Egzamin z algebry liniowej 1A, zadania

1. [5 pt.] Pªaszczyzny Π

1

i Π

2

zadane s¡ równaniami −x + 3y + z − 1 = 0 oraz x − 3y − z − 2 = 0. Uzasadnij, »e

pªaszczyzny te s¡ równolegªe, oraz znajd¹ odlegªo±¢ pomi¦dzy nimi.

2. [5 pt.] Znajd¹ jakiekolwiek dwa wektory wªasne macierzy

µ

1

1

−2 4

¶

takie, »e zbudowany na nich równolegªobok ma pole 2010.

3. [5 pt.] Rozwi¡» równanie macierzowe:

µ

1

−1

−2

3

¶

X

µ

2 −1
3 −2

¶

=

µ

5

−3

−2

5

¶

.

4. [5 pt.] Znajd¹ liczb¦ zespolon¡ z tak¡, »e Re(¯z/(1 + i)) = 2 oraz Im[(z + 1)(1 + i)] = −3. Uªó» w tym celu i

rozwi¡» metod¡ wyznaczników ukªad równa«.

5. [5 pt. ] Dla jakich macierzy diagonalnych D (rozmiaru 2 × 2) obrazem hiperboli xy = 1 przez przeksztaªcenie

liniowe zadane macierz¡ D jest ta sama hiperbola? Znajd¹ wszystkie takie macierze.

6. [5 pt.] W równolegªoboku ABCD dªugo±ci boków wynosz¡ |AB| = 3, |AD| = 2, za± k¡t w wierzchoªku A ma

miar¦ π/3.

(a) Znajd¹ wspóªrz¦dne wierzchoªków tego równolegªoboku w tak dobranym ukªadzie, »e A jest jego pocz¡tkiem,

B

le»y na dodatniej póªosi Ox, za± D le»y we wn¦trzu pierwszej ¢wiartki.

(b) Niech P b¦dzie ±rodkiem boku BC za± Q ±rodkiem AB. Wyprowad¹ równania prostych AP i DQ.

(c) Znajd¹ wspóªrz¦dne punktu S przeci¦cia prostych AP i DQ.

(d) Wylicz stosunek w jakim punkt S dzieli odcinek AP .

1