1.
Skutki działania sił zewnętrznych na ciało. Pojęcie sił wewnętrznych. NapręŜenia.
Składowe napręŜenia. Równania całkowe równowagi.
Siły jakie przykładamy do ciała z zewnątrz-zwane siłami zewnętrznymi moŜemy podzielić na
siły objętościowe (masowe) i siły powierzchniowe (obciąŜenia). Siły objętościowe (masowe)
są to siły wywołane przyspieszeniami i są związane z masą lub objętością ciała. Siły
powierzchniowe (obciąŜenia) są przyłoŜone do powierzchni danego ciała; przyczyną tych sił
jest zwykle oddziaływanie dwu ciał na siebie na zasadzie akcji i reakcji w miejscu ich
bezpośredniego kontaktu.
Skutek działania siły zewnętrznej na ciało będzie polegał na zmianie ruchu ciała bądź jego
odkształcenie przejawiające się zmianą objętości oraz kształtu a więc geometrii oraz zmianą
sił wewnętrznych wzajemnego oddziaływania międzycząsteczkowego.
Pojęcie siły wewnętrznej:
Siłą wewnętrzna nazywamy siłę występującą wewnątrz ciała wywołaną siłą zewnętrzną
działającą na to ciało.
NapręŜenie:
Oddziaływanie lokalne (sprowadzone do punktu) w dowolnym punkcie ciała np. A.(x,y,z)
nazywamy napręŜeniem. Pod pojęciem napręŜenia rozumiemy granicę iloczynu przyrostu sił
wewnętrznych do przyrostu przekroju przy załoŜeniu Ŝe przyrost przekroju zmierza do 0
Jednostką napręŜenia jest [Pa]
Przez stan napręŜenia – lub stan napręŜeń - określonym punkcie ciała rozumiemy ogół
napręŜeń otrzymanych dla wszystkich moŜliwych przekrojów przechodzących przez ten
punkt.
RozróŜniamy trzy charakterystyczne rodzaje stanu napręŜenia w punkcie: jednoosiowy, płaski
i przestrzenny.
Jednoosiowy (czyli jednowymiarowy) stan napręŜenia cechuje to, Ŝe dla kaŜdego przekroju
przeprowadzonego przez dany punkt napręŜenie
ma stały kierunek.
Płaski (dwuwymiarowy) stan napręŜenia cechuje to, Ŝe napręŜenia
odpowiadające
róŜnym przekrojom przeprowadzonym przez dany punkt-leŜą w jednej płaszczyźnie, którą
nazywamy płaszczyzną stanu napręŜenia.
Przestrzenny (trójwymiarowy) stan napręŜenia cechuje to, Ŝe dla kaŜdego z przekrojów
przeprowadzonych przez dany punkt napręŜenia
posiada inny kierunek w przestrzeni.
Składowe stanu napręŜenia.
W ogólnym przypadku napręŜenie moŜe posiadać dowolny kierunek względem określonej
płaszczyzny przekroju. Rzutujemy wówczas napręŜenie
na kierunki osi układu
współrzędnych –x, y, z-którego początek znajduje się w punkcie B, otrzymamy trzy typowe
składowe zwane składowymi stanu napręŜenia. Składowe te oznaczamy : składową normalną
symbolem σ a styczną symbolem τ, zaopatrując je odpowiednimi wskaźnikami. Wskaźnik
przy σ informuje, Ŝe jest to składowa normalna napręŜenia, przynaleŜna przekrojowi, którego
normalna zewnętrzna posiada kierunek tej osi. Pierwszy wskaźnik przy τ mówi to samo o
kaŜdej z dwóch składowych stycznych napręŜenia, wskaźnik drugi określa kierunek kaŜdej z
tych osi.
Równania całkowe równowagi.
2. Rozciąganie i ściskanie. NapręŜenia. Odkształcenia podłuŜne i poprzeczne. Prawo
Hooka dla jednoosiowego stanu napręŜenia. Wykres rozciągania i ściskania.
NapręŜenia dopuszczalne. Wymiarowanie przekrojów.
Rozciąganie: Przypadek rozciągania ma miejsce, kiedy siły wewnętrzne w przekroju
poprzecznym pręta zredukowane do środka cięŜkości przekroju sprowadzają się do siły
wypadkowej N, działającej wzdłuŜ osi pręta, zgodnie z wektorem normalnym
n
do przekroju.
Ściskanie: Przy ściskaniu, siła wypadkowa ma zwrot przeciwny do wektora normalnego.
Siłe wewnętrzną N obliczyć moŜna jako sumę elementarnych sił wewnętrznych:
dN=σ
n
dA na powierzchni A.
n
A
N
dA
σ
=
∫
NapręŜenia: Przy załoŜeniu jednorodności rozkładu napręŜeń (σ
0
=const.), stałość przekroju
A na długości pręta oraz jednorodność materiału pręta, napręŜenia moŜna obliczyć jako:
σ
n
=N/A.
Jednak ten warunek zachodzi jedynie w przekroju oddalonym od punktu przyłoŜenia
siły o więcej niŜ maksymalny wymiar liniowy przekroju (rys. 3.2).
W przypadku obciąŜenia pręta pryzmatycznego róŜnymi układami obciąŜeń statycznie
równowaŜnych, w pobliŜu powierzchni przyłoŜenia obciąŜenia rozkłady napręŜeń na
przekroju pręta są niejednorodne, natomiast w odległości większej od największego wymiaru
przekroju poprzecznego , wpływ sposobu przyłoŜenia sił zewnętrznych staje się znikomy i
moŜna go zaniedbać.
Odkształcenie – miara deformacji ciała poddanego siłom zewnętrznym.
Odkształcenia podłuŜne (względne jednostkowe): związane są ze zmianą długości pręta;
moŜna je określić wzorami:
'
x
dx
dx
du
dx
dx
ε
−
=
=
;
0
l
x
x
l
dx
l
ε
ε
∆ =
= ⋅
∫
, gdzie ∆l to całkowite
wydłuŜenie pręta oraz ε
x
=const.
∆l = l’- l;
Odkształcenia poprzeczne: związane są ze zmianą szerokości pręta; moŜna je
określić wzorami:
'
y
dy
dy
dv
dy
dy
ε
−
=
= −
;
/ 2
/ 2
d
y
y
d
d
dy
d
ε
ε
−
∆ = −
= − ⋅
∫
,
∆d = d’- d;
Prawo Hooke'a:
P l
l
E A
⋅
∆ =
⋅
„Ut tensio sie vis” -takie odkształcenie jaka siła.
Dla większości ciał stałych w pewnym zakresie napręŜeń istnieje liniowa zaleŜność pomiędzy
napręŜeniami i odkształceniami tzn. odkształcenie jest wprost proporcjonalne do
odkształcenia, które je wywołało.
Dla jednorodnych napręŜeń normalnych σ
n
wywołanych siłą P, prawdziwy jest wykres:
Wyprowadzenie prawa Hooke’a:
1
z
z
E
ε
σ
=
z
l
l
ε
∆
=
z
P
A
σ
=
1
l
P
l
E A
∆ = ⋅
P l
l
E A
⋅
∆ =
⋅
.
E - moduł spręŜystości poprzecznej (moduł younga);
E
st
=2,1*10
5
MPa; E
Al
=0,15*10
5
MPa
EA - iloczyn modułu younga i pola przekroju nazywamy sztywnością na rozciąganie
i ściskanie;
A
R=P
P
P
N
σ
∑Piz=0 ∫σ
z
dA - N=0
σ
z
∫dA=N => σ
z
= N/A
∑Piz=P-N=0
P=N
z
R=P
Wykres rozciągania dla stali miękkiej (niskowęglowej, 0,3%C):
Wykres rozciągania innych metali:
Warunki wytrzymałości kształtowania konstrukcji (wymiarowanie przekrojów):
Aby obliczyć wytrzymałość elementów konstrukcji, tzn. tak zaprojektować wymiary
tego elementu aby spełnić warunki:
-ekonomii; -lekkości
-sztywności; -związany jest z charakterem pracy oraz geometrią konkretnej konstrukcji,
sprawdzać naleŜy w przypadku zadanych dopuszczalnych przemieszczeń ∆l
dop
.
Warunek ten dla pręta pryzmatycznego ściskanego lub rozciąganego zapisać moŜna:
dop
Pl
l
l
EA
∆ =
≤ ∆
Rozciąganie
Ściskanie
-warunek bezpieczeństwa: wyraŜa postulat: aby napręŜenia przekroju projektowanego
elementu były co najwyŜej równe napręŜeniom dopuszczalnym.
NapręŜenia dopuszczalne jest to stosunek napręŜenia krytycznego do załoŜonego
współczynnika bezpieczeństwa.
σ≤k
k=K/n
K=R
e
-pojawienie się odkształceń plastycznych.
