego się obserwatora (jego własnym ze-
garem).
(3)
τ
γ
= ⋅
1
T (czas własny)
Czas własny danego zegara jest czasem mierzonym przez obserwatorów, którzy poruszają się
wraz z zegarem. Obserwator poruszający się względem zegara stwierdzi, Ŝe zegar mierzy od-
stępy czasu
T
= ⋅
γ τ
według zegarów nieruchomych względem niego. Czy zegary zachowują
się w ten sposób ze względu na specjalną naturę światła ? Czy zwykłe zegary mechaniczne ,
których części poruszają się z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła, równieŜ
zwalniają w tym samym stosunku
γ
? Einstein powiedział, Ŝe tak, gdyŜ nie ma to nic wspól-
nego z naturą poszczególnego zegara - to wynika z samoistnej natury czasu.. Aby to zrozu-
10
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
mieć przypuśćmy, Ŝe zegar świetlny i zegarek ręczny razem podlegają przyspieszeniu, oba
wskazują identyczny czas. Później zostają pchnięte w bok z prędkością v i zegar świetlny
zwalnia, tak jak powinien, ale zegarek ręczny nie robi tego. Mielibyśmy wówczas prosty de-
tektor ruchu bezwzględnego: gdy zegary wskazują ten sam czas, są w spoczynku, gdy zegar
ś
wietlny spóźnia się - wiadomo, Ŝe są w ruchu. To oczywiście łamie zasadę względności, na
której opiera się cała nasza dyskusja.
Skoro dylatacja jest własnością samego czasu, nie tylko wszystkie poruszające się zegary
zwalniają, ale równieŜ wszystkie procesy fizyczne, jak np. reakcje chemiczne, są spowalniane,
gdy są w ruchu. PoniewaŜ Ŝycie polega na skomplikowanych reakcjach chemicznych, więc
Ŝ
ycie byłoby równieŜ spowolnione w tym samym stosunku. Istotnie, gdyby starzenie się bio-
logiczne nie zwalniało w tym samym tempie, moglibyśmy przyspieszyć próbkę biologiczną,
która mierzy czas (np.. bicie serca), do prędkości poruszającego się zegara świetlnego i wtedy
zegar świetlny i bicie serca nie mierzyły jednakowo czasu, mielibyśmy detektor absolutnego
czasu, znów łamiący zasadę względności Oczywiście istota ludzka lub jakakolwiek inna for-
ma Ŝycia, w szybko poruszającym się pojeździe kosmicznym nie odczułaby ani nie zaobser-
wowała spowolnienia Ŝycia wewnątrz pojazdu kosmicznego (dalsza analiza tego przypadku
nastąpi przy temacie :Paradoks bliźniąt”).
3.
PoniewaŜ wszystkie procesy fizyczne zostają spowolnione, więc równieŜ czas połowicznego
zaniku próbki promieniotwórczej musi podlegać spowolnieniu w tym samym stosunku. Ta
zmiana czasu połowicznego zaniku została zaobserwowana bezpośrednio z dokładnością ok.
1 części na 10
4
, przy uŜyciu wiązki nietrwałych cząstek poruszających się z prędkością bliską
prędkości światła Czas połowicznego rozpadu takich cząstek wzrośnie
γ
razy.
4.
Dylatację czasu zaobserwowano nie tylko za pomocą mikroskopowych „zegarów” w postaci
nietrwałych cząstek. W 1960 roku ten efekt stwierdzono stosując tzw. zegary Mössbauera.
Urządzeniem jakie moŜemy zbudować przy obecnym stanie wiedzy, najbardziej stabilnie od-
mierzającym czas jest zegar wykorzystujący zjawisko Mössbauera.
„Zegary” mössbauerowskie uŜytkują fotony z rozpadu promieniotwórczego izotopu Ŝelaza
zawartego w krysztale Ŝelaza. Dwa identyczne zegary m
¬
ssbauerowskie pokazują ten sam
czas z dokładnością jednej części na 10
16
. Przesunięcie czasu ujawnia się jako wzrost tempa
zliczeń fotonów. Wielkość zmiany tempa moŜna liczyć ilościowo. W tym doświadczeniu z
dylatacją czasu cały zegar był poddany szybkim obrotom. Stwierdzono, Ŝe zegar zwalnia
1
2
2
−
v
c
razy w stosunku do identycznego zegara mössbauerowskiego będącego w spo-
czynku.
Temat: 49
Kontrakcja długości. Jednoczesność.
1.
*Przypuśćmy, Ŝe pan X próbuje mierzyć długość metrowego pręta, który spoczywa w ukła-
dzie primowanym. Jego końce znajdują się w punktach
x
1
'
i
x
2
'
(rys. 1). Wtedy z transforma-
cji Lorentza wynikają równania:
(1)
x
x
v t
1
1
1
'
= ⋅ + ⋅ ⋅
γ
γ
(2)
x
x
v t
2
2
2
'
= ⋅ + ⋅ ⋅
γ
γ
11
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Równania (2) i (1) odejmujemy stronami
(3)
x
x
x
x
v t
t
2
1
2
1
2
1
'
'
(
)
(
)
− =
−
+ ⋅
−
γ
γ
y
y’
r
v pan X
x
1
x
2
x
x
1
'
x
2
'
x’
Rys. 1
Aby pan X mógł zmierzyć długość poruszającego się przedmiotu, uzyskując wynik, który
byłby poprawny w jego układzie odniesienia, musi dołoŜyć starań, aby zmierzyć połoŜenie
jego końców w tej samej, według niego, chwili, tj. kiedy t
1
= t
2
. Wtedy poprzednie równanie
przyjmie postać:
(4)
x
x
x
x
2
1
2
1
'
'
(
)
− =
−
γ
lub
(5)
x
x
x
x
2
1
2
1
1
− =
−
γ
(
)
'
'
Czyli długość poruszającego się pręta równa się
1
2
2
−
v
c
razy długość pręta, który spoczywa:
Wzór obowiązkowy:
(6)
l
v
c
l
ruc
y
spoczywaj cy
hom
ą
=
−
⋅
1
2
2
Równanie (6) nazywa się skróceniem Fitzgeralda - Lorentza, gdyŜ hipotezę skrócenia poda-
li niezaleŜnie od siebie G.F. Fitzgerald i H.A. Lorentz.
