1 

LỜI  NÓI ĐẦU 

 

Kể từ khi Hertz bằng thực nghiệm đã chứng tỏ năng lượng điện có thể bức 

xạ trong không gian và sự tồn tại của trường điện từ đã mở đầu kỷ nguyên ứng 

dụng sóng điện từ trong thông tin liên lạc, truyền số liệu, giải trí đa phương tiện, 

đ

iều  khiển  từ  xa  ...  Hệ  thống  thông  tin  vô  tuyến  này  ngày  càng  trở  nên  quan 

trọng và thiết yếu trong xã hội hiện đại. Do đó việc hiểu biết bản chất của sóng 

đ

iện từ, tính chất lan truyền của trường điện từ cũng như các ứng dụng của nó là 

rất cần thiết. Để tích luỹ phần kiến thức này người học cần phải có kiến thức nền 

tảng  về  giải  tích  vector,  phép  tính  tensor,  phương  trình  vi  phân  và  đạo  hàm 

riêng, giải tích hàm một biến và hàm nhiều biến trong Toán học cao cấp; quang 

học sóng và điện học trong Vật lý đại cương. 

 Giáo trình Lý thuyết trường điện từ được biên soạn trong khuôn khổ của 

chương trình  hoàn  thiện bộ  sách  giáo  trình  dùng  để  giảng dạy  và  học  tập  của 

Khoa Công nghệ Điện tử, Trường Đại học Công nghiệp TP Hồ Chí Minh, bao 

gồm các nội dung được trình bày trong 5 chương như sau: 

Chương 0 Một số công thức toán học 

Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ 

Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell 

Chương 3 Sóng điện từ phẳng 

Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ 

Do thời gian và tài liệu tham khảo còn nhiều hạn chế, cho nên chắc chắn 

giáo trình còn nhiều thiếu sót. Rất mong có sự đóng góp, phê bình của bạn đọc 

để

 giáo trình được hoàn thiện hơn. 

 

Tác giả 

 

Võ Xuân Ân 

 

 

2 

MỤC LỤC 

 

 

Trang 

Lời nói đầu 
 

1 

Chương 0 Một số công thức toán học 
 

3 

Chương 1 Các định luật và nguyên lý cơ bản của trường điện từ 
 

8 

Chương 2 Tích phân các phương trình Maxwell 
 

32 

Chương 3 Sóng điện từ phẳng 
 

60 

Chương 4 Nhiễu xạ sóng điện từ 
 

90 

Tài liệu tham khảo 
 

107 

 

 

 

3 

Chương 0 

MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC 

1. Vector 

{

}

z

y

x

z

y

x

a

k

a

j

a

i

a

,

a

,

a

a

r

r

r

r

+

+

=

=

 

{

}

z

y

x

z

y

x

b

k

b

j

b

i

b

,

b

,

b

b

r

r

r

r

+

+

=

=

 

{

}

z

y

x

z

y

x

c

k

c

j

c

i

c

,

c

,

c

c

r

r

r

r

+

+

=

=

 

• 

z

z

y

y

x

x

b

a

b

a

b

a

b

.

a

+

+

=

r

r

 

• 

(

)

(

)

(

)

x

y

y

x

z

x

x

z

y

z

z

y

z

y

x

z

y

x

b

a

b

a

k

b

a

b

a

j

b

a

b

a

i

b

b

b

a

a

a

k

j

i

b

a

−

+

−

+

−

=

=

×

r

r

r

r

r

r

r

r

 

• 

( )

b

,

a

cos

b

a

b

.

a

r

r

r

r

r

r

=

 

• 

c

b

a

r

r

r

=

×

 

Phương: 

( )

b

,

a

c

r

r

r

⊥

 

Chiều: theo qui tắc vặn nút chai 

Độ

 lớn: 

( )

b

,

a

sin

b

a

c

r

r

r

r

r

=

 

• 

(

)

( )

( )

b

.

a

.

c

c

.

a

.

b

c

b

a

r

r

r

r

r

r

r

r

r

−

=

×

×

 

2. Toán tử nabla 













∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

∇

z

 ,

y

 ,

x

 

3. Gradient 

z

U

k

y

U

j

x

U

i

U

.

gradU

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

=

r

r

r

 

4. Divergence 

z

a

y

a

x

a

a

.

a

div

z

y

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

=

r

r

 

5. Rotary 

 

 

4 













∂

∂

−

∂

∂

+













∂

∂

−

∂

∂

+













∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

×

∇

=

y

a

x

a

k

x

a

z

a

j

z

a

y

a

i

a

a

a

z

y

x

k

j

i

a

a

rot

x

y

z

x

y

z

z

y

x

r

r

r

r

r

r

r

r

 

Số phức 

Hàm mũ  

(

)

y

sin

i

y

cos

e

e

e

x

iy

x

z

+

=

=

+

 

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi. Thực vậy, ta có 

1

k

2

sin

i

k

2

cos

e

i

k

2

=

π

+

π

=

π

 

Suy ra  

z

i

k

2

z

i

k

2

z

e

e

.

e

e

=

=

π

π

+

 

Công thức Euler 

e

iy

 = cosy +isiny 

Khi đó số phức z = r e

iϕ

 = r(cosϕ +isinϕ) 

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với 

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: 

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

=

+

′

+

′′

 

(1) 

Trong đó:  

a

1

, a

2

 và f(x) là các hàm của biến độc lập x 

f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất 

f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất 

a

1

, a

2

 ≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi 

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất 

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:  

0

y

a

y

a

y

2

1

=

+

′

+

′′

 

(2) 

a

1

, a

2

 là các hàm của biến x 

 

 

5 

Định lí 1.

 Nếu y

1

 = y

1

(x) và y

2

 = y

2

(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C

1

y

1

 + C

2

y

2

 

(trong đó C

1

, C

2

 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy. 

Hai hàm y

1

(x) và y

2

(x) là độc lập tuyến tính khi 

( )

( )

const

x

y

x

y

2

1

≠

, ngược lại là phụ 

thuộc tuyến tính 

Định lí 2.

 Nếu y

1

(x) và y

2

(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi 

phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C

1

y

1

 + C

2

y

2

 (trong đó C

1

, C

2

 là 2 

hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy. 

Định  lí  3.

  Nếu  đã  biết  một  nghiệm  riêng  y

1

(x)  của  phương  trình  vi  phân  từ 

trường cấp hai thuần nhất (2) thì có thể tìm được  một nghiệm riêng y

2

(x) của 

phương trình đó, độc lập tuyến tính với y

1

(x) bằng cách đặt y

2

(x) = y

1

(x).u(x) 

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất 

Phương trình vi phân  từ trường cấp hai là  phương trình  bậc nhất  đối với 

hàm chưa biết và các đạo hàm của nó: 

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

=

+

′

+

′′

 

(3) 

Trong đó:  

a

1

 và a

2

 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0 

Định  lí  1.

  Nghiệm  tổng  quát  của  phương  trình  không  thuần  nhất  (3)  bằng 

nghiệm  tổng  quát  của  phương  trình  thuần  nhất  (2)  tương  ứng  và  một  nghiệm 

riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3). 

Định lí 2.