Pod pojęciem współczynnika bezpieczeństwa przyjmujemy liczbę niemianowaną „n”
wskazującą ile razy napręŜenie dop. jest mniejsze od napręŜenia krytycznego.
wg A. Bluma: n=1,5-1,7; n=2,3; n=8-10;
e
r
e
R
P
k
A
n
σ
= ≤ =
(lub kr=
m
m
R
n
dla materiałów elasto-kruchych) .
m
r
m
R
P
k
A
n
σ
= ≤ =
c
c
c
R
P
k
A
n
σ
= ≤ =
3 Zasada de ST. Venanta, zjawisko spiętrzania napręŜeń, napręŜenia wstępne zagadnia statycznie nie
wyznaczalne przy rozciaganiu i sciskaniu
Hipoteza de ST. Venanta (1837):
Miara wytęŜenia jest największe odkształcenie jednostkowe
Ε
Zgodnie z tą hipoteza wartość największego odkształcenia jednostkowego dla danego złoŜonego stanu
napręŜenia nie moŜe przekroczyc wartości dopuszczalnego odkształcenia jednostkowego. Określonego na
podstawie próby jednoosiowego rozciagania.
[
]
max
1
2
3
1
2
3
1
1
(
)
E
E
E
E
E
V
E
σ
σ σ
>
>
=
=
−
+
Zaś wartość dopuszczalnego odkształcenia jednostkowego dla jednoosiowego rozciagania będzie równe:
[
]
max
1
2
3
1
1
(
)
k
E
E
V
E
E
σ
σ σ
=
=
−
+
≤
Hip de ST. Venanta daje wyniki pokrywające się z doświdczeniem dla mat spręŜysto – kruchych. Natomiast do
zastosowania dla mat spręŜysto – kruchych daje duŜe niezgodności poniewaŜ mówi Ŝe próbka rozciagana w 2
lub 3 kierunkach była by bardziej wytrzymała niŜ próbka rozciagana w jednym kierunku.
Z przypadkami statycznie nie wyznaczalnymi mamy do czynienia wówczas gdy w danym układnie liczba
niewiadomych sił (zwykle reakcji wiezów) jest większa od liczby równań równowagi.
Stopień statycznej niewyznaczalności jest to liczba okreslajaca nadwyŜke liczby niewiadomych ponad liczbe
pozostałych dysponowanych równań statyki. Dodatkowe równania zapiszemy reprezentując spręŜyste
odkształcenia układu w formie tzw. Równań zgodności przemieszczeń.
Nz=r-1
dla układów liniowych
Nz=r-2
dla układu płaskiego
Nz=r-3
dla układu płaskiego dowolnego
Wtedy korzystamy z równań zgodności odkształceń
Zasada superpozycji skutku – skutek działania układu sił na ciała rzeczywiste w określonym punkcie i na
określonym kierunku równa się sumie algebraicznej skutków działania kaŜdej z sił układu rozpatrywane osobno
w określonym punkcie i na określonym kierunku.
NAPREZENIA WSTEPNE – napręŜenia wywołane bez udziału właściwych obciąŜeń nazywamy napręŜeniami
wstępnymi. JeŜeli są one spowodowane zestawieniem części wykonanych z pewnymi niedokładnościami
wymiarowymi nazywamy je zestawieniowymi lub montaŜowymi. W konstrukcjach statycznie niewyznaczalnych
nieznaczne nawet odchyłki wymiarowe mogą spowodować znaczne napręŜenia wstępne, często trudne do
przewidzenia. Ten stan moŜe pogorszyć wytrzymałość konstrukcji . Stan te moŜna jednak wywołać celowo, aby
pod obciąŜeniem wystąpił najodpowiedniejszy rozkład sił wewnętrznych i w rezultacie wzrosła efektywnie
wytrzymałość konstrukcji.
4
Geometryczne charakterystyki przekroju. Momenty statyczne. Momenty
bezwładności. Transformacja przez obrót i przesunięcie.
Geometryczne charakterystyki przekroju:
Momenty statyczne S [cm
3
m
3
] pole A figury płaskiej
względem osi x, y określić moŜna z zaleŜności:
x
A
y
A
S
ydA
S
xdA
=
=
∫
∫
Momenty statyczne mogą przyjmować wartości
dodatnie, ujemne lub równe zero. Momenty statyczne
obliczone względem osi symetrii lub względem
prostych przechodzących przez środek symetrii są
równe zero.
Środek cięŜkości (X
c
, Y
c
)jest punktem przyłoŜenia wypadkowej cięŜarów (geometrii)
wszystkich cząstek ciała bez względu na orientacje ciała przestrzeni.
Obliczamy go z wzoru:
śeby nie zamazywać rysunku nie
wpisałem wszystkich odległości. Robi
się to analogicznie jak na rysunku.
Osie centralne – osie przechodzące przez środek figury płaskiej.
Przy szukaniu środka cięŜkości figury płaskiej korzystamy z twierdzeń:
-JeŜeli figura ma oś symetrii, to ta oś przechodzi przez środek cięŜkości figury.
-JeŜeli figura posiada środek symetrii, to jest on równocześnie środkiem cięŜkości tej figury.
1
1
*
*
*
*
y
A
c
x
A
c
x
c
y
c
n
x
ci
i
i
n
y
ci
i
i
xdA
S
x
A
A
ydA
S
y
A
A
S
y
A
S
x
A
S
y
A
S
x
A
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∫
∫
∑
∑
Moment bezwładności[cm
4
, m
4
] I pole figury płaskiej A względem osi x, y prostopadłego
układu współrzędnych.
Moment bezwładności figury płaskiej (II rzędu)moŜe być tylko dodatni.
2
2
2
2
2
0
2
2
2
(
)
x
A
y
A
x
y
A
A
I
y dA
I
x dA
I
dA
x
y dA
I
I
x
y
ρ
ρ
=
=
=
=
+
= +
=
+
∫
∫
∫
∫
Moment dewiacji – ośrodkowy moment bezwładności
względem prostokątnego układu osi xy
xy
A
D
xydA
=
∫
Promień bezwładności- i -pole A figury płaskiej
względem osi lub bieguna nazywamy odległość, w której umieszczona całkowita
powierzchnia A daje moment bezwładności względem tej prostej lub tego bieguna równy
momentowi samej figury.
0
0
2
2
2
0
x
x
y
y
x
y
I
i
A
I
i
A
I
i
A
i
i
i
=
=
=
=
+
Twierdzenie Steinera:
Moment bezwładności pola A figury płaskiej względem prostej równa się momentowi
bezwładności tej figury względem prostej do niej równoległej i przechodzącej przez środek
cięŜkości pola, plus iloczyn pola A figury i kwadratu odległości obu prostych.
Wzory Steinera określają zaleŜność między momentem bezwładności przy transformacji
układu przez równoległe przesunięcie osi ze środka cięŜkości przekroju,
2
2
c
c
x
x
y
y
I
I
a A
I
I
b A
=
+
=
+
2
c c
w
c
xy
x y
I
I
r A
D
D
abA
= +
=
+
Transformacja układu przez obrót
2
2
2
2
cos
sin
sin 2
sin
cos
sin 2
1
cos 2
(
) sin 2
2
u
x
y
xy
v
x
y
xy
uv
xy
x
y
I
I
I
D
I
I
I
D
D
D
I
I
α
α
α
α
α
α
α
α
=
+
−
=
+
+
=
+
−
Główne osie bezwładności- są to osie
względem, których oblicza się główne
momenty bezwładności. Momenty
bezwładności obliczone względem
układu tych osi przyjmują wartość ekstremalną i nazywamy je głównymi momentami
bezwładności.
2
2
max,min
1,2
(
)
2
2
x
y
x
y
xy
I
I
I
I
I
I
D
+
−
=
=
±
+
Główne osie bezwładności przechodzące przez środek cięŜkości figury nazywamy głównymi
centralnymi osiami bezwładności, a momenty względem ni obliczone głównymi centralnymi
momentami bezwładności.
Momenty figur płaskich:
-prostokąt
3
3
12
12
x
y
bh
I
hb
I
=
=
-trójkąt równoramienny
3
3
36
48
x
y
bh
I
hb
I
=
=
-koło
4
64
x
y
d
I
I
π
=
=
5.
Stan napręŜenia. Jedno, dwu i trójosiowy stan napręŜenia. NapręŜenie główne.
Transformacja z kierunków głównych. Transformacja na kierunki główne. Koło
Mohra.
Stanem napręŜenia - ogół napręŜę występujących w danym punkcie.
Stan napręŜeń moŜe być:
-jednorodny (rozkład napręŜeń jest funkcją liniową)
-niejednorodny (rozkład napręŜeń nie jest funkcją liniową)
Pod pojęciem jednoosiowego stanu napręŜenia rozumiemy taki stan, w którym
niezaleŜnie od wykonanego myślowego przekroju, napręŜenie posiada stały kierunek -zwany
kierunkiem głównym.
Przekrój, w którym napręŜenie styczne przyjmuje wartość zero, a napręŜenie normalne
przyjmuje wartość ekstremalną, nosi nazwę przekroju głównego, zaś napręŜenie normalne
nazywamy głównym.
1
1
cos 2
2
2
n
σ σ
σ
α
=
+
⋅
;
1
1
cos 2
2
2
v
σ σ
σ
α
=
−
⋅
1
sin 2
2
nv
σ
σ
α
= −
⋅
;
1
sin 2
2
vn
σ
σ
α
=
⋅
Prawo Cauchy: |
| |
|
nv
vn
τ
τ
=
Dwuosiowy (płaski) stan napręŜenia -stan napręŜenia w którym, nie zaleŜnie od
wykonanego przekroju napręŜenia zawsze leŜą w jednej płaszczyźnie zwanej płaszczyzną
stanu napręŜenia.
