Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

ostatnia aktualizacja:

15 czerwca 2012, 18:42

Podobnie jak poprzednio wieszam tekst, nad kt´orym powinienem jeszcze po-

pracowa´c, wie

,

c prosze

,

o informacje o zauwa˙zonych b le

,

dach. Przyk lad funkcji cia

,

g lej

nigdzie nier´o˙zniczkowalnej pojawi sie

,

w niezbyt odleg lej przysz lo´sci na wyk ladzie, a

w notatkach ju˙z jest.

Definicja 12.1 (

zbie˙zno´

sci punktowej i jednostajnej.

)

Niech f

n

: A −→ R (lub f

n

: A −→ C ) be

,

dzie cia

,

giem funkcji okre´slonych na zbio-

rze A . M´owimy, ˙ze cia

,

g ten jest zbie˙zny punktowo do funkcji f : A −→ R (lub

f : A −→ C ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego punktu x ∈ A zachodzi r´owno´s´c

lim

n→∞

f

n

(x) = f (x)

tzn.

∀

x∈A

∀

ε>0

∃

k

∀

n>k

|f

n

(x) − f (x)| < ε ,

piszemy wtedy f

n

→ f .

Cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny jednostajnie do funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>0

∃

k

∀

n>k

∀

x∈A

|f

n

(x) − f (x)| < ε .

Piszemy wtedy f

n

⇒ f .

Szereg funkcyjny jest zbie˙zny punktowo, je´sli jego cia

,

g sum cze

,

´sciowych jest zbie˙zny

punktowo. Analogicznie szereg funkcyjny jest zbie˙zny jednostajnie, je´sli jego cia

,

g sum

cze

,

´sciowych jest zbie˙zny jednostajnie.

R´o˙znica formalna polega na umiejscowieniu kwantyfikatora ∀

x∈A

. W jej rezul-

tacie w pierwszym przypadku liczba naturalna k mo˙ze zale˙ze´c zar´owno od x jak i

od ε , w przypadku zbie˙zno´sci jednostajnej liczba k zale˙zy jedynie od ε . Oczywi´scie

nale˙zy natychmiast rzecz poprze´c przyk ladem.

Przyk lad 12.1

Niech A = [0, 1] , f

n

(x) = x

n

. Mamy lim

n→∞

f

n

(x) = lim

n→∞

x

n

= 0

dla 0 ≤ x < 1 oraz lim

n→∞

f

n

(1) = lim

n→∞

1

n

= 1 . Zatem cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny do

funkcji f zdefiniowanej wzorami f (x) = 0 dla 0 ≤ x < 1 i f (1) = 1 . Wyka˙zemy,

˙ze cia

,

g ten nie jest zbie˙zny jednostajnie do funkcji f . Gdyby by l to dla dostatecznie

du˙zych n i wszystkich x ∈ [0, 1] musia laby zachodzi´c nier´owno´s´c |f

n

(x)−f (x)| <

1
3

.

Mamy jednak f

n

n

q

1
2

− f

n

q

1
2

=

1
2

>

1
3

.

Jasne jest, ˙ze je´sli cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny jednostajnie do funkcji f , to jest

r´ownie˙z zbie˙zny punktowo do tej samej funkcji f . Powy˙zszy przyk lad pokazuje, ˙ze

odwrotnie na og´o l nie jest.

Przyk lad 12.2

Niech f

n

(x) = 1 +

x

1!

+

x

2

2!

+ · · · +

x

n

n!

. Wiemy od dawna, ˙ze dla

ka˙zdej liczby rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c

1

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

lim

n→∞

f

n

(x) = lim

n→∞

1 +

x

1!

+

x

2

2!

+ · · · +

x

n

n!

= e

x

=: f (x) ,

czyli ˙ze cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny punktowo na ca lej prostej do funkcji f , zdefiniowanej

wzorem f (x) = e

x

. W istocie rzeczy wiemy nieco wie

,

cej: zbie˙zno´s´c ta jest jednostajna

na ka˙zdym przedziale ograniczonym. Przypomnijmy bowiem, ˙ze je´sli n ≥ 2a > 0

oraz a ≥ |x| , to

|x|

n+k

(n+k)!

=

|x|

n+k−1

(n+k−1)!

·

|x|

n+k

≤

|x|

n+k−1

(n+k−1)!

·

a

n

≤

|x|

n+k−1

(n+k−1)!

·

1
2

. Sta

,

d bez

trudu wnioskujemy, ˙ze

|x|

n+k

(n+k)!

