1
Dr inż. Czesław Rybicki
Inżynieria złożowa
1.
Równanie bilansu masowego dla złóż gazu
Metoda bilansu masy jest podstawowym narzędziem inżynierii złożowej
pozwalającym analizować i prognozować charakter przebiegu eksploatacji
złóż ropy i gazu. Technika ta pozwala na oszacowanie m.in.: zasobów
początkowych gazu w złożu, ciśnienia początkowego, zasobów gazu w
złożu w dowolnym okresie jego eksploatacji, aktualnego średniego
ciśnienia złożowego. Istotą metody jest zastosowanie zasady zachowania
masy w odniesieniu do złoża traktowanego jako zbiornik o jednorodnym
ciśnieniu i temperaturze [Dake, 1978].
Na podstawie zasady zachowania masy można zapisać:
p
i
n
n
n
(1)
gdzie:
n – bieżąca ilość moli gazu w złożu,
n
i
– początkowa ilość moli gazu w złożu,
n
p
– ilość moli gazu wydobyta ze złoża.
Metodę bilansu masy można zastosować po pewnym okresie eksploatacji
dla którego znana jest ilość wydobytego medium i ciśnienie złożowe.
Analizując przy pomocy tego równania dane z przebiegu eksploatacji
można m. in. ocenić warunki energetyczne eksploatacji złoża.
Mimo oczywistości tego równania w praktyce występują problemy ze
spełnieniem tej zależności. Wynikają one z faktu, że w równaniu tym
dokładnie znana jest jedynie ilość wydobytego gazu. Nie są znane
dokładnie ani pierwotne zasoby ani ilość gazu pozostałego w złożu.
Dodatkowym problemem jest możliwa zmiana objętości przestrzeni
porowej, bądź wskutek dopływu wody, bądź wskutek zaciskania się por
skał.
2
Zakładając stałą objętość złoża, wówczas objętość ekspansji płynów
złożowych powinna być równa objętości płynów wydobytych w wyniku
eksploatacji.
Człony objętości ekspansji wyrażone zostały w warunkach
powierzchniowych oraz złożowych dla ciśnienia początkowego i bieżącego,
co przedstawiono w tabeli 1.1.
Tab. 1.1. Człony równania objętości ekspansji złożowej.
Płyn/
skała
Objętość
odniesiona
do
warunków
powie-
rzchniowych
Objętość
w
warunkach
złożowych
Objętość ekspansji
płynów złożowych i
złoża
początkowyc
h
końcowych
Gaz
G
GB
gi
GB
g
G∙(B
g
-B
gi
)
Woda
p
w
wi
V S
B
p
w
wi
wi
V S
B
B
p
w
w
wi
V S
B
B
p
w
w
wi
wi
V S
(B
B )
B
Skała
p
mi
V (1
)
B
p
mi
mi
V (1
)
B
B
p
m
mi
V (1
)
B
B
p
m
mi
mi
V (1
)
(B
B )
B
G – zasoby gazu w złożu,
B
gi
, B
g
- współczynniki objętościowe gazu, odpowiednio przy ciśnieniu
początkowym i bieżącym,
Człony objętości płynów wydobytych przeliczono z warunków
powierzchniowych na warunki złożowe, co przedstawiono w tabeli 1.2.
Tab. 1.2. Człony równania objętości wydobytych płynów.
Płyn
Objętość płynów wydobytych
W
warunkach
powierzchniowych
W
warunkach
złożowych
Gaz
G
p
G
p
B
g
Woda
W
p
W
p
B
w
Dopływ wody do złoża
-W
e
-W
e
B
w
3
G
p
– ilość wydobytego gazu
Równanie
bilansu
masowego
dla
złoża
„czysto
gazowego”
z
uwzględnieniem ruchu wody, ściśliwości skały i ściśliwości wody oraz
dopływu wody spoza konturu przyjmuje postać:
w
m
wi
mi
g
p
w
p
g
w
p
e
gi
wi
mi
B
B
B
B
1
G B
B
V
S
G
B
B
W
W
B
B
(2)
Objętość porowa V
p
dla złoża gazu można zapisać jako:
gi
p
G B
V
1
(3)
Wykorzystując zależności
p
C
B
B
B
w
wi
wi
w
p
C
B
B
B
m
mi
mi
m
m
f
C
1
C
ostatecznie równanie bilansu masowego przyjmuje postać:
gi
g
gi
w
w
f
p
g
w
p
e
G B
G B
B
S
C
C
Δp
G
B
B
W
W
1
(4)
lub
p
g
w
p
e
gi
g
w
w
gi
f
G
B
B
W
W
G
B
B
B
S C
C
Δp
1
(5)
Metoda „p/z” w bilansie masowym
Metoda „p/z” interpretacji równania bilansu masowego jest oparta o
równanie 4. Przekształcając równanie (4) oraz dzieląc przez B
g
uzyskuje
się [Hagoort, 1993]]:
4
g
w
p
e
f
w
w
gi
gi
p
B
1
B
W
W
Δp
C
C
S
1
B
G
B
G
G
G
(6)
wyciągając G przed nawias i dzieląc przez G uzyskuje się:
g
w
p
e
f
w
w
gi
gi
p
B
1
G
B
W
W
Δp
C
C
S
1
B
B
1
G
G
(7)
wyciągając B
gi
przed nawias równanie (4.5) przyjmuje postać:
gi
w
p
e
f
w
w
g
gi
p
B
G
B
W
W
Δp
C
C
S
1
1
1
B
B
1
G
G
(8)
Zazwyczaj ściśliwość skały i wody związanej w porównaniu ze ściśliwością
gazu jest niewielka i w rezultacie zaniedbywana, wówczas równanie (8)
przyjmuje postać:
gi
w
p
e
g
gi
p
B
G
B
)
W
W
(
1
B
B
1
G
G
(9)
Przy założeniu izotermicznego charakteru procesu eksploatacji (T = const)
równanie (9) upraszcza się do postaci:
p
i
e
p
w
i
gi
G
1
G
p
p
(W
W )B
z
z
1
G B
(10)
Człon (W
e
–Wp)B
w
/(G/E
i
) oznacza część przestrzeni porowej zajętej przez
dopływającą do złoża wodę. W rezultacie, im więcej wody dopływa do
złoża, tym mniejszy spadek ciśnienia obserwuje się dla określonego
strumienia odbieranego gazu.
W przypadku braku dopływu wody przy zaniedbaniu ściśliwości wody i
skały złoże jest typu wolumetrycznego, wówczas równanie (10) upraszcza
się do postaci:
p
i
i
G
p
p
1
z
z
G
(11)
5
Równanie (11) wyraża zależność pomiędzy średnim ciśnieniem złożowym
a ilością wydobytego gazu. W przypadku braku wydobycia gazu Gp = 0
ciśnienie złożowe jest równe ciśnieniu początkowemu p = p
i
. Z kolei przy
całkowitym sczerpaniu zasobów złoża Gp = G ciśnienie jest równe zeru.
Zależność zmian ciśnienia złożowego w funkcji skumulowanego wydobycia
dla złoża wolumetrycznego w układzie p/z vs Gp jest liniową zależnością,
co pokazano na rys. 1.1.