Trójosiowy (przestrzenny) stan napręŜenia:
Jest to taki przypadek stanu napręŜeń w którym w kaŜdym przekroju myślowym
napręŜenie posiada inny kierunek.
Tensor napręŜeń:
T
=
σ
ij
=
x
xy
zx
yx
y
yz
zx
zy
z
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
Transformacja z kierunków głównych na dowolne:
1
2
1
2
cos 2
2
2
x
σ σ
σ σ
σ
α
+
−
=
+
⋅
1
2
1
2
cos 2
2
2
y
σ σ
σ σ
σ
α
+
−
=
−
⋅
1
2
sin 2
2
xy
σ σ
σ
α
−
= −
⋅
1
2
sin 2
2
yx
σ σ
σ
α
−
=
⋅
Transformacja z kierunków dowolnych na kierunki główne:
2
2
1
1
(
)
4
2
2
x
y
x
y
xy
σ σ
σ
σ σ
τ
+
=
+
−
+
2
2
2
1
(
)
4
2
2
x
y
x
y
xy
σ σ
σ
σ σ
τ
+
=
−
−
+
2
2
xy
x
y
tg
τ
α
σ σ
=
−
Koło Mohra - graficzna reprezentacja stanu napręŜenia w danym punkcie!
Wyprowadzenie:
Kolo Mohra dla przestrzennego stanu napręŜenia:
Uogólnione prawo Hooka dla kierunków głównych:
1
1
2
3
1
[
(
)]
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
2
2
1
3
1
[
(
)]
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
3
3
1
2
1
[
(
)]
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
Przykłady szczególnych stanów napręŜeń (koła Mohra):
- Jednoosiowe rozciąganie i ściskanie:
1
(1 cos 2 )
2
x
σ
σ
α
=
+
;
1
(1 cos 2 )
2
y
σ
σ
α
=
−
;
1
sin 2
2
xy
τ
σ
α
= −
σ
1
σ
τ
Rozciąganie
(σ
1
> 0; σ
2
=0)
σ
2
σ
τ
Ściskanie
(σ
1
= 0; σ
2
<0)
- Ścinanie:
cos 2
x
σ
σ
α
=
;
cos 2
y
σ
σ
α
= −
;
sin 2
xy
τ
σ
α
= −
6. Teoria stanu odkształcenia. Prawo Hooke’a dla ciał izotropowych. Odkształcenia
główne. Dylatacja.
Teoria stanu odkształcenia
Twierdzenie
W pewnych granicach własności danego materiału kąt odkształcenia postaciowego jest
wprost proporcjonalny do napręŜenia stycznego, które je wywarło.
Stanem odkształcenia w punkcie nazywamy ogół odkształceń ( liniowych
,
,
x
y
z
ε ε ε
i
kątowych
,
,
xy
xz
yz
γ γ γ
) we wszystkich dowolnie zorientowanych elementach przekroju
zawierających ten punkt.
Elementarny prostopadłościan pod wpływem obciąŜenia ulega deformacji liniowej
,
,
x
y
z
ε ε ε
oraz deformacji kątowej ( postaciowej )
,
,
xy
yz
zx
γ γ γ
. Stan odkształcenia moŜna zapisać w
postaci macierzowej, która jest reprezentacją tensora stanu odkształcenia:
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
x
xy
xz
ij
yx
y
yz
zx
zy
z
ε
γ
γ
ε
γ
ε
γ
γ
γ
ε
=
Dla płaskiego stanu odkształcenia:
1
0
2
1
0
2
0
0
0
x
xy
ij
yx
y
ε
γ
ε
γ
ε
=
Tensor odkształcenia jest analogiczny do tensora napręŜeń i analizuje się go ?????????
Prawo Hooke’a dla ciał izotropowych
σ
1
σ
τ
(σ
1
= -σ
2
)
σ
2
Określa związki między stanem napręŜenia i stanu odkształcenia materiału jednorodnego i
izotropowego w najogólniejszym stanie napręŜenia, czyli przestrzenny stan napręŜenia.
1
1
2
3
1
[
(
)]
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
2
2
1
3
1
[
(
)]
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
3
3
1
2
1
[
(
)]
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
Płaski stan odkształcenia
3
0
σ
=
1
1
2
1
(
)
E
ε
σ νσ
=
−
2
2
1
1
(
)
E
ε
σ νσ
=
−
3
1
2
(
)
E
ν
ε
σ σ
= −
+
ZaleŜność między modułem Young’a E ,modułem Kirchoffa G i współczynnikiem Poissona
ν
2(1
)
E
G
ν
=
+
Znając wartości odkształceń głównych
1
2
,
ε ε
moŜna obliczyć napręŜenia:
1
1
2
2
(
)
1
E
σ
ε νε
ν
=
+
−
2
2
1
2
(
)
1
E
σ
ε νε
ν
=
+
−
Dla kierunków dowolnych dowierzają zaleŜności
1
[
(
)]
x
x
y
z
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
xy
xy
G
τ
γ
=
1
[
(
)]
y
y
z
x
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
yz
yz
G
τ
γ
=
1
[
(
)]
z
z
x
y
E
ε
σ ν σ σ
=
−
+
zx
zx
G
τ
γ
=
KURWA BRAKUJE ODKSZT GL I DYLATACJI , KURWA HUJ WIE CO TO JEST
W NECIE PISZE ZE ZWIAZANE Z PREDK KOSM, ALBO OTWOR W BUDOWN.
Ścinanie techniczne – przypadek wytrzymałościowy określany jako tzw. Ścinanie czyste, jest
to stan napręŜenia, który scharakteryzować moŜna wyłącznie poprzez napręŜenia styczne.
warunek na ścinanie:
t
P
k
A
τ
= ≤
P – siła ścinająca
A – przekrój ścinany
k
t
– napręŜenie dopuszczalne na ścinanie.
W przypadku połączeń nitowych zakłada się
równomierny rozkład sił ścinających na wszystkie nity
przy uwzględnieniu liczby płaszczyzn cięcia nita.
n – ilość nitów
i – liczba powierzchni ścinania
NapręŜenia na docisk powierzchniowy obliczyć moŜna z warunku:
d
dop
d
P
p
p
A
=
≤
A
d
– sumaryczna obliczeniowa powierzchnia na docisk
p
dop
– napręŜenia dopuszczalne na docisk
Dla połączenia nitowego warunek na docisk:
n – obliczeniowa liczba nitów
p
dop
= (2-2,5)k
c
A
d
=d g
min
- rzut powierzchni docisku na płaszczyznę
średnicową nita dla blachy o minimalnej grubości w połączeniu.
PoniewaŜ wykonywanie otworów na nity osłabia elementy łączone, konieczne jest
sprawdzenie warunku bezpieczeństwa na rozciąganie.
r
r
netto
P
k
A
σ
=
≤
A
netto
= g
1
(b-d)
Widzimy Ŝe zastosowanie więcej niŜ 4 nity
mija się z celem gdyŜ kolejne nity nie
przenoszą obciąŜeń, tylko osłabiają przekrój.
2
4
t
P
n
d
k i
π
⋅
≥
⋅ ⋅ ⋅
2
4
t
P
k
n i
d
τ
π
⋅
=
≤
⋅ ⋅ ⋅
min
d
dop
P
p
p
n d g
=
≤
⋅ ⋅
Dla połączeń spawanych ze spoinami pachwinowymi zakłada się, Ŝe zniszczenie następuje w
wyniku ścięcia w płaszczyźnie najsłabszego przekroju a
.
l
s
spoiny.
Warunek bezpieczeństwa:
ts
P
k
L a
τ
=
≤
⋅
L – obliczeniowa długość spoiny
a – obliczeniowa grubość spoiny
k
ts
– napręŜenia dopuszczalne na ścinanie
Dla spoiny czołowej jako grubość obliczeniową
a spoiny przyjmuje się wysokość trójkąta
wpisanego w przekrój spoiny. Maksymalna wartość a moŜna obliczyć jako:
min
min
2
0, 7
2
a
g
g
=
⋅
≅
⋅
, gdzie g
min
jest grubością cienkiego z łączonych elementów.
Spoiny pachwinowe: a=g
8 Skrecanie pretów o przekroju kołowym. NapręŜenia i odkształcenia przy skrecaniu
Skręcanie – jest to taki przypadek wytrzymałości materiałów w którym na wynik redukcji wszystkich sił
zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy w tym przekroju moment
skręcający.
Moment skręcający jest to algebraiczna suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej
stronie myślowego przekroju w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta.
Moment ten będziemy uwaŜać za dodatni, jeŜeli jego wektor posiada zwrot zgodny ze zwrotem normalnej
zewnętrznej do przekroju, w przypadku przeciwnym moment skręcający uwaŜać będziemy za ujemny.
W przekroju poprzecznym prostopadłym do osi pręta podpartego i obciąŜonego występują tylko napręŜenia
styczne do promienia.
0
0
p
M
p
l
τ
=
Tp – napręŜenia styczne w punktach odległych o „r” od środa przekroju
Ms – moment skręcający w danym przekroju
Io – biegunowy moment bezwładności pola przekroju względem środka koła
Największe napręŜenia styczne w danym przekroju występują we włóknach skrajnych p=p
mac
max
max
0
0
0
0
max
Ms
Ms
p
I
W
I
W
p
τ
=
=
=
W
0
– wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu.