 Cho phương trình không thuần nhất 

)

x

(

f

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

1

2

1

+

=

+

′

+

′′

 

(4) 

Nếu y

1

(x) là nghiệm riêng của phương trình 

)

x

(

f

y

a

y

a

y

1

2

1

=

+

′

+

′′

 

(5) 

và y

2

(x) là nghiệm riêng của phương trình 

)

x

(

f

y

a

y

a

y

2

2

1

=

+

′

+

′′

 

(6) 

thì y(x) = y

1

(x) + y

2

(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4) 

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi 

 

 

6 

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:  

0

qy

y

p

y

=

+

′

+

′′

 

(7) 

p, q là các hằng số 

Giả sử nghiệm riêng của (7) có dạng 

kx

e

y =

 

(8) 

Trong đó: k là hằng số sẽ được xác định 

Suy ra 

kx

ke

y =

′

,       

kx

2

e

k

y =

′′

 

(9) 

Thay (8) và (9) vào (7) ta có 

(

)

0

q

pk

k

e

2

kx

=

+

+

 

(10) 

Vì e

kx

 ≠ 0 nên  

0

q

pk

k

2

=

+

+

 

(11) 

Nếu k  thoả mãn (11) thì y = e

kx

 là một nghiệm riêng của phương trình vi 

phân (7). Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi 

phân (7) 

Nhận xét: Phương trình đặc trưng (7) là phương trình bậc 2 có 2 nghiệm k

1

 

và k

2

 như sau 

- k

1

 và k

2

 là 2 số thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của phương trình 

vi phân (7) là  

x

k

1

1

e

y =

,     

x

k

2

2

e

y =

 

(12) 

Hai nghiệm riêng (12) là độc lập từ trường vì 

(

)

const

e

y

y

x

k

k

2

1

2

1

≠

=

−

 

(13) 

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là 

x

k

2

x

k

1

2

1

2

1

e

C

e

C

y

y

y

+

=

+

=

 

(14) 

- k

1

 và k

2

 là 2 số thực trùng nhau: k

1

 = k

2

 

Hai nghiệm riêng độc lập từ trường: 

x

k

1

1

e

y =

, 

x

k

2

1

xe

y =

 

 

 

7 

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là 

(

)

x

k

2

1

x

k

2

x

k

1

1

1

1

e

x

C

C

xe

C

e

C

y

+

=

+

=

 

(15) 

- k

1

 và k

2

 là 2 số phức liên hợp: k

1

 = α

α

α

α + iβ

β

β

β và k

2

 = α

α

α

α - iβ

β

β

β 

Hai nghiệm riêng của phương trình vi phân (7) là 

(

)

(

)

x

i

x

x

i

2

x

i

x

x

i

1

e

e

e

y

e

e

e

y

β

−

α

β

−

α

•

β

α

β

+

α

•

=

=

=

=

 

(16) 

Theo công thức Euler ta có 

x

sin

i

x

cos

e

x

sin

i

x

cos

e

x

i

x

i

β

−

β

=

β

+

β

=

β

−

β

 

(17) 

Suy ra 

(

)

(

)

x

sin

i

x

cos

e

e

e

y

x

sin

i

x

cos

e

e

e

y

x

x

i

x

2

x

x

i

x

1

β

−

β

=

=

β

+

β

=

=

α

β

−

α

•

α

β

α

•

 

(18) 

Nếu 

•

1

y

 và 

•

2

y

 là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm 

x

sin

e

i

2

y

y

y

x

cos

e

2

y

y

y

x

2

1

2

x

2

1

1

β

=

+

=

β

=

+

=

α

•

•

α

•

•

 

(19) 

cũng là nghiệm của phương trình vi phân (7) và độc lập từ trường vì 

const

x

tg

y

y

2

1

≠

β

=

 

(20) 

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là 

(

)

x

sin

C

x

cos

C

e

x

sin

e

C

x

cos

e

C

y

2

1

x

x

2

x

1

β

+

β

=

β

+

β

=

α

α

α

 

(21) 

 

 

 

8 

Chương 1 

CÁC ĐỊNH LUẬT 

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 

 

1.1. Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ 

1.1.1. Vector cường độ điện trường 

•  Điện  trường  được  đặc  trưng  bởi  lực  tác  dụng  lên  điện  tích  đặt  trong  điện 

trường 

E

q

F

r

r

=

 

(1.1) 

Hay:  

q

F

E

r

r

=

 

(1.2) 

•  Cđđt 

E

r

 tại một điểm bất kì trong điện trường là đại lượng vector có trị số 

bằng lực tác dụng lên một đơn vị điện tích điểm dương đặt tại điểm đó 

•  Lực tác dụng giữa 2 đt điểm Q và q 

2

0

0

r

r

4

Qq

F

r

r

πεε

=

 

(1.3) 

- 

m

/

F

10

.

854

,

8

12

0

−

=

ε

 - hằng số điện 

- ε - độ điện thẩm tương đối 

- 

0

r

r

 - vector đơn vị chỉ phương 

•  Hệ đt điểm 

n

2

1

q

,...,

q

,

q

 

∑

∑

=

=

πεε

=

=

n

1

i

2

i

i

0

i

0

n

1

i

i

r

r

q

4

1

E

E

r

r

r

 

(1.4) 

i

0

r

r

 - các vector đơn vị chỉ phương 

•  Trong thực tế hệ thường là dây mảnh, mặt phẳng hay khối hình học, do đó: 

∫

ρ

πεε

=

l

2

l

0

l

r

r

dl

4

1

E

r

r

 

(1.5) 

 

 

9 

∫

ρ

πεε

=

S

2

S

0

S

r

r

dS

4

1

E

r

r

 

(1.6) 

∫

ρ

πεε

=

V

2

V

0

V

r

r

dV

4

1

E

r

r

 

(1.7) 

1.1.2. Vector điện cảm 

•  Để  đơn  giản  khi  tính  toán  đối  với  các  môi  trường  khác  nhau,  người  ta  sử 

dụng vector điện cảm 

D

r

 

 

E

D

0

r

r

εε

=

 

(1.8) 

1.1.3. Vector từ cảm 

•  Từ trường được đặc trưng bởi tác dụng lực của từ trường lên điện tích chuyển 

độ

ng hay dòng điện theo định luật Lorentz 

B

v

q

F

r

r

r

×

=

 

(1.9) 

•  Từ trường do phần tử dòng điện 

l

Id

r

 tạo ra được xác định bởi định luật thực 

nghiệm BVL 

(

)

r

l

Id

r

4

B

d

2

0

r

r

r

×

π

µµ

=

 

(1.10) 

- 

m

/

H

10

.

257

,

1

10

.

4

6

7

0

−

−

=

π

=

µ

 - hằng số từ 

- µ - độ từ thẩm tương đối 

•  Từ trường  của dây dẫn có chiều dài l 

∫

×

π

µµ

=

l

2

0

r

r

l

Id

4

B

r

r

r

 

(1.11) 

1.1.4. Vector cường độ từ trường 

•  Để  đơn  giản  khi  tính  toán  đối  với  các  môi  trường  khác  nhau,  người  ta  sử 

dụng vector cường độ từ trường 

H

r

 

 

 

 

10 

0

B

H

µµ

=

r

r

 

(1.12) 

1.2. Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích 

1.2.1. Định luật Ohm dạng vi phân 

•  Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện 

tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian 

dt

dq

I −

=

 

(1.13) 

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm 

•  Để mô tả đầy đủ sự chuyển động của các hạt mang điện trong môi trường dẫn 

đ

iện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện 

E

v

v

e

n

J

0

r

r

r

r

σ

=

ρ

=

=

 

(1.14) 

dạng vi phân của định luật Ohm 

- n

0

 - mật độ hạt điện có điện tích e 

- ρ - mật độ điện khối 

- 

v

r

 - vận tốc dịch chuyển của các hạt điện 

- σ - điện dẫn suất 

•  Dòng điện qua mặt S được tính theo 

∫

∫

∫

σ

=

=

=

S

S

S

S

d

E

S

d

J

dI

I

r

r

r

r

 

(1.15) 

•  Một vật dẫn dạng khối lập phương cạnh L, 2 mặt đối diện nối với nguồn áp 

U, ta có  

(lưu ý: áp dụng c/t  S = L

2

 và 

L

S

L

R

ρ

=

ρ

=

) 

R

U

LU

)

EL

)(

L

(

ES

EdS

I

S

=

σ

=

σ

=

σ

=

σ

=

∫

 

(1.16) 

dạng thông thường của định luật Ohm 

Vì 

E

r

 và 

S

d

r

 cùng chiều, đặt  

 

 

11 

RL

1

=

σ

 

(1.17) 

σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm 

1.2.2. Định luật bảo toàn điện tích 

•  Điện  tích  có  thể  phân  bố  liên  tục  hay  gián  đoạn,  không  tự  sinh  ra  và  cũng 

không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng 

đ

iện. 

•  Lượng điện tích đi ra khỏi mặt kín S bao quanh thể tích V bằng lượng điện 

tích giảm đi từ thể tích V đó. 

•  Giả sử trong thể tích V được bao quanh bởi mặt S, ta có 

∫

ρ

=

V

dV

Q

 

(1.18) 

sau thời gian dt lượng điện tích trong V giảm đi dQ 

∫

ρ

−

=

−

=

V

dV

dt

d

dt

dQ

I

 

(1.19) 

Mặt khác 

∫

=

S

S

d

J

I

r

r

 

(1.20) 

Suy ra 

∫

∫

∂

ρ

∂

−

=

V

S

dV

t

S

d

J

r

r

 

(1.21) 

Theo định lý OG 

( )

∫

∫

∫

∂

ρ

∂

−

=

∇

=

V

V

S

dV

t

dV

J

.

