SNy: Biotechnologia

 

Studenckie Notatki Cyfrowe

 

www.sny.one.pl

 

Wrocław, 2007 

Fizyka II – ćwiczenia 

notatki ze studiów 

na kierunku Biotechnologia 

na Wydziale Chemicznym 

Politechniki Wrocławskiej 

 

Autor: 
  Mateusz Jędrzejewski 
  mateusz.jedrzejewski@one.pl 
  www.jedrzejewski.one.pl 
 

 

SNy: Biotechnologia

 

 

Spis treści 

 

Informacje o kursie _____________________________________________________3 

ZESTAW 0 – Prąd przemienny ____________________________________________4 

ZESTAW 1 – Fale _______________________________________________________8 

Kolokwium I __________________________________________________________ 15 

ZESTAW 2 – Interferencja i dyfrakcja _____________________________________ 19 

ZESTAW 3 – Polaryzacja________________________________________________25 

Kolokwium II _________________________________________________________30 

ZESTAW 4 – Efekty kwantowe___________________________________________ 31 

ZESTAW 5 – Efekty kwantowe oraz rozpad promieniotwórczy ________________37 

Kolokwium III ________________________________________________________45 

 

 

SNy: Biotechnologia

 

 

Wstęp 

 
otatka jest częścią projektu SNy Biotechnologia 
(Studenckie  Notatki  Cyfrowe).  Udostępniane 

są  one  na  stronie  internetowej  www.sny.one.pl.  KaŜdy 
moŜe za darmo korzystać z nich w celach edukacyjnych. 

 
a  konkretna  notatka  dotyczy  kursy  FZC1004c, 
czyli ćwiczeń do wykładów z Fizyki II. Notatka 

zawiera  przykładowe  opracowanie  szkiców  rozwiązań 
do zestawów zadań. Nie są to więc pełne rozwiązania 
do  zadań.

  Zadania  pochodzą  z  list  omawianych 

na ćwiczeniach  oraz  dodatkowym  wykładzie.  Szkice 
będą,  w  miarę  moŜliwości,  opatrywane  dodatkowymi 
rysunkami i komentarzami. 
 

Chciałbym  podziękować  Jakubowi  Jakimiukowi 

za dostarczenie treści niektórych zadań. 

 
waga  na  błędy!  Mimo  staranności  jaką  włoŜyli 
autorzy  w  opracowanie  tej  notatki  mogą 

zdarzyć  się  błędy.  Więc  kaŜdy  korzysta  z  tych  notatek 
na własną odpowiedzialność. ZauwaŜone błędy proszę 
zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogą elektroniczną). 
 

 

śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek. 

 
Mateusz Jędrzejewski 
(autor strony www.sny.one.pl) 

  

Szczegółowe informacje o notatce 

 

Nazwa pliku:  e-notatka - Fizyka II - cwiczenia.pdf 

 

Nazwa kursu:  Fizyka II (FZC1004C) 

  Prowadzący kurs:  mgr ElŜbieta Trzop (ćwiczenia), doc. Krzysztof Rohleder (wykład) 
 

Semestr/rok:  07l (rok 1, II semestr) 

 

Kierunek:  Biotechnologia 

 

Wydział:  Wydział Chemiczny 

 

Uczelnia:  Politechnika Wrocławska 

 

Autor notatki:  Mateusz Jędrzejewski 

 

Status:  tworzona 

N 

T 

U 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 3 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:09 

  Temat: Informacje o kursie. 

 

Zmodyfikowana:    20.03.2007 23:58 

 

Informacje o kursie 

 
 

Nazwa kursu:  Fizyka II – ćwiczenia 

 

Kod kursu:  FZC1004C 

 

Prowadzący:  mgr ElŜbieta Trzop 

 
 

Konsultacje:  poniedziałek, środa, godz. 14:30-16:30, trzeba umówić się na e-mail, 

 

  bud. A-2, pok. 413. 

 

Przebieg zajęć:  rozwiązywanie list zadań dostępnych na stronie http://ar.ch.pwr.wroc.pl 

  Warunki zaliczenia:  trzy kolokwia na kaŜdym dwa zadania, trzeba kaŜde zaliczyć na 50% pkt. 
 
 

kolokwium I  wtorek, 3 kwietnia 2007 r. – ZESTAW 0. oraz ZESTAW 1. 

 

kolokwium II  wtorek, 15 maja 2007 r. – ZESTAW 2. oraz ZESTAW 3. 

 

kolokwium III  wtorek, 5 czerwca 2007 r. – ZESTAW 4. oraz ZESTAW 5. 

 
Przeliczenie punktów na oceny (max. 60 pkt.) 
 

dst  30-35 

 

+dst  36-41 

 

db  42-47 

 

+db  48-53 

 

bdb  54-58 

 

+bdb  59-60 

 
Zgodnie z ogłoszeniem doc. Krzysztofa Rohledera jest zwolnienie z kolokwium końcowego 
z wykładu w tym semestrze (tj. semestr 07l) po zaliczeniu ćwiczeń na co najmniej db. 
 

   

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 4 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:10 

  Temat: Zestaw 0 – Prąd przemienny. 

 

Zmodyfikowana:    24.03.2007 0:30 

 

ZESTAW 0 – Prąd przemienny 

 
Więcej na stronie pt. „Rozdział 7 – drgania w obwodach RLC (…)”: 
 

http://www.mif.pg.gda.pl/kfze/wyklady/WM2rozdzial7.pdf 

 
zad. 1. 

Dane:   

µH

5

=

L

,  

nF

20

=

C

, 

V

120

max

=

U

,  

30

=

N

, 

Szukane: 

max

Φ

, 

 
Opór obwodu zaniedbujemy. W zadaniu mamy do czynienia z drgającym obwodem LC. 
Wzór na energię całkowitą kondensatora: 

2

max

2

1

U

C

E

c

⋅

=

. 

Wzór na energię całkowitą cewki: 

2

max

2

1

i

L

E

c

⋅

=

. 

Energia „przepływa” pomiędzy jedną postacią a drugą. 
Nie ma strat energii więc obywa wzory moŜna ze sobą porównać: 

L

C

U

i

i

L

U

C

max

max

2

max

2

1

2

max

2

1

=

⇒

⋅

=

⋅

 

 
Dla cewki prawdziwe jest zaleŜność: 

i

L

N

⋅

=

Φ

⋅

 

w szczególności: 

max

max

max

max

i

i

L

N

N

L

=

Φ

⇒

⋅

=

Φ

⋅

 

 
ostatecznie: 

Wb

10

26

,

1

120

6

30

10

20

10

5

max

max

max

max

max

9

6

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

Φ

=

⋅

=

=

Φ

−

−

N

LC

L

C

N

L

N

L

U

U

i

 

 
zad. 2. 

Dane:   

mH

2

,

1

=

L

,  

µF

03

,

0

=

C

, 

Szukane: 

λ

, 

 
Opór obwodu zaniedbujemy. W zadaniu mamy do czynienia z drgającym obwodem LC. 

 

KaŜda fala spełnia poniŜszą zaleŜność: 

 

T

v

λ

=

 

gdzie: 
 

v

 – prędkość rozchodzenia się fali, 

 

λ

 – długość fali, 

 

T

 – okres fali, 

 

W szczególności dla fali elektromagnetycznej 

s

m

8

10

3

⋅

=

=

c

v

 (prędkość światła w próŜni) 

Więc: 

T

c

T

c

T

v

⋅

=

⇒

=

⇒

=

λ

λ

λ

 

 

W układzie LC okres drgań wyraŜa się wzorem: 

LC

T

π

2

=

 

m

10

13

,

1

10

03

,

0

10

2

,

1

2

10

3

2

4

6

3

8

−

−

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

⋅

=

π

λ

π

λ

LC

c

T

c

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 5 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:10 

  Temat: Zestaw 0 – Prąd przemienny. 