Diagram skręcający – jest to graficzna ilustracja przekroju momentu skręcającego w funkcji długości pręta.
Hipoteza płaskich przekrojów - stanowi ze przekrój przed odkształceniem pozostaje płaski po odkształceniu.
NapręŜenia
1
2
,
σ τ σ
τ
=
= −
Warunek bezpieczeństwa na skręcanie
3
max
0
0
,
0, 2
Ms
kr W
d
W
τ
≤
≤
=
Sztywność :
0
*
180
,
,
*
180
o
rad
rad
dop
Ms l
G I
π
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
=
≤
=
=
0
0
A
B
Miz
M
M
M
= −
+
−
=
∑
Równania statyki nie wystarczają, trzeba równania zgodności odkształceń (stosujemy zasade
superpozycji)
0
0
0
*
*
;
*
*
B
B
B
B
M
l
Mo Yz
G Io
G I
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
+
=
−
=
=
- podstawiamy i redukujemy
0
2
2
B
A
B
M
Mo
M
M
M
=
→
−
=
0
2
l
z
≤ <
1
0
1
0
2
A
s
s
A
Miz
M
M
M
M
M
= −
+
=
=
=
∑
2
l
Z
l
≤ <
0
2
0
0
2
0
0
0
2
2
A
s
s
A
Miz
M
M
M
M
M
M
M
M
M
= −
+
+
=
=
−
=
−
= −
∑
9 Siły wewnętrzne w pretach zginanych. Def momentu zginającego o siły poprzecznej.
Wykresy sił poprzecznych i momentów zginających. Wzory Schwedlera – śurawskiego
Zginanie Tw Schwedlera – śurawskiego Obliczanie bedek
Zginanie jest to przypadek wytrzymałości materiałów w którym na wynik redukcji
wszystkich sił zawietrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju wzgladem
srodka cieŜkości tego przekroju otrzymamy moment gnacy.
Moment gnocy – algebraiczna suma momentu wszystkich sił zewnętrznych działających po
jednaj stronie myślowego przekroju w płaszczyźnie przechodzącej przez oś pręta
Belka – pręt prosty w którym za pośrednictwem odpowiednio pomyślanych (dobranych)
więzów odebrano odpowiednia ilsc stopnie swobody
Płaszczyzna główna zginania – płaszczyzna przechodzaca przez oś belki i przez jedną z
głównych centralnych osi bezwładności przekroju
Strefa martwa (obojetna) – znajduje się miedzy strefa rozciagana a sciskaną
Zginanie proste – jest to takie przypadek zginania w którym na wynik redukcji wszystkich
sił zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju otrzymamy moment
gnacy i siłe poprzeczna; zaś płaszczyzną obciazonia zewnętrznego belki będzie się pokrywałą
z jedną z płaszczyzn głównych ścinania belki.
Siła poprzeczna – algebraiczna suma wszystkich sił zewnętrznych działających po jednej
stronie myślowego przekroju prostopadłych do osi belki.
Tw. Schwedlera – śurawskiego
Jest to związek miedzy momentem gnącym, siła poprzeczna i natęŜeniem obciąŜenia ciągłego
( )
( )
dT z
q z
dz
= −
- pochodna siły poprzecznej po zmiennej długości belki równa się
natęŜeniu obciąŜenia ciągłego ze znakiem ujemnym.
( )
( )
dM z
T z
dz
=
- pochodna momentu gnącego po zmiennej długości belki równa się sile
poprzecznej w myślowym przekroju belki
Algorytm rozwiązywania belek prostych statycznie wyznaczalnych metoda myślowych
przekrojów :
1.
Przyjąć schemat obliczeniowy belki
2.
wyznaczyc reakcje podporowe belki
3.
sprawdzic poprawność wyznaczonych reakcji podporowych belki
4.
ustalić równania przebiegu siły poprzecznej w przedziałach określoności belki
5.
naryskować wykres siły poprzecznej w funkcji długości belki
6.
ustalić równanie przebiegu momentu gnącego w przedziałach określoności belki
7.
wykonać wykres przebiegu momentu gnącego w Dunki długości belki i zaznaczyć
wartości ekstremalne w przedziałach określoności belki
DEFINICJA WYTRZYMALOSCI MATERIAŁÓW
Wytrzymałość materiałów jest to nauka zajmujaca się badaniem materiału konstrukcji
rzeczywistych określająca ich zdolność przenoszenia obciąŜeń zewnętrznych przez ta
konstrukcje przy jej odporności (tej konstrukcji) na odkształcenie i zniszczenie.
10.Zginanie czyste w zgięciu prostym. Odkształcenia i napręŜenia. Wymiarowanie
zginanych belek.
Zginanie czyste w zginaniu prostym jest to taki przypadek zginania, w którym płaszczyzna
obciąŜenia pokrywa się z płaszczyzna główna belki, a na wynik redukcji wszystkich sił
zewnętrznych działających po jednej stronie myślowego przekroju belki otrzymamy moment
gnący zaś siła poprzeczna będzie równa zero.
NapręŜenia
NapręŜenia w przekroju poprzecznym belki wyznaczamy ze wzoru:
g
z
M
y
I
σ
=
Gdzie:
M
g
– moment zginający w danym przekroju,
I
z
– moment bezwładności pola przekroju względem osi obojętnej z,
y – odległość rozpatrywanego punktu przekroju do osi obojętnej z,
ZaleŜność ta została wyprowadzona po uwzględnieniu następujących załoŜeń:
- przekrój płaski pozostaje po odkształceniu belki – płaski
- istnieje warstwa obojętna prostopadła do płaszczyzny działania pary sił momentu gnącego
- wystąpią wyłącznie napręŜenia normalne w przekrojach poprzecznych belki, w przekrojach
podłuŜnych nie wystąpią Ŝadne napręŜenia.
Dla przekrojów poprzecznych, symetrycznych względem osi obojętnej największe napręŜenia
rozciągające we włóknach skrajnych belki równe są największym napręŜeniom ściskającym i
wynoszą:
Wymiarowanie zginanych belek
Dla tego przypadku, wymiarowania przekrojów belki dokonujemy z warunku
wytrzymałościowego:
max
max
g
g
M
k
W
σ
=
≤
Gdzie:
M
max
– największy moment zginający występujący w belce,
K
g
– napręŜenie dopuszczalne na zginanie.
Wzór moŜna stosować, gdy na danego materiału belki moŜemy przyjąć k
g
=k
c
=k
r
. W innych
przypadkach naleŜy oddzielnie sprawdzić maksymalne napręŜenia rozciągające i ściskające.
11. Zginanie ukośne. Jednoczesne zginanie i rozciąganie ( ściskanie ). Oś obojętna.
Rdzeń przekroju.
Zginanie ukośne jest to taki przypadek zginania, w którym płaszczyzna obciąŜenia przechodzi
przez oś belki, lecz nie pokrywa się z Ŝadną z głównych płaszczyzn zginania belki.
Podczas określania napręŜeń i odkształceń zginanie ukośne zastępujemy dwoma zginaniami
prostymi.
sin
x
g
M
M
α
=
cos
y
g
M
M
α
=
sin
cos
g
g
g
g
x
y
x
y
M
M
M
M
y
x
y
x
I
I
I
I
α
α
σ
=
+
=
+
Oś obojętna - krawędź przecięcia się płaszczyzny obojętnej z płaszczyzną przekroju nosi
nazwę osi obojętnej.
Równanie płaszczyzny obojętnej:
0
0
0
sin
cos
0
g
g
x
y
M
M
y
x
I
I
α
α
σ
=
+
=
0
0
sin
cos
x
y
y
x
I
I
α
α
= −
0
0
x
y
I x
tg
I y
α
= −
x
y
I
tg
ctg
I
α
ϕ
= −
x
y
I
tg
ctg
I
ϕ
α
= −
Ś
ciskanie mimośrodowe
W przypadku redukcji otrzymamy siłę ściskającą N=P oraz dwa momenty zginające:
x
x
p
M
P y
=
y
y
p
M
P x
=
Z czego widać, Ŝe napręŜenie w dowolnym punkcie przekroju będzie zaleŜało od
współrzędnych x i y.
0
y
p
p
x
A
A
A
A
A
x
Y
x
y
M
Py
Px
M
P
P
y
x
y
x
A
I
I
A
I
I
σ
= − −
−
= − −
−
=
x
x
I
i
A
=
,
y
y
I
i
A
=
2
x
x
I
i A
=
,
2
y
y
I
i A
=
2
2
0
p
p
A
A
x
x
Py
Px
P
y
x
A
i A
i A
− −
−
=
2
2
1
0
p
p
A
A
x
y
y
x
y
x
i
i
+
+
=
0
0
0
2
2
0 1
0
p
p
x
y
y
x
y
x
i
i
σ
= = +
+
=
Równanie osi obojętnej pozwala nam na wyznaczenie tzw. rdzenia przekroju.
Rdzeń przekroju
Jest to obszar wokół środka cięŜkości przekroju, wewnątrz którego moŜna umieścić punkt
przyłoŜenia siły, bez wywołania napręŜeń o róŜnych znakach w całym przekroju
0
2
1
p
x
y
y
i
= −
0
2
1
p
y
x
x
i
= −
12.Linia ugięcia belki. Ugięcie i kąt ugięcia.