Rys. 1.1 Graficzna postać równania bilansu masowego dla złoża
W przypadku dopływu wody do złoża, wykres p/z vs Gp będzie przebiegać
nieliniowo. Im większa aktywność „aquifera”, tym większe odchylenie
krzywej ku górze. Pokazano to na rys. 1.2.
6
Rys. 1.2. Graficzna postać równania bilansu masowego dla złóż gazu
ziemnego o charakterze wolumetrycznym i wodnonaporowym
[Dake, 2000]].
Technika interpretacji p/z wydaje się być prostą metodą, ale główne
niebezpieczeństwo leży w interpretacji wykresu p/z vs Gp i rozstrzygnięciu
o jego liniowym lub nieliniowym charakterze. Często dla złóż gazu z
ruchomą wodą wykres p/z wydaje się być pozornie linią prostą, gdy w
rzeczywistości nią nie jest. Popełnia się wówczas podwójny błąd:
interpretuje się złoże jako wolumetryczne, wyniki ekstrapolacji dają
zawyżone
wartości
początkowych
zasobów
złożowych.
W
wielu
przypadkach można uniknąć tego błędu powiększając skalę wykresu. Na
podstawie takich wykresów można szacować początkowe zasoby złożowe
ekstrapolując tylko początkową część wykresu jeszcze przed rozpoczęciem
ruchu wody złożowej.
7
Metoda Havlen’a-Odeh’a w bilansie masowym
W metodzie Havlen’a–Odeh’a równanie bilansu masowego przyjmuje
następującą postać:
w
e
fw
g
B
W
E
E
G
F
(12)
gdzie:
w
p
g
p
B
W
B
G
F
– całkowita ilość gazu i wody wydobytej ze złoża,
gi
g
g
B
B
E
– współczynnik ekspansji gazu w złożu,
p
S
1
)
c
S
c
(
B
E
wc
f
wc
w
gi
fw
– współczynnik wyrażający ekspansje
wody i przestrzeń porowej złoża,
Dla większości złóż gazu ziemnego szczególnie, gdy skała jest słabo
sprężysta zachodzi warunek, że E
fw
<<E
g
i współczynnik ekspansji układu
woda-przestrzeń porowa może być pominięty, wówczas równanie bilansu
(12) przyjmie postać:
w
e
g
B
W
GE
F
(13)
dzieląc powyższe równanie przez E
g
otrzymuje się:
g
w
e
g
E
B
W
G
E
F
(14)
Równanie (14) stanowi podstawę do określenia mechanizmu pracy złoża.
Naniesienie na wykres wartości ilorazu F/E
g
w funkcji ilości wydobytego
gazu G
p
pozwala zaobserwować zmiany tegoż ilorazu w trakcie
eksploatacji złoża, a tym samym określić charakter jego pracy.
Sporządzony wykres może mieć jeden z trzech przebiegów pokazanych na
rys. 1.3.
8
Rys. 1.3. Wykres diagnostyczny bilansu masowego dla oceny mechanizmu
pracy złoża [Dake, 2000].
Jeżeli złoże jest typu wolumetrycznego (W
e
= 0), wówczas wartości ilorazu
F/E
g
vs Gp układają się wzdłuż linii prostej równoległej do osi odciętych. Z
kolei, gdy następuje dopływ wody do złoża, wtedy wykres przyjmuje
kształt łuku wypukłego ku górze. Jego charakter zależy od wielkości i
aktywności aquifera jak również od wielkości wydatku z jakim jest
odbierany gaz. Im większa aktywność aquifera, tym krzywa szybciej
narasta ku górze.
Główną zaletą metody Havlen’a-Odeh’a jest to, że jest ona znacznie
bardziej czuła na intensywność ruchu wody w złożu w stosunku do innych
metod i dzięki temu jest powszechnie stosowana do oceny warunków
energetycznych złoża.
Wskaźniki energii złożowej
Złoża węglowodorów mogą pracować z różnymi systemami
energetycznymi tj.: system ekspansyjny skały i cieczy, system
ekspansyjny gazu (warunki wolumetryczne), system wodnonaporowy.
Każdy z tych systemów może dominować w różnym stopniu w różnym
okresie eksploatacji złoża w zależności od uwarunkowań geologiczno-
złożowych. Udział poszczególnych systemów w całkowitej energii złoża
9
można określić na podstawie ogólnego równania bilansu masowego (14)
sprowadzając je do postaci bezwymiarowej jako:
e
p
w
gi
gi
w
w
f
p
g
p
g
w
p
g
W
W B
B
GB
(C S
C )
G
1
p
1
G
B
G B
1 S
G B
(15)
Poszczególne człony równania (15) stanowią wskaźniki ich udziału w
całkowitej energii złożowej, odpowiednio:
gi
p
g
B
G
1
G
B
- wskaźnik energii gazu,
gi
w
w
f
p
g
w
GB
(C S
C )
p
G B
1 S
- wskaźnik energii skał i wody związanej,
e
p
w
p
g
W
W B
G B
- wskaźnik energii wody z warstw okalających i
podścielających.
Suma poszczególnych wskaźników powinna być równa 1. W przypadku,
gdy suma nie jest równa jedności świadczy to o nie spełnieniu równania
bilansu masowego.
2. Metody określania dopływu wody do złoża
Wiele złóż gazowych połączonych jest z warstwami wodonośnymi
(aquifer), z których w miarę spadku ciśnienia złożowego spowodowanego
wydobyciem gazu następuje dopływ wody. Dopływająca woda wypiera
ekwiwalentną objętość gazu i jest źródłem podtrzymywania ciśnienia
złożowego, które musi być brane pod uwagę przy analizie bilansu
masowego. Efektywność procesu podtrzymywania ciśnienia złożowego i
wydatku dopływu wody do złoża zależy od charakterystyki aquifera,
głównie jego wielkości i kształtu oraz przepuszczalności i miąższości.
W literaturze opisano szereg metod obliczania dopływu wody do złoża, z
których najbardziej znane i najczęściej używane to metoda van
Everdingen’a Hurst’a (stosowana dla nieograniczonych aquiferów) oraz
metoda
Fetkovitch’a
(wykorzystywana
w
przypadku
aquiferów
ograniczonych).
10
W praktyce stosuje się również kombinację tych metod (zmodyfikowana
metoda Fetkovitch’a) w przypadkach dużych lecz ograniczonych auiferów.
W takim przypadku, w pierwszej fazie eksploatacji, w której aquifer
zachowuje się jak nieograniczony stosowana jest metodyka van
Everdingen’a Hurst’a. Od momentu zaobserwowania wpływu granic
aquifera na zmianę ciśnienia, wykorzystuje się metodykę Fetkovitch’a.
2.1. Metoda van Everdingen’a i Hurst’a
Metoda van Everdingen’a Hurst’a obliczania dopływu wody do złoża
ze strefy wodonośnej, opiera się na równaniu dopływu płynu
słabościśliwego
do
odwiertu,
które
wyrażone
przy
pomocy
bezwymiarowych zmiennych promienia, czasu i ciśnienia r
D
, t
D
, p
D
przyjmuje postać [Dake, 1978]:
D
D
D
D
D
D
D
t
p
r
p
r
r
r
1
(16)
gdzie:
b
a
D
r
r
r
– bezwymiarowy promień,
2
b
t
D
r
c
t
k
t
– bezwymiarowy czas.
gdzie:
– współczynnik lepkości wody,
k – współczynnik przepuszczalności,
– współczynnik porowatości,
c
t
– całkowity współczynnik ściśliwości układu woda – skała,
r
a
– promień strefy wodonośnej
r
b
– promień strefy złoża.