Zjawisko powyŜsze nazywamy równieŜ kontrakcją (skróceniem) długości.
Gdy dwóch obserwatorów mija się, kaŜdy trzymając w kierunku ruchu identyczny pręt me-
trowy, obaj „zobaczą” pręt partnera skrócony o tyle samo razy. Napisaliśmy wyraz „zoba-
czą” w cudzysłowie, poniewaŜ jest waŜne, aby mierzyć połoŜenie obu końców równocze-
ś
nie, podczas gdy w rzeczywistości, jeśli patrzymy na oba końce pręta, wystąpi pewna róŜnica
czasu ze względu na skończony czas przelotu światła.
Przykład 1
Pręt metrowy mija cię z prędkością równą 60% prędkości światła. Jak długi ci się wyda ?
(Odp. 80 cm)
12
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
2.
W mechanice klasycznej przestrzeń i czas są traktowane oddzielnie, niezaleŜnie od siebie.
Newton sądził, Ŝe istnieją absolutna przestrzeń i absolutny czas. W tamtych czasach wyobra-
Ŝ
ano sobie przestrzeń jako odnoszącą się do czegoś co zawiera przedmioty, jest stałe i nieru-
chome. O czasie Newton pisał: „Absolutny, rzeczywisty lub matematyczny czas, sam z sie-
bie , na mocy swej wewnętrznej struktury, płynie równomiernie, jednostajnie, bez odniesienia
do czegoś zewnętrznego”.
3.
Zgodnie z tym wydawało się oczywiste, Ŝe dwa zdarzenia, które są jednoczesne w jednym
układzie, są jednoczesne i w kaŜdym innym układzie odniesienia. Bez trudu moŜna się jednak
przekonać, Ŝe ta ostatnia teza jest sprzeczna z zasadą stałości prędkości światła.
K M K’ N
r
v
0
Rys. 2
RozwaŜmy ciała K i K’, które razem z odpowiednimi zegarami tworzą inercjalne układy od-
niesienia. Ciało K’ porusza się względem ciała K z prędkością
r
v
0
, skierowaną wzdłuŜ prostej
łączącej środki obu ciał (rys. 2). Na tej prostej umieszczone są ciała M i N, jednakowo odległe
od ciała K’ i sztywno z nim połączone. Ciała M i N poruszają się z prędkością
r
v
0
względem
ciała K, natomiast spoczywają względem ciała K’. RozwaŜmy w obu układach odniesienia to
samo zjawisko, polegające na emitowaniu ze środka ciała K’ sygnału świetlnego i dotarcie te-
go sygnału do ciał M i N. Prędkość światła we wszystkich kierunkach jest taka sama i równa
c. Dlatego w układzie odniesienia K’ sygnał dociera do ciał M i N w tej samej chwili czasu t’.
W układzie odniesienia K światło ma takŜe prędkość c we wszystkich kierunkach. Ciało M
porusza się na spotkanie sygnału świetlnego. Ciało N porusza się w tę samą stronę co sygnał
ś
wietlny. Dlatego sygnał wcześniej dociera do ciała M niŜ do ciała N, czyli
t
t
M
N
〈
. Widzimy,
Ŝ
e zdarzenia jednoczesne w układzie K’, nie są jednoczesne w układzie K. Wynika stąd, Ŝe
czas płynie inaczej w róŜnych układach odniesienia.
*Suplement:
Przestrzeń i czas są częściami jednej całości. Jednak czas róŜni się jakościowo od prze-
strzeni. Przejawia się to w tym, Ŝe przestrzeń czterowymiarowa róŜni się własnościami od
zwyczajnej przestrzeni trójwymiarowej. Zwykła przestrzeń ma metrykę euklidesową - kwa-
drat odległości
∆
l między dwoma punktami jest równy sumie kwadratów róŜnic współ-
rzędnych:
(a)
∆
∆
∆
∆
l
x
y
z
2
2
2
2
=
+
+
Kwadrat „odległości” między punktami świata (tę „odległość nazywamy interwałem i
oznaczamy s) jest określony wzorem:
(b)
∆
∆
∆
∆
∆
s
c
t
x
y
z
2
2
2
2
2
2
=
−
−
−
Przestrzenie, w których kwadrat odległości jest określony powyŜszym wzorem nazywamy
przestrzeniami pseudoeuklidesowymi.
13
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Interwał jest niezmiennikiem względem przekształceń współrzędnych i czasu wynikają-
cych z zastąpienia jednego układu inercjalnego drugim (jego wartość jest taka sama we
wszystkich inercjalnych układach odniesienia).
Poznamy inne niezmienniki (pęd, energię) analizując elementy dynamiki relatywistycznej.