Pod pojęciem ugięcia rozumiemy przemieszczenie się środka cięŜkości
przekroju poprzecznego belki pod wpływem obciąŜenia zewnętrznego na
kierunku prostopadłym do nieodkształconej części belki.
Linia ugięcia, miejsce geometryczne przekrojów poprzecznych belki na
kierunku prostopadłym do nieodkształconej części belki.
Maksymalne ugięcie oznaczamy f i nazywamy strzałką ugięcia.
Kąt obrotu przekroju poprzecznego belki jest to kąt o jaki obróci się przekrój
poprzeczny belki pod wpływem obciąŜenia zewnętrznego w stosunku do
połoŜenia tego przekroju przed obciąŜeniem.
Metoda analityczna
- równanie róŜniczkowe ugięcia belki
Metoda grafoanalityczna
Metoda obciąŜeń wtórnych obliczenia przemieszczeń belki. W praktyce przy
obliczaniu konstrukcji najczęściej wystarczy wyznaczyć ugięcie lub kąt obrotu
przekroju w ściśle określonych miejscach belki bez wyprowadzania równań
ogólnych. W tych przypadkach stosujemy metodę obciąŜeń wtórnych opartą
na podobieństwie równań róŜniczkowych zachodzących pomiędzy ugięciem,
momentem gnącym natęŜeniem obciąŜenia ciągłego.
[
]
−
−
=
−
=
≈
=
=
+
−
+
=
=
=
)
(
''
1
'
'
)
(
'
)
'
(
1
''
1
''
)
(
1
3
2
2
2
z
M
EJy
y
EJ
z
M
tg
dz
dy
y
y
y
dz
y
d
y
EJ
z
M
ϕ
ϕ
ρ
ρ
)
(
)
(
)
(
)
(
''
2
2
2
2
z
dz
z
M
d
z
M
dz
y
d
EJ
z
M
EJy
ω
−
=
−
=
−
=
Wyobraźmy sobie inną belkę o takiej samej rozpiętości na które działa pewne
obciąŜenie pionowe ciągłe o natęŜeniu
)
(z
ω
i o zwrocie ku dołowi i to
obciąŜenie będzie równe polu wykresu M(z).
JeŜeli przyjmiemy Ŝe
)
(z
ω
=M(z) czyli Ŝe na belkę wtórną działa obciąŜenie
ciągłe zmieniające się według tej samej zaleŜności analitycznej co M(z) belki
rzeczywistej to
2
2
2
2
)
(
dz
z
M
d
dz
y
d
EJ
=
JeŜeli będziemy całkowali to równanie i przyjmując Ŝe C
L
=C
P
i D
L
=D
P
to
otrzymujemy
_____
)
(
)
(
z
T
dz
z
M
d
EJ
dz
dy
EJ
=
=
=
=====
ϕ
Całkując po raz drugi otrzymamy
EJ
z
M
y
______
)
(
=
Wnioski:
1)JeŜeli ugięcie w danym przekroju belki rzeczywistej będzie równe 0 to
moment fikcyjny lub wtórny będzie zero.
2)JeŜeli kąt obrotu
ϕ
belki rzeczywistej będzie równy zero to w tym przekroju belki
siła fikcyjna teŜ musi być równa zero.
3)JeŜeli w którym kolwiek przekroju belki rzeczywiste ugięcie jest
≠
0 i kąt obrotu
≠
0
to moment
≠
0 i siła fikcyjna T
≠
0
13.Zjawisko utraty stateczności. Wyboczenie. Wyznaczanie sił i napręŜeń krytycznych
przy wyboczeniu. Kryteria normowe.
WYBOCZENIE jest to utrata stateczności ściskanego pręta objawiająca się zakrzywieniem
prostoliniowej osi pręta pod wpływem nacisku osiowej siły ściskającej pręt.
Model wyboczeniowy:
3
3
12
I min
12
bh
Ix
hb
Iy
=
=
=
Wybór największego
momentu bezwładności
Wyboczenie spręŜyste:
DEF. BLUMA: to znaczy
takie, gdy po odciąŜeniu
pręta wraca on do
pierwotnego kształtu.
Wyboczenie spręŜyste – wprowadzone przez EULERA: jest to utrata stateczności ściskanego
pręta w zakresie działania prawa Hook’a.
NapręŜenie krytyczne dla wyboczenia spręŜystego określone jest wzorem Eulera:
2
2
E
kr
π
δ
λ
=
gdzie
lw
li
λ
=
- smukłość pręta
lw – długość wyboczeniowa
i – promień bezwładności
Wyboczenie (spręŜyste) zachodzi w zakresie Eulerowskim, kiedy smukłość pręta jest
większa od smukłości granicznej gr
λ
λ
<
Smukłość graniczną oblicza się wg zaleŜności:
2
H
E
gr
R
π
λ
=
R
H
- granica proporcjonalności
Wyboczenie niespręŜyste: przypadek kiedy smukłość pręta jest mniejsza od gr
λ
DEF BLUMA: to znaczy takie, gdy po odciąŜeniu pręta utrzymuje się jego wyboczony
kształt
gr
λ λ
<
Wyboczenie niespręŜyste: jest to utrata stateczności pręta w zakresie przekraczającym
zakres Hook’a, gdy napęŜenia ściskające przekroczą granicę proporcjonalności. W tym
zakresie pojawiają się odkształcenia (niespręŜyste), a ich związki z napręŜeniami tracą
charakter liniowy. Dla tego zakresu napręŜenia krytyczne wyznacza się na podstawie wzorów
empirycznych:
* Wzór Tetmajera – Jasińskiego:
2
kr
a b
c
δ
λ
λ
= −
+
Gdzie: a,b,c – stałe wyznaczane doświadczalnie, charakteryzujące właściwości materiału.
Stałą c stosowano w przypadku Ŝeliwa jako materiału o charakterystyce nieliniowospręŜystej.
Wzór Tetmajera – Jasińskiego
współczynniki
Materiał
λgr
a
b
Stal niskowęglowa
Stal (o zawartości 0, 28 037
÷
%C)
Stal niklowa (do 5% Ni)
Drewno miękkie (świerk)
105
100
86
100
310
464
470
29,3
1,14
3,62
2,30
0,194
Po przekroczeniu zakresu Eulerowskiego następuje aproksymacja liniowa.
Wzór Johnsona-Ostenfelda:
2
kr
A
B
δ
λ
= −
A,B – współczynniki materiałowe
Wzór Johnsona-Ostenfelda
współczynniki
Materiał
λgr
a
b
Stal niskowęglowa
Stal (o zawartości 0, 28 037
÷
%C)
Stal niklowa (do 5% Ni)
Drewno miękkie (świerk)
116
84
94
90
310
464
470
29,3
0,0116
0,0260
0,0266
0,002
W przypadku znajomości wartości napręŜeń przyjmujemy, Ŝe krzywa wykresu przechodzi
prez punkt o współrzędnych: λ=0,
Re
kr
δ
=
,
gr
λ λ
=
Stąd otrzymujemy współczynniki:
A=Re;
2
R
e
H
R
B
gr
λ
−
=
KRZYWA Johnsona – Ostenfelda wg wzoru:
2
2
Re
Re
H
R
kr
gr
δ
λ
λ
−
=
−
Dla
H
kr
δ
δ
=
Krzywa Johnsona – Ostenfelda wg wzoru:
2
2
2
Re
Re(1
)
4
kr
E
σ
λ
π
=
−
Po przekroczeniu zakresu Eulerowskiego następuje aproksymacja kwadratowa
>>> WYPROWADZENIE wzoru EULERA: <<<
2
2
I min
/ :
(
)
zr
E
Pkr
A
I
π
=
Pkr – siła krytyczna
l
zr
– długość zredukowana
2
2
2
2
2
2
2
2
2
I min
min
( )
( )
(
)
min
kr
kr
kr
zr
zr
zr
P
E
Ei
A
E
E
l
A
l
A
l
A
i
π
π
π
π
σ
σ
λ
=
=
→
=
=
=
λ – smukłość pręta
min
zr
l
i
WZÓR Eulera:
2
2
kr
E
π
σ
λ
=
Jeśli
2
2
2
2
kr
H
H
H
H
E
E
E
R
R
gr
gr
gr
R
R
π
π
σ
λ
λ
π
λ
=
→
=
⇒
=
→
=
MoŜliwości zamocowania końców pręta i ich długość zredukowana
Norma PN-90/B-03200 stateczność prętów i płyt.
Stateczność- określeniem tym nazywa się równowagę zachodzącą w przypadku dowolnie
małych początkowych wychyleń z połoŜenia równowagi, w wyniku którego ruch ciała jest
taki Ŝe wychylenia jakiegokolwiek z nich nie są większe od początkowych. Niespełnienie
tego warunku prowadzi nas do pojęcia równowagi niestatecznej.