 

Zmodyfikowana:    24.03.2007 0:30 

 

zad. 3. 

Dane:   

µF

16

=

C

, 

Ω

=

200

R

, 

V

220

=

U

, 

Hz

50

=

f

, 

Szukane: 

Z

, 

i

, 

ϕ

, 

C

U

, 

R

U

 

 
Jest to obwód typu RC. 

Opór pojemnościowy to: 

C

X

C

ω

1

=

. 

f

⋅

=

π

ω

2

 

Zawada (opór całkowy układu) to ogólnie: 

(

)

2

2

L

C

X

X

R

Z

−

+

=

 

tu 

0

=

L

X

, więc 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

1

1

C

f

R

C

R

X

R

Z

C

π

ω

+

=

+

=

+

=

. 

Ω

=

⋅

⋅

⋅

+

=

+

=

−

1

,

282

)

10

16

(

50

4

1

200

4

1

2

6

2

2

2

2

2

2

2

π

π

C

f

R

Z

. 

 

Prawo Ohma 

R

U

i

=

, uogólnienie (opór całkowy to zawada) 

Z

U

i

=

 

A

78

,

0

1

,

282

220

=

=

=

Z

U

i

. 

 
Opornik oraz kondensator są połączone szeregowo więc natęŜenie prądu jest jakie samo 
w całym  obwodzie. 

V

155

10

16

50

2

78

,

0

2

V

156

200

78

,

0

6

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

=

⋅

=

−

π

π

ω

C

f

i

C

i

X

i

U

R

i

U

C

C

R

 

 
Przesunięcie fazowy wyraŜa się jako: 

'

51

44

995

,

0

ctg

ar

ctg

ar

ctg

ar

ctg

ar

ctg

ar

tg

200

10

16

50

2

1

2

1

2

1

1

1

6

°

=

=

=

=

=

⇒

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

π

π

π

ω

ω

ϕ

ϕ

ϕ

fCR

fCR

CR

C

C

R

R

X

 

 
 

zad. 4. 

Dane:   

V

230

=

U

, 

Hz

50

=

f

, 

H

5

=

L

, 

Ω

=

100

R

, 

Szukane: 

C

, 

i

, 

C

U

, 

 
Jest to obwód typu RLC. 

JeŜeli występuje w nim rezonans to zachodzi wzór: 

LC

T

π

2

=

 

F

10

03

,

2

5

50

4

1

4

1

4

1

1

4

1

2

1

6

2

2

2

2

2

2

2

2

−

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

π

π

π

π

π

L

f

C

L

f

C

LC

f

f

LC

f

T

 

Liczę zawadę: 

Ω

=

−

⋅

⋅

+

=

−

+

=

⋅

⋅

⋅

−

100

)

50

2

5

(

100

)

(

2

50

2

10

03

,

2

1

2

2

1

2

6

π

ω

π

ω

C

L

R

Z

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 6 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:10 

  Temat: Zestaw 0 – Prąd przemienny. 

 

Zmodyfikowana:    24.03.2007 0:30 

 

Prawdziwy jest związek: 

V

10

6

,

3

3

,

2

U

A

3

,

2

100

230

3

50

2

10

03

,

2

1

2

1

1

C

6

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

=

=

⇒

=

⋅

⋅

⋅

⋅

−

π

π

ω

f

C

C

C

i

i

X

i

i

Z

U

i

 

 
 
zad. 5. 

Dane:   

Ω

=

400

R

, 

H

3

,

1

=

L

, 

mF

6

,

1

=

C

, 

V

230

=

U

, 

Hz

50

=

f

, 

Szukane: 

i

, 

ś

r

P

 (chodzi o moc średnią, skuteczną), 

 

s

1

16

,

314

50

2

2

=

⋅

=

⋅

=

π

π

ω

f

 

Zawada (opór całkowy układu) to: 

(

)

2

2

L

C

X

X

R

Z

−

+

=

 

Gdzie: 

C

C

X

ω

1

=

 (opór pojemnościowy), 

L

X

L

ω

=

 (opór indukcyjny), 

(

)

Ω

=

⋅

−

+

=

−

+

=

−

⋅

⋅

24

,

570

)

3

,

1

16

,

314

(

400

2

10

6

,

1

16

,

314

1

2

2

1

2

3

L

R

Z

C

ω

ω

 

A

403

,

0

24

,

570

230

=

=

=

Z

U

i

 

W

65

400

403

,

0

2

2

=

⋅

=

=

R

i

P

ś

r

 

 
 

zad. 6. 

Dane:   

V

127

=

U

, 

Hz

50

=

f

, 

Ω

=

9

R

, 

W

400

=

P

, 

°

=

60

δ

, 

Szukane: 

L

, 

 
Treść zadania nie jest spójna (patrz komentarz na końcu rozwiązania). 
 
 
I sposób rozwiązania 

Wzór na przesunięcie to: 

Z

R

=

δ

cos

, 

Ω

=

°

=

=

⇒

=

18

60

cos

9

cos

cos

δ

δ

R

Z

Z

R

 

Opór indukcyjny to: 

fL

L

X

L

⋅

=

=

π

ω

2

, 

bo 

f

⋅

=

π

ω

2

 

Wzór na zawadę w obwodzie RL to: 

2

2

L

X

R

Z

+

=

 

H

050

,

0

50

2

9

18

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⇒

+

=

+

=

π

π

π

π

f

R

Z

L

f

R

Z

L

L

f

R

X

R

Z

L

 

 
II sposób rozwiązania 

sk

sk

sk

sk

sk

sk

sk

sk

I

U

Z

Z

U

I

U

P

I

I

U

P

=

⇒

=

⋅

=

⇒

⋅

⋅

=

δ

δ

cos

cos

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 7 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:10 

  Temat: Zestaw 0 – Prąd przemienny. 

 

Zmodyfikowana:    24.03.2007 0:30 

 

H

057

,

0

50

2

400

9

400

60

cos

127

cos

cos

cos

cos

cos

2

2

2

4

2

2

2

4

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

⋅

⋅

⋅

−

°

=

−

=

−

=

−

=

+

=

⋅

⇒

+

⋅

=

+

=

⇒

+

=

⇒

+

=

π

ω

δ

ω

δ

ω

ω

δ

ω

δ

ω

δ

ω

ω

ω

P

R

P

U

L

P

R

P

U

R

P

U

L

L

R

P

U

L

R

U

P

U

L

R

I

U

L

R

I

U

L

R

Z

sk

sk

sk

sk

sk

sk

sk

sk

sk

sk

 

Ten sposób poprawny merytorycznie daje inne wynik niŜ sposób I – teŜ poprawny. Więc 
dane w treści zadania zostały źle dobrane. JeŜeli by zmodyfikować moc 

W

400

=

P

 

na 

W

448

'

=

P

 to spójność zadania będzie zachowana. 

Sprawdzam: 

H

050

,

0

50

2

448

9

448

60

cos

127

'

'

cos

2

2

2

4

2

2

2

4

=

⋅

⋅

⋅

−

°

=

−

=

π

ω

δ

P

R

P

U

L

sk

. 

Teraz jest dobrze. Rozwiązanie ze sposobu pierwszego pokrywa się z drugim. 

 
 
zad. 7. 