≤

1

2

k

·

a

n

n!

. Mamy zatem

e

x

− 1 +

x

1!

+

x

2

2!

+ · · · +

x

n

n!

 =

x

n+1

(n+1)!

+

x

n+2

(n+2)!

+ · · · +

x

n+k

(n+k)!

+ · · ·

 ≤

≤

a

n

n!

1
2

+

1

2

2

+ · · · +

1

2

k

+ · · ·

=

a

n

n!

.

Uzyskali´smy oszacowanie niezale˙zne od wyboru liczby x z przedzia lu [−a, a] . Po-

niewa˙z lim

n→∞

a

n

n!

= 0 , wie

,

c cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny jednostajnie do funkcji f na prze-

dziale [−a, a] .

Ten sam dow´od mo˙zna przeprowadzi´c traktuja

,

c r´o˙znice

,

f (x) − f

n

(x) jako n –ta

,

reszte

,

we wzorze Maclaurina dla funkcji f . Posta´c Lagrange’a tej reszty pozwoli nam

uzyska´c tylko nieco gorsze oszacowanie ni˙z uzyskane wy˙zej.

Na razie nie wypowiedzieli´smy sie

,

na temat zbie˙zno´sci jednostajnej tego cia

,

gu na

ca lej prostej lub cho´cby na p´o lprostej. Wyka˙zemy, ˙ze na tak du˙zych zbiorach cia

,

g nie

jest jednostajnie zbie˙zny. Za l´o˙zmy, ˙ze jest jednostajnie zbie˙zny na p´o lprostej (−∞, b] .

Istnieje wtedy tak du˙za liczba naturalna n

1

˙ze je´sli n > n

1

, to |f (x) − f

n

(x)| < 1 .

Niech n − 1 > n

1

. Wtedy

f(x) − f

n−1

(x)| < 1 i

f(x) − f

n

(x)| < 1 , zatem

x

n

(n)!

 =

f

n−1

(x) − f

n

(x)

 ≤ |f

n−1

(x) − f (x)| + |f (x) − f

n

(x)| < 2 . W szczeg´olno´sci

jest tak dla x = −n , je´sli tylko n jest dostatecznie du˙za

,

liczba

,

naturalna

,

. To jednak

jest niemo˙zliwe, bowiem

n

n

n!

=

n

1

·

n

2

·

n

3

· . . . ·

n
n

> n > 2 dla n > 2 .

Ko´

nc´owka przeprowadzonego rozumowania przekonuje nas szybko o tym, ˙ze jed-

nostajnie zbie˙zny cia

,

g funkcyjny spe lnia warunek Cauchy’ego:

Definicja 12.2 (

Warunek Cauchy’ego jednostajnej zbie˙zno´

sci cia

,

gu funkcyjnego

)

∀

ε>0

∃n

ε

∀

n>n

ε

∀

k

∀

x∈D

f

n+k

(x) − f

n

(x)

 < ε .

(j.w.C.)

Tutaj (f

n

) oznacza cia

,

g funkcji okre´slonych na zbiorze D .

Twierdzenie 12.3

Cia

,

g funkcji (f

n

) jest jednostajnie zbie˙zny na zbiorze D do funkcji f okre´slonej na

D wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnia j.w.C.

Dow´

od. Dow´od polega na zastosowaniu tego twierdzenia dla cia

,

g´ow liczbowych,

co jest  latwe, tym nie mniej przeprowadzimy go. Za l´o˙zmy najpierw, ˙ze cia

,

g funkcyjny

(f

n

) jest zbie˙zny jednostajnie do funkcji f i niech ε > 0 . Je´sli n, k sa

,

dostatecznie

2

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

du˙zymi liczbami naturalnymi, to dla ka˙zdego punktu x ∈ D zachodza

,

nier´owno´sci

|f

n

(x) − f (x)| <

ε
2

i |f

k

(x) − f (x)| <

ε
2

, zatem

|f

n

(x) − f

k

(x)| ≤ |f

n

(x) − f

(

x)| + |f (x) − f

n

(x)| < <

ε
2

+

ε
2

= ε ,

zatem ze zbie˙zno´sci jednostajnej wynika jednostajny warunek Cauchy’ego.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze cia