S

d

J

v

r

r

 

(1.22) 

Suy ra 

0

t

J

.

=

∂

ρ

∂

+

∇

v

 

(1.23) 

Đ

ây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên 

tục. 

1.3. Các đặc trưng cơ bản của môi trường 

 

 

12 

•  Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, µ, σ 

•  Các phương trình: 

E

D

0

r

r

ε

ε

=

 

(1.24) 

µ

µ

=

0

B

H

r

r

 

(1.25) 

gọi là các phương trình vật chất 

•  ε, µ, σ ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính 

•  ε, µ, σ ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng 

•  ε, µ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường 

không đẳng hướng. Khi đó ε, µ biểu diễn bằng các tensor có dạng như bảng 

số.  Chẳng  hạn  ferrite  bị  từ  hoá  hoặc  plasma  bị  từ  hoá  là  các  môi  trường 

không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ 

•  ε, µ, σ ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất 

Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính.  

Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến 

µ  >  1  :  chất  thuận  từ  :  các  kim  loại  kiềm,  Al,  NO,  Phương  trình,  O,  N, 

không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm 

µ  <  1  :  chất  nghịch  từ  :  các  khí  hiếm,  các  ion  như  Na

+

,  Cl

-

  có  các  lớp 

electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO

2

, H

2

O, 

thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ 

µ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các 

nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al. Độ từ hoá của chất sắt từ 

lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần. 

•  Căn  cứ  vào  độ  dẫn  điện  riêng  σ:  chất  dẫn  điện,  chất  bán  dẫn  và  chất  cách 

đ

iện hay điện môi 

Chất dẫn điện: σ > 10

4

 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng 

Chất bán dẫn: 10

-10

 < σ < 10

4

 

 

 

13 

Chất cách điện: σ < 10

-10

, σ = 0 : điện môi lý tưởng 

 

Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0 

1.4. Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường 

•  Được tìm ra bằng thực nghiệm, là cơ sở của các phương trình Maxwell 

•  Thông lượng của vector điện cảm 

D

r

 qua mặt S là đại lượng vô hướng được 

xác định bởi tích phân 

∫

=

Φ

S

E

S

d

D

r

r

 

(1.26) 

 

 

S

d

r

 : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài 

dS.cos(

D

r

,

S

d

r

) : hình chiếu của S lên phương 

D

r

 

•  Xét  một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của 

D

r

 do q 

tạo ra qua mặt kín S, ta có 

(

)

Ω

π

=

π

=

=

Φ

d

4

q

r

4

S

d

,

D

cos

.

dS

.

q

S

d

D

d

2

r

r

r

r

 

(1.27) 

dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS 

Thông lượng của 

D

r

 qua toàn mặt kín S là 

q

d

4

q

S

d

D

S

=

Ω

π

=

=

Φ

∫

∫

Ω

r

r

 

(1.28) 

•  Xét trường  hợp  điện tích điểm  q  nằm  ngoài  mặt  kín  S.  Từ điện tích  q  nhìn 

toàn mặt S dưới một góc khối nào đó. Mặt S có thể chia  thành 2 nửa S và S' 

D

r

 

S

d

r

 

S

 

dΩ

 

r

r

 

q 

 

 

14 

(có giao tuyến là AB). Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau. 

Do  đó tích  phân  trên  S  và  S'  có  cùng giá  trị  nhưng  trái dấu. Khi  đó  thông 

lượng của 

D

r

 qua toàn mặt kín S bằng 0. 

 

•  Xét hệ điện tích điểm q

1

, q

2

, ..., q

n

 đặt trong mặt kín S, ta có 

∑

=

=

n

1

i

i

D

D

r

r

 

(1.29) 

Thông lượng của 

D

r

 do hệ q

1

, q

2

, ..., q

n

 gây ra qua toàn mặt kín S 

Q

q

S

d

D

S

d

D

n

1

i

i

n

1

i

S

i

S

=

=

=

=

Φ

∑

∑∫

∫

=

=

r

r

r

r

 

(1.30) 

Vậy: Thông lượng của vector điện cảm 

D

r

 qua mặt kín S bất kỳ bằng tổng 

đạ

i số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S 

Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q

1

, q

2

, ..., q

n

, do đó Φ có thể âm 

hoặc dương 

•  Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì  Φ được 

tính theo  

Q

dV

S

d

D

V

S

E

=

ρ

=

=

Φ

∫

∫

r

r

 

(1.31) 

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Ostrogradski-

Gauss đối với điện trường. 

Nguyên lý liên tục của từ thông 

•  Thực  nghiệm  đã  chứng  tỏ  đường  sức  từ  là  khép  kín  dù  nguồn  tạo  ra  nó  là 

dòng điện hay nam châm. Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này 

D

r

 

S

d

r

 

A 

B 

q 

 

 

15 

•  Giả sử có mặt kín S tuỳ ý nằm trong từ trường với vector từ cảm 

B

r

. Thông 

lượng của 

B

r

 qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này. 

Do  đường  sức từ  khép  kín nên  số  đường  sức  từ  đi vào  thể  tích  V  bằng số 

đườ

ng sức từ đi ra khỏi thể tích V đó. Vì vậy thông lượng của 

B

r

 được tính 

theo 

0

S

d

B

S

M

=

=

Φ

∫

r

r

 

(1.32) 

Công thức (1.32) gọi là nguyên lý liên tục của từ thông. Đây là một phương 

trình cơ bản của trường điện từ 

1.5. Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday 

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này 

xh dòng điện cảm ứng. Chứng tỏ trong vòng dây có một điện trường 

E

r

 có chiều 

là chiều của dòng điện cảm ứng đó. 

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện 

nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự. Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải 

là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt 

của  điện  trường  đó.  Điện  trường  này  cũng  không  phải  là  điện  trường  tĩnh  vì 

đườ

ng sức của điện trường tĩnh là đường cong hở. Điện trường tĩnh không làm 

cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì 

hoá  ra  trong  điện  trường  tĩnh  không  cần  tốn  công  mà  vẫn  sinh  ra  năng  lượng 

đ

iện !).  

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng 

đ

iện thì công phải khác 0, có nghĩa là 

0

l

d

E

q

l

≠

∫

r

r

 

(1.33) 

và đ.sức của điện trường này phải là các đ.cong kín và gọi là điện trường xoáy. 

Phát  biểu  luận  điểm  I:  Bất  kì  một  từ  trường  nào  biến  đổi  theo  thời  gian 

cũng tạo ra một điện trường xoáy. 

 

 

16 

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:  

Theo  định luật  cảm  ứng điện  từ  của  Faraday,  sức  điện  động  cảm  ứng xh 

trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi 

qua diện tích của vòng dây 

dt

d

e

c

Φ

−

=

 

(1.34) 

Dấu (-) phản ảnh sức điện động cảm ứng trong vòng dây tạo ra dòng điện 

cảm ứng có chiều sao cho chống lại sự biến thiên của từ thông Φ 

∫

=

Φ

S

S

d

B

r

r

 

(1.35) 

là thông lượng của vector từ cảm 

B

r

 qua S được bao bởi vòng dây. Suy ra 

∫

∫

∫













∂

∂

−

=













−

=

−

=

Φ

−

=

S

S

S

c

S

d

t

B

S

d

dt

B

d

S

d

B

dt

d

dt

d

e

r

r

r

r

r

r

 

(1.36) 

Hoặc biểu diễn sức điện động cảm ứng e

c

 theo lưu số của vector cường độ 

đ

iện trường 

E

r

 

∫

=

l

c

l

d

E

e

r

r

 

(1.37) 

Chiều của vòng dây kín l lấy ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn nó từ ngọn 

của 

B

r

  

 

Vì vòng dây kín l đứng yên nên theo các công thức (1.35), (1.36), (1.37) ta 

có 

S

d

r

 

B

r

 

l

d

r

 

S

 

 

 

17 

∫

∫













∂

∂

−

=

S

l

S

d

t

B

l

d

E

r

r

r

r

 

(1.38) 

Đ

ây  là  phương  trình  Maxwell-Faraday  dưới  dạng  tích  phân,  cũng  là  một 

phương trình cơ bản của trường điện từ. 