Jakościowa róŜnica między czasem a przestrzenią przejawia się tym, Ŝe kwadrat współ-
rzędnej czasowej i kwadraty współrzędnych przestrzennych mają w wyraŜeniu (b) przeciw-
ne znaki.
Temat: 50*
Paradoks bliźniąt.
1.
Wyobraźmy sobie dwóch bliźniaków Jeden z nich (nazwiemy go A) pozostaje na Ziemi, a
drugi udaje się w kosmiczną podróŜ z wielką prędkością, tzn. porównywalną z prędkością
ś
wiatła c. KaŜdy z braci odczytuje czas na swoim zegarze: kosmonauta na zegarze statku
kosmicznego (
∆
t’), Ziemianin na zegarze ziemskim (
∆
t). Wyobraźmy sobie dalej, Ŝe ko-
smonauta wrócił na Ziemię i spotkał się ze swoim bratem. Popatrzywszy na brata wy-
krzyknął: „Jak ty się postarzałeś !”. Jeśliby bracia chcieli wyjaśnić jak długo trwała po-
dróŜ, to ustaliliby, Ŝe według czasu rejestrowanego przez kosmonautę trwała ona na przy-
kład 3 lata, a według czasu ziemskiego - 10 lat. Zgodnie ze wzorem
∆
∆
t
t
gdzie
v
c
=
−
=
'
,
1
2
β
β
, poruszający się zegar kosmonauty odmierzy czas krótszy,
niŜ zegar „nieruchomy” na Ziemi, czyli „zegar będący w ruchu opóźnia się”. W ten sposób
kosmonauta okazuje się młodszy o 7 lat od swojego brata bliźniaka Jeśli statkowi ko-
smicznemu nadamy dostatecznie duŜą prędkość, to przy
∆
t’ = 30 lat moŜemy w zasadzie
uzyskać
∆
t = 1000 lat, czyli kosmonauta po powrocie na Ziemię zastanie odległą przy-
szłość w stosunku do pokolenia, które pozostawił na Ziemi.
2.
Od razu zauwaŜmy, Ŝe podobna podróŜ w przyszłość innych ludzi, a nie w swoją własną,
nie jest sprzeczna z teorią względności i nie jest paradoksalna Na odwrót - teoria względ-
ności pokazuje jak to zrealizować. Aby
∆
t było znacznie dłuŜsze od
∆
t’, konieczne są
prędkości bliskie prędkości światła w próŜni. Ale to juŜ jest sprawą techniki, w zasadzie
STW nie zabrania kosmicznym statkom poruszania się z podobnymi prędkościami. Zgod-
nie z STW nie moŜna poruszać się z prędkością większą od c, natomiast z prędkością
dowolną, mniejszą od c - moŜna.
3.
Paradoks bliźniąt formułuje się następująco: zgodnie z STW, zresztą nie tylko STW, lecz
takŜe z mechaniką niutonowską moŜna wypowiedzieć dwa następujące stwierdzenia, rów-
noznaczne pod względem fizycznym:
⇒
kosmonauta porusza się, Ziemianin pozostaje w spoczynku,
⇒
kosmonauta nie porusza się, natomiast Ziemianin porusza się względem niego z taką
sama prędkością, lecz w przeciwna stronę.
Zgodnie z STW „młodnieje” poruszający się obserwator, wytwarza się zatem paradoksal-
na sytuacja: z jednej strony kosmonauta powinien być młodszy od Ziemianina, z drugiej
strony - Ziemianin młodszy od kosmonauty.
14
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Paradoks ten tłumaczymy w następujący sposób. Twierdzenia STW dotyczą układów in-
ercjalnych, tj. układów poruszających się cały czas jednostajnie i prostoliniowo względem
siebie. Dwaj bracia znajdujący się w róŜnych układach inercjalnych mogą spotkać się
„oko w oko” tylko jeden raz, przelatując jeden obok drugiego, po czym na zawsze juŜ roz-
staną się. Aby bracia mogli ponownie się spotkać, jeden z nich, praktycznie kosmonauta,
powinien zawrócić
Nie sposób uniknąć wówczas przyspieszonego ruchu statku kosmicznego. Aby statek
mógł wrócić z powrotem, trzeba mu nadać przyspieszenie o zwrocie przeciwnym wzglę-
dem zwrotu pierwotnej prędkości. Jednak statek poruszający się z przyspieszeniem nie jest
juŜ układem inercjalnym i w tym przypadku nie są spełnione twierdzenia szczególnej teo-
rii względności. Układ odniesienia poruszający się z przyspieszeniem (statek kosmiczny)
nie jest juŜ pod względem fizycznym równowaŜny układowi nie mającemu przyspieszenia
(Ziemia). Zgodnie z ogólna teorią względności, w układzie odniesienia poruszającym się z
przyspieszeniem czas płynie wolniej. Dlatego teŜ młodszym okaŜe się kosmonauta, gdyŜ
on właśnie porusza się z przyspieszeniem.
Praktycznie, co prawda, bardzo trudno w ten sposób zachować młodość. Wymaga to na-
dania statkowi prędkości bliskiej prędkości światła c. Aby to uzyskać musimy w długo-
trwały sposób rozpędzać statek po starcie, zatrzymać go, znowu nadać mu duŜą prędkość
podczas powrotu oraz zatrzymać go przy lądowaniu na Ziemi.
Temat: 51
Dodawanie prędkości według Einsteina.
1.