,

g (f

n

) spe lnia jednostajny warunek Cauchy’ego. Niech

x ∈ D . Poniewa˙z cia

,

g

f

n

(x)

spe lnia warunek Cauchy’ego, wie

,

c ma sko´

nczona

,

granice

,

. Oznaczmy ja

,

przez f (x) . Mamy wie

,

c lim

n→∞

f

n

(x) = f (x) . Zdefiniowali´smy

wie

,

c funkcje

,

f na zbiorze D . Niech ε > 0 . Dla dostatecznie du˙zych n, k mamy

|f

n

(x) − f

k

(x)| <

ε
2

, zatem ε >

ε
2

≥ lim

k→∞

|f

n

(x) − f

k

(x)| = |f

n

(x) − f (x)| , co dowodzi

jednostajnej zbie˙zno´sci cia

,

gu (f

n

) na zbiorze D .Dow´od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie 12.4 (

Kryterium Weierstrassa zbie˙zno´

sci szeregu funkcyjnego

)

Je´sli

P

f

n

jest szeregiem funkcji okre´slonych na zbiorze D i istnieje szereg zbie˙zny

P

a

n

taki, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ D zachodzi nier´owno´s´c |f

n

(x)| ≤ a

n

, to szereg

P

f

n

jest zbie˙zny jednostajnie na zbiorze D .

Dow´

od. Wynika to od razu z tego, ˙ze dla szeregu zbie˙znego

P

a

n

spe lniony jest

w.C. Z tego wynika od razu, ˙ze dla ka˙zdej liczby dodatniej ε , dla dostatecznie du˙zych

n i wszystkich k zachodzi nier´owno´s´c a

n+1

+ a

n+2

+ · · · + a

n+k

< ε i wobec tego

dla wszystkich x ∈ D zachodzi nier´owno´s´c

|f

n+1

(x)| + |f

n+2

(x)| + · · · + |f

n+k

(x)| < ε ,

a to oznacza, ˙ze spe lniony jest j.w.C. Sta

,

d jednostajna zbie˙zno´s´c szeregu

P

f

n

na

zbiorze D wynika od razu.

Twierdzenie 12.5 (

o jednostajnej zbie˙zno´

sci szeregu pote

,

gowego

)

Szereg pote

,

gowy jest zbie˙zny jednostajnie na ka˙zdym domknie

,

tym przedziale ogra-

niczonym, zawartym w przedziale zbie˙zno´sci.

Dow´

od. Zaczniemy od cze

,

´sci  latwiejszej. Niech r > 0 oznacza promie´

n zbie˙zno´sci

szeregu

P

a

n

x

n

i niech [α, β] ⊂ (−r, r) . Niech c < r oznacza liczbe

,

wie

,

ksza

,

zar´owno

od |α| jak i od |β| . Wobec tego |a

n

x

n

| < |a

n

|c

n

i jednocze´snie

∞

X

n=0

|a

n

|c

n

< +∞ ,

wobec tego szereg

P

a

n

x

n

jest jednostajnie zbie˙zny na przedziale [α, β] . Jak wida´c

jest to po prostu powt´orka dowodu zbie˙zno´sci (bezwzgle

,

dnej) szeregu pote

,

gowego

wewna

,

trz przedzia lu zbie˙zno´sci.

Pozosta l przypadek zwia

,

zany z twierdzeniem Abela o cia

,

g lo´sci szeregu pote

,

go-

wego w ko´

ncu przedzia lu zbie˙zno´sci. Dla uproszczenia oznacze´

n za lo˙zymy, ˙ze promie´

n

zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego r´owny jest 1 oraz ˙ze szereg

P

a

n

jest zbie˙zny. Przy

tych za lo˙zeniach wyka˙zemy, ˙ze szereg

P

a

n

x

n

jest zbie˙zny jednostajnie na przedziale

3

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

[0, 1] . Wszystkie przypadki mo˙zna sprowadzi´c do tego jednego.

Przyjmijmy s

n,k

= a

n+1

+ a

n+2

+ · · · + a

n+k

. Mamy wtedy

a

n+1

x

n+1

+ a

n+2

x

n+2

+ · · · + a

n+k

x

n+k

=

= s

n,1

x

n+1

+ (s

n,2

− s

n,1

)x

n+2

+ · · · + (s

n,k

− s

n,k−1

)x

n+k

=

= (1 − x) s

n,1

x

n+1

+ s

n,2

x

n+2

+ · · · + s

n,k−1

x

n+k−1

+ s

n,k

x

n+k

.