Vậy:  Lưu  số  của  vector  cường  độ  điện  trường  xoáy  dọc  theo  một  đường 

cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo 

thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó. 

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock) 

(

)

∫

∫

×

∇

=

S

l

S

d

E

l

d

E

r

r

r

r

 

(1.39) 

Theo các phương trình (1.38) và (1.39) 

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

r

r

 

(1.40) 

Đ

ây là phương trình Maxwell-Faraday dưới dạng vi phân, có thể áp dụng 

đố

i với từng điểm một trong không gian có từ trường biến thiên. 

1.6. Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere 

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường 

xoáy.  Vậy  ngược  lại  điện trường biến thiên  có  sinh  ra   từ  trường  không ?  Để 

đả

m bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell 

đư

a ra luận điểm II: 

Bất  kì  một  điện  trường  nào  biến  thiên  theo  thời  gian  cũng  tạo  ra  một  từ 

trường. 

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm) 

Lưu  ý:  điện  trường  nói  chung  có  thể  không  p.bố  đồng  đều  trong  không 

gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II 

sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có 

sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường. 

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere: 

 

 

18 

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, 

Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần: 

Lưu số của vector cường độ từ trường 

H

r

 dọc theo một đường cong kín bất 

kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này 

I

I

l

d

H

n

1

i

i

l

=

=

∑

∫

=

r

v

 

(1.41) 

 

 

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn. 

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện 

J

r

thì 

∫

∫

=

S

l

S

d

J

l

d

H

r

r

r

v

 

(1.42) 

Đị

nh luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường 

đ

iện từ 

Khái niệm về dòng điện dịch 

Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện 

toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ 

giữa  đt  và  từ  trường  cùng  với  việc  đưa  ra  khái  niệm  mới  về  dòng  điện  dịch. 

Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức 

dP

0

d

0

d

J

J

t

P

t

E

t

D

J

r

r

v

r

r

r

+

=

∂

∂

+

∂

∂

ε

=

∂

∂

=

 

(1.43) 

Trong đó: 

J

r

 

l

d

r

 

S

d

r

 

I

i

 

S 

 

 

19 

t

P

J

dP

∂

∂

=

v

r

  -  mật  độ  dòng  điện  p.cực  trong  điện  môi  do  sự  xê  dịch  của  các 

đ

iện tích 

t

E

J

0

0

d

∂

∂

ε

=

r

r

 - điện trường biến thiên trong chân không và gọi là mật độ dòng 

đ

iện dịch 

Để

 chứng minh sự tồn tại của dòng điện dịch, xét thí dụ sau: có một mặt 

kín S bao quanh 1 trong 2 bản của tụ điện. Do có điện áp xoay chiều đặt vào tụ 

đ

iện nên giữa 2 bản tụ có điện trường biến thiên 

E

r

 và dòng điện biến thiên chạy 

qua tụ. Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản 

tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị: 

t

E

S

I

0

0

d

∂

∂

ε

′

=

r

 

(1.44) 

Theo định luật Gauss 

S

E

S

d

E

q

0

S

0

′

ε

=

ε

=

∫

r

r

 

(1.45) 

S

S

d

S

′

=

∫

r

 vì điện trường chỉ tồn tại giữa 2 bản tụ 

Đố

i với môi trường chân không, ta có: ε = 1 

 

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng 

S

 

S'

 

+q

 

-q

 

E

r

 

~ 

 

 

20 

t

E

S

S

d

E

dt

d

dt

dq

I

0

S

0

∂

∂

ε

′

=

ε

=

=

∫

r

r

r

 

(1.46) 

Suy ra 

I = I

d0

 

(1.47) 

Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng  dòng điện dẫn chạy ở mạch 

ngoài tụ điện. 

Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta 

có 

(bổ  sung  được  vì  về  khía  cạnh  tạo  ra  từ  trường  dòng  điện  dịch  tương 

đương dòng điện dẫn) 

∫

∫

∫

∂

∂

+

=

S

S

l

S

d

t

D

S

d

J

l

d

H

r

r

r

r

r

v

 

(1.48) 

Hay 

∫

∫













∂

∂

+

=

S

l

S

d

t

D

J

l

d

H

r

r

r

r

v

 

(1.49) 

Đ

ây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân 

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock) 

(

)

∫

∫

×

∇

=

S

l

S

d

H

l

d

H

r

r

r

v

 

(1.50) 

Suy ra 

d

J

J

t

D

J

H

r

r

r

r

r

+

=

∂

∂

+

=

×

∇

 

(1.51) 

Đ

ây  là  phương  trình  Maxwell-Ampere  dưới  dạng  vi  phân,  cũng  là  một 

phương trình cơ bản của trường điện từ 

Nếu môi trường có điện dẫn suất σ = 0 (điện môi lí tưởng và chân không) 

thì do 

0

E

J

=

σ

=

r

r

, ta có: 

0

d

0

J

t

E

H

r

r

r

=

∂

∂

ε

=

×

∇

 

(1.52) 

 

 

21 

Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra 

từ trường như dòng điện dẫn. 

1.7. Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell 

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra 

đ

iện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ 

trường. Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại 

và có liên hệ chặt chẽ với nhau 

Đ

iện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một 

trường thống nhất gọi là trường điện từ. 

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các 

hạt mang điện. 

- Phương trình Maxwell-Faraday 

Dạng tích phân 

∫

∫













∂

∂

−

=

S

l

S

d

t

B

l

d

E

r

r

r

r

 

(1.53) 

Dạng vi phân 

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

r

r

 

(1.54) 

Diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến 

thiên và điện trường xoáy. 

- Phương trình Maxwell-Ampere 

Dạng tích phân 

∫

∫













∂

∂

+

=

S

l

S

d

t

D

J

l

d

H

r

r

r

r

v

 

(1.55) 

Dạng vi phân 

t

D

J

H

∂

∂

+

=

×

∇

r

r

r

 

(1.56) 

 

 

22 

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh 

ra từ trường như dòng điện dẫn.

 

- Định lí OG đối với điện trường 

Dạng tích phân 

q

S

d

D

S

=

∫

r

r

 

(1.57) 

Theo giải tích vector: 

∫

∫

∇

=

V

S

dV

D

.

S

d

D

r

r

r

 và 

∫

ρ

=

V

dV

q

, ta có 

Dạng vi phân 

ρ

=

∇ D

.

r

 

(1.58) 

Diễn  tả  tính  không  khép  kín  của  các  đường  sức  điện  trường  tĩnh  luôn  từ 

các điện tích dương đi ra và đi vào các điện tích âm: trường có nguồn

 

- Định lí OG đối với từ trường 

Dạng tích phân 

0

S

d

B

S

=

∫

r

r

 

(1.59) 

Dạng vi phân 

0

B

. =

∇

r

 

(1.60) 

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn 

Các  phương  trình  (1.54),  (1.56),  (1.58),  (1.60)  gọi  là  hệ  phương  trình 

Maxwell 

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

r

r

 

 

t

D

J

H

∂

∂

+

=

×

∇

r

r

r

 

(1.61) 

ρ

=

∇ D

.

r

 

 

0

B

. =

∇

r

 

 

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài 

 

 

23 

Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian. 

Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ. Nguồn dòng điện này độc lập 

với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn 

ngoài.  Các  nguồn  ngoài  có  bản  chất  điện  hoặc  không  điện.  Để  đặc  trưng  cho 

nguồn  ngoài  của  trường  điện  từ  ta  có  khái  niệm  mật  độ  dòng  điện  ngoài 

O

J

r

. 

Đ

.luật Ohm dạng vi phân: 

(

)

O

O

E

E

J

J

r

r

r

r

+

σ

=

+

 

(1.62) 

Nhận  xét:  hệ  phương  trình  Maxwell  (1.61)  chỉ  mô  tả  trường  điện  từ  tại 

những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường 

điện từ tự do

. Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại 

t

B

E

∂

∂

−

=

×

∇

r

r

 

 

t

D

J

J

H

O

∂

∂

+

+

=

×

∇

r

r

r

r

 

(1.63) 

ρ

=

∇ D

.

r

 

 

0

B

. =

∇

r

 

 

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là 

môi trường điện môi: 

E

D

0

r

r

εε

=

 

môi trường dẫn điện: 

E

J

r

r

σ

=

 

môi trường từ hoá: 

H

B

0

r

r

µµ

=

, ta có 

t

H

E

0

∂

∂

µµ

−

=

×

∇

r

r

 

 

t

E

J

E

H

0

O

∂

∂

εε

+

+

σ

=

×

∇

r

r

r

r

 

(1.64) 

0

E

.