Dane:   

µF

5

,

0

=

C

, 

mH

5

=

L

, 

Szukane: 

λ

, 

 
Wzór na energię całkowitą kondensatora: 

2

2

1

1

U

C

E

⋅

=

. 

Wzór na energię całkowitą kondensatora: 

2

max

2

1

U

C

E

c

⋅

=

. 

Wzór na energię całkowitą cewki: 

2

2

1

2

i

L

E

⋅

=

. 

W kaŜdym momencie prawdziwe jest: 

2

1

E

E

E

c

+

=

 (*). 

 
Warunek z treści zadania: 

2

1

E

E

=

 (**) 

z (*) oraz (**): 

1

1

1

2

1

2E

E

E

E

E

E

c

=

+

=

+

=

 

1

2E

E

c

=

 

2

2

1

2

max

2

1

2

U

C

U

C

⋅

=

⋅

 

max

2

2

U

U

=

 (***) 

Ogólniej wzór na napięcie wyraŜa się: 

α

sin

max

U

U

=

 (****) 

z (***) oraz (****): 

8

2

4

2

2

sin

π

π

α

α

=

=

⇒

=

 

 
W układzie LC okres drgań wyraŜa się wzorem: 

LC

T

π

2

=

 

Teraz trzeba odnieść kąt 

α

 do czasu  t . Wiadomo, Ŝe jeden okres T  odpowiada kątowi 

pełnemu, czyli 

π

2

 rad. Więc prawdziwa jest proporcja: 

s

10

93

,

3

10

5

,

0

10

5

4

8

2

8

2

2

2

5

9

3

4

4

4

−

−

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

=

=

=

=

⇒

=

π

π

π

π

π

π

π

α

α

π

LC

t

LC

LC

T

T

T

t

t

T

 

 

  

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 8 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:17 

  Temat: Zestaw 1 – Fale. 

 

Zmodyfikowana:    31.03.2007 22:58 

 

ZESTAW 1 – Fale 

 
Wprowadzenie 
 
Równanie fali 
 

)

sin(

)

,

(

max

t

kx

y

t

x

y

ω

−

=

 

gdzie: 
 

max

y

 to maksymalne wychylenie (amplituda) 

 

k

 to liczba falowa 

λ

π

2

=

k

 

ω

 to częstość 

T

π

ω

2

=

 

 

λ

 to długość fali 

f

v

=

λ

 

f

 to częstotliwość 

T

f

1

=

 

 

f

v

 prędkość fali 

k

T

T

v

f

ω

π

πλ

λ

=

=

=

2

2

 

T

 to okres 

v

T

λ

=

 

 

u

 prędkość cząsteczek ośrodka (naleŜy odróŜnić ją o prędkości rozchodzenia się fali 

f

v

). 

 

)

,

(

)

,

(

)

sin(

)

cos(

2

max

2

max

t

x

y

t

x

a

t

kx

y

dt

du

a

t

kx

y

dt

dy

u

⋅

−

=

−

−

=

=

−

−

=

=

ω

ω

ω

ω

ω

 

 
Więcej na stronie pt. „Wykład 5 – drgania i fale”: 
 

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=PF_Modu%C5%82_5 

 
zad. 1. 

Dane:   

Hz

16

1

=

f

, 

kHz

20

2

=

f

, 

s

m

340

=

p

v

, 

Szukane: 

1

λ

, 

2

λ

, 

 

m

10

17

10

20

340

m

21

16

340

3

s

1

3

s

m

2

2

s

1

s

m

1

1

−

−

⋅

=

⋅

=

=

=

=

=

=

f

v

f

v

f

v

p

p

λ

λ

λ

 

 
zad. 2. 

Dane:   

m

800

=

s

, 

C

20

°

=

T

, 

s

78

,

1

=

∆

t

, 

Szukane: 

w

v

, 

 

p

p

p

w

v

t

v

s

t

t

t

s

v

t

s

v

∆

−

=

⇒

∆

+

=

=

 

t

v

s

s

v

v

t

v

s

s

t

s

v

p

p

p

p

w

∆

−

=

∆

−

=

=

  (*) 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 9 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:17 

  Temat: Zestaw 1 – Fale. 

 

Zmodyfikowana:    31.03.2007 22:58 

 

Trzeba więc znać prędkość dźwięku w powietrzu (

p

v

), Ŝeby móc obliczyć prędkość 

dźwięku w wodzie (

w

v

). 

 
Dygresja: obliczenia prędkości dźwięku w powietrzu 
Ogólnie prędkość rozchodzenia się fal w ośrodkach gazowych wyraŜa się: 

ρ

κ

p

v

⋅

=

   gdzie 

v

p

c

c

=

κ

 to współczynnik, którego wartość to  41

,

1

 dla cząsteczek 

gazu dwuatomowych,  p  to ciśnienie, 

ρ

 to gęstość, dla powierza wynosi ono 

3

m

kg

29

,

1

. 

Ogólnie wiadomo, Ŝe: 

m

V

V

n

=

 

gdzie 

n

 to liczność, 

m

V

 to objętość molowa 

3

dm

mol

4

,

22

. 

Przy załoŜeniu, Ŝe powietrze to gaz doskonały moŜna skorzystać z równania Clapeyrona: 

nRT

pV

=

 

gdzie  R  to stała gazowa równa 

K

mol

J

314

,

8

⋅

, T  to temperatura w Kelwinach, 

m

m

V

RT

nV

nRT

p

V

nRT

p

=

=

⇒

=

 

s

m

m

mol

3

K

mol

J

m

kg

8

,

344

10

4

,

22

)

K

273

20

(

314

,

8

29

,

1

41

,

1

3

3

=

⋅

+

⋅

=

=

⋅

=

−

⋅

m

p

V

RT

p

v

ρ

κ

ρ

κ

 

s

m

8

,

344

=

p

v

. 

 
Wraz więc do wzoru (*): 

s

m

s

m

s

m

1481

s

78

,

1

8

,

344

m

800

m

800

8

,

344

=

⋅

−

⋅

=

∆

−

=

t

v

s

s

v

v

p

p

w

. 

Gdyby przyjąć, Ŝe 

s

m

343

=

p

v

 wtedy: 

s

m

s

m

s

m

1448

s

78

,

1

343

m

800

m

800

343

=

⋅

−

⋅

=

w

v

. 

 
 
zad. 3. 

Dane:   

s

km

33

,

1

=

v

, 

3

cm

g

8

,

0

=

ρ

, 

Szukane: 

κ

 (współczynnik ściśliwości), 

 
Zachodzi wzór: 

ρ

B

v

=

 

gdzie  B  to moduł ściśliwości objętościowej i jest równy: 

κ

1

=

B

. 

więc: 

N

m

10

m

kg

3

2

s

m

3

2

2

2

3

10

06

,

7

10

8

,

0

)

10

33

,

1

(

1

1

1

1

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

⇒

⋅

=

⇒

=

ρ

κ

ρ

κ

κ

ρ

ρ

v

v

v

B

v

 

 
 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 10 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:17 

  Temat: Zestaw 1 – Fale. 

 

Zmodyfikowana:    31.03.2007 22:58 

 

zad. 4. 

