1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Elektrotechnika
Studia Niestacjonarne
Semestr IV
Lista Zadań Nr 19
CAŁKA PODWÓJNA
Zad.1 Wyznaczyć granice całkowania w całce
∫∫
D
dxdy
y
x
f
)
,
(
, jeśli:
a)
D jest trójkątem o wierzchołkach:
)
4
,
2
(
),
1
,
1
(
,
)
3
,
1
(
−
−
−
C
B
A
b)
D jest ograniczony krzywymi:
7
,
6
=
+
=
y
x
xy
c)
D jest ograniczony krzywymi:
(
)
0
,
,
0
,
4
,
2
2
2
2
≥
=
=
+
−
=
y
x
x
y
x
x
x
y
d)
D jest ograniczony krzywą:
0
60
6
4
2
2
=
−
+
−
+
y
x
y
x
e)
D jest ograniczony parabolą
x
y
2
2
=
i prostą
0
4 =
−
−
y
x
f)
D jest ograniczony krzywymi:
π
=
=
=
+
=
2
,
0
,
0
,
sin
2
y
y
x
y
x
g)
D jest ograniczony krzywymi:
1
,
,
=
=
=
−
x
e
y
e
y
x
x
h)
D jest ograniczony liniami:
2
2
,
2
x
x
y
x
y
−
=
−
=
i)
D jest ograniczony liniami:
2
2
1
,
1
x
y
x
y
−
−
=
−
=
Zad.2 W podanych całkach iterowanych zmienić granice całkowania:
a)
dy
dx
y
x
f
y
y
∫ ∫
−
−
−
2
6
2
1
4
2
)
,
(
b)
∫
∫
π
2
sin
0
)
,
(
x
dy
y
x
f
dx
c)
∫
∫
−
−
2
2
2
1
1
2
2
)
,
(
y
y
dx
y
x
f
dy
d)
∫
∫
−
x
dy
y
x
f
dx
0
1
1
)
,
(
e)
dx
dy
y
x
f
a
x
ax
x
∫
∫
−
0
2
2
)
,
(
f)
∫
∫
−
x
x
x
dy
y
x
f
dx
2
4
4
0
2
)
,
(
g)
∫
∫
−
−
−
0
1
1
1
2
)
,
(
x
dy
y
x
f
dx
h)
dx
dy
y
x
f
x
x
∫ ∫
−
2
0
2
2
2
)
,
(
i)
∫
∫
x
x
dy
y
x
f
dx
2
2
0
)
,
(
Zad.3 Obliczyć następujące całki:
a)
∫∫
D
dxdy
y
x
, gdzie D – obszar ograniczony liniami:
2
,
1
,
4
,
2
x
y
y
x
x
=
=
=
=
b)
∫∫
D
dxdy
y
x
2
2
, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:
2
,
0
,
4
,
3
=
=
=
=
y
y
x
x
oraz hiperbolą
x
y
1
=
c)
∫∫
D
dxdy
x
2
, gdzie D – obszar ograniczony liniami:
y
x
y
y
x
sin
2
,
2
,
0
,
0
+
=
π
=
=
=
d)
∫∫
+
D
y
x
dxdy
e
, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:
1
,
0
,
1
,
0
=
=
=
=
y
y
x
x
2
e)
∫∫
D
dxdy
x
2
, gdzie D – obszar spełniający nierówność:
1
≤
+
y
x
f)
(
)
∫∫
+
D
y
x
dxdy
2
, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:
2
,
1
,
4
,
3
=
=
=
=
y
y
x
x
g)
∫∫
+
D
dxdy
y
x
x
2
2
, gdzie D – obszar ograniczony liniami:
x
y
x
y
=
=
,
2
2
h)
∫∫
+
D
dxdy
y
x
)
sin(
, gdzie D – obszar ograniczony liniami:
2
,
,
0
π
=
+
=
=
y
x
x
y
y
i)
∫∫
−
D