εε

ρ

=

∇

r

 

 

0

H

. =

∇

r

 

 

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell 

 

 

24 

•  Xét trường hợp môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện 

dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài 

0

J

J

O

=

ρ

=

=

r

r

 

t

H

E

0

∂

∂

µµ

−

=

×

∇

r

r

 

 

t

E

H

0

∂

∂

εε

=

×

∇

r

r

 

(1.65) 

0

E

. =

∇

r

 

 

0

H

. =

∇

r

 

 

Nhận xét: 

E

r

 và 

H

r

 đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau 

•  Để hệ phương trình Maxwell trong trường hợp có nguồn ngoài vẫn đối 

xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức 

M

J

r

 - mật độ dòng từ ngoài 

ρ

M

 - mật độ từ khối 

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, không dòng điện dẫn, không 

đ

iện tích tự do, với nguồn điện và từ ngoài 

t

H

J

E

0

M

∂

∂

µµ

−

−

=

×

∇

r

r

r

 

 

t

E

J

H

0

E

∂

∂

εε

+

=

×

∇

r

r

r

, J

E

 

≡

 J

O

 

(1.66) 

0

E

.

εε

ρ

=

∇

r

 

 

0

M

H

.

µµ

ρ

=

∇

r

 

 

Ứ

ng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì 

sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn 

đ

iện), mà không cần phải giải cả hai. 

- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà 

 

 

25 

Trường điện từ và nguồn biến thiên điều hoà với tần số góc ω nên có thể 

biểu diễn dưới dạng phức, ta có 

•

=

E

re

E

r

r

 

 

•

=

H

re

H

r

r

 

(1.67) 

•

=

J

re

J

r

r

 

 

•

ρ

=

ρ

re

 

 

Với:  

Trong  đó: 

(

)

z

y

x

i

mz

i

my

i

mx

m

m

e

E

k

e

E

j

e

E

i

z

,

y

,

x

E

E

ϕ

ϕ

ϕ

•

•

+

+

=

≡

r

r

r

r

r

gọi  là  biên  độ  phức 

của 

•

E

r

; ϕ

x

, ϕ

y

, ϕ

z

 là các pha ban đầu 

Khi đó 

m

0

m

H

i

E

•

•

ωµµ

−

=

×

∇

r

r

 

 

Em

m

0

m

J

E

i

E

H

•

•

•

•

+

ωεε

+

σ

=

×

∇

r

r

r

r

 

(1.69) 

0

m

m

E

.

εε

ρ

=

∇

•

•

r

 

 

0

H

. =

∇

•

r

 

 

1.8. Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ 

Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên  tục hoặc gián 

đ

oạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được 

- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường 

D

1n

 - D

2n

 = ρ

S

 

ρ

S

 mật độ điện mặt 

(1.70) 

t

i

m

e

ω

•

•

ρ

=

ρ

 ; 

t

i

m

e

E

E

ω

•

•

=

r

r

 ; 

t

i

m

e

H

H

ω

•

•

=

r

r

 ; 

t

i

m

e

J

J

ω

•

•

=

r

r

 

(1.68) 

 

 

26 

Khi ρ

S

 = 0 ta có: D

1n

 = D

2n

 hay 

1

2

n

2

n

1

E

E

ε

ε

=

 

- đối với thành phần tiếp tuyến của điện trường 

E

1τ

 = E

2τ

,       

1

2

2

1

D

D

ε

ε

=

τ

τ

 

(1.71) 

- đối với thành phần pháp tuyến của từ trường 

B

1n

 = B

2n

,       

1

2

n

2

n

1

H

H

µ

µ

=

 

(1.72) 

- đối với thành phần tiếp tuyến của từ trường 

H

1τ

 - H

2τ

 = I

S

 

I

S

 dòng điện mặt 

Khi I

S

 = 0 ta có: H

1τ

 = H

2τ

 hay 

1

2

2

1

B

B

µ

µ

=

τ

τ

 

(1.73) 

- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn 

lí tưởng có σ

2

 = ∞. Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa 

là 

0

H

E

2

2

=

=

r

r

.  

Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ 

0

H

;

E

2

2

≠

r

r

 thì dưới tác 

dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó 

cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả 

trường  tổng hợp  trong  vật  dẫn  lý  tưởng bằng  0.  Trên  bề  mặt  S  của  vật  dẫn  lí 

tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn.  

Khi đó ta được 

E

1n

 = 

1

S

ε

ρ

 

E

1τ

 = 0 

H

1n

 = 0 

H

1τ

 = I

S

 

(1.74) 

 

 

27 

Vậy: trường điện từ trong điện môi sát mặt vật dẫn lí tưởng chỉ có thành 

phần pháp tuyến của 

E

r

 và thành phần tiếp tuyến của 

H

r

 

1.9. Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting 

- Năng lượng của trường điện từ 

W = W

E

 + W

M

 =

(

)

∫

ω

+

ω

V

M

E

dV

 =

∫













µµ

+

εε

V

2

0

2

0

dV

2

H

2

E

 

- Định lí Umov Poynting 

Đ

ã chứng minh được 

O

t

S

P

P

dt

dW

S

d

−

−

−

=

Π

∫

r

r

 

(1.75) 

Trong đó 

H

E

r

r

r

×

=

Π

 (W/m

2

) vector Poynting 

Phương trình = 

∫

∫

σ

=

V

2

V

dV

E

dV

E

J

r

r

r

 công suất tiêu hao nhiệt do dòng điện dẫn 

J

r

 gây ra trong V 

P

O

 = 

∫

V

E

dV

E

J

r

r

 công suất của nguồn ngoài trong thể tích V 

(1.75) gọi là định lí Umov Poynting mô tả sự cân bằng của trường điện từ 

trong thể tích V 

Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn 

hao  nhiệt  và  công  suất  nguồn  ngoài  trong  thể  tích  V  bằng  thông  lượng  của 

vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó. 

Vector Poynting 

Π

r

 biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ. 

1.10. Định lí nghiệm duy nhất 

Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn 

các điều kiện sau 

 

 

28 

1. Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t

0

 = 0 ở tại bất 

kì điểm nào trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là điều kiện ban đầu, 

tức là  

(

)

0

,

z

,

y

,

x

E

E

0

r

r

=

 khi t = 0 

 

(

)

0

,

z

,

y

,

x

H

H

0

r

r

=

 

(1.76) 

2. Biết thành phần tiếp tuyến của 

E

r

 và thành phần tiếp tuyến của 

H

r

 tại mặt 

giới hạn S bao miền không gian khảo sát trong khoảng thời gian 0 < t < ∞ hay 

còn gọi là điều kiện biên 

E = E

τ|S

 hoặc H = H

τ|S

 với 0 < t < ∞ 

(1.77) 

Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào 

đ

ó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các 

đ

iều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất. 

1.11. Nguyên lí tương hỗ 

Nguyên lí tương hỗ phản ảnh mối quan hệ tương hỗ giữa trường điện từ và 

các nguồn tạo ra nó tại hai điểm khác nhau trong không gian. 

1. Bổ đề Lorentz 

Dạng vi phân 













−

−

−

−

=













×

∇

−













×

∇

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

m

1

m

2

M

m

2

m

1

M

m

1

m

2

E

m

2

m

1

E

m

1

m

2

m

2

m

1

H

J

H

J

E

J

E

J

H

E

.

H

E

.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

 

(1.78) 

Dạng tích phân 

∫

∫













−

−













−

=

=

























×

−













×

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

V

m

1

m

2

M

m

2

m

1

M

m

1

m

2

E

m

2

m

1

E

S

m

1

m

2

m

2

m

1

dV

H

J

H

J

E

J

E

J

dS

H

E

H

E

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

 

(1.79) 

V → ∞, ta có 

 

 

29 

0

dV

H

J

H

J

E

J

E

J

V

m

1

m

2

M

m

2

m

1

M

m

1

m

2

E

m

2

m

1

E

=













−

−













−

∫

•

•

•

•

•

•

•

•

r

r

r

r

r

r

r

r

 

(1.80) 

2. Nguyên lí tương hỗ 

Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân 

bố trong V

1

, nguồn điện và từ 2 phân bố trong V

2

 và 2 thể tích này không có 

miền chung. Do đó vế trái của phương trình (1.80) tích phân trong miền V → ∞ 

chia thành 3 miền V

1

, V

2

 và miền còn lại. Tuy nhiên tích phân trong miền còn 

lại bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được 

viết lại 

∫

∫













−

=













−

•

•

•

•

•

•

•

•

2

V

m

1

m

2

M

m

1

m

2

E

1

V

m

2

m

1

M

m

2

m

1

E

dV

H

J

E

J

dV

H

J

E

J

r

r

r

r

r

r

r

r

 

(1.81) 

gọi là nguyên lí tương hỗ của trường điện từ và nguồn của chúng ở 2 miền khác 

nhau. 