Van Everdingen i Hurst przedstawili rozwiązanie równania (17) dla dwóch
przypadków:
stałej wydajności „q”
stałej różnicy ciśnień „p”
11
Rozwiązanie dla stałej wydajności „q” zakłada stałą wydajność dopływu
płynu słabościśliwego do odwiertu przez pewien okres czasu dla której jest
liczony
spadek
ciśnienia
w
odwiercie.
Rozwiązanie
to
znalazło
zastosowanie w eksploatacji złóż ropy i gazu.
W przypadku określenia ilości dopływu wody do złoża bardziej
interesującym jest rozwiązanie przy stałej różnicy ciśnień, gdzie zakłada
się stałą różnicę ciśnień na konturze złoże – strefa wodonośna przez
pewien okres czasu, wyznaczana jest natomiast ilość dopływającej wody
do złoża.
Rozwiązanie równania dopływu wody do złoża uzyskano dla warunków
początkowo-brzegowych w postaci:
1. Warunek początkowy
p = p
i
= const dla t = 0 i wszystkich wartości „r”
(17)
(stałe ciśnienie w całym obszarze)
2. Warunki brzegowe:
p = const dla r = r
0
i t > 0
(18)
(stała różnica ciśnień na konturze złoże – strefa wodonośna)
2a. Strefa wodonośna o nieograniczonym zasięgu
p = pi = const dla t > 0 i r =
(19)
2b. Strefa wodonośna o ograniczonym zasięgu
0
r
p
dla t > 0 i r = ra
(20)
Rozwiązanie równania (16) przy warunkach początkowo-brzegowych (17)
– (20) jest następujące:
p
h
k
2
q
t
q
D
D
(21)
gdzie:
q – wydajność dopływu wody,
h – miąższość złoża,
p – różnica ciśnień między ciśnieniem w aquiferze a ciśnieniem w
złożu,
12
q
D
(t
D
) – bezwymiarowa funkcja wydajności wyznaczona dla r
D
= 1
opisująca zmianę wydajności od zera do „q” spowodowanej
spadkiem ciśnienia p na granicy złoża „r
b
” w czasie t = 0.
Równanie (21) można wyrazić w postaci skumulowanego dopływu wody
poprzez obustronne jego scałkowanie.
D
D
D
t
0
D
t
0
dt
dt
dt
t
q
dt
q
Δp
h
k
π
2
μ
D
(22)
co daje:
k
r
c
μ
t
W
Δp
h
k
2π
μ
W
2
b
t
D
eD
e
(23)
po przekształceniu uzyskuje się:
D
eD
t
2
b
e
t
W
Δp
c
h
r
π
2
W
(24)
Równanie (24) zakłada radialny dopływ wody. W przypadku, gdy dopływ
wody do złoża nie jest radialny, wówczas w równaniu (24) wprowadza się
tzw. współczynnik niepełnej geometrii radialnej „f” definiowany jako:
360
f
, gdzie - stanowi wycinek koła wyrażony w stopniach z którego
następuje dopływu wody do złoża, wówczas:
D
eD
t
2
b
e
t
W
Δp
f
c
h
r
π
2
W
(25)
Równanie (25) pozwala wyznaczyć skumulowaną ilość wody dopływającej
do złoża przy stałej różnicy ciśnień p na konturze złoże - strefa
wodonośna. Jest ono często wyrażane w postaci:
D
eD
e
t
W
Δp
U
W
(26)
gdzie:
f
c
h
r
π
2
U
t
2
b
jest stałą strefy wodonośnej,
W
eD
(t
D
) - bezwymiarowa funkcja dopływu wody.
Bezwymiarowa funkcja dopływu wody jest funkcją bezwymiarowego czasu
t
D
jak również stosunku wielkości strefy wodonośnej do wielkości złoża,
tzw. promienia zredukowanego r
eD
wyrażanego zależnością:
e
eD
b
r
r
r
(27)
gdzie:
13
r
e
- promień strefy wodonośnej,
r
o
- promień złoża.
Zależność bezwymiarowej funkcji dopływu wody W
eD
(t
D
) w funkcji czasu
bezwymiarowego t
D
dla różnych wartości promienia bezwymiarowego r
eD
pokazano na rys. 2.1 i 2.2.
Wartości bezwymiarowej funkcji dopływu wody mogą być wyznaczone w
oparciu o formuły empiryczne dla różnych wartości bezwymiarowego
czasu t
D
, a zatem zarówno dla krótkich czasów gdy dopływ występuje w
stanie nieustalonym (nieskończony aquifer) jak również dla czasów
długich, gdzie mogą się ujawnić efekty oddziaływania granic aquifera
(aquifer ograniczony). Dla aquiferów nieograniczonych nie istnieje
oczywiście maksymalna wartość bezwymiarowej funkcji dopływu wody
gdyż pracują one w stanie nieustalonym.
W
przypadku
stref
wodonośnych
o
nieograniczonym
zasięgu
bezwymiarowa funkcja dopływu wody zależy jedynie od wartości
bezwymiarowego czasu t
D
i można ją wyznaczyć wg następujących
zależności wielomianowych [Ahmed, 2001]:
dla t
D
< 0.01
0.5
D
eD
D
t
W
t
2
(28)
dla 0.01< t
D
< 200
3/ 2
2
D
D
D
D
eD
D
D
D
1.2838
t
1.19328 t
0.269872 t
0.00855294 t
W
t
1 0.616599
t
0.0413008 t
(29)
dla t
D
> 200
D
eD
D
D
4 29881+2 02566 t
W
t
ln t
(30)
Dla aquiferów ograniczonych w zależności od wielkości bezwymiarowego
promienia r
D
istnieje pewna wartość czasu bezwymiarowego t
Dkr
dla której
bezwymiarowa funkcja dopływu wody osiąga stałą maksymalną wartość.
Wartość czasu t
Dkr
wyznacza się wg zależności
2
Dkr
eD
t
0.4 (r
1)
(31)
14
Bezwymiarową funkcję dopływu wody dla czasów bezwymiarowych t
D
<
t
Dkr
wyznacza się wówczas tak jak dla stref o nieograniczonym zasięgu,
zaś dla czasów t
D
> t
Dkr
wg wzoru [Hagoort, 1988]:
2
D
eD
eD
*
2 t
W
0.5 r
1
1 exp
J
(32)
gdzie:
eD
*
4
2
eD
eD
2
eD
ln r
J
r
0.25 1 3 r
r
1
(33)
Rys. 2.1. Bezwymiarowa funkcja dopływu wody W
eD
(t
D
), [1].
15
Rys. 2.2. Bezwymiarowa funkcja dopływu wody W
eD
(t
D
), [1].
Równanie (26) jest słuszne dla stałej różnicy ciśnień. W
rzeczywistym przypadku spełnienie tego warunku wobec obniżającego się
ciśnienia w eksploatowanym złożu nie jest możliwe w dłuższym okresie
czasu.