Model równowagi:
Norma PN-90/B-03200 jest normą budowlaną której przedmiotem jest obliczanie i
projektowanie konstrukcji stalowych. Podaje ona podstawowe wartości napręŜeń
dopuszczalnych zwanych napręŜeniami dopuszczalnymi R. Norma dzieli przekroje wedlug 4
klas:
Przekrój klas I - wartości sił wewnętrznych moŜna wyznaczyć z uwzględnieniem
plastycznego wyrównania momentów, nośność przekroju przy jego uplastycznieniu. W stanie
pełnego uplastycznienia przy zginaniu przekroje klasy I wykazują zdolność do obrotu,
niezbędną do plastycznej redystrybucji momentów zginających.
Przekrój klasy II- wartość sił wewnętrznej naleŜy wyznaczyć w stanie spręŜystym, a
nośność przekroju moŜna określić przy jego uplastycznieniu. Przekroje klasy 2 mogą
osiągnąć nośność uogólnionego przegubu plastycznego, lecz w skutek miejscowej
niestateczności plastycznej wykazują ograniczoną zdolność do obrotu, uniemoŜliwiając
redystrybucję momentów zginających
Przekrój klasy III- wartości sił wewnętrznych oraz nośność przekroju naleŜy wyznaczyć w
stanie spręŜystym. Ich nośność jest uwarunkowana początkiem uplastycznienia strefy
ściskowej
max
c
d
f
σ
≤
Przekrój klasy IV- wartości sił wewnętrznych naleŜy wyznaczyć w stanie spręŜystym, a
nośność przekroju naleŜy określić z uwzględnieniem utraty stateczności ścianek lub jego
nośność nadkrytyczną. Przekroje klasy 4 tracą nośność przy największych napręŜeniach
ściskających( lub średnic ścinających) mniejszych od granicy plastyczności.
Z Wolnego
Podstawy znormalizowanych obliczeń wytrzymałościowych w konstrukcjach prętowych
stalowych podaje norma PN-80/B-03200. W normie tej podano dla stosowanych w kraju
gatunków stali podstawowe wartości napręŜeń dopuszczalnych zwanych napręŜeniami
obliczeniowymi R (w jednoosiowym stanie napręŜenia, rozciąganie, ściskanie, zginanie), R,
(ścinanie), R
d
(docisk). Pierwszą operacją w obliczeniach wytrzymałościowych na
wyboczenie jest określenie długości wyboczeniowęj l
w
, przy czym norma rozszerza
zalecenie
2
2
I min
(
)
zr
E
Pkr
I
π
=
, podając pewne szacunkowe moŜliwości uwzględnienia
spręŜystości umocnień obu końców pręta. Obliczoną smukłość pręta X naleŜy przyrównać do
smukłości X
p
(porównawczej) zaleŜnej od napręŜeń obliczeniowych R (dla danego gatunku
stali). MoŜna ją. obliczyć z zaleŜności
1675
p
R
λ
=
gdzie R - wytrzymałość obliczeniowa,
[MPa] lub wyznaczyć z umieszczonej w normie tablicy. Dla danej wartości Xi X
p
obliczonej z
dokładnością 0,01 wyznacza się z tabeli 8.2 wartość współczynnika wyboczeniowego m
w
.
Pręty proste o stałym przekroju, o smukłości X> 0,2 X
p
naleŜy sprawdzić na wyboczenie
według wzoru
w
P
m
R
A
⋅
≤
gdzie: P –sila, A - całkowite pole przekroju pręta.
Pręty osłabione otworami do połączeń śrubowych naleŜy dodatkowo sprawdzić wg wzoru
nt
P
R
A
≤
gdzie
A
nt
- pole przekroju pręta w miejscu osłabionym otworem (tzw. netto).
14.WytęŜenie. hipotezy wytęŜeniowe. Zastosowanie hipotez w przypadku jednoczesnego
zginania i skręcania. Obliczenia. Obliczenia wałów.
Przez wytęŜenie materiału w punktach elementu konstrukcyjnego rozumiemy stan fizyczny
materiału wywołany obciąŜeniem określającym stopień naraŜenia go na pojawienie się stanu
niebezpiecznego. Przez stan niebezpieczny dla materiału rozumiemy utratę jego spójności lub
pojawienie się w nim odkształceń trwałych. WytęŜenie zaleŜy więc z jednej strony od
własności materiału, a z drugiej strony od składowych stanu napręŜeń w danym punkcie
elementu konstrukcji. W ujęciu matematycznym wytęŜenie określa się jako funkcję
składowych stanów napręŜenia W=f(σ
x
, σ
y,
σ
z,
τ
xy
, τ
xz,
τ
yz
). Postać tej funkcji zaleŜy od
odpowiednio postawionej hipotezy wytęŜeniowej tzw. Hipotezy wytęŜenia.
Aby określić warunki pojawiania się stanu niebezpiecznego materiału w danym punkcie
elementu poddanego złoŜonemu stanowi napręŜenia naleŜy porównać wartości funkcji
wytęŜenia dla tego stanu z wartości tej samej funkcji dla stanu wytęŜenia przyjmującego w
próbce poddanej próbie statycznego rozciągania.
φ(σ
x
, σ
y,
σ
z,
τ
xy
, τ
xz,
τ
yz
)=φ
1
(σ
1
, σ
2,
σ
3
) = f(σ
o
)
jeŜeli wartość napręŜenia w elemencie będzie równa wartości napręŜenia niebezpiecznego Re
to kryterium pojawienia się stanu niebezpiecznego:
φ(σ
x
, σ
y,
σ
z,
τ
xy
, τ
xz,
τ
yz
)=Re
W praktyce nie moŜna dopuścić do powstania stanu niebezpiecznego dlatego wprowadza się
do obliczeń współczynnik bezpieczeństwa n przez który dzielimy granice plastyczności Re i
otrzymujemy napręŜenia dopuszczalne: k=Re/n
Porównując napręŜenia zastępcze z wartością napręŜenia dopuszczalnego k=Re/n otrzymano
warunek wytrzymałościowy:
σ
zr
=(σ
x
, σ
y,
σ
z,
τ
xy
, τ
xz,
τ
yz
)= φ
1
(σ
1
, σ
2,
σ
3
)≤k
I.
Hipoteza największego napręŜenia normalnego; postawili ją Galileusz (1638),
Leibniz (1684).
Miarą wytęŜenia jest największe napręŜenie normalne.
Jak widać dla przestrzennego stanu napręŜenia określanego składowymi głównymi σ
1
, σ
2,
σ
3
,
wytęŜenie zaleŜy tylko od największego napręŜenia σ
1
. Natomiast nie zaleŜy od dwóch
pozostałych. Warunek ten pozostaje w sprzeczności z wynikami doświadczenia dotyczącego
złoŜonego stanu napręŜeń.
II.
Hipoteza de ST. Venanta
III.
Hipoteza największych napręŜeń stycznych. Coulomb (1776); potwierdzili Guest
(1900) i Tregca (1872).
U podstawy tej hipotezy leŜą dwa doświadczenia: Próbka betonowa w kształcie walca
poddana równomiernemu ściskaniu. Na ściankach czołowych niszczy się w sposób
charakterystyczny, a mianowicie w momencie zniszczenia tworzą się dwa stoŜki których
tworzące nachylają się do płaszczyzny pod określonym kątem 45
0
. W których występują
maksymalne napręŜenia styczne.
JeŜeli stalowy płaskownik poddamy rozciąganiu
powyŜej granicy plastyczności pojawią się matowe
prąŜki zwane liniami Ludersa, nachylone pod kątem
45
0
, co świadczy Ŝe tam pojawią się maksymalne
napręŜenia styczne czyli największe wytęŜenie
materiału w przekrojach maksymalnych napręŜeń
stycznych. Hipoteza ta przyjmuje za miary wytęŜenia
maksymalne napręŜenia styczne.
2
3
3
1
1
2
max
1
3
1
1
max
(
)
max
;
;
2
2
2
0
2
2
2
C T
G
k
σ σ σ σ
σ σ
τ
σ σ
σ
σ
τ
−
−
−
− −
=
−
≠
=
=
≤
W ujęciu składowych dowolnych:
(
)
2
2
1,3
0
1
4
2
2
2
x
y
x
y
k
xy
σ σ
σ
σ σ
τ
σ
+
=
±
+
+
=
≤
Tą hipotezę moŜna stosować dla materiałów których R
er
=R
ec
(rozciąganie = ściskanie).
IV.
Hipoteza M.T. Huber (1904).
Miarą wytęŜenia jest jednostkowa, właściwa energia odkształcenia postaciowego.
Całkowita energia potencjalna odkształcenia:
v
p
φ φ φ
= +
v – objętości; p – postaci
[
]
(
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
3
x
y
z
2
2
2
1
2
2
3
3
1
2
2
2
2
2
2
x
y
y
z
x
z
xy
xz
yz
1 2
1 2
1
1
v
p
V
V
E
E
V
E
V
E
φ
σ σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
φ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ σ
σ
σ
σ
−
−
=
+
+
=
+
+
⋅
⋅
+
=
−
+
−
+
−
=
⋅
+
=
−
+
−
+
−
+
+
+
⋅
Oryginalna wersja: ZwaŜywszy Ŝe odkształcenie objętościowe przy ściskaniu nie wpływa
na niebezpieczeństwa pęknięcia, moŜna z wielkim prawdopodobieństwem uwaŜać energię
potencjalną za miarę wytęŜenia. Wniosek ten wysunął się Huberowi przy rozwaŜaniu
wytęŜenia materiału w przypadku trójosiowego równomiernego ściskania.