1.12. Nguyên lí đồng dạng điện động 

Nguyên lí đồng dạng điện động hay còn gọi là nguyên lí mẫu hoá xác định 

mối quan hệ giữa trường điện từ. Các tham số điện và hình học của hệ điện từ và 

môi trường đối với 2 hệ điện từ đồng dạng điện động với nhau. 

Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ 

6

6

5

5

4

4

M

3

3

E

2

2

1

1

a

t

;

a

l

;

a

J

;

a

J

;

a

E

;

a

H

α

=

α

=

α

=

α

=

α

=

α

=

r

r

r

r

r

r

r

r

 

(1.82) 

4

3

2

1

a

;

a

;

a

;

a

r

r

r

r

 là các vector đơn vị không có thứ nguyên chỉ sự phụ thuộc của 

cường độ trường và nguồn vào các toạ độ không gian và thời gian 

6

5

a

;

a

 là các đơn vị vô hướng xác định toạ độ không gian và thời gian 

Các hệ số tỉ lệ α

i

  có thứ nguyên tương ứng là  

α

1

 [A/m], α

2

 [V/m], α

3

 [A/m

2

], α

4

 [V/m

2

], α

5

 [m], α

6

 [s] 

Thay các đại lượng trong (1.82) vào các phương trình Maxwell sau đây 

t

E

J

E

H

0

E

∂

∂

εε

+

+

σ

=

×

∇

r

r

r

r

, J

E

 

≡

 J

O

 

(1.83) 

 

 

30 

t

H

J

E

0

M

∂

∂

µµ

−

−

=

×

∇

r

r

r

 

 

Ta được 

3

3

6

2

2

1

1

a

c

a

a

c

c

a

r

r

r

+

∂

∂

+

=

×

∇

 

(1.84) 

6

1

5

4

4

2

a

a

c

a

c

a

∂

∂

−

−

=

×

∇

r

r

r

 

 

Các hệ số tỉ lệ c

i

  không có thứ nguyên tương ứng với các biểu thức sau 

1

5

2

1

c

α

α

σα

=

; 

6

5

2

2

c

α

α

εα

=

; 

1

5

3

3

c

α

α

α

=

; 

2

5

4

4

c

α

α

α

=

; 

6

2

5

1

5

c

α

α

α

µα

=

 

Hệ phương trình (1.84) là dạng không có thứ nguyên, mô tả các hệ điện từ 

khác nhau qua hệ số c

i

. Hai hệ điện từ có các hệ số c

i

 tương ứng bằng nhau gọi 

là 2 hệ đồng dạng điện động với nhau. 

1.13. Trường tĩnh điện 

Trường tĩnh điện được tạo ra bởi các điện tích đứng yên và không biến đổi 

theo thời gian, ta có hệ phương trình Maxwell như sau 

0

E =

×

∇

r

 

 

ρ

=

∇ D

.

r

 

(1.85) 

E

D

0

r

r

εε

=

 

 

1.14. Từ trường của dòng điện không đổi 

0

E =

×

∇

r

 

 

ρ

=

∇ D

.

r

 

(1.86) 

E

D

0

r

r

εε

=

 

 

 

J

H

r

r

=

×

∇

 

 

0

B

. =

∇

r

 

(1.87) 

H

B

0

r

r

µµ

=

 

 

 

 

31 

Nhận xét:  Điện  trường  của dòng  điện không  đổi  cũng  tương tự  như điện 

trường tĩnh và là  một  trường thế,  chỉ khác  nhau  là điện trường  của dòng điện 

không đổi tồn tại ngay cả trong vật dẫn 

E

J

r

r

σ

=

, còn điện trường tĩnh thì không 

tồn tại bên trong vật dẫn.  

 

 

32 

Chương 2 

TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL 

 

2.1. Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường 

Lưu ý: 

- ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường 

- µ là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường 

Đặ

t ε’ = εε

0

 và µ’ = µµ

0

 

- ε’ là độ điện thẩm tuyệt đối 

- µ’ là độ từ thẩm tuyệt đối 

Hệ phương trình Maxwell trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có cả 

nguồn điện và từ ngoài 

t

E

J

E

H

0

E

∂

∂

εε

+

+

σ

=

×

∇

r

r

r

r

 

(1) 

 

t

H

J

E

0

M

∂

∂

µµ

−

−

=

×

∇

r

r

r

 

(2) 

(2.1) 

0

E

.

εε

ρ

=

∇

r

 

(3) 

 

0

M

H

.

µµ

ρ

=

∇

r

 

(4) 

 

Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm 

E

r

, 

H

r

 và các nguồn điện và 

từ nên khó giải. Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn. 

Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2) 

(

) ( )

(

)

(

)

E

t

J

E

H

H

.

H

0

E

2

r

r

r

r

r

r

×

∇

∂

∂

εε

+

×

∇

+

×

∇

σ

=

∇

−

∇

∇

=

×

∇

×

∇

 

(1) 

 

(

) ( )

(

)

H

t

J

E

E

.

E

0

M

2

r

r

r

r

r

×

∇

∂

∂

µµ

−

×

−∇

=

∇

−

∇

∇

=

×

∇

×

∇

 

(2) 

(2.2) 

Suy ra 

 

 

33 

M

M

0

M

0

E

0

2

2

0

0

2

J

t

J

1

J

t

H

t

H

H

r

r

r

r

r

r

σ

+

∂

∂

εε

+

ρ

∇

µµ

+

×

−∇

=

∂

∂

σ

µµ

−

∂

∂

µµ

εε

−

∇

 

(1) 

t

J

1

J

t

E

t

E

E

E

0

0

M

0

2

2

0

0

2

∂

∂

µµ

+

ρ

∇

εε

+

×

∇

=

∂

∂

σ

µµ

−

∂

∂

µµ

εε

−

∇

r

r

r

r

r

 

(2) 

Nhận  xét:  Vế  trái  của  các  phương  trình  (1)  và  (2)  trong  (2.3)  chỉ  còn 

E

r

 

hoặc 

H

r

. Đây là các phương trình vi phân cấp 2 có vế phải. Rất khó giải vì vế 

phải là các hàm rất phức tạp. Thường chỉ giải trong trường hợp không có nguồn 

và điện môi lí tưởng σ = 0, ta có 

0

t

H

H

2

2

0

0

2

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

r

r

 

(1) 

 

0

t

E

E

2

2

0

0

2

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

r

r

 

(2) 

(2.4) 

2.2. Phương trình cho các thế điện động  

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và 

từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau. 

2.2.1. Đối với nguồn điện 

Để

  đơn  giản  xét  trường  trong  điện  môi  lí  tưởng  σ  =  0  hệ  phương  trình 

Maxwell (2.1) được viết lại 

t

E

J

H

0

E

∂

∂

εε

+

=

×

∇

r

r

r

 

(1) 

 

t

H

E

0

∂

∂

µµ

−

=

×

∇

r

r

 

(2) 

(2.5) 

0

E

.

εε

ρ

=

∇

r

 

(3) 

 

0

H

. =

∇

r

 

(4) 

 

Đặ

t: 

(

)

E

0

A

1

H

r

r

×

∇

µµ

=

 

(2.6) 

 

 

34 

E

A

r

 gọi là thế vector điện 

Dễ thấy rằng: 

(

)

0

A

.

1

H

.

E

0

=

×

∇

∇

µµ

=

∇

r

r

 

Đư

a (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được 

0

t

A

E

E

=













∂

∂

+

×

∇

r

r

 

(2.7) 

Suy ra 

E

E

t

A

E

ϕ

∇

−

∂

∂

−

=

r

r

 

(2.8) 

Lưu ý 

0

E

=

ϕ

∇

×

∇

 

(2.9) 

ϕ

E

 là thế vô hướng điện 

E

A

r

và ϕ

E

 được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện 

Như vậy: 

H

r

 và 

E

r

 được biểu diễn qua 

E

A

r

và ϕ

E

 theo các công thức (2.6) và 

(2.8) tương ứng. 