dxdy
x
y
x
)
(
2
, gdzie D – obszar ograniczony liniami:
2
2
,
x
y
y
x
=
=
Zad.4 Korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych w całce podwójnej obliczyć:
a)
∫∫
D
dxdy
y
x
2
, gdzie D – obszar ograniczony liniami:
2
2
,
0
x
ax
y
y
−
=
=
b)
∫∫
D
dxdy
y
x
arctg
, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:
0
,
0
=
=
y
x
i okręgiem o równaniu
1
2
2
=
+
y
x
, przy czym
0
,
0
≥
≥
y
x
c)
∫∫
+
D
dxdy
y
x
2
2
, gdzie D – obszar ograniczony prostymi:
x
y
x
y
3
,
=
=
i okręgiem o równaniu
1
2
2
=
+
y
x
d)
∫∫
D
dxdy
xy
, gdzie D – jest ćwiartką koła
(
)
0
,
0
,
1
2
2
≥
≥
≤
+
y
x
y
x
e)
∫∫
D
dxdy
y
x
2
na obszarze
≤
+
≥
≥
=
1
,
0
,
0
:
)
,
(
2
2
2
2
b
y
a
x
y
x
y
x
D
f)
(
)
∫∫
+
+
D
dxdy
y
x
2
2
1
ln
, gdzie
{
}
x
y
y
x
y
x
y
x
D
≥
≥
+
≤
+
=
,
1
,
4
:
)
,
(
2
2
2
2
g)
∫∫
−
−
D
dxdy
y
x
2
2
4
, gdzie D :
x
y
x
2
2
2
≤
+
h)
(
)
∫∫
+
+
D
dxdy
y
x
y
x
2
2
2
2
ln
, gdzie
{
}
2
2
2
1
:
)
,
(
e
y
x
y
x
D
≤
+
≤
=
i)
(
)
∫∫
+
D
dxdy
y
x
2
2
, gdzie
{
}
0
,
:
)
,
(
2
2
≥
≤
+
≤
=
y
x
y
x
y
y
x
D
j)
(
)
∫∫
+
D
dxdy
y
x
2
2
, gdzie obszar D jest ograniczony okręgiem o równaniu
ay
y
x
2
2
2
=
+
k)
∫∫
+
D
dxdy
y
x
2
2
cos
, gdzie D – obszar ograniczony okręgami:
2
2
2
4
1
π
=
+
y
x
oraz
2
2
2
π
=
+
y
x
3
l)
∫∫
−
−
D
y
x
dxdy
e
2
2
, gdzie D obszar ograniczony okręgiem
2
2
2
a
y
x
=
+
Zad.5 Obliczyć pola obszarów płaskich ograniczonych krzywymi:
a)
x
y
x
x
y
=
−
=
,
2
b)
0
,
3
,
4
2
=
=
+
=
y
y
x
x
y
c)
0
4
,
2
2
2
2
2
=
−
+
=
+
y
y
x
y
y
x
d)
5
3
,
0
3
,
8
,
4
=
−
=
−
=
+
=
+
y
x
y
x
y
x
y
x
e)
4
,
2
,
2
2
=
=
=
−
y
y
y
x
x
f)
5
,
4
=
+
=
y
x
xy
g)
x
y
y
x
9
5
,
25
3
2
2
=
=
h)
0
2
,
,
0
2
2
=
−
+
=
=
x
y
x
x
y
y
i)
1
,
,
2
=
=
=
x
e
y
e
y
x
x
j)
0
2
,
,
1
2
2
=
+
+
−
=
−
=
y
y
x
x
y
y
k)
1
,
2
3
+
+
−
=
=
x
x
y
x
y
l)
x
y
x
x
y
e
y
x
−
=
=
=
=
1
,
2
,
ln
,
m)
0
,
2
,
=
=
+
=
y
y
x
x
y
n)
2
,
1
,
=
=
=
y
x
y
x
y
UWAGA: Pole
D
obszaru regularnego D leżącego w płaszczyźnie XOY wyraża się wzorem:
∫∫
=
D
dxdy
D
Zad.6 Prosta
25
=
y
dzieli obszar ograniczony krzywymi:
x
y
x
y
12
,
3
2
=
=
na dwie części. Obliczyć
stosunek pól obu części.