Dane:   

cm

15

=

A

, 

cm

40

=

λ

, 

Hz

8

=

f

, 

Szukane: 

k

, 

T

, 

ω

, 

f

v

, 

)

,

(

y

x

y

, 

 
Dla 

0

=

t

 oraz 

0

=

x

 wychylenie 

A

y

=

 (czyli maksymalne wychylenie).  (*) 

 

m

1

2

7

,

15

m

10

40

2

2

=

⋅

=

=

−

π

λ

π

k

 

s

125

,

0

Hz

8

1

1

=

=

=

f

T

 

s

1

3

,

50

Hz

8

2

2

=

⋅

=

⋅

=

π

π

ω

f

 

s

m

m

1

s

1

2

,

3

7

,

15

3

,

50

=

=

=

k

v

f

ω

 

 
Równanie fali ogólnie: 

)

sin(

)

,

(

ϕ

ω

+

−

=

t

kx

A

t

x

y

 

gdzie: 

ϕ

 to przesunięcie fazowe, 

 
z (*) wynika, Ŝe: 

2

1

sin

)

0

,

0

(

sin

)

0

0

sin(

)

0

,

0

(

π

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

=

⇒

=

⇒

=

=

+

⋅

−

⋅

=

A

y

A

t

x

A

y

 

 

)

3

,

50

7

,

15

sin(

15

,

0

)

,

(

2

π

+

⋅

−

⋅

⋅

=

t

x

t

x

y

 

co jest toŜsame z: 

)

3

,

50

7

,

15

cos(

15

,

0

)

,

(

t

x

t

x

y

⋅

−

⋅

⋅

=

 

 
 
zad. 5. 

Dane:   

)

858

7

,

15

cos(

10

2

)

,

(

6

t

x

t

x

s

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

−

, 

Szukane: 

λ

, 

f

v

, 

)

003

,

0

;

05

,

0

(

s

, 

v

A

 (amplituda prędkości), 

 
z równania fali 

)

,

( t

x

s

 wynika, Ŝe: 

m

10

2

6

−

⋅

=

A

, 

m

1

7

,

15

=

k

, 

s

1

858

=

ω

, 

 

m

4

,

0

7

,

15

2

2

m

1

=

=

=

π

π

λ

k

, 

s

m

m

1

s

1

6

,

54

7

,

15

858

=

=

=

k

v

f

ω

 

m

10

433

,

0

)

003

,

0

858

05

,

0

7

,

15

cos(

10

2

)

003

,

0

;

05

,

0

(

6

6

−

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

=

s

 

A

A

v

ω

−

=

 (gdzie 

max

y

A

=

 – patrz „Wprowadzenie”). 

s

m

3

6

s

1

10

716

,

1

m

10

2

858

−

−

⋅

=

⋅

⋅

−

=

v

A

 

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 11 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:17 

  Temat: Zestaw 1 – Fale. 

 

Zmodyfikowana:    31.03.2007 22:58 

 

zad. 6. 

Dane:   

)

2

3

sin(

4

)

,

(

1

t

x

t

x

y

−

=

, 

)

2

3

sin(

4

)

,

(

2

t

x

t

x

y

+

=

, 

cm

3

,

2

=

x

, 

Szukane: 

x

A

 (amplituda wychylenia), 

połoŜenie węzłów i strzałek, 

 
Interferencją dwóch fal jest fala: 

)

2

3

sin(

4

)

2

3

sin(

4

2

1

t

x

t

x

y

y

y

+

+

−

=

+

=

 

 
stosuję znany wzór na sumę sinusów: 

2

2

cos

sin

2

sin

sin

β

α

β

α

β

α

−

+

=

+

 

 

t

x

y

t

x

t

x

t

x

t

x

2

cos

3

sin

8

cos

sin

2

4

2

2

3

2

3

2

2

3

2

3

=

⋅

=

−

−

−

+

+

−

 

t

x

y

2

cos

3

sin

8

=

 

 
dla 

cm

3

,

2

=

x

 mamy: 

t

t

y

2

cos

)

9

,

6

sin(

8

2

cos

)

3

,

2

3

sin(

8

⋅

=

⋅

=

 

więc: 

)

9

,

6

sin(

8

=

x

A

 poniewaŜ to nie zaleŜy od czasu i stoi przed funkcją cosinus. 

cm

62

,

4

578

,

0

8

)

9

,

6

sin(

8

=

⋅

=

=

x

A

 

 
węzły fali stojącej 
miejsca w przestrzeni gdzie fale wygasiły się całkowicie, więc 

0

=

y

 (brak wychylenia): 

N

k

k

x

x

∈

∧

=

⇔

=

π

3

(

0

)

3

sin(

, 

połoŜenia węzłów: 

...

,

,

,

0

3

2

3

π

π

π

=

=

=

=

x

x

x

x

 

 
strzałki fali stojącej 
miejsca w przestrzeni gdzie fale wzmocniły się maksymalnie, czyli dla: 

)

(

)

3

(

1

)

3

sin(

3

6

2

N

k

k

x

Z

k

k

x

x

∈

∧

+

=

⇔

∈

∧

+

=

⇔

=

π

π

π

π

 

połoŜenia strzałek: 

...

,

,

6

5

2

6

π

π

π

=

=

=

x

x

x

 

 
 
Uwaga dodatkowa: 
liczba falowa tej fali to: 

3

=

k

 

długość tej fali to: 

3

2

2

π

π

λ

=

=

k

 

Odległości pomiędzy kolejnymi węzłami to 

3

2

π

λ

=

, 

odległości pomiędzy kolejnymi strzałkami to równieŜ 

3

2

π

λ

=

. 

Odległości pomiędzy węzłem a najbliŜszą strzałką to 

6

4

π

λ

=

. 

 

 
 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 12 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:17 

  Temat: Zestaw 1 – Fale. 

 

Zmodyfikowana:    31.03.2007 22:58 

 

zad. 7. 

Dane:   

m

85

,

0

=

l

, 

s

m

340

=

f

v

, 

Hz

650

=

<

gr

i

f

f

, 

Szukane: 

i

f

 (częstotliwości drgań własnych słupa powietrza w rurze), 

 
RozwaŜamy tutaj fale własne, które są falami stojącymi. 

i

f

i

f

f

v

f

v

f

f

v

λ

λ

λ

=

⇒

=

⇒

=

 

 
a)

 

rura jest zamknięta z jednej strony 

Odległość między węzłem a strzałką zawsze jest taka sama i wynosi:

4

λ

. 

Patrząc na rysunek widzę, Ŝe musi być nieparzysta wielokrotność 

4

λ

 (tak, Ŝeby z jednej strony była strzałka, a z drugiej węzeł). 

gr

i

f

i

f

i

i

i

f

f

f

f

f

i

f

i

i

i

l

v

v

f

N

i

i

l

N

i

i

l

≥

=

−

⋅

=

=

−

⋅

=

=

−

⋅

=

=

−

⋅

=

−

=

−

⋅

=

−

⋅

=

−

=

=

∈

∧

−

=

∈

∧

−

=

Hz

700

100

4

200

Hz

500

100

3

200

Hz

300

100

2

200

Hz

100

100

1

200

100

200

)

1

2

(

100

)

1

2

(

85

,

0

4

340

)

1

2

(

4

1

2

4

)

1

2

(

4

4

3

2

1

λ

λ

λ

 

 

 
b)

 

rura jest otwarta z obu stron 

Odległość między węzłem a strzałką zawsze jest taka sama i wynosi:

4

λ

. 

Patrząc na rysunek widzę, Ŝe musi być parzysta wielokrotność 

4

λ

 (tak, Ŝeby z obu strony były strzałki). 

gr

i

f

i

f

i

i

i

f

f

f

f

f

i

f

i

i

i

l

v

v

f

N

i

i

l

N

i

i

l

≥

=

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

=

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

=

∈

∧

=

∈

∧

=

Hz

800

4

200

Hz

600

3

200

Hz

400

2

200

Hz

200

1

200

200

200

85

,

0

2

340

2

2

2

4

4

3

2

1

λ

λ

λ

 

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 13 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:17 

  Temat: Zestaw 1 – Fale. 