Niech ε > 0 be

,

dzie dowolna

,

liczba

,

. Szereg

P

a

n

jest zbie˙zny, wie

,

c spe lnia warunek

Cauchy’ego, wie

,

c dla dostatecznie du˙zych n i dowolnych k zachodza

,

nier´owno´sci

|s

n+1

| < ε , |s

n+2

| < ε , . . . , |s

n+k

| < ε . Sta

,

d, z tego, ˙ze 0 ≤ x ≤ 1 i z poprzednich

r´owno´sci wynika, ˙ze

s

n,k

x

n+k

 < ε oraz

(1 − x) s

n,1

x

n+1

+ s

n,2

x

n+2

+ · · · + s

n,k−1

x

n+k−1

 ≤

≤ ε(1 − x) x

n+1

+ x

n+2

+ · · · + x

n+k−1

=

= ε(x

n+1

− x

n+k

) < ε

i wobec tego

a

n+1

x

n+1

+ a

n+2

x

n+2

+ · · · + a

n+k

x

n+k

 < 2ε , co dowodzi jednostajnej

zbie˙zno´sci szeregu

P

a

n

x

n

na przedziale [0, 1] .

Twierdzenie 12.6 (

o jednostajnej zbie˙zno´

sci szer. pot., przypadek zespolony

)

Za l´o˙zmy, ˙ze r > 0 jest promieniem zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego

P

a

n

z

n

oraz

˙ze szereg

P

a

n

z

n

0

jest zbie˙zny i |z

0

| = r . Niech K oznacza ka

,

t wypuk ly, kt´orego

oba ramiona przecinaja

,

wne

,

trze ko la B(0, r) = {z:

|z| < r} . Szereg

P

a

n

z

n

jest

jednostajnie zbie˙zny K ∩B(z

0

, δ) , gdzie δ > 0 jest dostatecznie ma la

,

liczba

,

dodatnia

,

i B(z

0

, δ) = {z:

|z − z

0

| ≤ δ} .*

Dow´

od. Niech b

n

= a

n

z

n

0

. Wtedy

P

a

n

z

n

=

P

b

n

z

z

0

n

. Poniewa˙z szereg

P

a

n

z

n

0

jest zbie˙zny, wie

,

c szereg

P

b

n

jest zbie˙zny. Wyka˙zemy, ˙ze szereg

P

b

n

z

n

jest jed-

nostajnie zbie˙zny w ka˙zdym ze zbior´ow postaci B(1, δ) ∩ K

t

, gdzie t > 0 za´s

K

t

= {z ∈ C:

|Imz| ≤ t(1 − Rez) < 1} , o ile δ jest dostatecznie ma la

,

liczba

,

dodatnia

,

. Be

,

dziemy pisa´c z = x + yi zak ladaja

,

c, ˙ze x, y ∈ R , czyli ˙ze x = Rez

oraz y = Imz .

Niech s

n,k

= b

n+1

+ b

n+2

+ · · · + b

n+k

. Mamy wtedy

b

n+1

z

n+1

+ b

n+2

z

n+2

+ · · · + b

n+k

z

n+k

=

= s

n,1

z

n+1

+ (s

n,2

− s

n,1

)z

n+2

+ · · · + (s

n,k

− s

n,k−1

)z

n+k

=

= (1 − z) s

n,1

z

n+1

+ s

n,2

z

n+2

+ · · · + s

n,k−1

z

n+k−1

+ s

n,k

z

n+k

.

Niech ε > 0 be

,

dzie dowolna

,

liczba

,

. Szereg

P

b

n

jest zbie˙zny, wie

,

c spe lnia warunek

Cauchy’ego, wie

,

c dla dostatecznie du˙zych n i dowolnych k zachodza

,

nier´owno´sci

|s

n,1

| < ε , |s

n,2

| < ε , . . . , |s

n,k

| < ε . Sta

,

d, z tego, ˙ze |z| < 1 i z poprzednich

r´owno´sci wynika, ˙ze

s

n,k

z

n+k

 < ε oraz

*

B(z

0

,δ) jest ko lem domknie,tym o ´srodku z

0

i promieniu δ>0 .

