Inżynieria Środowiska

2008/09 sem. zimowy

Wykład 5

30  10  2008

Prawo powszechnego ciążenia - prawo Newtona

M

m

r



F



F = − G

M m

r

2 

r

r

dla mas punktowych M, m

 

G = 6,67 ⋅10

−

11

m

3

kg s

2

stała grawitacji

M

m

r =r 

i

r



F



F = − G

M m

r

2 

r

r

M

m

r



F



F = − G

m M

r

2 

r

r



F =F r  i

r



i

r

=

r

r



i

r



i

r



F



F



F



F



F

masa – 
centrum siły

Siła centralna



E



E



E

m

m



F



F



F

M

natężenie pola grawitacyjnego 

masy punktowej M



E =



F

m

=−

G

M

r

2

r

r



E

1



E

1



E

1



E

1



E

2



E

2



E

2



E

2



E

2



r

2



r

1

M

linie sił

E = const

M

1

m



r

1



F

1



r

2



F

2

M

2



F

w



F

w

= 

F

1 

 

F

2



F

w

=

−

G M

1 

m

r

1

2



r

1

r

1



−

G M

2 

m

r

2

2



r

2

r

2

niezależność oddziaływań grawitacyjnych



E

w

=



F

w

m

=

1 

m



−

G M

1 

m

r

1

2



r

1

r

1



−

G M

2 

m

r

2

2



r

2

r

2





E

w

= 

E

1 

 

E

2

r

M

m

punktowa masa M

źródło pola

położenie
początkowe

praca = W

praca = W'

praca = W

W = W'

!!!

położenie
końcowe

∞

grawitacyjna energia potencjalna masy m

w polu masy M

E

pr

=

E

p



r  =

−

G M m

r

potencjał pola grawitacyjnego

V =

E

p



r 

m

=

−

G M

r

r

V r 

M

potencjał pola grawitacyjnego wielu mas punktowych



r

1



r

2

M

1

M

2

położenie
początkowe

V =

∑

i

V

i

położenie
końcowe

∞

pole grawitacyjne jednorodnej kuli

R

M

x

xR

E = −

GM

x

2

V = −

GM

x

x  ∞⇒ E  0

x  ∞⇒V  0

Energia mechaniczna w polu grawitacyjnym



V

R

M

m

x

E

c

=

E

k



E

pg

=

mV

2

2 

−

G M m

x

satelita w polu grawitacyjnym Ziemi



V

R

M

m



F

g

mV

2

r

=

G M m

r

2

x

x =r

I prędkość kosmiczna

M

m

V

I

R

V

I

=



G M

R

II prędkość kosmiczna

M

m

V

II

=



2 G M

R

R

V

II

m a = m

d

2

x

dt

2

= −

k x

dynamiczne równanie oscylatora harmonicznego

d

2

x

dt

2

= −

k

m

x = −

2 

x

x t  = Asin t

kinematyczne równanie oscylatora harmonicznego

x t 

A



t



wychylenie z położenia równowagi

 

amplituda

faza

faza początkowa

d

2

x

dt

2

= −

k

m

x

d

2 

x

dt

2

= −

A

2 

sin  t = −

2 

x



2 

=

k

m

 =

2 

T

częstość kątowa (kołowa) drgania

T - okres drgania

 =

2 

T

=



k

m

f =

1 

T

 =

2 

T

=

2  f

częstotliwość drgania

x = A cos t

t

zgodne

przeciwne

faza drgania

x = Asin  t

V = A  cos t

a = − A

2 

sin  t = −

2 

x

F = −k x = −m 

2  

x

ruch harmoniczny prosty

siła

wychylenie z położenia równowagi

prędkość

przyspieszenie

T

4

T

2

3T

4

T

x

V

a

x=0

X



F



V

A

V  A = 0

E

c

=

E

k



E

p

=

const

E

c

=

mV

2

2 



k x

2

2 

=

k A

2

2

x = 0  V 0 = V

max

X

E

E

p

=

k x

2

2

E

c

=

const

E

k

E

p

X

E

E

c

=

E

p

−

A

A

X

E

k

1

k

2

k

2 



k

1

E

c

X

E

k

1

k

2

k

2 



k

1

E

c2

E

c1

T

?

T

k

k