 

Zmodyfikowana:    31.03.2007 22:58 

 

zad. 8. 

Dane:   

cm

50

=

l

, 

3

cm

g

6

,

8

=

ρ

, 

3

m

N

11

10

18

,

1

⋅

=

E

,   

kHz

20

kHz

10

<

<

i

f

, 

Szukane: 

i

f

 (częstotliwości drgań własnych), 

 
RozwaŜamy tutaj fale własne, które są falami stojącymi. 

i

f

i

f

f

v

f

v

f

f

v

λ

λ

λ

=

⇒

=

⇒

=

 

 
Jedna niewiadomą jest 

f

v

, moŜna ją wyliczyć ze wzoru 

s

m

s

m

m

kg

3

m

N

11

3704

3704

10

6

,

8

10

18

,

1

3

3

=

=

⋅

⋅

=

=

f

v

E

v

ρ

 

 
Drugą niewidomą jest 

i

λ

. 

Fale strojące w rozwaŜanym pręcie muszą: 
1º na końcach mieć strzałki – poniewaŜ ta amplituda drgań ma być maksymalna, 
2º w środku mieć węzeł – poniewaŜ pręt jest przymocowany na środku. 
 
Z tych warunków wynika, Ŝe fale mogą mieć długości: 

1

2

2

)

1

2

(

2

+

=

⇒

+

=

i

l

i

l

i

i

λ

λ

 

gdzie 

N

i

∈

. 

 

gr

f

i

f

i

f

f

f

f

i

i

i

l

v

v

f

≥

=

=

+

⋅

=

=

=

+

⋅

=

=

=

+

⋅

=

+

=

+

⋅

=

+

=

=

kHz

9

,

25

Hz

25928

3704

3

7408

kHz

5

,

18

Hz

18520

3704

2

7408

kHz

1

,

11

Hz

11112

3704

1

7408

3704

7408

)

1

2

(

m

5

,

0

2

3704

)

1

2

(

2

3

2

1

s

m

λ

 

 
Fala ta ma częstotliwość 

1

f

, 

ma trzy węzły oraz cztery strzałki. 
 W pręcie mieszczą się trzy połówki długości fali. 

 

 
Fala ta ma częstotliwość 

2

f

, 

ma pięć węzłów oraz sześć strzałek. 
W pręcie mieści się pięć połówek długości fali. 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 14 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:   

9.03.2007 1:17 

  Temat: Zestaw 1 – Fale. 

 

Zmodyfikowana:    31.03.2007 22:58 

 

zad. 9. 

Dane:   

m

70

,

0

=

H

, 

Hz

720

=

f

, 

C

50

°

=

T

, 

Szukane: 

i

h

 (wysokość słupa wody), 

 
RozwaŜania moŜna zacząć od: 

f

v

=

λ

 

Prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu moŜna wyliczyć ze wzoru (patrz zad. 2.) 

s

m

m

mol

3

K

mol

J

m

kg

362

10

4

,

22

)

K

273

50

(

314

,

8

29

,

1

41

,

1

3

3

=

⋅

+

⋅

=

=

⋅

=

−

⋅

m

p

V

RT

p

v

ρ

κ

ρ

κ

 

MoŜna więc wyznaczyć długość rozwaŜanej fali: 

m

503

,

0

720

362

s

1

s

m

=

=

=

f

v

p

λ

 

Oznaczenie wysokości słupa wody jako róŜnica wysokości naczynia oraz przestrzeni 
wypełnionej powietrzem (nad powierzchnią wody do góry naczynia): 

l

H

h

−

=

 

W rozwaŜanej sytuacji fale stojące będą się wytwarzały na długości  l  wypełnionej powietrzem. 
MoŜe być wiele takich fal rezonansowych więc moŜna przyjąć oznaczenie: 

i

i

l

H

h

−

=

 

NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe powstająca fala stojąca musi: mieć strzałkę u wylotu z naczynia oraz mieć 
węzeł na powierzchni wody. 
Pierwszą taką falą moŜe być: 

λ

4

1

1

=

l

 (jeden węzeł i jedna strzałka), 

Druga to: 

λ

4

3

2

=

l

 (dwa węzły i dwie strzałki), 

Kolejne to: 

λ

4

1

2

−

=

n

n

l

 (

n

 węzłów i 

n

 strzałek). 

 
MoŜna teraz przejść do obliczenia moŜliwych wysokości 

i

h

: 

m

574

,

0

m

503

,

0

m

7

,

0

4

1

4

1

1

1

=

⋅

−

=

−

=

−

=

λ

H

l

H

h

 

m

323

,

0

m

503

,

0

m

7

,

0

4

3

4

3

2

2

=

⋅

−

=

−

=

−

=

λ

H

l

H

h

 

m

071

,

0

m

503

,

0

m

7

,

0

4

5

4

5

3

3

=

⋅

−

=

−

=

−

=

λ

H

l

H

h

 

m

180

,

0

m

503

,

0

m

7

,

0

4

7

4

7

4

4

−

=

⋅

−

=

−

=

−

=

λ

H

l

H

h

 

0

4

<

h

 więc nie ma to sensu fizycznego. Tym bardziej kolejne fale nie będą juŜ dobre. 

 

 

  

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 15 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    31.03.2007 22:59 

  Temat: Kolokwium I. 

 

Zmodyfikowana:    15.04.2007 10:31 

 

Kolokwium I 

3.04.2007 r. 

Zakres tematyczny: prąd przemienny oraz fale. 
 
Przykładowe treści zadań 
 
zad. 1. 
Jakiej długości fale moŜna wytworzyć w obwodzie LC, w którym indukcyjność wynosi  mH

4

, 

a pojemność zmienia się w granicach od 

pF

40

 do 

pF

100

? Jakie tym falom odpowiadają 

częstotliwości? 
 
Odp. długości fal zmieniają się od 

m

753

 do 

m

1191

, a częstotliwości od 

kHz

398

 do 

kHz

251

. 

 

 
zad. 2. 
Do obwodu RLC przyłoŜono napięcie (skuteczne) 

V

220

. Spadek napięcia na cewce jest dwa 

razy większy od spadku napięcia oporniku. Natomiast spadek napięcia na kondensatorze jest trzy 
razy większy od spadku napięcia oporniku. Jak wartości mają te spadki napięć? 
 
Odp. 

V

67

,

36

=

R

U

, 

V

33

,

73

=

L

U

, 

V

110

=

C

U

.

 

 

 
zad. 3. 
Dany jest drgający obwód typu LC, w którym indukcyjność wynosi 

mH

150

. Zjawisko 

rezonansu zachodzi przy częstotliwości 

Hz

500

. Jaką pojemność musi mieć kondensator? 

 
Odp. 

µF

675

,

0

=

C

. 

 

 
zad. 4. 
Przy jakiej wysokości słupa wody powstaje fale stojąca, jeŜeli cylinder z wodą ma wysokość 

cm

80

, 

a częstotliwość wytwarzanych fal wynosi 

Hz

700

? Wysokość poziomu wody moŜna swobodnie 

zmieniać, a temperatura powietrza wynosi 

C

40

°

. 

 
Odp. moŜliwe poziomy wody w naczyniu:  

m

673

,

0

, 

m

418

,

0

, 

m

164

,

0

. 