4

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

(1 − z) s

n,1

z

n+1

+ s

n,2

z

n+2

+ · · · + s

n,k−1

z

n+k−1

 ≤

≤ ε|1 − z| |z|

n+1

+ |z|

n+2

+ · · · + |z|

n+k−1

≤

≤ ε|1 − z| |z|

n+1

+ |z|

n+2

+ · · ·

= ε|z|

n+1 |1−z|

1−|z|

≤ ε

|1−z|
1−|z|

≤ M ε ,

je´sli w rozpatrywanym zbiorze nier´owno´s´c

|1−z|
1−|z|

≤ M zachodzi dla pewnej licz-

by M > 0 . Wobec tego

b

n+1

z

n+1

+ b

n+2

z

n+2

+ · · · + b

n+k

z

n+k

 < (1 + M)ε , co

dowodzi jednostajnej zbie˙zno´sci szeregu

P

b

n

z

n

w rozpatrywanym zbiorze, o ile w

nim jest spe lniona nier´owno´s´c

|1−z|
1−|z|

≤ M .

Wyka˙zemy teraz, ˙ze ta nier´owno´s´c jest spe lniona dla z ∈ K ∩ B(1, δ) . Przyj-

mijmy, ˙ze k > 0 ,

k

2

1+k

2

= 1 −

1

k

2

+1

≤ x < 1 oraz |y| ≤ k(1 − x) . Wtedy

x

2

+ y

2

≤ x

2

+ k

2

(1 − x)

2

= (k

2

+ 1)x

2

− 2k

2

x + k

2

=

= (k

2

+ 1)

x −

k

2

k

2

+1

2

+

k

2

k

2

+1

< (k

2

+ 1)

1 −

k

2

k

2

+1

2

+

k

2

k

2

+1

= 1 .

Mamy te˙z (x − 1)

2

+ y

2

≤ (1 + k

2

)(1 − x)

2

. Mo˙zemy wie

,

c napisa´c

|1−z|
1−|z|

=

√

(x−1)

2

+y

2

1−

√

x

2

+y

2

≤

√

(x−1)

2

+y

2

·(1+

√

x

2

+y

2

)

1−x

2

−y

2

≤

2(1−x)

√

1+k

2

1−x

2

−k

2

(1−x)

2

=

2

√

1+k

2

1+x−k

2

(1−x)

=

=

2

√

1+k

2

(1+k

2

)x+1−k

2

≤

2

√

1+k

2

(1+k

2

)

k2

1+k2

+1−k

2

= 2

√

1 + k

2

=: M .

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Komentarz do dowodu.

Za l´o˙zmy, ˙ze x

2

+ y

2

< 1 i t =

|y|

1−x

. Je´sli zachodzi

nier´owno´s´c

M >

√

(1−x)

2

+y

2

1−

√

x

2

+y

2

≥

√

(1−x)

2

+y

2

1−x

2

−y

2

=

√

1+t

2

1+x−t|y|

>

t

2−t|y|

=

−1

|y|

+

2

|y|(2−t|y|)

,

to M |y| + 1 >

2

2−t|y|

, wie

,

c 2 − t|y| >

2

M |y|+1

, zatem

|y|

1−x

= t <

1

|y|

·

2 −

2

M |y|+1

=

2M

M |y|+1

≤ 2M := k

Wynika z tego, ˙ze dla ka˙zdej liczby M > 0 zbi´or tych liczb z , dla kt´orych |z| < 1 i

|1−z|
1−|z|

≤ M jest zawarty w ka

,

cie o wierzcho lku 1 , kt´orego ramiona przecinaja

,

wne

,

trze

ko la jednostkowego i — jak to wynika z dowodu twierdzenia — zawiera taki ka

,

t.

Zadanie: Wykaza´c, ˙ze je´sli dla pewnego z

1

wyrazy cia

,

gu (a

n

z

n

1

) sa

,

rzeczywiste

i tworza

,

szereg o sumie +∞ i |z

1

| jest promieniem zbie˙zno´sci szeregu

P

a

n

z

n

, to

lim

t→1

+

 P a

n

(tz

1

)

n

 = ∞ .

Zadanie: Wykaza´c, ˙ze promie´

n zbie˙zno´sci szeregu pote

,

gowego

∞

X

n=1

1

n

z

2

n

jest r´ow-

ny 1 i ˙ze zbi´or tych liczb z ∈ S

1

, S

1

= {z ∈ C:

|z| = 1} , dla kt´orych szereg ten

jest zbie˙zny jest ge

,

stym podzbiorem okre

,

gu S

1

oraz jego dope lnienie do S

1

r´ownie˙z

jest ge

,

ste w S

1

. Wywnioskowa´c sta

,

d, ˙ze suma tego szeregu nie jest cia

,

g la w ˙zadnym

punkcie okre

,

gu jednostkowego.