*Dotychczas omawiane były ogólne własności czasu i przestrzeni. Teraz zajmować się
będziemy cząstkami materialnymi posiadającymi masę, pęd i energię. Zasady zachowania
pędu i energii nadal będą obowiązywać, ale naleŜy zmienić klasyczne definicje pędu i
energii. Nowe, relatywistyczne definicje pędu i energii staną się oczywiście identyczne z
definicjami klasycznymi gdy v
→
0. Jedną z nowych niespodzianek będzie to, ze z kaŜdą
masą m jest związana energia zgodnie z równaniem
E
m c
= ⋅
2
. Einstein postulował, Ŝe w
1 kg kaŜdej substancji zawarte jest 9 10
16
⋅
J energii. To jest tak wielka ilość energii, Ŝe
mogłaby zasilać 100 W Ŝarówkę przez 30 milionów lat.
2.
*Dotychczas mieliśmy do czynienia z cząstkami, które spoczywały w jednym układzie
odniesienia i poruszały się z prędkością v w innym układzie odniesienia. Teraz przejdzie-
my do przypadku, gdy cząstka (obiekt) ma juŜ prędkość u
x
w jednym układzie i u
x
’ w in-
nym układzie. Przykład takiej sytuacji przedstawiono na rysunku 1.
Y’
Y
r
v
Pan X
Pan
r
u
x
Prim X
X’
Rys. 1
15
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Według pana X samochód ma prędkość
u
x
, a według pana Prima porusza się szybciej, z
prędkością
u
x
'
. Klasycznie
u
x
'
=
u
x
+ v. Wzory relatywistyczne uzyskamy przepisując od-
powiednie równania transformacji Lorentza w zmienionej postaci:
(1)
dx
dx
vdt
'
=
+
γ
γ
(2)
dt
dt
v
c
dx
'
=
+
⋅
γ
γ
2
Dzielimy teraz równanie (1) przez (2):
(3)
dx
dt
dx
vdt
dt
v
c
dx
dx
dt
v
v
c
dx
dt
'
=
+
+
=
+
+
⋅
2
2
1
Zastępując
dx
dt
i
dx
dt
'
'
odpowiednio przez
u
x
i u
x
'
otrzymamy:
Wzór obowiązkowy:
(4)
u
u
v
v u
c
x
x
x
'
=
+
+
⋅
1
2
Widać, Ŝe prędkość wypadkowa jest mniejsza od sumy prędkości składowych. Jednak,
gdy obie prędkości są znacznie mniejsze od prędkości światła, prędkość wypadkowa jest
bardzo bliska sumy ich obu.
3.
*JeŜeli teoria ma być w zgodności sama z sobą, równanie (4) musi wykluczać prędkości
większe od prędkości światła c. Wyobraźmy sobie cząstkę w układzie nieprimowanym,
która juŜ porusza się z prędkością światła, czyli foton lub neutrino, mamy więc
u
x
= c.
Wówczas obserwator w układzie primowanym będzie widział
(5)
u
c
v
v c
c
c
v
c
v
c
c
'
=
+
+
⋅ =
+
+ =
1
2
.
Widzimy, Ŝe światło (lub cokolwiek innego),biegnące z prędkością c, biegnie z tą prędko-
ś
cią dla wszystkich obserwatorów, bez względu na to, z jaka prędkością oni się poruszają.
Jak juŜ przedtem stwierdziliśmy, równania transformacji Lorentza transformują przestrzeń
i czas w taki właśnie sposób, Ŝe wiązka światła musi poruszać się z tą samą prędkością
ś
wiatła c dla wszystkich obserwatorów.
Wzór ten nazywa się wzorem Einsteina na doda-
wanie prędkości.
16
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Temat: 52
RównowaŜność masy i energii.
1.
Przewidywania Einsteina , Ŝe spoczywająca masa m powinna zawierać ogromną ilość energii
E
m c
0
2
= ⋅
, było bardzo śmiałe i miało róŜnego rodzaju konsekwencje praktyczne z energią ją-
drową i bombą jądrową włącznie. Einstein wyraził pogląd, Ŝe jeŜeli masa spoczynkowa cząstki lub
układu cząstek zostanie zmniejszona o
∆
m, to nastąpi wyzwolenie energii
∆
∆
E
m c
=
⋅
2
.
Przykład: 1
Ile energii zawiera 1 g piasku ? ( Odp.
9 10
13
⋅
J
)
2.
*Pierwszym eksperymentalnym potwierdzeniem zaleŜności Einsteina między masą i energią był
wynik porównania ilości energii wyzwolonej w rozpadzie promieniotwórczym z róŜnicą mas jądra
początkowego i produktów końcowych. Jako przykład, w jaki sposób moŜna sprawdzić
E
m c
0
2
= ⋅
w laboratorium, rozwaŜmy najprostszy przypadek rozpadu - rozpad swobodnego neu-
tronu. Stwierdzono, Ŝe swobodny neutron rozpada się na proton, elektron i antyneutrino (o zerowej
masie spoczynkowej)
n
p
e
→ + +
−
ϑ
Zaobserwowano, Ŝe produkty rozpadu maja całkowitą energię kinetyczną równa [J]. Zmierzono,
Ŝ
e masa spoczynkowa neutronu jest większa od sum mas protonu i elektronu o
13 9 10
31
,
⋅
−
[kg].
Ilość energii odpowiadająca takiemu zmniejszeniu masy jest:
E =
(
)
( ,
)
,
13 9 10
3 10
1 25 10
31
8 2
13
⋅
⋅ ⋅
=
⋅
−
−
kg
J
kg
J
.