 

 
zad. 5. 
Dany jest obwód typu RL, w którym indukcyjność wynosi 

mH

50

, a opór omowy wynosi 

Ω

15

. 

PrzyłoŜono do tego obwodu napięcie (skuteczne) 

V

120

. Oblicz częstotliwość drgań tego 

obwodu wiedząc, Ŝe maksymalne natęŜenie prąd wynosi w nim  A

7

. 

 
Odp. 

Hz

6

,

60

=

f

. 

 

 
zad. 6. 
Jaka jest częstotliwość najdłuŜszej fali w strunie o długości 

m

5

,

0

, która rozchodzi się 

z prędkością 

s

m

5200

? 

 
 

Odp. 

Hz

5200

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 16 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    31.03.2007 22:59 

  Temat: Kolokwium I. 

 

Zmodyfikowana:    15.04.2007 10:31 

 

Przykładowe rozwiązania zadań 
 
zad. 1. 

Dane:   

mH

4

=

L

, 

pF

40

min

=

C

, 

pF

100

max

=

C

, 

Szukane: 

min

λ

, 

max

λ

, 

min

f

, 

max

f

, 

 
Wytwarzane fale to fale elektromagnetyczne: 

T

c

f

c

⋅

=

=

λ

 

gdzie 

s

m

8

10

3

⋅

=

c

 (prędkość światła w próŜni). 

 
Okres drgań to: 

LC

T

π

2

=

 

 
Więc: 

s

10

51

,

2

10

40

10

4

2

2

6

m

kg

A

s

12

A

s

m

kg

3

min

min

2

2

4

2

2

2

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

π

π

LC

T

 

s

10

97

,

3

10

100

10

4

2

2

6

m

kg

A

s

12

A

s

m

kg

3

max

max

2

2

4

2

2

2

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

π

π

LC

T

 

m

753

s

10

51

,

2

10

3

6

s

m

8

min

min

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

−

T

c

λ

 

m

1191

s

10

97

,

3

10

3

6

s

m

8

max

max

=

⋅

⋅

⋅

=

⋅

=

−

T

c

λ

 

 
Na koniec: 

T

f

1

=

 

kHz

251

Hz

10

251

,

0

s

10

97

,

3

1

1

6

6

max

min

=

⋅

=

⋅

=

=

−

T

f

 

kHz

398

Hz

10

398

,

0

s

10

51

,

2

1

1

6

6

min

max

=

⋅

=

⋅

=

=

−

T

f

 

 
zad. 2. 

Dane:   

V

220

=

U

, 

R

L

U

U

2

=

, 

R

C

U

U

3

=

, 

Szukane: 

R

U

, 

L

U

, 

C

U

, 

 
Suma napięć na poszczególnych elementach obwodu RLC jest równa przyłoŜonemu napięciu: 

C

L

R

U

U

U

U

+

+

=

 

Po podstawieniu danych z zadania: 

V

110

220

3

3

3

V

33

,

73

220

2

2

2

V

67

,

36

220

6

3

2

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

=

⋅

⋅

=

⋅

=

=

=

⋅

=

=

⇒

=

+

+

=

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

U

R

C

R

L

R

R

R

R

R

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 17 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    31.03.2007 22:59 

  Temat: Kolokwium I. 

 

Zmodyfikowana:    15.04.2007 10:31 

 

zad. 3. 

Dane:   

mH

150

=

L

, 

Hz

500

=

f

, 

Szukane: 

C

, 

 
Rezonans zachodzi gdy: 

LC

T

π

2

=

, 

gdzie T  to okres drgań, 

f

T

1

=

 

µF

675

,

0

F

10

75

,

6

10

150

500

4

1

4

1

2

1

7

3

2

2

2

2

=

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

⇒

=

−

−

π

π

π

L

f

C

LC

f

 

 

 
zad. 4. 

Dane:   

m

80

,

0

=

H

, 

Hz

700

=

f

, 

C

40

°

=

T

, 

Szukane: 

i

h

 (wysokość słupa wody), 

 

f

v

=

λ

 

Prędkość rozchodzenia się dźwięku w powietrzu moŜna wyliczyć ze wzoru (patrz: Zestaw 1.): 

s

m

m

mol

3

K

mol

J

m

kg

356

10

4

,

22

)

K

273

40

(

314

,

8

29

,

1

41

,

1

3

3

=

⋅

+

⋅

=

=

⋅

=

−

⋅

m

p

V

RT

p

v

ρ

κ

ρ

κ

 

Więc długość rozwaŜanej fali stojącej to: 

m

509

,

0

700

356

s

1

s

m

=

=

=

f

v

p

λ

 

Wysokość poziomu wody: 

l

H

h

−

=

 

W rozwaŜanej sytuacji fale stojące będą się wytwarzały na długości  l  wypełnionej powietrzem. 
MoŜe być wiele taki fale rezonansowych więc moŜna przyjąć oznaczenie: 

i

i

l

H

h

−

=

 

NaleŜy zauwaŜyć, Ŝe powstająca fala stojąca musi: mieć strzałkę u wylotu z naczynia oraz mieć 
węzeł na powierzchni wody. 
Pierwszą taką falą moŜe być: 

λ

4

1

1

=

l

 (jeden węzeł i jedna strzałka), 

Druga to: 

λ

4

3

2

=

l

 (dwa węzły i dwie strzałki), 

Kolejne to: 

λ

4

1

2

−

=

n

n

l

 (

n

 węzłów i 

n

 strzałek). 

 
MoŜna teraz przejść do obliczenia moŜliwych wysokości 

i

h

: 

m

673

,

0

m

509

,

0

m

8

,

0

4

1

4

1

1

1

=

⋅

−

=

−

=

−

=

λ

H

l

H

h

 

m

418

,

0

m

509

,

0

m

8

,

0

4

3

4

3

2

2

=

⋅

−

=

−

=

−

=

λ

H

l

H

h

 

m

164

,

0

m

509

,

0

m

8

,

0

4

5

4

5

3

3

=

⋅

−

=

−

=

−

=

λ

H

l

H

h

 

m

091

,

0

m

509

,

0

m

8

,

0

4

7

4

7

4

4

−

=

⋅

−

=

−

=

−

=

λ

H

l

H

h

 

0

4

<

h

 więc nie ma to sensu fizycznego. Tym bardziej kolejne fale nie będą juŜ dobre. 

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 18 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    31.03.2007 22:59 

  Temat: Kolokwium I. 

 

Zmodyfikowana:    15.04.2007 10:31 

 

zad. 5. 

Dane:   

mH

50

=

L

, 

Ω

=

15

R

, 

V

120

=

U

, 

A

7

0

=

I

, 

Szukane: 

f

, 

 
Częstotliwość moŜna wyrazić poprzez częstość kołową drgań: 

π

ω

π

ω

2

2

=

⇒

⋅

=

f

f

 

Napięcie maksymalne moŜna wyznaczyć znając napięcie skuteczne: 

V

7

,

169

2

120

2

2

0

0

=

⋅

=

=

⇒

=

U

U

U

U

 

Z praca Ohma dla prądu przemiennego moŜna wyznaczyć zawadę: 

Z

U

I

=

 w szczególności zachodzi to dla wartości maksymalnych, czyli 

0

0

0

0

I

U

Z

Z

U

I

=

⇒

=

 

Ω

24

,

24

7

7

,

169

0

0

=

=

=

I

U

Z

 

Opór indukcyjny to: 

L

X

L

ω

=

, 

Wzór na zawadę w obwodzie RL to: 

2

2

L

X

R

Z

+

=

, 

Hz

6

,

60

10

50

2

15

)

24

,

24

(

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

=

⋅

⋅

−

=

⋅

−

=

=

−

=

⇒

+

=

+

=

−

π

π

π

ω

ω

ω

L

R

Z

f

L

R

Z

L

R

X

R

Z

L

 

 
 
zad. 6. 