Współcześnie hipoteza Hubera: Miarą wytęŜenia materiału jest ilość nagromadzonych w
nim energii odkształcenia postaciowego niezaleŜnie od tego czy wartość energii powstała
w przypadku jednoosiowego czy przestrzennego stanu napręŜeń.
V.
Hipoteza prof. Burzyńskiego (1928).
WytęŜenie materiału jest wyraŜone jako funkcja 3 niezmienników stanu napręŜeń.
(
)
, ,
W
F s t u
=
(
)
(
)
(
)
(
)
x
y
z
2
2
2
2
2
2
x
y
z
y
z
z
x
x
y
2
2
2
x
y
z
x
y
z
1
3
2
3
3
2
xy
xz
yz
xy
xz
yz
yz
xz
xy
s
t
u
σ σ σ
σ
σ
σ
σ σ σ σ σ σ
τ
τ
τ
σ σ σ
τ
τ
τ
σ τ
σ τ
σ τ
=
+
+
=
+
+
−
−
−
+
+
+
=
+
+
+
−
−
−
WytęŜenie to:
( )
,
W
F s t
=
u – ma bardzo małe znaczenie dla wytęŜenia materiałów.
15. Zginanie ze ścinaniem. Obliczanie belek o przekrojach złoŜonych.
Jest to taki przypadek wytrzymałości złoŜonej gdzie po zredukowaniu sił zewnętrznych
działających po jednej stronie myślowo przekroju względem środka cięŜkości otrzymamy
moment zginający i siłę tnącą.
( )
( )
od
x
yz
sc
x
T z S
I
b z
τ
τ
⋅
=
=
⋅
2
2
3
z
g
sc
σ
σ
τ
=
+
g
g
g
g
z
M
M
y
W
I
σ
=
=
odc
S
A
=
A - powierzchnia ścinania od środka cięŜkości od punktu
S
odc
– moment styczny części przekroju belki ograniczonej rzędną y i konturem przekroju
względem osi obojętnej z.
2
4
odc
b
b
S
h
= ⋅ ⋅
3
12
y
b h
I
=
NapręŜenia zastępcze moŜna liczyć według dwóch hipotez:
H-M-H
2
2
3
z
z
k
σ
σ
τ
=
+
≤
T-G
2
2
4
z
z
k
σ
σ
τ
=
+
≤
Zginanie na oś y:
y
y
y
y
g
g
g
g
y
M
M
z
W
I
σ
=
=
- napręŜenie w punkcie przekroju
2
y
g
M
F I
=
⋅
Zginanie na oś z:
z
z
z
z
g
g
g
g
z
M
M
y
W
I
σ
=
=
2
2
z
g
h
M
F
=
⋅
Zginanie mimośrodowe
Jest to taki przypadek zginania, w którym na wynik redukcji sił zewnętrznych działających po
jednej stronie myślowego przekroju względem środka cięŜkości otrzymamy siłę ściskającą (
rozciągającą) i 2 momenty gnące
x
p
M
P y
= ⋅
y
p
M
P x
= ⋅
16
Zginanie i skręcanie wałów o przekroju kołowym. Pojęcie momentu zastępczego
zredukowanego. Wyprowadź wzory na moment zastępczy w przypadku hipotezy
największych napręŜeń statycznych i energii właściwej odkształcenia postaciowego.
Aby wyznaczyć napręŜenia w
dowolnym punkcie przekroju
wału, naleŜy określić wartości
momentu zginającego M
g
i
skręcającego M
s.
Dla wału
okrągłego o średnicy d
największe wartości napręŜeń
składowych oblicza się ze
wzorów:
-normalne
max
g
g
M
W
σ
=
-styczne
max
0
s
M
W
τ
=
Rozkład napręŜeń jest proporcjonalny do
odległości
od osi
obojętnej dla napręŜeń normalnych
σ
i
proporcjonalny do odległości od
środka cięŜkości przekroju dla napręŜenia stycznego
τ
.
Wartość napręŜenia zredukowanego przy uwzględnieniu zmienności obciąŜeń:
2
2
(
)
z
m
σ
σ
τ
=
+
m- współczynnik redukujący napręŜenia styczne do normalnych
•
Dla obustronnego zginania i jednostronnego skręcania
3
2
m
=
•
Dla obustronnego zginania i obustronnego skręcania lub jednostronnego zginania i
jednostronnego skręcania
3
m
=
•
Dla jednostronnego zginania i obustronne skręcanie
2 3
m
=
•
UwaŜając, Ŝe dla materiałów spręŜysto-plastycznych (stal) najstosowniejsza jest hipoteza
energii odkształcenia postaciowego:
2
2
2
2
max
max
0
3
(
)
3(
)
g
s
red
dop
g
M
M
W
W
σ
σ
τ
σ
=
+
=
+
≤
Dla przekrojów kołowych:
0
2
g
W
W
=
Zatem:
2
2
3
(
)
(
)
4
g
s
red
g
M
M
W
σ
+
=
Moment zastępczy (zredukowany):
2
2
3
4
red
g
s
M
M
M
=
+
3
3
0
32
16
g
d
W
d
W
π
π
=
=
17. Metoda energetyczna wyznaczania przemieszczeń w układach prętowych.
Przemieszczenie uogólnione. Siła uogólniona. Energia spręŜysta w typowych układach
wytrzymałościowych. Twierdzenie Castigliano, Maxwella Mohra, Wereszczagina.
Uogólnione tw. Castigliano:
Pochodna energii uzupełniającej względem wartości uogólnionej siły P, równa jest
odpowiadającej tej sile przemieszczeniu uogólnionemu u. Twierdzenie to wyraŜa równanie:
i
i
i
P
V
u
∂
∂
=
Twierdzenie Castigliano znalazło swoje zastosowanie w układach liniowo spręŜystych.
Pochodna cząstkowa energii spręŜystej całego układu liniowo spręŜystego względem jednej z
niezaleŜnie działających sil obciąŜających jest równa odpowiadającemu tej sile
przemieszczeniu.
i
i
i
P
V
u
∂
∂
=
W układach linowo spręŜystych energia U układu, równa pracy sił wewnętrznych, na
odpowiadających im przemieszczeniach określa się wzorem :
∑
=
i
i
P
U
δ
2
1
a po podstawieniu do wzoru
∑
−
=
V
P
U
i
i
i
δ
o otrzymuje się U
i
=U
Czyli nasza praca
EA
l
P
L
P
L
2
1
2
1
=
∆
=
EA
Pl
l
=
∆
Wykres linowo spręŜystej siły P i przemieszczenia δ
i
dz
EJ
N
U
dz
EJ
M
U
dz
ksEJ
M
U
dz
EA
k
T
U
s
RC
s
g
s
s
t
ii
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=
2
2
2
2
2
2
2
δ
δ
δ
U
c
=100%=U
g
dz
EI
M
g
∫
=
2
2
dz
sztywnosc
W
U
RC
∫
=
)
(
2
2
A więc przemieszczenie
∫
∫
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
l
i
l
i
i
g
i
dz
P
z
Mg
EI
z
Mg
dz
EI
z
Mg
P
P
U
P
i
0
(
*
2
)
(
2
2
)
(
)
(lub
2
δ
Rys. do Castigliano
Metoda obliczeniowa z tw. Castigliano .
JeŜeli w zagadnieniu poszukiwane przemieszczenie odpowiada sile rzeczywiści działającej, to
zastosowanie tw. Castigliano nie nastręcz Ŝadnych trudności. JeŜeli natomiast poszukuje się
przemieszczenia , dla którego kierunku brak rzeczywistej siły, naleŜy po prostu załoŜyć w
schemacie obciąŜeń siłę odpowiadającą poszukiwanemu przemieszczeniu, aby po
zróŜniczkowaniu podstawić jej rzeczywistą wartość równą zero.
Metoda Maxwella-Mohra
Układ sił obciąŜenia zewnętrznego powoduje pojawienie się na włóknach belki
elementarnych sił wewnętrznych:
- siły podłuŜnej N
i
- siły poprzecznej T
i
-momenty gnące Mg
i
Metoda Maxwella-Mohra wyraŜana jest zaleŜnością
∑ ∫
=
=
h
i
l
i
dl
MgMg
EI
1
0
1
1
δ
Mg-moment pochodnej od siły rzeczywistej
Mg
1
-moment pochodzący od siły jednostkowej
Podobnie z siłami podłuŜnymi i poprzecznymi.
Ogólne wyraŜenie na przemieszczenie w metodzie Maxwella-Mohra.