Tìm 

E

A

r

và ϕ

E

 ? 

Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay 

H

r

 và 

E

r

 vào (1) của (2.5) ta có 

E

0

E

0

0

E

2

E

2

0

0

E

2

J

t

A

.

t

A

A

r

r

r

r

µµ

−

=













∂

ϕ

∂

µµ

εε

+

∇

∇

−

∂

∂

µµ

εε

−

∇

 

(2.10) 

E

A

r

và ϕ

E

 được chọn tuỳ ý. Vì vậy để đơn giản ta có thể chọn điều kiện phụ 

0

t

A

.

E

0

0

E

=

∂

ϕ

∂

µµ

εε

+

∇

r

 

(2.11) 

(2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn 

Phương trình sóng (2.10) được viết lại 

E

0

2

E

2

0

0

E

2

J

t

A

A

r

r

r

µµ

−

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

 

(2.12) 

Từ công thức (2.8) thay 

E

r

 vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có 

 

 

35 

0

2

E

2

0

0

E

2

t

εε

ρ

−

=

∂

ϕ

∂

µµ

εε

−

ϕ

∇

 

(2.13) 

Các  phương  trình  (2.12)  và  (2.13)  gọi  là  các  phương  trình  sóng  không 

thuần nhất hay các phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường 

đ

iện từ đối với nguồn điện. 

E

A

r

và ϕ

E

   

2.2.2. Đối với nguồn từ 

Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng σ 

= 0 có dạng 

t

E

H

0

∂

∂

εε

=

×

∇

r

r

 

(1) 

 

t

H

J

E

0

M

∂

∂

µµ

−

−

=

×

∇

r

r

r

 

(2) 

(2.14) 

0

E

. =

∇

r

 

(3) 

 

0

M

H

.

µµ

ρ

=

∇

r

 

(4) 

 

Cách làm tương tự như đối với nguồn điện ta có 

(

)

M

0

A

1

E

r

r

×

∇

εε

−

=

 

 

M

M

t

A

H

ϕ

∇

−

∂

∂

−

=

r

r

 

(2.15) 

M

0

2

M

2

0

0

M

2

J

t

A

A

r

r

r

εε

−

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

 

 

0

M

2

M

2

0

0

M

2

t

µµ

ρ

−

=

∂

ϕ

∂

µµ

εε

−

ϕ

∇

 

(2.16) 

0

t

A

.

M

0

0

M

=

∂

ϕ

∂

µµ

εε

+

∇

r

 

(2.17) 

M

A

r

và ϕ

M

 là các thế điện động đối với nguồn từ 

 

 

36 

Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và 

nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và 

nguồn từ, có nghĩa là 

(

)

E

M

0

E

A

1

t

A

E

ϕ

∇

−

×

∇

εε

−

∂

∂

−

=

r

r

r

 

 

(

)

M

M

E

0

t

A

A

1

H

ϕ

∇

−

∂

∂

−

×

∇

µµ

=

r

r

r

 

(2.18) 

Nhận xét: 

E

r

 và 

H

r

 được biểu diễn qua 

E

A

r

và ϕ

E

 hoặc 

M

A

r

và ϕ

M

 làm cho hệ 

phương  trình  Maxwell đơn  giản  hơn.  Đây  chính  là  ưu  điểm  của  phương pháp 

dùng các thế điện động. 

2.2.3. Đối với trường điều hoà 

Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc 

ω thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng 

biên độ phức như sau 

Em

0

2

Em

2

2

Em

2

J

t

A

k

A

•

•

•

µµ

−

=

∂

∂

−

∇

r

r

r

 

 

0

m

2

Em

2

2

Em

2

t

k

εε

ρ

−

=

∂

ϕ

∂

−

ϕ

∇

•

•

 

 

Mm

0

2

Mm

2

2

Mm

2

J

t

A

k

A

•

•

•

εε

−

=

∂

∂

−

∇

r

r

r

 

(2.19) 

0

Mm

2

Mm

2

2

Mm

2

t

k

µµ

ρ

−

=

∂

ϕ

∂

−

ϕ

∇

•

•

 

 

Trong đó: 

0

0

k

µµ

εε

ω

=

 là số sóng trong môi trường 

(2.19)  là  các  phương  trình  không  thuần  nhất,  còn  gọi  là  phương  trình 

Hemholtz 

Biểu thức của 

E

r

 và 

H

r

 có dạng 

 

 

37 

Em

Mm

0

Em

A

1

A

i

E

•

•

•

ϕ

∇

−













×

∇

εε

−

ω

−

=

r

r

r

 

(2.20) 

Mm

Mm

Em

0

t

A

A

1

H

•

•

•

ϕ

∇

−

∂

∂

−













×

∇

µµ

=

r

r

r

 

 

Giữa thế vector và thế vô hướng có mối quan hệ sau 

Em

0

0

Em

A

.

1

•

•

∇

µµ

ωεε

=

ϕ

r

 

(2.21) 

Mm

0

0

Mm

A

.

1

•

•

∇

µµ

ωεε

=

ϕ

r

 

 

Nhận xét: Theo (2.20) và (2.21) cho thấy rằng đối với trường điện từ điều 

hoà chỉ cần tìm nghiệm của hai phương trình Hemholtz đối với các thế vector 

Em

A

•

r

và 

Mm

A

•

r

 

2.3. Phương trình sóng cho các vector Hertz 

2.3.1 Vector Hertz điện 

Đặ

t 

t

A

E

0

0

E

∂

Γ

∂

µµ

εε

=

r

r

 

(2.22) 

Trong đó: 

E

Γ

r

 gọi là vector Hertz điện 

Thay (2.22) vào (2.6) ta được 

(

)

(

)

E

0

E

0

t

A

1

H

Γ

×

∇

∂

∂

εε

=

×

∇

µµ

=

r

r

r

 

(2.23) 

Thay (2.22) vào hệ thức chuẩn (2.11) ta được 

(

)

0

.

t

E

E

=

ϕ

+

Γ

∇

∂

∂

r

 

(2.24) 

Suy ra 

E

E

.Γ

−∇

=

ϕ

r

 

(2.25) 

Thay (2.22) và (2.25) vào (2.8) ta được 

 

 

38 

(

)

2

E

2

0

0

E

E

E

t

.

t

A

E

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∇

=

ϕ

∇

−

∂

∂

−

=

r

r

r

r

 

(2.26) 

Nhận xét: 

E

r

 và 

H

r

 đươc biểu diễn qua vector Hertz điện 

E

Γ

r

 

Tìm 

E

Γ

r

 ? 

Thay (2.22) vào (2.12) ta được 

E

0

2

E

2

0

0

E

2

0

0

2

E

2

0

0

E

2

J

t

t

t

A

A

r

r

r

r

r

µµ

−

=













∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∂

∂

µµ

εε

=

∂

∂

µµ

εε

−

∇

 

(2.27) 

Hay 

E

0

2

E

2

0

0

E

2

J

1

t

t

r

r

r

εε

−

=













∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∂

∂

 

(2.28) 

Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được 

∫

εε

−

=

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

t

0

E

0

2

E

2

0

0

E

2

dt

J

1

t

r

r

r

 

(2.29) 

Đặ

t 

∫

=

t

0

E

E

dt

J

P

r

r

 

(2.30) 

E

P

r

 gọi là vector phân cực của nguồn điện 

Phương trình (2.29) được viết lại 

0

E

2

E

2

0

0

E

2

P

t

εε

−

=

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

r

r

r

 

(2.31) 

Như vậy: vector phân cực 

E

P

r

 là nguồn tạo ra vector Hertz điện 

E

Γ

r

. Do đó 

E

Γ

r

 còn gọi là thế vector phân cực điện. 

2.3.2 Vector Hertz từ 

Tương tự cách làm của vector Hertz điện hoặc áp dụng nguyên lí đối lẫn 

của hệ phương trình Maxwell ta có 

t

A

M

0

0

M

∂

Γ

∂

µµ

εε

=

r

r

 

(2.32) 

 

 

39 

Trong đó: 

M

Γ

r

 gọi là vector Hertz từ 

M

M

.Γ

−∇

=

ϕ

r

 

(2.33) 

(

)

M

0

t

E

Γ

×

∇

∂

∂

µµ

−

=

r

r

 

(2.34) 

(

)

2

M

2

0

0

M

t

.