Dane:   

m

5

,

0

=

l

, 

s

m

5200

=

v

, 

Szukane: 

f

, 

 

λ

λ

v

f

f

v

=

⇒

=

 

W rozpatrywanym zadaniu powstają fale stojące w strunie. 
Na końcach struny muszą być węzły. 
NajdłuŜsza moŜliwa fala to: 

l

l

2

2

=

⇒

=

λ

λ

 

czyli powstanie fala stojąca posiadająca dwa węzły i jedną strzałkę pomiędzy nimi. 

Hz

5200

m

5

,

0

2

5200

2

s

m

=

⋅

=

=

=

l

v

v

f

λ

 

 

  

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 19 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    24.03.2007 11:41 

  Temat: Zestaw 2 – Interferencja i dyfrakcja. 

 

Zmodyfikowana:    27.04.2007 2:45 

 

ZESTAW 2 – Interferencja i dyfrakcja 

17.04.2007 r. 

Wprowadzenie

 

Fala w fizyce to najogólniej zaburzenie, które podlega interferencji (superpozycji, nakładaniu). 
 
Prawo odbicia 
Kąt padania równy jest kątowi odbicia. Kąty umownie liczy się względem normalnej (prostej 
prostopadłej do powierzchni). 
 
JeŜeli fala odbija się od ośrodka gęstszego optycznie (

2

1

n

n

<

) to jej faza po odbiciu zmienia się 

(przesuwa się) dokładnie o 

π

. Wynika to ze wzorów Fresnela… 

 
Prawo załamania (prawo Snelliusa) 

 

1

2

12

sin

sin

n

n

n

=

=

β

α

 

 

gdzie 

α

 to kąt pod którym pada promień, 

β

 to kąt pod którym załamuje się promień, 

 

 

12

n

 to względny współczynnik załamania ośrodka 2 względem ośrodka 1, 

 

 

1

n

 to bezwzględny współczynnik załamania ośrodka 1. 

 
Fala przechodząc przez granicę dwóch ośrodków ulega częściowo odbiciu, a częściowo załamaniu. 
Promień padający, odbity i załamany leŜą w tej samej płaszczyźnie. 
 
Zasada Huygensa

 (wymowa: hojchensa) 

KaŜdy punkt ośrodka, do którego dotarło czoło fali moŜna uwaŜać za źródło nowej fali kulistej. 
 
Doświadczenie Younga

 

Dotyczy to zjawiska ugięcia się fali monochromatycznej na siatce dyfrakcyjnej. Za tą siatką 
ustawiony jest ekran, a którym są symetrycznie ułoŜone prąŜki. 
Warunek na prąŜek jasny 
(maksymalne wzmocnienie fal) 

θ

λ

sin

d

m

=

 

Warunek na prąŜek ciemny 
(maksymalne wygaszenie fal) 

(

)

θ

λ

sin

2

1

d

m

=

+

gdzie: 
 

{

}

...

,

2

,

1

,

0

∈

m

 to liczba naturalna – określa ona rząd powstającego prąŜka, rząd ugięcia 

 

λ

 to długość fali monochromatycznej, 

 

d

 to stała siatki (suma szerokości szczeliny oraz odstępu między szczelinami), 

Warunki te mogą zostać odwrócone, gdy zostanie spełniony warunek opisany w ramce powyŜej. 
 
Zasada najmniejszego działania (Zasada Fermata) 
Promień biegnie od jednego do drugiego punktu zawsze w najkrótszym czasie. Promień biegnie 
po najkrótszej drodze optyczne (która nie musi pokrywać się z najkrótszą drogą geometryczną). 
Wynika z tego bezpośrednio prawo załamania i prawo odbicia światła. 
 
Droga geometryczna oraz optyczna 

S

 – droga geometryczna, czyli zwykła odległość (Euklidesowa) na płaszczyźnie, 

R

 – droga optyczna, czyli taka jaką przebędzie fala w próŜni w tym samym czasie co w danej substancji. 

 

S

R

v

c

n

t

v

t

c

=

=

=

 

λ

λ

c

f

v

f

c

v

c

n

=

=

=

 

nS

R

=

 

Więcej na stronie pt. „Wykład 16 – zjawiska falowe”: 
 

http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=PF_Modu%C5%82_16 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 20 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    24.03.2007 11:41 

  Temat: Zestaw 2 – Interferencja i dyfrakcja. 

 

Zmodyfikowana:    27.04.2007 2:45 

 

zad. 1. 

Dane:   

nm

680

=

λ

, 

m

1

=

L

, 

mm

28

=

y

, 

4

=

m

 (rząd prąŜka), 

Szukane: 

d

 (odległość między szczelinami), 

 
Z rysunku widać, Ŝe: 

L

y

=

θ

tg

 

dla małych kątów w radianach moŜna zastosować przybliŜenie: 

rad

sin

tg

θ

θ

θ

≈

≈

 

 
PrąŜek jasny powstaje gdy: 

θ

λ

sin

d

m

=

 

gdzie 

{

}

...

,

2

,

1

,

0

∈

m

 (ogólnie bo w tym zadaniu 

4

=

m

) 

m

10

97

m

10

28

m

1

m

10

680

4

tg

sin

6

3

9

−

−

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

=

⇒

=

⇒

=

⇒

=

y

L

m

d

y

L

m

d

L

y

d

m

d

m

d

m

λ

λ

λ

θ

λ

θ

λ

 

 
zad. 2. 

Dane:   

µm

6

,

0

=

λ

, 

50

,

1

=

s

n

, 

Szukane: 

d

 (grubość płytki szklanej), 

 
Uwaga do treści zadania: PrąŜek, który był zerowym powstał w miejscu piątego. 
 
Droga optyczna: 

S

n

R

⋅

=

 

gdzie 

n

 to bezwzględny współczynnik załamania światła;  S  to droga geometryczna, 

 
Fala, która przechodzi przez szkoło wykonała 5 falowań więc: 

5

=

N

 

Z jednej strony 

λ

N

R

=

, z drugiej strony: 

d

n

d

n

R

p

s

⋅

−

⋅

=

, czyli róŜnica dróg optycznych. 

W tym zadaniu moŜna przyjąć, Ŝe 

1

=

p

n

 (bezwzględny współczynnik załamania 

powietrza), więc: 

m

10

6

1

50

,

1

m

10

6

,

0

5

1

6

6

−

−

⋅

=

−

⋅

⋅

=

−

=

⇒

−

⋅

=

s

s

n

N

d

d

d

n

N

λ

λ

 

 
zad. 3. 

Dane:   

cm

2

=

l

, 

nm

589

=

λ

, 

20

=

N

, 

000276

,

1

=

p

n

, 

Szukane: 

Cl

n

, 

 
NaleŜy porównać drogi optyczne dwóch promieni na odcinku o długości  l  oraz 
uwzględnić przesunięcie o  N  prąŜków: 

p

Cl

Cl

p

Cl

p

n

l

N

n

N

n

n

l

N

m

n

l

m

n

l

+

=

⇒

=

−

⋅

⇒







+

=

⋅

=

⋅

λ

λ

λ

λ

)

(

)

(

 

000865

,

1

000276

,

1

m

02

,

0

m

10

589

20

9

=

+

⋅

⋅

=

+

=

−

p

Cl

n

l

N

n

λ

 

 
 

d  

y

L  

θ

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 21 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    24.03.2007 11:41 

  Temat: Zestaw 2 – Interferencja i dyfrakcja. 