W celu zastosowania metody van Everdingen’a-Hurst’a do wyznaczenia
ilości dopływającej wody krzywą zmian ciśnienia dzieli się na serię
przedziałów czasowych dla których przyjmuje się p = const. Zmiana
ciśnienia złożowego może być wówczas aproksymowana z dowolną
dokładnością poprzez serię spadków ciśnienia. Aproksymacja zmian
ciśnienia pokazana jest na rys. 2.3. Spadki ciśnienia w poszczególnych
przedziałach czasowych wyznaczane są jako połowa spadku ciśnienia w
poprzednim przedziale czasowym plus połowa spadku ciśnienia w
aktualnym przedziale czasowym.
Dla spadków ciśnień pomiędzy poszczególnymi przedziałami czasowymi
można wówczas wyznaczyć ilość dopływającej wody a następnie stosując
zasadę
superpozycji
dla
poszczególnych
dopływów
traktowanych
oddzielnie obliczyć skumulowaną ilość wody jak a dopłynęła do złoża.
16
Rys. 2.3. Dyskretyzacja zmian ciśnienia złożowego na konturze złoże-
aquifer.
Zakładając, że kolejne ciśnienia złożowe są równe ciśnieniu na konturze
złoże-aquifer wówczas zmianę ciśnienia złożowego po czasie: 0, t1, t2, t3,
... można oznaczyć jako: p
i
, p
1
, p
2
, p
3
, .... . Następnie w każdym z
przedziałów czasowych wyznacza się wartości średniego ciśnienia wg
zależności:
2
p
p
p
1
i
1
2
p
p
p
2
1
2
.
2
p
p
p
j
1
j
j
(34)
Spadki ciśnień występujące po czasach 0, t
1
, t
2
.... wyznacza się wówczas
jako różnice ciśnień średnich w poszczególnych interwałach jako:
2
p
p
2
p
p
p
p
p
p
1
i
1
i
i
1
i
0
2
p
p
2
p
p
2
p
p
p
p
p
2
i
2
1
1
i
2
1
1
2
p
p
2
p
p
2
p
p
p
p
p
3
1
3
2
2
1
3
2
2
17
.
.
.
2
p
p
2
p
p
2
p
p
p
p
p
1
j
1
j
1
j
j
j
1
j
1
j
j
j
(35)
Zatem sumaryczny całkowity dopływ wody za cały okres eksploatacji t
c
będzie sumą ilości wody jaka dopłynęła do złoża pod wpływem kolejnych
spadków ciśnień zakładając, że spadki te trwają w złożu do końca
eksploatacji. W ten sposób całkowitą ilość wody wyznacza się metodą
superpozycji.
n 1
2
e
b
t
j
eD
D
D j
j 0
W
2
r
h
c f
p W
T
t
(36)
2.2. Metoda Fetkovich’a
Metoda van Everdingen’a i Hurst’a posiada wadę w postaci
złożoności i żmudności obliczeń, które wynikają z konieczności stosowania
metody superpozycji, co powoduje trudności w dopasowaniu parametrów
równania.
Metodą upraszczającą obliczenia stosowaną szeroko w inżynierii złożowej
jest metoda Fetkovitch’a w której przepływ wody do złoża został zapisany
formułą, przy założeniu ograniczonej strefy dopływu [Dake, 1978]:
e
w
a
r
dW
q
J p
p
dt
(37)
gdzie:
J – indeks wydajności aquifera,
p
a
– średnie ciśnienie w aquiferze,
p
r
– ciśnienie złożowe (ciśnienie na konturze ropa-woda lub
gaz-woda),
Drugim równaniem metody Fetkovich’a jest równanie bilansu masy dla
aquifera o stałej ściśliwości, z którego wynika, że spadek ciśnienia w
aquiferze jest wprost proporcjonalny do ilości wody wypływającej z
aquifera wg zależności:
18
:
e
w
i
i
a
W
C
V (p
p )
(38)
gdzie:
C
w
– współczynnik ściśliwości wody [1/Pa],
V
i
– początkowa objętość wody w aquiferze [m
3
],
p
i
– ciśnienie początkowe w aquiferze [Pa].
Z równania (38) wynika, że maksymalny dopływ wody wystąpi, gdy p
a
=
0, zatem:
i
i
t
ei
p
W
c
W
(39)
Równanie (37) można przekształcić w celu określenia ciśnienia w aquiferze
po wypłynięciu z niego ilości wody W
e
jako:
e
a
i
w
i
i
W
p
p
1
C
V p
(40)
lub z wykorzystaniem zależności (39)
e
a
i
ei
W
p
p
1
W
(41)
Różniczkując równanie (41) po czasie t uzyskuje się zależność:
dt
p
d
p
We
dt
dWe
a
i
i
(42)
Wstawiając równanie (37) do równania (42)
dt
dp
p
W
p
p
J
a
i
ei
r
a
(43)
rozdzielając zmienne uzyskuje się:
dt
W
p
J
p
p
dp
ei
i
r
a
a
(44)
Całkując obustronnie równanie (44)
dt
W
p
J
p
p
dp
ei
i
r
a
a
(45)
uzyskuje się:
19
C
t
W
p
J
p
p
ln
ei
i
r
a
(46)
Stałą całkowania wyznacza się na podstawie warunków początkowych, tj.
dla
t
=
0
(W
e
= 0, p
a
= p
i
), wówczas:
i
r
C
ln p
p
(47)
Wstawiając równanie (4.45) do równania (4.44) będzie:
t
W
p
J
p
p
p
p
ln
ei
i
r
i
r
a
(48)
Przekształcając powyższe równanie uzyskuje się:
ei
i
W
t
p
J
r
i
r
a
e
p
p
p
p
(49)
Wstawiając równanie (49) do równania (37) otrzymuje się:
ei
i
W
t
p
J
r
i
e
e
p
p
J
dt
dW
(49a)
Całkując równanie (49a) obustronnie w granicach 0 – W
e
oraz 0 – t:
t
0
W
t
p
J
r
i
W
0
e
dt
e
p
p
J
dW
ei
i
e
(50)
otrzymuje się:
i
ei
J p t/W
ei
e
i
r
i
W
W
p
p
1 e
p
(51)
Jeżeli czas t w równaniu (51) zmierza do (∞) to można je zapisać w
postaci:
ei
e
i
r
t
i
i
r
i
W
W
p
p
c W
p
p
p
(52)
co wyraża maksymalny dopływ wody spowodowany spadkiem ciśnienia
między p
i
– p.