Ta ilość energii zgadza się w granicach dokładności pomiaru z zaobserwowaną energią kinetyczną
produktów rozpadu, która wynosi równieŜ
1 25 10
13
,
⋅
−
[J].
3.
Innym przykładem wielkiej energii zawartej w masie spoczynkowej jest anihilacja elektronu i
pozytonu (rys. 1). Pozyton jest dodatnim elektronem. Elektron i pozyton w zetknięciu ze sobą ani-
hilują się wzajemnie, zmieniając się w dwa fotony. Foton jest kwantem promieniowania elektro-
magnetycznego. W omawianym przypadku energia spoczynkowa
2
2
m c
e
zostaje zamieniona w
energię promieniowania elektromagnetycznego ( m
e
jest masą spoczynkową elektronu).
Naszym trzecim przykładem jest cząstka elementarna nazywająca się mionem, która rozpada się
na elektron i dwa neutrina
µ
ϑ
−
−
→
+
e
2
Mion ma masę spoczynkową 208 razy większą niŜ elektron z tego rozpadu. Dwa neutrina mają ze-
rową masę spoczynkową. W tym przykładzie ok. 99,5 % masy spoczynkowej jest zamienione w
energię kinetyczną elektronu i dwóch neutrin.
Proces odwrotny równieŜ zachodzi - energia kinetyczna moŜe być zamieniona na masę spoczyn-
kową. Zwykle, gdy cząstka o duŜej energii kinetycznej zderza się z jądrem atomu lub pojedyn-
czym protonem, są produkowane nowe cząstki i część energii kinetycznej jest zamieniana na masę
spoczynkową nowych cząstek. W Chicago w Narodowym Laboratorium Akcelatorowym dokona-
no zderzenia protonu o energii kinetycznej 300 GeV z będącym w spoczynku protonem w komo-
rze pęcherzykowej z ciekłym wodorem. Efektem było wyprodukowanie 22 nowych cząstek, głów-
nie pionów.
Przed .... Po... foton
e
+
e
-
Rys. 1
foton
17
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
4.
Istnieje jednak powaŜne ograniczenie na to, ile energii moŜna uzyskać z konwersji (zamiany) masy
spoczynkowej. Mówi o tym podstawowe prawo natury zwane zasadą zachowania liczby bariono-
wej. Z prawa tego wynika, Ŝe całkowita liczba protonów i neutronów w próbce zwykłej materii
musi pozostawać stała. Z tego właśnie powodu nie istnieje sposób na otrzymanie z 1 g piasku
9 10
13
⋅
J
energii. Jednak w duŜym jądrze, takim jak uran, moŜna zmienić rozkład protonów i neu-
tronów tak, Ŝe masa spoczynkowa maleje ok. 0,1 %. W tym procesie zwanym rozszczepieniem ją-
drowym jądro, takie jak uran, rozpada się spontanicznie na dwa w przybliŜeniu równej wielkości
jądra i na kilka neutronów. Całkowita masa spoczynkowa produktów końcowych jest ok. 0,1 %
mniejsza niŜ masa spoczynkowa początkowa. W niespręŜystym zderzeniu dwóch cząstek lub roz-
padzie jednej cząstki, masa spoczynkowa jest oczywiście niezachowana, natomiast całkowita ener-
gia
E
m
u
c
c
j
j
=
−
⋅
∑
1
2
2
2
jest zachowana.
5.
Dla dociekliwych: WykaŜ, Ŝe jeŜeli podejmiemy próbę obliczenia prędkości, jaką uzyska elektron
pod działaniem napięcia przyspieszającego U = 0,5 MV, to wzór klasyczny
eU
m v
=
0
2
2
nie wystarcza. Jak ten problem rozwiązać prawidłowo ?
Temat: 53
Energia kinetyczna w ujęciu relatywistycznym.
1.
Definicja energii kinetycznej w teorii względności jest taka sama jak w mechanice kla-
sycznej : energia kinetyczna cząstki jest energią wynikającą z ruchu cząstki. Energię po-
chodzącą od ruchu cząstki swobodnej moŜna obliczyć stosując wzór
(1)
E
m c
v
c
k
=
⋅
−
−
0
2
2
2
1
1
1
Wzór (1) obowiązuje dla dowolnej prędkości v - zarówno dla ruchu prostoliniowego, jak i
krzywoliniowego. Wzór tren róŜni się od wzoru nierelatywistycznego:
(2) E
m v
k
=
1
2
0
2
Jednak dla prędkości v duŜo mniejszej od prędkości światła c, relatywistyczna zaleŜność
praktycznie przyjmuje postać wzoru, który podaje mechanika niutonowska.
Istotne, gdy
v
c
2
2
1
<<
moŜna przyjąć, iŜ:
(3)
1
1
1
1
2
2
2
−
≈ +
v
c
v
c
Po podstawieniu zaleŜności (3) do wzoru (1) otrzymamy
E
m v
k
=
1
2
0
2
czyli nierelatywistyczny wzór dla energii kinetycznej.
18
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
2.
Z relatywistycznej postaci wzoru dla energii kinetycznej trzeba korzystać praktycznie, gdy
v
c
>
0 2
, , a więc gdy v > 60000
km
s
. Ciała makroskopowe poruszają się zazwyczaj z pręd-
kością równą 0.2c, dlatego teŜ obliczając energię kinetyczną tych ciał uzyskamy dosta-
tecznie dokładny wynik, jeŜeli skorzystamy ze wzoru (2). W mikroświecie natomiast wy-
stępują prędkości bliskie c, wobec tego naleŜy w takich przypadkach posługiwać się rela-
tywistycznymi wzorami (1). Taki właśnie przypadek mamy w akceleratorach cząstek na-
ładowanych.