 

Zmodyfikowana:    27.04.2007 2:45 

 

zad. 4. 

Dane:   

µm

6

,

0

=

λ

, 

°

=

30

α

, 

30

,

1

=

n

, 

Szukane: 

d

 (grubość warstwy błony mydlanej), 

 
Z geometrii rysunku wynika, Ŝe: 

β

α

β

α

tg

sin

2

tg

sin

1

2

1

1

d

S

d

x

x

S

=

⇒












=

=

 

β

β

cos

2

cos

2

2

2

1

d

S

S

d

=

⇒

=

 

RóŜnica dróg optycznych pomiędzy 
promieniami 

 oraz  to: 

(

)

β

α

β

β

β

α

β

β

α

β

sin

sin

cos

2

cos

sin

sin

2

cos

2

tg

sin

2

cos

2

1

1

2

−

=

−

⋅

=

−

⋅

=

⋅

−

=

∆

n

d

d

n

d

d

n

d

S

n

S

R

Korzystając z prawa Snelliusa: 

n

n

α

β

β

α

sin

sin

sin

sin

=

⇒

=

. 

(

)

α

α

α

α

α

β

α

α

β

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

2

sin

2

sin

sin

2

sin

sin

1

2

sin

sin

cos

2

−

∆

=

⇒

−

=

∆

−

−

=

−

−

=













⋅

−

=

∆

n

R

d

n

d

R

n

n

d

n

n

d

n

n

d

R

 

 
Promień 

 odbijając się od powierzchni błony mydalnej zmienia fazę o 

π

, więc: 

PrąŜek ciemny powstanie gdy: 

λ

m

R

=

∆

. 

Szukam minimalnych wartości  d , więc 

1

=

m

. 

m

10

25

,

0

30

sin

)

30

,

1

(

2

m

10

6

,

0

sin

2

sin

2

6

2

2

6

2

2

2

2

−

−

⋅

=

°

−

⋅

=

−

=

−

∆

=

α

λ

α

n

m

n

R

d

 

Maksymalne wygaszenie będzie dla grubości 

µm

25

,

0

.

 

 
PrąŜek jasny powstanie gdy: 

λ

)

(

2

1

+

=

∆

m

R

. 

Szukam minimalnych wartości  d , więc 

0

=

m

. 

m

10

125

,

0

30

sin

)

30

,

1

(

2

m

10

6

,

0

sin

2

)

(

sin

2

6

2

2

6

2

1

2

2

2

1

2

2

−

−

⋅

=

°

−

⋅

⋅

=

−

+

=

−

∆

=

α

λ

α

n

m

n

R

d

 

Maksymalne wzmocnienie będzie dla grubości 

µm

125

,

0

.

 

 

 

α

 

β

 

1

S

 

2

2

1

S  

α

 

β

 

 

 

+ 

d  

x

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 22 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    24.03.2007 11:41 

  Temat: Zestaw 2 – Interferencja i dyfrakcja. 

 

Zmodyfikowana:    27.04.2007 2:45 

 

zad. 5. 

Dane:   

nm

485

1

=

λ

, 

nm

679

2

=

λ

, 

32

,

1

=

olej

n

, 

5

,

1

=

s

n

, 

Szukane: 

d

 (grubość warstwy oleju), 

 
Droga promienia: 
przechodzi z powietrza do oleju, odbija się 
od szkła i z powrotem wraca do powietrza. 
 
Warunek na prąŜek ciemny: 

λ

)

(

2

2

1

+

=

m

dn

 

Wiadomo, Ŝe fale o długościach 

1

λ

 i 

2

λ

 zostały 

wygaszone całkowicie oraz wiadomo, Ŝe są to 
dwie kolejne wygaszone fale stąd 

m

 oraz 

1

+

m

. 

2

)

485

679

(

2

679

485

3

)

(

2

3

0

)

(

2

)

)

1

((

2

1

2

2

1

2

1

1

2

3

2

2

1

1

2

3

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

3

1

2

2

1

1

2

1

=

−

−

⋅

=

−

−

=

−

−

=

−

=

−

=

−

−

+









+

=

+

+

=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

m

m

m

m

m

m

dn

m

dn

olej

olej

 

Więc ostatecznie: 

m

10

643

,

0

32

,

1

4

m

10

679

5

4

5

2

)

2

(

2

)

(

2

6

9

2

2

2

5

2

2

1

2

2

1

−

−

⋅

=

⋅

⋅

⋅

=

=

=

⇒

+

=

+

=

olej

olej

olej

olej

n

n

d

dn

m

dn

λ

λ

λ

λ

 

 
 

powietrze 
 
olej 
 
szkło 

d  

zmiana 
fazy o 

π

 

zmiana 
fazy o 

π

 

Studenckie Notatki Cyfrowe 

 

 

SNy: Biotechnologia 

www.sny.one.pl   sny@sny.one.pl 

Strona 23 

 Notatka: Fizyka II (FZC1004C) –  ćwiczenia. 

 

Utworzona:    24.03.2007 11:41 

  Temat: Zestaw 2 – Interferencja i dyfrakcja. 

 

Zmodyfikowana:    27.04.2007 2:45 

 

zad. 6. 

Dane:   

nm

582

=

λ

, 

0

2

′′

=

α

, 

32

,

1

=

olej

n

, 

5

,

1

=

s

n

, 

Szukane: 

σ

 (gęstość ciemnych prąŜków interferencyjnych), 

 

x

m

∆

=

σ

 

Z geometrii rysunku wynika, Ŝe: 

α

α

α

α

α

2

cos

tg

2

cos

tg

tg

2

2

1

1

1

x

S

S

S

x

S

x

S

=

⇒

=

=

⇒

=

 

Całkowita droga geometryczna: 













+

=

+

=

α

α

2

cos

1

1

tg

2

1

x

S

S

S

 

Droga optyczna: 













+

=

=

α

α

2

cos

1

1

tg

x

n

S

n

R

s

s

 

Dla małych kątów moŜna zastosować przybliŜenia. 

0

2

′′

=

α

 czyli 20 sekund 

zamiana na stopnie: 

( )

°

=

⋅

⋅

=

180

1

60

1

60

1

20

α

 

zamiana na radiany: 

rad

10

696

,

9

rad

5

180

180

180

1

2

−

⋅

=

=

⋅

°

=

π

π

α

 

Kąt 

α

 jest mały, więc przybliŜam: 

α

α

α

≈

≈

tg

1

2

cos

 

Otrzymujemy: 

x

n

R

x

n

x

n

R

s

s

s

∆

⋅

=

∆

=













+

⋅

=

α

α

α

2

2

1

1

1

 

 
Droga promienia: 
wpada prostopadle do klina (nie ulega załamaniu), odbija się częściowo od spodu klina 
(kąt padania równy kątowi odbicia więc kąt pomiędzy promieniem przed i po odbiciu to 

α

2

) następnie wychodząc z klina załamuje się pod pewnym kątem. 

 
Warunek na prąŜek ciemny 

cm

1

m

1

9

5

5

500

m

10

582

10

696

,

9

5

,

1

2

2

2

2

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

∆

=

=

∆

=

∆

⋅

=

∆

−

−

λ

α

σ

λ

α

λ

α

λ

s

s

s

n

x

m

n

x

m

m

x

n

m

R

 

 

α

 

α

 

α

 

x

 

1

S

 

2

S