Uzyskane rozwiązanie jest słuszne dla stałej różnicy ciśnień. W praktyce
ciśnienie na konturze gaz-woda zmienia się w czasie, co powoduje
konieczność zastosowania zasady superpozycji. Fetkovitch natomiast
20
pokazał, że można uniknąć konieczności stosowania metody superpozycji
stosując następującą procedurę:
Dla pierwszego kroku czasowego
1
Δt
i
1
ei
J p Δt /W
ei
e1
i
r 1
i
W
ΔW
p
p
1 e
p
(53)
dla drugiego okresu czasu
2
t
i
a1
p - średniego ciśnienia w strefie
wodonośnej pod koniec pierwszego interwału czasu dopływ wody wynosi:
i
2
ei
J p Δt /W
ei
e2
a1
r 2
i
W
ΔW
p
p
1 e
p
(54)
ogólnie dla n-tego okresu czasu:
i
n
ei
J p Δt /W
ei
en
r
an-1
n
i
W
ΔW
p
p
1 e
p
(55)
gdzie ciśnienie w strefie wodonośnej pod koniec okresu czasowego
„n-1” wyznacza się jako:
1
1
1
1
n
e j
j
a
i
n
ei
W
p
p
W
(56)
oraz ciśnienie średnie w złożu dla n-tego okresu czasowego:
2
p
p
p
n
r
1
n
r
n
r
(57)
Całkowity dopływ wody jest wówczas sumą dopływów w kolejnych
okresach czasowych
n
e
e j
j 1
W
W
(58)
Indeks wydajności zależy od przyjętej geometrii przepływu oraz stanu
hydrodynamicznego aquifera.
Dla stanu semiustalonego indeks wydajności jest identyczny jak w
przypadku dopływu płynu do odwiertu:
4
3
r
r
ln
h
k
f
2
J
b
a
w
(59)
21
Dla stanu ustalonego:
b
a
w
r
r
ln
h
k
f
2
J
(60)
W przypadku złoża usytuowanego asymetrycznie względem aquifera
odbiegającego kształtem od radialnego, indeks wydajności może być
wyrażony za pomocą współczynnika kształtu Dietz’a jako:
2
b
A
r
C
γ
A
4
ln
2
μ
h
k
f
2
J
(61)
gdzie:
C
A
– współczynnik kształtu Dietz’a,
– stała Euler’a,
A – powierzchnia aquifera.
Metoda Fetkovitch’a może być także wykorzystywana dla opisu dopływu
wody z nieograniczonych stref wodonośnych lub stref skończonych ale
bardzo dużych rozmiarach. W takich przypadkach dla czasów krótkich
stosuje się metodę nieustalonego dopływu van Everdingen’a – Hurst’a, zaś
dla czasów długich prostszą metodę Fethkovich’a.
Obliczenia dopływu wody do złoża
Dopływ wody do złoża kontaktującego się ze strefą wodonośną
następuje w wyniku spadku ciśnienia złożowego spowodowanego
wydobyciem płynów złożowych. Wielkość i intensywność dopływu wody
jest funkcją zarówno tempa sczerpywania zasobów złożowych i
związanego z tym spadku ciśnienia w złożu jak też charakterystyki
aquifera, głównie jego wielkości i kształtu oraz własności petrofizycznych
ośrodka porowatego.
Równaniem pozwalającym określić zmianę ciśnienia w złożu w funkcji
wydobycia płynów złożowych jest równie bilansu masowego, które dla złóż
pracujących w warunkach ruchomej wody przyjmuje postać równania,
22
które dla dowolnego kroku czasowego „n” przy zaniedbaniu wydobycia
wody „W
p
” można zapisać jako:
n
n
p
i
e
w
n
i
gi
G
1
G
p
p
W
B
z
z
1
G B
(62)
Z kolei wielkość dopływu wody do złoża może być wyznaczona z
wykorzystaniem omówionych wcześniej metod van Everdingen’a-Hurst’a i
Fetkovich’a.
Obliczenia z użyciem metody van Everdingen’a-Hurst’a
W przypadku metody van Everdingen’a- Hurst’a dopływ wody opisywany
jest równaniem, które dla kroku czasowego „n” można zapisać wydzielając
ostatni człon jako:
n
n 2
e
j
eD
n
j
n 1
eD
n
n 1
j 0
W
U
p W
u
t
t
p
W
u
t
t
(63)
gdzie:
n 2
n
n 1
p
p
p
2
oraz parametr „u” wynikający z definicji bezwymiarowego czasu t
D
2
t
b
k
u
c r
wówczas bezwymiarowy czas opisywany jest zależnością:
D
t
u t
Zachowanie się układu złoże-aquifer opisywane jest zatem układem
równań (62), (63). W równaniach tych nieznanymi parametrami są
ciśnienie „p
n
” i dopływ wody „W
en
” w bieżącym kroku czasowym „n”.
Ponieważ równania te są zależne od siebie muszą być zatem
rozwiązywane równolegle w sposób iteracyjny.
Sposób rozwiązania układu równań (62), (63) dla znanych parametrów
charakteryzujących strefę wodonośną i złoże przedstawiono na rys. 2.4.
23
k
n
p
n
n 2
j
eD
n
j
p
j 0
i
n
i
gi
U
p W
u
t
t
G
p
p
1
1
z
G
G B
z
Krok czasowy = n
k = 1
n
n 2
e
j
eD
n
j
n 1
eD
n
n 1
j 0
W
U
p W
u
t
t
p
W
u
t
t
n
k
e
W
n
n
k
p
e
i
n
i
gi
G
W
p
p
1
1
z
G
G B
z
k
n
p
k
k = k + 1
k
k 1
n
n
p
p
k
k 1
n
n
p
p
TOL
n = n + 1
k = 1
+
–
gdzie: k – krok iteracyjny, n – krok czasowy, TOL – błąd obliczeń
Rys. 2.4. Obliczenie ciśnienia złożowego oraz wielkości dopływu wody
(metoda van Everdingen’a - Hurst’a).[Dake, 1978]
Obliczenia z użyciem metody Fetkovich’a
Model Fetkovich’a stanowią równania:
równanie bilansu masy dla strefy wodonośnej, pozwalające
wyznaczyć ciśnienie w strefie wodonośnej w kroku czasowym „n-1”.
n 1
e
a
i
n 1
ei
W
p
p
1
W
(64)
równanie dopływu wody do złoża w kroku czasowym „n”.
24
i
n
ei
n
n-1
k
J p Δt /W
k
ei
n 1
n
e
a
i
W
p
p
ΔW
p
1 e
p
2
(65)
oraz całkowity dopływ wody
n
n
n 1
k
k
e
ej
e
j 0
W
W
W
(66)
Algorytm obliczania ciśnienia złożowego oraz dopływu wody dla
zdefiniowanej strefy wodonośnej pokazano na rys. 2.5.
k
n
p
k
n
p
n
n
k
k
p
e
i
n
i
gi
G
W
p
p
1
1
z
G
G B
z
k
k 1
n
n
p
p
i
n
ei
n
n-1
k
J p Δt /W
k
ei
n 1
n
e
a
i
W
p
p
ΔW
p
1 e
p
2
k
k
k 1
n
n
p
p
TOL
k = 1
–
n
n 1
k
p
e
i
n
i
gi
G
W
p
p
1
1
z
G
G B
z
Krok czasowy = n
k = 1
n
n 1
n
k
k
e
e
e
W
W
W
k = k + 1
n = n + 1
n 1
e
a
i
n 1
ei
W
p
p
1
W
+
Rys. 2.5. Obliczenie ciśnienia złożowego oraz
wielkości dopływu wody (metoda Fetkovich’a) [Dake, 1978]
25
Kalibracja modelu bilansowego – wyznaczanie parametrów strefy
wodonośnej.