H

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∇

=

r

r

r

 

(2.35) 

Nhận xét: 

E

r

 và 

H

r

 đươc biểu diễn qua vector Hertz từ 

M

Γ

r

 

Tìm 

M

Γ

r

 ? 

M

0

2

M

2

0

0

M

2

J

1

t

t

r

r

r

µµ

−

=













∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

∂

∂

 

(2.36) 

Lấy tích phân 2 vế của (2.28) từ 0 đến t ta được 

∫

µµ

−

=

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

t

0

M

0

2

M

2

0

0

M

2

dt

J

1

t

r

r

r

 

(2.37) 

Đặ

t 

∫

=

t

0

M

M

dt

J

P

r

r

 

(2.38) 

M

P

r

 gọi là vector từ hoá của nguồn từ 

(2.37) được viết lại 

0

M

2

M

2

0

0

M

2

P

t

µµ

−

=

∂

Γ

∂

µµ

εε

−

Γ

∇

r

r

r

 

(2.39) 

Như vậy: vector từ hoá 

M

P

r

 là nguồn tạo ra vector Hertz từ 

M

Γ

r

. Do đó 

M

Γ

r

 

còn gọi là thế vector từ hoá. 

Nhận xét: 

E

r

  và 

H

r

  được  biểu  diễn  qua vector  Hertz  điện 

E

Γ

r

  hoặc vector 

Hertz từ 

M

Γ

r

 đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động. 

2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ 

 

 

40 

Trường  hợp  các  vector  Hertz  điện 

E

Γ

r

  và  vector  Hertz  từ 

M

Γ

r

chỉ  có  một 

thành phần. Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện 

E

Γ

r

 và vector Hertz từ 

M

Γ

r

 theo phương z là  

E

E

kΓ

=

Γ

r

r

 

(2.40) 

M

M

kΓ

=

Γ

r

r

 

(2.41) 

- Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện 

E

Γ

r

 một thành phần) sẽ 

có 

H

r

 theo phương z bằng 0 (H

z

 = 0), còn các thành phần khác của 

H

r

 nói chung 

khác 0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM 

- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ 

M

Γ

r

 một thành phần) sẽ có 

E

r

 theo phương z bằng 0 (E

z

 = 0), còn các thành phần khác của 

E

r

nói chung khác 

0. Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE 

Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường 

đ

iện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ 

2.4. Tìm nghiệm của phương trình sóng 

Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình 

d’  Alambert  chỉ  cần  xác  định 

E

r

  hoặc 

H

r

.  Do  đó  có  thể  sử  dụng  một  hàm  vô 

hướng  để  đại  diện  cho  ϕ

E

  và  ϕ

M

  hoặc  bất  cứ  thành  phần  nào  trong  hệ  toạ  độ 

Decac của 

E

Γ

r

, 

M

Γ

r

, 

E

A

r

 và 

M

A

r

, phương trình d’ Alambert được viết lại 

g

t

2

2

0

0

2

−

=

∂

ψ

∂

µµ

εε

−

ψ

∇

 

(2.42) 

g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V 

Nghiệm  của  (2.42)  bằng  tổng  nghiệm  của  phương  trình  sóng  thuần  nhất 

không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức 

là tìm nghiệm của phương trình sau 

0

t

2

2

0

0

2

=

∂

ψ

∂

µµ

εε

−

ψ

∇

 

(2.43) 

 

 

41 

Đố

i với trường hợp nguồn điểm đặt ở gốc toạ độ. Vì nguồn điểm có tính 

đố

i xứng cầu nên hàm ψ chỉ phụ thuộc r và t. Trong hệ toạ độ cầu ta có 

( )

ψ

∂

∂

=

∂

ψ

∂

+

∂

ψ

∂

=

ψ

∇

r

r

r

r

1

r

r

2

r

2

2

2

2

2

 

(2.44) 

Đặ

t φ = rψ ta có 

0

t

r

2

2

0

0

2

2

=

∂

φ

∂

µµ

εε

−

∂

φ

∂

 

(2.45) 

Nghiệm của phương trình vi phân (2.45) là 













+

+













−

=

φ

v

r

t

f

v

r

t

f

2

1

 

(2.46) 

Suy ra 

r

v

r

t

f

r

v

r

t

f

2

1













+

+













−

=

ψ

 

(2.47) 

Trong đó: 

0

0

1

v

µµ

εε

=

 là vận tốc truyền sóng trong môi trường; f

1

 và f

2

 là 

các hàm tuỳ ý 

r

v

r

t

f

1













−

 mô tả sóng cầu phân kì truyền từ nguồn → vô cùng 

r

v

r

t

f

2













+

 mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng → nguồn  

Điều kiện bức xạ tại vô cùng: 

0

E

ik

t

E

r

lim

r

=













+

∂

∂

∞

→

r

r

 

0

H

ik

t

H

r

lim

r

=













+

∂

∂

∞

→

r

r

 

(2.48) 

Trong đó: 

0

0

k

µµ

εε

ω

=

 là số sóng 

 

 

42 

Nhận xét: vì là nguồn điểm đặt tại gốc toạ độ và không gian là vô hạn nên 

theo điều kiện bức xạ tại vô cùng ta chọn nghiệm của phương trình sóng (2.43) 

cho nguồn điểm là hàm f

1

 và loại bỏ hàm f

2

 

Vậy 

r

v

r

t

f

1













−

=

ψ

 

(2.49) 

Nếu r → 0 (tại gốc toạ độ) thì nghiệm (2.49) không thoả mãn phương trình 

sóng thuần nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải 

chọn dạng  của  f

1

 sao  cho  ψ  là nghiệm  của  phương trình sóng d’  Alambert  và 

phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng. 

Ở

 trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại 

g

2

−

=

ψ

∇

 

(2.50) 

gọi là phương trình sóng Poisson và có nghiệm là 

∫

π

=

ψ

V

dV

r

g

4

1

 

(2.51) 

Lưu ý : 

r  là  khoảng  cách  từ vị trí quan  sát  trường  đến  yếu  tố  vi  phân  gdV.  Theo 

(2.49) và (2.51) ta chọn dạng hàm của f

1

 như sau 













−

π

=













−

v

r

t

g

4

1

v

r

t

f

1

 

(2.52) 

Như vậy, nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert là 

( )

∫













−

′

π

=

ψ

V

dV

r

v

r

t

,

r

g

4

1

t

,

r

 

(2.53) 

Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở 

thời điểm t’ sớm hơn t một khoảng thời gian là 

v

r

t =

′

 

(2.54) 

 

 

43 

Như vậy, trường tại vị trí quan sát chậm pha so với nguồn một khoảng thời 

gian t’ nên (2.53) gọi là thế chậm của trường điện từ. 

Tương tự như nghiệm (2.53) ta có 

( )

∫













−

′

π

µµ

=

V

E

0

E

dV

r

v

r

t

,

r

J

4

t

,

r

A

r

r

 

(2.55) 

 

( )

∫













−

′

π

εε

=

V

M

0

M

dV

r

v

r

t

,

r

J

4

t

,

r

A

r

r

 

(2.56) 

Đố

i với trường điều hoà ta có 

ikr

t

i

ikr

m

v

r

t

i

m

e

g

e

e

g

e

g

v

r

t

g

−

•

ω

−

•













−

ω

•

•

=

=

=













−

 

(2.57) 

 

( )

ikr

E

v

r

t

i

Em

E

e

t

A

e

A

v

r

t

A

−

•













−

ω

•

•

=

=













−

r

r

r

 

(2.58) 

 

( )

ikr

M

v

r

t

i

Mm

M

e

t

A

e

A

v

r

t

A

−

•













−

ω

•

•

=

=













−

r

r

r

 

(2.59) 

Các thế chậm 

M

E

A

 ,

A

 ,

•

•

•

ψ

r

r

 được tính là 

( )

(

)

∫

−

•

•

′

π

=

ψ

V

ikr

dV

r

e

t

,

r

g

4

1

t

,

r

 

(2.60) 

 

( )

(

)

∫

−

•

•

′

π

µµ

=

V

ikr

E

0

E

dV

r

e

t

,

r

J

4

t

,

r

A

r

r

 

(2.61)