WM

Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 25

1

Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – 

ZADANIE 25

Z5/25.1. Zadanie 25

Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku 

Z5/25.1. Wymiary belki podane są w metrach.

A

B

C

D

12,0 kN

24,0 kN/m

6,0

2,0

2,0

[m]

Rys. Z5/25.1. Belka prosta

Z5/25.2. Analiza kinematyczna belki

Rysunek Z5/25.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę 

sztywną.

1

2

3

I

A

C

D

Rys. Z5/25.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna

Jak widać na rysunku Z5/25.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta 

trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został 
więc   spełniony  warunek   konieczny  geometrycznej   niezmienności   (2.4).   Belka   może  więc   być   układem 
geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym. 

Tarcza numer  I jest  podparta trzema prętami  podporowymi  numer 1, 2 i 3, których  kierunki  nie 

przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej nie-
zmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.

Z5/25.3. Wyznaczenie reakcji podporowych

Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty. 

Rysunek Z5/25.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki. 

Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na 

belkę na oś poziomą X.



X =H

A

=

0

H

A

=

0,0 kN

.

(Z5/25.1)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 25

2

A

B

C

D

12,0 kN

24,0 kN/m

6,0

2,0

2,0

[m]

X

Y

V

A

H

A

V

C

Rys. Z5/25.3. Założone zwroty reakcji podporowych

Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających 

na belkę względem punktu C.



M

C

=

V

A

⋅

8,0−

1
2

⋅

24,0⋅6,0⋅



2,0

2
3

⋅

6,0





12,0⋅2,0=0

V

A

=

51,0 kN

.

(Z5/25.2)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

Pionową reakcję na podporze C otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających 

na belkę względem punktu A.



M

A

=−

V

C

⋅

8,0

1
2

⋅

24,0⋅6,0⋅

1
3

⋅

6,012,0⋅10,0=0

V

C

=

33,0 kN

.

(Z5/25.3)

Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.

W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił 

działających na belkę na oś pionową Y.



Y =V

A



V

C

−

1

2

⋅

24,0⋅6,0−12,0=51,033,0−72,0−12,0=0

.

(Z5/25.4)

Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się 
w równowadze.

Rysunek Z5/25.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej 

belki.

Z5/25.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB

Rysunek Z5/25.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.

W dalszej części przy wyznaczaniu  postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu 

zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:

•

siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać 
z minusem

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 25

3

•

siły,   które   działają   przeciwnie   do   dodatniego   zwrotu   siły  normalnej   lub   poprzecznej   będziemy 
zapisywać z plusem

•

siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy 
zapisywać z minusem

•

siły  i   momenty   skupione,   które   kręcą   przeciwnie   do   dodatniego   zwrotu   momentu   zginającego 
będziemy zapisywać z plusem.

A

B

C

D

12,0 kN

24,0 kN/m

6,0

2,0

2,0

[m]

51,0 kN

33,0 kN

Rys. Z5/25.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej

B

C

D

12,0 kN

x

2,0

2,0

[m]

33,0 kN

q(x)

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z5/25.5. Siły działające w przedziale AB

Funkcja obciążenia ciągłego trójkątnego prostopadłego do osi belki będzie miała, zgodnie ze wzorem 

(5.3), postać

q



x



=

24,0

6,0

⋅

x=4,0⋅x

.

(Z5/25.5)

Jak widać na rysunku Z5/25.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy 

z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta 
ma postać

T



x



=−

33,012,0

1

2

⋅

q



x



⋅

x =−21,0

1
2

⋅

4,0⋅x⋅x=−21,02,0⋅x

2

.

(Z5/25.6)

Funkcja siły poprzecznej jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej 
wartości w trzech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału wynoszą

T



0,0



=−

21,0 kN

T



6,0



=−

21,02,0⋅6,0

2

=

51,0 kN

.

(Z5/25.7)

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 25

4

Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc w prze-
dziale AB miejsce zerowe, które znajduje się w odległości

−

21,02,0⋅x

0

2

=

0

x

0

=

3,240 m

(Z5/25.8)

od początku przedziału czyli od punktu B. Współczynnik przy x

2

 jest dodatni więc parabola siły poprzecznej 

będzie miała „brzuszek” w dół. Ekstremum tego wykresu znajduje się w punkcie B, w którym obciążenie 
trójkątne ma wartość zero.

Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą 

część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający. 

M



x



=

33,0⋅



x2,0



−

12,0⋅



x4,0



−

1
2

⋅

q



x



⋅

x⋅

1
3

⋅

x=21,0⋅x18,0−

1
2

⋅

4,0⋅x⋅x⋅

1
3

⋅

x

M



x



=−

2

3

⋅

x

3



21,0⋅x18,0

.

(Z5/25.9)

Funkcja   momentu   zginającego   jest   wielomianem   trzeciego   stopnia   i   aby   ją   jednoznacznie   narysować 
potrzebujemy jej wartości w czterech punktach. Wartości tej funkcji na końcach przedziału oraz w miejscu 
ekstremum wynoszą

M



0,0



=

18,0 kNm

M



3,240



=−

2

3

⋅

3,240

3



21,0⋅3,24018,0=63,37 kNm

M



6,0



=−

2
3

⋅

6,0

3



21,0⋅6,018,0=0,0 kNm

.

(Z5/25.10)

Jak wiadomo dodatni momenty zginające rozciągają dolną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
dole. Czwartym punktem funkcji będzie fakt, że „brzuszek” jej musi być skierowany w stronę obciążenia 
trójkątnego czyli w dół. 

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania rów-

nowagi (5.31) i (5.32). Pierwsze z nich ma postać

dT



x



dx

=

4,0⋅x=q



x



.

(Z5/25.11)

Drugie ma postać

dM



x



dx

=

21,0−2,0⋅x

2

=−

T



x



.

(Z5/25.12)

Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale  AB   przedstawia   rysunek 

Z5/25.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 25

5

Z5/25.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC

Rysunek Z5/25.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. 

C

D

12,0 kN

x

2,0

[m]

33,0 kN

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z5/25.6. Siły działające w przedziale BC

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa. 

Jak   widać   na   rysunku   Z5/25.6   funkcja   siły   normalnej   w   tym   przedziale   jest   równa   także   zero.   Siła 
poprzeczna ma postać

T



x



=−

33,012,0=−21,0 kN

.

(Z5/25.13)

Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać

M



x



=

33,0⋅x−12,0⋅



x2,0



=

21,0⋅x−24,0

.

(Z5/25.14)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej 
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

M



0,0



=−

24,0 kNm

M



2,0



=

21,0⋅2,0−24,0=18,0 kNm

.

(Z5/25.15)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze, dodatnie zaś na dole.

Oś   X   układu   współrzędnych   jest   skierowana   w   lewo,   zastosujemy   więc   różniczkowe   równania 

równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=

21,0=−T



x



.

(Z5/25.16)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale   BC   przedstawia   rysunek 

Z5/25.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Z5/25.6. Funkcje sił przekrojowych w przedziale CD

Rysunek Z5/25.7 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale CD. Na rysunku tym 

są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe. 

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 25

6

D

12,0 kN

x

N(x)

T(x)

M(x)

X

Rys. Z5/25.7. Siły działające w przedziale CD

A

B

C

D

12,0 kN

24,0 kN/m

6,0

2,0

2,0

[m]

51,0 kN

33,0 kN

T(x) [kN]

M(x) [kNm]

2,760

3,240

2,760

3,240

51

,0

21,0

12,0

0,

0

18

,0

24

,0

0,

0

63

,3

7

Rys. Z5/25.8. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej

Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa. 

Jak   widać   na   rysunku   Z5/25.7   funkcja   siły   normalnej   w   tym   przedziale   jest   równa   także   zero.   Siła 
poprzeczna ma postać

T



x



=

12,0 kN

.

(Z5/25.17)

Moment zginający w przedziale CD będzie miał postać

M



x



=−

12,0⋅x

.

(Z5/25.18)

Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej 
wartości w dwóch punktach. Wynoszą one

Dr inż. Janusz Dębiński

WM

Z5/25. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH - 

ZADANIE 25

7

M



0,0



=

0,0 kNm

M



2,0



=−

12,0⋅2,0=−24,0 kNm

.

(Z5/25.19)

Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na 
górze.

Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania rów-

nowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać

dM



x



dx

=−

12,0=−T



x



.

(Z5/25.20)

Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.

Wykresy  funkcji   siły  poprzecznej   i   momentu   zginającego   w   przedziale   CD   przedstawia   rysunek 

Z5/25.8. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.

Dr inż. Janusz Dębiński