Omówione
metody
rozwiązywania
bilansu
masowego
z
uwzględnieniem dopływu wody do złoża wymagają wcześniejszego
zdefiniowania parametrów charakteryzujących strefę wodonośną jak
również początkowych zasobów gazu w złożu. W praktyce parametry te
nie są znane i muszą być wyznaczone w oparciu o dane pomiarowe z
przebiegu eksploatacji tj. wydobycia płynów złożowych, pomiary ciśnień
złożowych jak też parametry PVT płynów złożowych. Jest to tzw.
rozwiązanie problemu odwrotnego polegające na dopasowaniu modelu
bilansowego do zmierzonych ciśnień złożowych (tzw. kalibracja modelu).
Dopasowywanymi parametrami są zasoby początkowe gazu w złożu „G”
oraz w zależności od przyjętej metody dopływu wody:
dla metody van Everdingen’a – Hurst’a
stała aquifera - U,
promień zredukowany - r
eD
,
paramter – u, opisany zależnością wynikającą z definicji
bezwymiarowego czasu t
D
dla metody Fetkovich’a
indeks wydajności aquifera - J,
maksymalny dopływ wody ze strefy wodonośnej – W
ei
Kryterium dopasowania jest zbieżność średnich ciśnień złożowych
obliczonych i zmierzonych.
Poprawność kalibracji modelu bilansowego można zweryfikować
metodą Havlen’a – Odeh’a. Metoda ta pozwala na właściwy dobór
parametrów opisujących strefę wodonośną, a tym samym poprawne
oszacowanie ilości dopływającej wody zgodnie z równaniem (4.12). Jak
wynika z charteru równania (412) przy prawidłowo wyznaczonych
26
parametrach strefy wodonośnej punkty pomiarowe w układzie F/E
g
vs
W
e
B
w
/E
g
opisywane są zależnością liniową o nachyleniu 1, wówczas rzędna
początkowa określa wielkość zasobów początkowych, co pokazano na rys.
2.6. Alternatywnie jeśli punkty na wykresie w układzie F/E
g
vs W
e
B
w
/E
g
układają się nieliniowo wówczas świadczy to o błędnym doborze
parametrów strefy wodonośnej (rys. 4.6). Odchylanie się punktów do góry
ma miejsce dla zbyt słabej aktywności strefy wodonośnej (zbyt mały
dopływ wody), zaś gdy punkty układają się wzdłuż krzywej odchylającej
się ku dołowi wówczas aktywność strefy wodonośnej jest zbyt duża (za
duży dopływ wody do złoża).
Rys. 2.6. Wykres poprawnego dopasowania aktywności strefy wodonośnej
(metoda Havlena - Odeh), [Dake, 2000].
27
3. Analiza stożków i języków wodnych
Odwierty gazowe udostępniają strefę gazową złoża oddzieloną od
strefy zawodnionej, która może to być jako woda podścielająca lub woda
okalająca.
Z chwilą gdy odwiert rozpoczyna eksploatację, wokół niego
wytwarza się strefa obniżonego ciśnienia dzięki czemu następuje dopływ
płynów złożowych do odwiertu. Zaburzenie ciśnienia może osiągnąć strefę
zawodnioną złoża i powodować podciąganie wody w kierunku odwiertu.
Jest to zjawisko powstawania języka lub stożka wodnego.
Tworzenie się stożków wodnych ma duże znaczenie dla eksploatacji gazu
ze złoża. Są one głównym powodem wzrostu spadku ciśnienia w odwiercie
koniecznego do wyniesienia cięższej mieszaniny gazowo-wodnej. W
najgorszym przypadku woda dopływająca do odwiertu może nie być
wyeksploatowana wraz z gazem. Wówczas akumuluje się ona na dnie
odwiertu, zatrzymując dopływ gazu do odwiertu a co za tym idzie,
prowadzi do wyłączenia odwiertu z eksploatacji.
Prowadzone w referacie rozważania nad tworzeniem się stożków
wodnych, będą dokonane przy pewnych uproszczeniach tj: zakłada się
przepływ płynów w złożu z ostrą granicą między gazem a wodą. Oznacza
to, że siły kapilarne są zaniedbywalne i że wypieranie gazu przez wodę
jest tłokowe. Tłokowe wypieranie gazu przez wodę jest rozsądnym
przypuszczeniem ze względu na znacznie wyższą gęstość i lepkość wody
niż gazu.
3.1.
Wydatek krytyczny gazu wg Dupit’a.
Tworzenie się stożka wodnego można rozważać jako zależność
między siłami lepkości i ciężkości. Siły lepkości mają tendencje do
podnoszenia wody w kierunku odwiertu i są proporcjonalne do wydatku.
Siły grawitacyjne z kolei przeciwdziałają podnoszeniu się wody ze względu
na jej ciężar. Są one proporcjonalne do różnicy gęstości między wodą i
gazem. Dla określonego wydatku siły lepkości równoważą siły ciężkości.
28
Wydatek ten jest właśnie wydatkiem krytycznym, powyżej którego może
następować dopływ wody do odwiertu. Jest to zatem maksymalny
wydatek przy którym eksploatowany jest gaz bez wody.
Rozpatrujemy przepływ radialny wokół odwiertu całkowicie perforowanego
z występującą wodą podścielającą eksploatującego gaz z wydatkiem
krytycznym.
Zakładamy przepływ ustalony w złożu, jednorodność złoża, pomijając siły
kapilarne oraz zakładając stałą gęstość i lepkość płynów.
Siły kapilarne mogą być pominięte w warstwie o odpowiednio dużej
miąższości i przepuszczalności, gdzie przejściowa strefa występowania sił
kapilarnych pomiędzy gazem i wodą jest mała w porównaniu z grubością
strefy gazonośnej. Założenie stałości gęstości i lepkości gazu jest słuszne
tak długo jak spadek ciśnienia w strefie przyodwiertowej jest mały w
odniesieniu do średniego ciśnienia złożowego, co można zapisać
następująco:
1
p
h
g
ge
(67)
gdzie: – różnica gęstości wody i gazu
h
ge
– miąższość strefy gazonośnej,
p – średnie ciśnienie złożowe
Maksymalny spadek ciśnienia przy którym stożek wodny sięga dna
odwiertu, lecz woda nie jest jeszcze eksploatowana (rys.3.1) stanowi
różnicę ciśnienia hydrostatycznego w strefie wodonośnej do miąższości
strefy gazonośnej.
Zakładając filtrację płynu o stałej gęstości wg prawa Darcy’ego możemy
napisać:
grad
k
u
(68)
gdzie:
u
– wektor prędkości filtracji,
k – przepuszczalność,
– lepkość dynamiczna,
– potencjał przepływu definiowany jako:
z
g
p
29
z
Gaz
Woda
A
B
C
D
h
h
gw
ge
r
e
r
w
Rys.3.1. Kształt stożka wodnego dla krytycznego wydatku Dupit’a
Przy założeniu stałej gęstości płynu równanie ciągłości przyjmie postać:
0
u
div
(69)
Z równań (68) i (69) przy założeniu stałej lepkości płynu otrzymujemy
potencjał przepływu:
0
grad
div
(70)
Jeśli eksploatacja gazu odbywa się z wydatkiem krytycznym, wówczas
ciśnienie w strefie wodonośnej jest ciśnieniem hydrostatycznym, zatem
potencjał przepływu dla wody
w
możemy wyrazić:
z
g
p
w
w
w
(71)
Pomijając siły kapilarne możemy napisać, że ciśnienia po obu stronach
konturu woda-gaz muszą być sobie równe zatem:
z
g
z
p
z
p
w
w
i
w
i
g
)
(
)
(
(72)
gdzie: z
i
– położenie kontaktu gaz-woda
Potencjał przepływu dla gazu podobnie jak dla wody wyraża się poprzez:
i
g
i
g
i
g
z
g
z
p
z
)
(
)
(
(73)
Podstawiając do równania (73) zależność (72) otrzymamy:
i
w
i
g
i
w
w
i
g
z
g
z
g
z
g
z
)
(
(74)
30
Dla odwiertu i zewnętrznej strefy złoża zakładamy, że gaz i woda znajdują
się w równowadze hydrostatycznej.