Przykład 1
Tak się złoŜyło, Ŝe jakaś cząstka ma energię kinetyczną równą swojej energii spoczynkowej. Jaka jest jej pręd-
kość?
( Odp. v = 0.866c )
Przykład: 2*
W Narodowym Laboratorium Akceleratorowym im. Fermiego w pobliŜu Chicago w USA protony są przyspie-
szane do energii 400 razy większej niŜ ich energia spoczynkowa.
a)
jaka jest prędkość tych protonów ?
b)
jaki jest stosunek E do p·c ?
( Odp. v = 0.999997c,
c
p
E
⋅
= 1 +
1
320000
)
3.
*WyraŜenie (1) na energię kinetyczną jest róŜnicą dwóch wielkości :
(4) E
m c
v
c
=
−
0
2
2
1
oraz
(5) E
m c
0
0
2
=
Jak widać, wielkość E
0
, jest szczególnym przypadkiem wielkości E, gdy v = 0, a więc jest to energia nierucho-
mego ciała. Wielkość E nazywamy energią całkowitą, a wielkość E
0
- energią spoczynkową lub energią własną.
Jak widzimy, zgodnie z teorią względności nieruchome ciało swobodne, na które nie działają siły zewnętrzne, po-
siada energię spoczynkową E
0
.
4.
Teraz przypominamy relatywistyczne określenia pędu, energii i prędkości :
(6)
p
m
v
c
v
=
−
⋅
−
1
2
1
2
(7)
E
m
v
c
c
=
−
⋅
−
1
2
1
2
2
(8) E
E
m c
k
=
+
0
2
MoŜemy znaleźć prędkość wyraŜoną przez p i E, dzieląc (6) przez (7) :
(9)
p
E
v
c
=
2
, czyli
v
pc
E
=
2
5.
MoŜemy uzyskać bardzo przydatną zaleŜność między E, p i m podnosząc do kwadratu obie strony równania (7)
(10)
( )
E
v
c
mc
2
2
2
2
2
1
⋅ −
=
(10a)
E
E v
c
m c
2
2
2
2
2
4
−
=
19
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
teraz w miejsce v podstawmy prawą stronę równania (9) :
(11) E
p c
m c
2
2
2
2
4
−
=
Przykład: 3
Energia spoczynkowa protonu jest równa 938 MeV. ZałóŜ, ze proton porusza się z prędkością 0.5c.
a)
jaka jest jego energia kinetyczna (w MeV) według mechaniki klasycznej ?
b)
jaka jest jego energia kinetyczna według mechaniki relatywistycznej ?
Temat: 54 *Relatywistyczna postać II zasady dynamiki Newtona.
1.
Odpowiednik II zasady dynamiki Newtona w STW ma taką samą postać jak w mechanice Newtona:
(1)
dp
dt
F
r
r
=
zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest równa sile zewnętrznej działającej na ciało.
Zasadnicza róŜnica jednak polega na tym, Ŝe w mechanice niutonowskiej inaczej wyraŜa się pęd aniŜeli w mecha-
nice relatywistycznej. W pierwszej z nich pędem ciała nazywa się wielkość wektorowa równa iloczynowi masy
ciała i jego prędkości:
(2)
r
r
p
mv
=
przy czym masę traktuje się jako wielkość niezmienniczą, niezaleŜną w szczególności od prędkości ciała.
Natomiast w teorii względności pęd ciała jest wielkością wektorową określoną w następujący sposób :
(3)
r
r
p
m v
v
c
=
−
0
2
2
1
We wzorze tym m oznacza masę ciał w układzie odniesienia, w którym ciało znajduje się w spoczynku ( jest to
tzw. masa spoczynkowa lub masa własna ciała ).
2.
NaleŜy pamiętać, Ŝe ze wzoru (3) wynikają dwie róŜne interpretacje. Pierwsza z nich jest szeroko rozpowszechnio-
na w literaturze popularnonaukowej i naukowej, szkolnej oraz akademickiej. Według niej pierwiastek relatywi-
styczny znajduje się w mianowniku ułamka, którego licznikiem jest masa spoczynkowa :
(4)
m
m
=
−
0
2
1
β
, gdzie
β
=
v
c
Tak otrzymana wielkość fizyczna nazywa się masą relatywistyczną lub masą w ruchu. Zatem pęd w STW moŜe
być formalnie określony podobnie jak w mechanice relatywistycznej, tj. jako iloczyn masy ciała i jego prędkości.
JednakŜe w STW przyjmuje się, iŜ masa ciała zaleŜy od jego prędkości, a więc od układu odniesienia, względem
którego rozpatruje się prędkość ciała, zgodnie ze wzorem (4).
3.
Druga interpretacja wzoru (3) występująca w literaturze naukowej z zakresu fizyki teoretycznej najlepiej odpowia-
da duchowi teorii względności. Zgodnie z nią pierwiastek relatywistyczny łączy się z wektorem prędkości, a masę
traktuje się jako wielkość niezmienniczą, równą masie spoczynkowej lub masie własnej ciała m
0
. Takie ujęcie
przyjęte jest w teorii względności, w której operuje się wielkościami wektorowymi mającymi nie trzy, lecz cztery
składowe. Są to trzy składowe przestrzenne i czwarta - składowa czasu - czyli rzut wektora na oś czasu. Takie uję-
cie prowadzi do operowania terminami czterowektorów definiowanych w przestrzeni, określanej przez fizykę teo-
retyczną jako czasoprzestrzeń lub przestrzeń Minkowskiego.