∑
∑
∑
+
+
=
li
si
i
i
i
i
i
li
si
i
i
i
i
i
li
si
i
i
i
i
d
I
E
Mg
Mg
d
A
G
T
T
d
A
E
N
N
f
'
'
'
β
β
Metoda Maxwella-Mohra polega na obciąŜeniu belki siłą jednostkową w pkt. c rzędnego
przemieszczenia i na jego kierunku, które spowoduje pionowe przemieszczenie tego pkt.
równe odpowiednio w pkt. 1,2,3 przemieszczeni ∆1, ∆2, ∆3. Następnie rozpatrzymy belkę z
obciąŜeniem zewnętrznym. Wówczas całkowite przemieszczenie będzie równe
1
;
1
∆
=
∆
+
i
c
c
δ
δ
Zakładając stopniowe obciąŜenie jednostkowe przyłoŜone jako pierwsze związek między
pracą a energią wewnętrzną w postaci
∑
=
ndl
c
2
1
)
0
,
1
(
2
1
δ
n= osiowa siła rozciągająca
dl= całkowite wydłuŜenie
Przyjmując stopniowe obciąŜenie belki siłami P
1,
P
2,
P
3
praca sił zewnętrznych wynosi
c
P
P
P
V
∆
+
∆
+
∆
+
∆
=
)
0
,
1
(
2
1
2
1
2
1
3
3
2
2
1
1
'
Człon (1,0)δ
c
- praca przygotowana przez układ P
1,
P
2,
P
3
w pkt C
∑
∑
+
=
udl
Fdl
U
2
1
'
Z zasady równowaŜności energii i pracy mamy:
∑
∑
∑
∑
=
∆
+
∆
+
∆
+
∆
+
∆
+
∆
+
udl
c
udl
c
udl
c
P
P
P
c
)
0
,
1
(
2
1
2
1
)
0
,
1
(
2
1
2
1
2
1
)
0
,
1
(
2
1
3
3
2
2
1
1
δ
Dla przygotowanej belki mamy:
∫
∫
∫
∫
∑
∫ ∫
∑
=
∆
⇒
=
=
⇒
=
∆
l
l
A
l
l
A
dz
EI
Mm
dz
EI
Mm
c
dA
y
dz
EI
Mm
EJ
dAdz
mMg
dA
E
Mg
dA
J
mJ
udl
c
0
0
0
2
0
0 0
2
2
0
,
1
)
)(
(
)
0
,
1
(
∆
+
∆
+
∆
=
3
2
2
1
1
'
2
1
2
1
2
1
P
P
P
V
y
P
P
P
V
U
Fdl
U
=
∆
+
∆
+
∆
=
=
∑
3
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Schemat i wzór obliczeniowy na przemieszczenie metodą Castigliano:
dx
P
x
Mg
EI
f
∫
∂
∂
=
)
(
1
(b)
P
x
Mg
∂
∂
)
(
-róŜniczka cząstkowa z momentu podług siły P
1)
Siła działa w kierunku szukanego przemieszczenia wtedy działa wzór(b) i w pkt
szukanego przemieszczenia
2)
JeŜeli siła nie działa w kierunku szukanego przemieszczenia i w jego pkt na belce
(ramie) naleŜy przyłoŜyć siłę o wartości rzeczywistej 0. Po wykonaniu obliczeń
podstawić wartość zerowej siły
Metoda Maxwella- Mohra
dx
x
Mg
x
Mg
EI
f
∫
=
)
(
)
(
1
'
(c)
Mg(x)-moment od siły jednostkowej
W metodzie Maxwella-Mohra zamiast poszukiwania róŜniczki momentu podług siły, dany
element obciąŜa się siłą jednostkową (dla kąta momentem) i oblicza się przemieszczenie ze
wzoru(c). Siłę naleŜy przyłoŜyć w pkt poszukiwanego przemieszczenia
Sposób Wereszczagina- graficzny sposób wyznaczania przemieszczenia
19. Pełzanie i relaksacja napręŜeń.
Reologia- nauka zajmująca się badaniem odkształceń zmieniających swoją wartość w czasie.
Podstawowymi procesami reologicznymi są pełzanie i relaksacja. Pełzanie- jest to zjawisko
powolnego odkształcenia się ciala pod wpływem długotrwałych obciąŜeń. Zjawisko to
występuje w elementach konstrukcji poddanych obciąŜeniom o ustalonych wartościach.
Elementy te ulegają odkształceniom niespręŜystym. Zjawisko pełzania w przypadku stali
najlepiej widoczne jest w podwyŜszonych temp. Stopy lekkie czy tworzywa sztuczne ulegają
juŜ w temp. pokojowej. Według Bluma: pełzanie jest to ciągły wzrost z czasem odkształceń
materiału poddanego działaniu stałych co do wartości napręŜeń przy podwyŜszonej temp.
Działanie temp. będzie powodować odkształcenie wzrastające w miarę wpływu czasu.
Elementy podlegające pełzaniu: rury ciśnieniowe pracujące w podwyŜszonych temp., łopaty
turbin. Relaksacja napręŜeń- jest to charakterystyczne zjawisko towarzyszące pełzaniu,
polega na zmniejszeniu się napręŜeń w elementach poddanych długotrwałemu obciąŜeniu o
stałej wartości. Występuje w śrubach kołnierzowych pracujących w wyŜszych temp.
Naciągnięte śruby ulegają z biegiem czasu zwiększającym się odkształceniom niespręŜystym
co prowadzi do zmniejszenia się wartości napręŜenia, w konsekwencji do zmniejszenia
szczelności połączenia, przez co naleŜy okresowo dokręcać śruby. Granica pełzania- iloraz
stałego obciąŜenia i przekroju początkowego próbki, które to obciąŜenie po upływie
określonego czasu działania w danej temp. spowoduje trwałe wydłuŜenie próbki o określoną
wartość. Wytrzymałością na pełzanie nazywa się iloraz stałego obciąŜenia i przekroju
początkowego próbki, które to obciąŜenie po upływie określonego czasu działania w danej
temp spowoduje rozerwanie próbki. Najczęściej stosując się w badaniach nad relaksacją
p
p
T
const
V
prędkosc
pelzania
V
tg
t
ε
α
=
−
∆
=
=
∆
Krzywa pełzania
Przy obciąŜeniu próbki do podgrzanej temp. T odkształcenie wzrasta dość szybko(
ε
spręŜysty) do punktu A. Zakłada się Ŝe w punkcie A kończy się obciąŜenie próbki.
Odkształcenie próbki z biegiem czasu wzrasta-materiał pełza.
Odcinek B-C- pełzanie ustalone- prędkość pełzania jest stała, pełzanie odbywa się w 3
stadiach:
A-B- zaleŜy do materiału, temperatury i obciąŜenia
B-C- prędkość jest mała w stosunku do A-B
C-D- następuje lokalne przewęŜenie przekroju poprzecznego wywołane wzrostem napręŜeń
co powoduje wzrost prędkości pełzania. W punkcie D następuje zerwanie próbki- złom
rozdzielczy.
Stopniowe zmniejszenie napręŜeń w obciąŜonym elemencie, którego całkowite odkształcenie
pozostaje stałe, to zmniejszenie zachodzi na skutek stopniowego zmniejszenia się odkształceń
spręŜystych i wzrastanie o tą wartość odkształcenia plastycznego.
Relaksacja- pełzanie przy stałym
ε
=const.
'
0
:
/
(
)
1
0
spr
spr
pl
pl
spr
pl
spr
spr
pl
pl
pl
spr
pl
spr
odksztalcenia
spręŜyste
odksztalcenia
plastyczne
d
d
d
gdzie
dt
dt
dt
E
d
pl
n
t
dt
n
t
f
E
n
d
d
pl
dt
E
dt
n
ε
ε ε
ε
ε
ε
ε
ε
σ
ε
ε
σ
σ
ε
σ
σ
ε
ε
ε
σ
−
=
+
−
= =
+
=
= ⋅
→
=
⋅
=
+
⋅ ⋅
= ⋅
+
=
σ
A-B- w tym zakresie następuje zmniejszenie
….
w elemencie przy towarzyszącym
zmniejszeniu prędkości relaksacji. Ten okres zaleŜy od materiału, temperatury, itp.
B-C- prędkość jest mniejsza niŜ w A-B
20. Prętowe ustroje statycznie niewyznaczalne. Metoda sił. Obliczanie statycznie
niewyznaczalnych ustrojów prętowych.
Do układów prętowych zaliczamy układy belkowe i ramowe. Ramą nazywamy strukturę
węzłową połączoną węzłami sztywnymi. WyróŜniamy układy statycznie niewyznaczalne
wewnętrznie lub zewnętrznie.
3
z
N
n
= −
- niewyznaczalność zewnętrzna
n- ilość niewiadomych reakcji
3
3(
1)
w
N
t
p
w
= ⋅ −
+ −
- niewyznaczalność wewnętrzna
t- ilość wycięć węzłów sztywnych
p- ilość prętów
w- ilość węzłów sztywnych
5 3
2
3 4 3(3 2 1)
0
z
w
N
N
= − =
= ⋅ −
+ − =
Metoda sił:
Równanie kanoniczne metody sił:
2
z
N
n
= −
- bo nie ma reakcji poziomej
n- ilość reakcji
4 2
2
z
N
= − =
2 podpory zastępuje myślowo reakcjami o wartości =1 i z zasady superpozycji. Skutek
działania sił na ciało rzeczywiste w określonym punkcie na określonym kierunku jest równy
sumie algebraicznej skutków działania kaŜdej z sił układów rozpatrywanego z osobna na
określonym punkcie w określonym kierunku.
Twierdzenie Menabrea jest to szczególny przypadek tw. Castigliano i jest ono stosowane do
wyznaczenia reakcji hiperstatycznych udziałów- w zaleŜności od tego ile mamy nadmiaru
reakcji tyle potrzeba równań.
Ogólny tok postępowania przy rozwiązywaniu układów statycznie niewyznaczalnych przy
zastosowaniu zasady minimum enegii.