Dla gazu potencjał przepływu na ściance odwiertu dany jest
zależnościami:
dla
w
r
r
,
gw
ge
i
h
h
z
)
(
gw
ge
w
g
h
h
g
(75)
gdzie: r
w
– promień odwiertu,
h
ge
– miąższość strefy gazowej na granicy zasięgu odwiertu,
h
gw
– miąższość strefy gazowej na ściance odwiertu.
Na granicy zasięgu odwiertu mamy:
dla
e
r
r
0
i
z
w
g
(76)
gdzie: r
e
– promień strefy zasięgu odwiertu.
Dla obliczenia wydatku krytycznego wg Dupit’a stosujemy twierdzenie
Ostrogradzkiego-Greena [ ] pozwalające wyznaczyć objętość zajmowaną
przez gaz. Twierdzenie to wyrażone jest zależnością:
dS
n
W
U
n
U
W
dV
W
U
U
W
V
S
(77)
gdzie: S – powierzchnia ograniczająca objętość V,
n
– wektor jednostkowy normalny do powierzchni S.
W, U - zadane funkcje
W naszym przypadku za funkcje W i U podstawiamy odpowiednio:
w
r
r
W
ln
(78)
g
U
(79)
Zakładamy, że powstały stożek nie zmienia swojej wysokości, zatem i
objętość gazu V pozostaje stała. Przy takim założeniu lewa strona
równania (77) będzie równa zeru.
Wykorzystując powyższe stwierdzenie i podstawiając (78) i (79) do
równania (77) otrzymamy:
S
w
g
g
w
dS
r
r
n
n
r
r
0
ln
ln
(80)
31
W rozpatrywanym modelu (rys.3.1.) powierzchnia S składa się z
elementów wyznaczonych przez powierzchnie obrotowe: BA, BC, CD i DA .
Dla powierzchni BA możemy napisać:
w
e
w
r
r
r
r
ln
ln
(81)
e
ge
rg
g
g
kr
g
r
h
kk
B
q
n
2
(82)
gdzie: q
kr
– krytyczny wydatek gazu w warunkach normalnych,
g
– lepkość gazu,
B
g
– współczynnik objętościowy gazu,
k
rg
– przepuszczalność względna dla gazu w strefie gazowej
nasyconej wodą związaną.
e
w
w
r
r
r
r
r
r
n
1
ln
ln
(83)
dz
r
dS
e
2
(84)
Dla powierzchni BC (rys.3.2.):
Ponieważ potencjały obu płynów po obu stronach powierzchni rozdziału
woda-gaz są sobie równe więc:
0
n
g
(85)
r
r
r
grad
n
r
r
n
w
w
sin
ln
ln
(86)
sin
2
2
dz
r
rdl
dS
(87)
32
dz
dl
n
powierzchnia rozdziału
gaz-woda
Rys.3.2. Element powierzchni rozdziału gaz-woda.
Dla powierzchni CD:
0
ln
w
r
r
(88)
w
w
w
r
r
r
r
r
r
n
1
ln
ln
(89)
dz
r
dS
w
2
(90)
Dla powierzchni DA:
0
n
g
(91)
0
ln
w
r
r
n
(92)
Wstawiając zależności od (83) do (92) do równania (82) otrzymamy:
ge
gw
ge
ge
gw
ge
h
h
h
h
h
h
w
g
i
g
e
g
rg
g
g
w
e
kr
dz
r
dz
z
dz
r
kk
r
r
q
0
0
)
(
)
(
)
(
2
ln
B
(93)
Podstawiając warunki graniczne oraz wyrażenia na potencjał (równania
(75) - (79)) oraz całkując otrzymamy:
2
2
ln
2
2
gw
ge
rg
g
g
w
e
kr
h
h
g
kk
B
r
r
q
(94)
po przekształceniu:
33
2
2
ln
gw
ge
w
e
g
g
rg
kr
h
h
r
r
B
gkk
q
(95)
W powyższym wyprowadzeniu założono stałą przepuszczalność we
wszystkich kierunkach. W przypadku ośrodka anizotropowego wprowadza
się poprawkę mnożąc prawą stronę równania (29) przez
h
v
k
k /
oraz
wstawiając w miejsce „k” przepuszczalność poziomą „k
h
”. Zatem równanie
(95) przyjmie następującą postać:
h
v
gw
ge
w
e
g
g
rg
h
kr
k
k
h
h
r
r
B
k
gk
q
2
2
ln
(96)
3.2. Wydatek krytyczny wg Schols’a.
Wydatek krytyczny określony przez Dupit’a odnosi się do całkowicie
perforowanych odwiertów, co jest nietypowe dla złóż gazowych z wodą
podścielającą. Aby zapobiec szybkiemu przebiciu się wody do odwiertu
zakańcza się je tak aby penetrowały tylko górną części złoża bądź
wykonuje się perforację odwiertu w jak największej odległości od poziomu
wody (rys.3).
Gas
Woda
b
r
r
e
w
h
ge
Rys. 3.3. Kształt stożka wodnego dla krytycznego wydatku Schols’a.
34
Empiryczna zależność na obliczanie wydatku krytycznego zaproponowana
przez Schols’a ma postać:
14
,
0
2
2
ln
432
,
0
e
ge
ge
w
e
g
g
rg
kr
r
h
b
h
r
r
B
gkk
q
(97)
Jak widać równanie na wydatek krytyczny wprowadzone przez Schols’a
jest podobne do równania Dupit’a. Jeśli zinterpretujemy poziom perforacji
rur w równaniu Dupit’a jako głębokość penetracji w równaniu Schols’a
wówczas stosunek obu wydatków będzie wynosił:
14
,
0
ln
432
,
0
1
)
(
)
(
e
ge
w
e
kr
kr
r
h
r
r
Dupit
q
Schols
q
(98)
Z równania (98) można wywnioskować, iż wydatek krytyczny Dupit’a
jest mniejszy niż wydatek krytyczny Schols’a, jeśli r
e
/r
w
> 500 i h
ge
/r
e
>0,012 co pokrywa się z praktyką. Odwiert częściowo penetrujący może
eksploatować gaz wolny od wody z wyższym wydatkiem niż całkowicie
perforowany odwiert jak to jest w przypadku Dupit’a. Można to
wytłumaczyć przez fakt, że w przypadku Dupit’a stożek wodny sięga
spodu rur wydobywczych, stąd strefa wpływu stożka jest większa i w
konsekwencji spadek ciśnienia przy takim przepływie jest także większy.