20
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
4.
Wróćmy do II zasady Newtona. Wstawiamy do wzoru (1) wzór (2), zatem :
(5)
d mv
dt
F
(
)
r
r
=
czyli
(6)
m
dv
dt
v
dm
dt
F
r
r
r
+
=
MoŜna ułatwić porównanie prawa relatywistycznego z nierelatywistycznym przedstawiając wielkość
dm
dt
-
zmianę relatywistycznej masy w jednostce czasu - w innej postaci. W tym celu skorzystamy z prawa Einsteina za-
leŜności masy m i energii E
(7)
E
mc
=
2
JeŜeli pomnoŜymy
dm
dt
przez kwadrat prędkości światła w próŜni (c
2
), to otrzymamy wyraŜenie przedstawiające
zmianę energii ciała w jednostce czasu. Zgodnie z zasadą zachowania energii powinno być ono równe pracy źró-
dła siły zewnętrznej w jednostce czasu
(8)
d mc
dt
F v
F v
(
)
cos
2
= ⋅ = ⋅ ⋅
r r
α
gdzie
α
- kąt między kierunkami wektorów siły i prędkości. Pamiętając o tym, Ŝe
dv
dt
r
wyraŜa przyspieszenie
r
a
,
moŜemy relatywistyczny odpowiednik II zasady dynamiki Newtona zapisać w ostatecznej postaci
(9)
ma
F
v
F v
c
r
r
r
r r
= −
⋅
2
Jak widzimy podstawowe prawo mechaniki relatywistycznej w istotny sposób róŜni się od nierelatywistycznej II
zasady Newtona (
m a
F
0
r
r
=
).
6.
Zgodnie ze wzorem (4) masa zaleŜy przede wszystkich od prędkości. Oznacza to, Ŝe masa ciała, tak samo jak
prędkość ciała, jest wielkością względną - zaleŜy od układu odniesienia. Masa tego samego ciała ma róŜną war-
tość w róŜnych układach odniesienia. Niezmiennicza (niezaleŜna od układu odniesienia) jest tylko masa spoczyn-
kowa m
0
, dlatego masa spoczynkowa nazywa się w STW masą własną ciała.
7.
Gdyby masa ciała była stała, to wskutek działania stałej siły przyspieszenie byłoby takŜe stałe ( na podstawie II
prawa Newtona ), co prowadziłoby do nieograniczonego wzrostu prędkości z upływem czasu. Jest to oczywiście
sprzeczne z twierdzeniem STW o ograniczonej wartości prędkości światła w próŜni.
Po prawej stronie równania (9) oprócz wektora siły
r
F
, znajduje się wektor
(
)
−
r
rr
v
Fv
c
2
, równoległy do prędkości
r
v
i (ogólnie mówiąc) nie równoległy do siły
r
F
. Wynika stąd wniosek, Ŝe wektor przyspieszenia w ogólnym
przypadku nie pokrywa się z kierunkiem wektora siły. Jak widać ze wzoru (9) te mają jednakowe kierunki tylko w
dwóch przypadkach :
a)
gdy
r r
F v
⋅ =
0
czyli gdy siła jest prostopadła do prędkości i
b)
gdy siła jest równoległa do prędkości
21
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
Temat: 55
Ogólna teoria względności.
1.
Einstein całkowicie opracował szczególną teorię względności w 1905 roku, a znaczna
część ogólnej teorii w 1911 r. Ogólna teoria względności jest w istocie nowoczesną rela-
tywistyczną teorią grawitacji.
2.
W teorii grawitacji Newtona siła
F
Gm m
r
=
1
2
2
jest siłą, która działa natychmiastowo. JeŜeli
siła działa natychmiastowo, oznacza to, Ŝe sygnał lub energia mogą być przeniesione na-
tychmiastowo z masy m
1
do masy m
2
. To przeczy jednemu z podstawowych twierdzeń teo-
rii względności, Ŝe Ŝadna z postaci energii, ani nawet Ŝaden sygnał, nie moŜe poruszać się
z prędkością większą od prędkości światła w próŜni. A więc Einstein podjął zadanie stwo-
rzenia relatywistycznej teorii grawitacji. Postanowił, Ŝe jego nowa teoria musi spełniać za-
sadę względności jak i musi z niej bezpośrednio wynikać, Ŝe masa grawitacyjna jest zaw-
sze równowaŜna masie bezwładnej. Postanowienie Einsteina doprowadziło do postulatu,
który nazywa się zasadą równowaŜności. Z zasady tej wynika, Ŝe przebywanie w polu
grawitacyjnym jest równowaŜne ze znajdowaniem się w poruszającym się z przyspiesze-
niem układzie odniesienia. Na przykład, pasaŜer w rakiecie w czasie startu i przyspieszenia
w górę odnosi wraŜenie, Ŝe to grawitacja nagle wzrosła . W rakiecie startującej z Ziemi z
przyspieszeniem a = 2g pasaŜerowie i wszystko inne waŜyłoby trzy razy tyle co normalnie.
Ta „pseudograwitacyjna” siła jest wprost proporcjonalna do masy bezwładnej. śadne do-
ś
wiadczenie fizyczne wykonane wewnątrz rakiety, nie mogłoby wyjaśnić pasaŜerom, czy
to siła grawitacyjna Ziemi wzrosła trzykrotnie, czy teŜ rakieta porusza się z przyspiesze-
niem względem Ziemi.
3.