Tak więc dla danego spadku ciśnienia wydatek gazu jest mniejszy.
W przypadku Schols’a wierzchołek stożka znajduje się w pewnej odległości
od spodu rur wydobywczych..
Zależność Schols’a można rozszerzyć uwzględniając anizotropowość
ośrodka. Wówczas należy wprowadzić poprawkę do równania (97):
07
,
0
14
,
0
2
2
ln
432
,
0
v
h
e
ge
ge
w
e
g
g
rg
h
kr
k
k
r
h
b
h
r
r
B
k
gk
q
(99)
Jak widać z zależności (99) wydatek krytyczny dla danej przepuszczalności
poziomej wzrasta przy spadku przepuszczalności pionowej, jednakże
zależność ta jest słaba.
35
Stożki wodne i gazowe w odwiertach poziomych.
W przypadku odwiertów pionowych strefa zaburzenia ciśnienia jest
największa w pobliżu odwiertu. Zatem wokół odwiertu pionowego tworzy
się strefa wysokiej depresji. Dla odwiertów poziomych spadek ciśnienia
rozkłada się równomiernie wokół odwiertu, zaś w jego bezpośrednim
sąsiedztwie istnieje strefa wyższego spadku ciśnienia. Jednakże wielkość
tego spadku ciśnienia jest mniejsza w stosunku do tej jaka występuje
wokół odwiertu pionowego.
W związku z mniejszym spadkiem ciśnienia wokół odwiertów
poziomych uzyskuje się wyższe wydatki bez niebezpieczeństwa tworzenia
się stożków.
Wydatek krytyczny wg metody Efors’a.
3
2
2
10
444
,
27
2
2
2
7
h
y
y
B
L
h
k
q
e
e
g
g
h
g
(100)
gdzie: q
g
– wydatek krytyczny gazu [tys. ft/day],
2y
e
– odległość miedzy odwiertami [ft],
h – odległość odcinka poziomego odwiertu od kontaktu gaz-woda
[ft],
k
h
– przepuszczalność pozioma [mD],
– różnica gęstości [gm/cc],
L – długość odcinka poziomego odwiertu [ft],
g
– lepkość gazu [cP],
B
g
– współczynnik objętościowy gazu.
Wydatek krytyczny wg metody Giger’a i Karcher’a.
L
y
h
y
h
k
q
e
e
g
g
h
g
2
2
7
2
6
1
1
2
10
444
,
27
B
(101)
gdzie: oznaczenia podobnie jak we wzorze (34).
36
Przykład
Dla porównania krytycznej wydajności odwiertu poziomego w stosunku do
pionowego ze względu na niebezpieczeństwo powstania stożka wodnego
przyjęto następujące dane:
średnie ciśnienie złożowep = 6 MPa,
temperatura złoża
T = 320 K,
przepuszczalność pozioma
k
h
= 30 mD,
przepuszczalność pionowa
k
v
=10 mD,
gęstość gazu
g
= 47 kg/m
3
,
gęstość wody
w
=1020 kg/m
3
,
lepkość gazu
g
= 0.0144 cP,
współczynnik objętościowy gazu
B
g
= 0.019,
promień strefy zasięgu odwiertu
r
e
=200 m.,
promień odwiertu
r
w
=0.074 m.,
przepuszczalność względna gazu
k
rg
= 0.7,
miąższość strefy gazowej na granicy zasięgu odwiertu h
ge
= 30 m.,
miąższość strefy gazowej na ściance odwiertu
h
gw
= 5 m.,
głębokość perforacji odwiertu mierzona od stropu złożab = 5 m.,
odległość miedzy odwiertami
2y
e
= 1640.4 [ft],
długość odcinka poziomego odwiertu
L = 1312 [ft],
odległość odcinka poziomego odwiertu od kontaktu gaz-woda h = 82
[ft],
Wydatek krytyczny gazu dla odwiertu pionowego wg Dupit’a.
s
m
q
kr
3
15
15
2
2
3
15
147
.
0
10
30
10
10
5
30
074
.
0
200
ln
019
.
0
10
0144
.
0
7
.
0
10
30
807
.
9
974
d
m
q
kr
3
5
.
12722
Wydatek krytyczny gazu dla odwiertu pionowego wg Schols’a.
37
07
.
0
14
.
0
2
2
3
15
10
30
200
30
5
30
074
.
0
200
ln
432
.
0
019
.
0
10
0144
.
0
7
.
0
10
30
807
.
9
974
kr
q
s
m
q
kr
3
447
d
ft
tys
q
kr
3
.
1365
Wydatek krytyczny gazu dla odwiertu poziomego wg Efors’a.
d
ft
tys
q
kr
3
2
2
2
7
.
5
.
779
3
1312
4
.
1640
4
.
1640
019
.
0
014
.
0
1312
82
974
.
0
30
10
444
.
27
s
m
q
kr
3
262
.
0
Wydatek krytyczny gazu dla odwiertu poziomego wg Giger’a i Karcher’a.
d
ft
tys
q
kr
3
2
2
7
.
1600
1312
4
.
1640
82
6
1
1
4
.
1640
82
974
.
0
019
.
0
0144
.
0
30
10
444
.
27
s
m
q
kr
3
524
.
0
Analiza wyników
1.
Jednym z istotnych kryteriów określenia dopuszczalnego wydatku w
odwiercie jest warunek niedopuszczenia do powstania stożka wodnego.
Przedstawiona
metodyka
obliczenia
wydatków
krytycznych
dla
odwiertów
poziomych
i pionowych
bierze
pod
uwagę
efekty
grawitacyjne związane z przemieszczaniem się płynów złożowych.
2.
Wykonane obliczenia dopuszczalnych wydatków ze względu na
możliwość powstania stożka wodnego wskazują na zalety odwiertu
poziomego
w stosunku
do
odwiertu
pionowego.
Wykazano
w
obliczeniach szacunkowych, że dopuszczalna wydajność odwiertu
poziomego jest przeszło dwukrotnie większa niż dla odwiertu
pionowego. Wskazuje to na celowość rozwiercania złóż odwiertami
poziomymi uzyskując z nich znacznie większe wydajności przy tych
samych depresjach ciśnienia. Przy obecności odwiertu poziomego
38
niekorzystne przemieszczanie się wód odbywa się na większej
przestrzeni niż w przypadku odwiertu pionowego, co daje większą
pewność, że nie wystąpią niekorzystne dla procesu eksploatacji lokalne
odcięcia pewnych stref gazu przez wdzierającą się wodę. W świetle tego
wyjaśnienia widać, że w przypadku odwiertów poziomych występuje
konieczność przemieszczenia się większej ilości wody w kierunku
odwiertu, co jest przeszkodą w jej gwałtownym ruchu, mogącym
doprowadzić do rozmycia się konturu woda–gaz.
3.
W przypadku odwiertu pionowego powstały stożek wodny może być
trudny do likwidacji ze względu na hydrofilność większości skał
złożowych oraz siły kapilarne. W przypadku odwiertu poziomego
powstały stożek rozciąga się liniowo wzdłuż odwiertu tworząc
podniesiony wał wodny, co powinno sprzyjać łatwiejszego jego cofaniu
się jeżeli ustanie przyczyna jego tworzenia.