Einstein wprowadził matematycznie zasadę równowaŜności do ogólnej teorii względności
stosując metody matematyczne znacznie wykraczające poza zakres tego kursu. W tym opi-
sie matematycznym kaŜda masa „odkształca” bliski sobie obszar przestrzeni wobec tego
wszystkie poruszające się swobodnie przedmioty mają tory zakrzywiające się ku masie,
która spowodowała odkształcenia. Równania Einsteina wiąŜą wielkość krzywizny z mocą
(lub masą) źródła. Klasycznie powiedzielibyśmy, Ŝe kaŜdy przedmiot poruszający się po
torze krzywoliniowym podlega przyspieszeniu i jest pod działaniem jakiejś siły. Właśnie to
przyspieszenie, które w ogólnej teorii względności jest własnością przestrzeni, jest wyja-
ś
nieniem zjawiska grawitacji. PoniewaŜ to przestrzeń jest „odkształcona”, więc wpływ na
wszystkie masy bezwładne jest taki sam i zasada równowaŜności jest automatycznie speł-
niona.
4.
Jedną z konsekwencji tej teorii jest powiększenie długości fali światła wysyłanego ze źró-
dła mającego masę. To zjawisko nazywa się grawitacyjnym przesunięciem ku czerwieni.
Przesunięcie to obserwuje się dla linii widmowych Słońca i cięŜkich gwiazd. Tak więc,
tyknięcia zegara atomowego na powierzchni Słońca następują po sobie wolniej niŜ takiego
samego zegara atomowego na powierzchni Ziemi. Jak moŜna się spodziewać, ogólna teo-
ria względności przewiduje, Ŝe wszystkie zegary będą chodzić wolniej w obecności pola
grawitacyjnego. Rzeczywiście, gdy dwa zegary znajdują się w pobliŜu powierzchni Ziemi,
umieszczone jeden o 1 m wyŜej niŜ drugi, to zegar niŜszy powinien chodzić wolniej o jed-
ną część na 10
16
. W 1960 roku zbudowano po raz pierwszy wzorce częstości dające taką
dokładność. Wykorzystano do tego fotony emitowane z promieniotwórczych jąder Ŝelaza
22
00510 Mechanika relatywistyczna D
TEORIA
wbudowanych w kryształ. Zjawisko, które umoŜliwia tak dokładne pomiary częstości, na-
zywa się zjawiskiem Mössbauera.
5.
Przedtem trudno było przeprowadzić doświadczalne sprawdzenie ogólnej teorii względno-
ś
ci. Przy uŜyciu jednak nowych wzorców częstości wykazano w doświadczeniu laborato-
ryjnym, Ŝe grawitacja spawalnia bieg czasu. Pierwsze takie doświadczenia zostały prze-
prowadzone w 1960 r. w Uniwersytecie Harvarda w USA na wieŜy wysokości ok. 21 m.
6.
Innym efektem przewidzianym przez ogólną teorię względności jest zakrzywienie ku środ-
kowi Słońca wiązki światła przebiegającej w pobliŜu powierzchni Słońca. Aby obliczyć si-
łę grawitacyjną między Słońcem a fotonem poruszającym się z prędkością światła jest po-
trzebna ogólna teoria względności. Tylko w czasie zaćmień Słońca moŜna widzieć gwiaz-
dy, które mają pozorne połoŜenie na niebie w bliskości Słońca. Zaobserwowano, Ŝe poło-
Ŝ
enia przesuwają się o wartość przewidzianą przez Einsteina.
7.
Innym przewidywaniem ogólnej teorii względności, które aŜ do lat siedemdziesiątych wy-
dawało się raczej fantastyczne, było to, Ŝe w rozsądnie normalnych warunkach, gdy
gwiazda zuŜyje swoje paliwo energetyczne (termojądrowe), zapadnie się. To zapadnięcie
będzie tak katastrofalne, Ŝe ostatecznym rezultatem będzie „czarna dziura”. Mówiąc „czar-
na dziura” mamy na myśli, Ŝe ani światło ani inne sygnały nie mogą wyjść bardzo daleko
poza powierzchnię gwiazdy. Taka gwiazda nagle i całkowicie zniknie i nigdy juŜ jej nie
zobaczymy. Teoria i stan badań doświadczalnych dotyczących czarnych dziur jest przed-
miotem zainteresowań astrofizyki.
8.
Jeszcze innym przewidywaniem, wynikającym z ogólnej teorii względności, jest to, Ŝe
ulegająca przyspieszeniu masa (taka jak zapadająca się gwiazda lub gwiazda w zderzeniu z
inną gwiazdą) będzie wysyłać fale grawitacyjne, podobnie jak przyspieszający ładunek
elektryczny wysyła promieniowanie elektromagnetyczne. Ostatnio zbudowano detektory
fal grawitacyjnych dostatecznie czułe, by mogły wykryć bliską supernową.
9.
Kosmologia. Ogólna teoria względności ma wiele do powiedzenia w gałęzi astrofizyki
nazwanej kosmologią. Kosmologia zajmuje się problemami pochodzenia, wielkości i
struktury Wszechświata. Niektóre z tych problemów to: czy wielkość Wszechświata jest
skończona czy nieskończona? Czy Wszechświat się rozszerza? Jak i kiedy został uformo-
wany nasz układ słoneczny i galaktyka? Ile jest galaktyk, jak są one rozłoŜone w prze-
strzeni? Aby zrozumieć kosmologię trzeba poznać nie tylko teorię względności, ale na-
uczyć się elementów fizyki jądrowej.