5

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

Przyk lad 12.3

Mamy

(arctg x)

0

=

1

1+x

2

|x|<1

===== 1 − x

2

+ x

4

− x

6

+ · · · = x −

1
3

x

3

+

1
5

x

5

−

1
7

x

7

+ · · ·

0

.

Wynika sta

,

d, ˙ze je´sli |x| < 1 , to

arctg x − x −

1
3

x

3

+

1
5

x

5

−

1
7

x

7

+ · · ·

= arctg 0 − 0 −

1
3

0

3

+

1
5

0

5

−

1
7

0

7

+ · · ·

= 0 .

Funkcja arctg jest cia

,

g la na ca lej prostej, w szczeg´olno´sci w punkcie 1 . Suma szeregu

x −

1
3

x

3

+

1
5

x

5

−

1
7

x

7

+ · · · jest funkcja

,

cia

,

g la

,

na przedziale [−1, 1] , bo obydwa szeregi

1 −

1
3

· 1

3

+

1
5

· 1

5

−

1
7

· 1

7

+ · · · oraz (−1) −

1
3

· (−1)

3

+

1
5

· (−1)

5

−

1
7

· (−1)

7

+ · · · sa

,

zbie˙zne (szereg x −

1
3

x

3

+

1
5

x

5

−

1
7

x

7

+ · · · jest rozbie˙zny poza przedzia lem [−1, 1] ).

Wynika sta

,

d, ˙ze

π

4

= arctg 1 = lim

x→1

−

arctg x = lim

x→1

−

x−

1
3

x

3

+

1
5

x

5

−

1
7

x

7

+· · ·

= 1−

1
3

+

1
5

−

1
7

+· · · .

Otrzymali´smy wz´or Leibniza, po kt´orego lewej stronie jest

π

4

a po prawej szereg o

wymiernych wyrazach. Mo˙zna by przypu´sci´c, ˙ze mo˙zna go wie

,

c u˙zy´c do znajdowania

przybli˙ze´

n dziesie

,

tnych liczby π , ale on akurat sie

,

do tego nie nadaje, co wynika z

nier´owno´sci

1

4(n+1)

<

π

4

− 1 −

1
3

+ · · · +

(−1)

n−1

2n−1

 <

1

4n

,

do kt´

orej udowodnienia gora

,

co zache

,

cam student´

ow.

Zadanie: Sprawdzi´c, ˙ze arctg

1
2

+ arctg

1
3

=

π

4

i zastanowi´c sie

,

, jak mo˙zna „obli-

cza´c” π sprawniej ni˙z za pomoca

,

wzoru Leibniza, np. oszacowa´c warto´s´c bezwzgle

,

dna

,

r´o˙znicy mie

,

dzy

π

4

i

1
2

−

1

24

+

1
3

−

1

81

oraz mie

,

dzy

π

4

i

1
2

−

1

24

+

1

160

+

1
3

−

1

81

+

1

1215

.

Twierdzenie 12.7 (

Abela – Dirichleta dla jednostajnej zbie˙zno´

sci

)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcje f

n

i g

n

, n = 0, 1, 2, . . . sa

,

okre´slone na zbiorze D i ˙ze dla

ka˙zdego x ∈ D cia

,

g liczbowy (f

n

(x)) jest nierosna

,

cy, f

n

(x) ≥ 0 . Je´sli spe lnione jest

jedno z dw´och za lo˙ze´

n:

(i) szereg

P

g

n

jest zbie˙zny jednostajnie na D a funkcja f

1

jest ograniczona,

(ii) sumy szeregu

P

g

n

sa

,

ograniczone a cia

,

g (f

n

) jest jednostajnie zbie˙zny do

funkcji zerowej,

to szereg

P

f

n

g

n

jest zbie˙zny jednostajnie na zbiorze D .

Dow´

od. Ten dow´od to w zasadzie powt´orka dowodu jednostajnej zbie˙zno´sci sze-

regu pote

,

gowego. Przyjmijmy, ˙ze s

n

(x) = g

0

(x) + g

1

(x) + · · · + g

n

(x) . Wtedy

f

n+1

(x)g

n+1

(x) + f

n+2

(x)g

n+2

(x) + · · · + f

n+k

(x)g

n+k

(x)

 ≤

≤

f

n+1

(x) − f

n+2

(x)

s

n+1

(x) − s

n

(x)

 +

f

n+2

(x) − f

n+3

(x)

s

n+2

(x) − s

n

(x)

 +

+ · · · +

f

n+k−1

(x) − f

n+k

(x)

s

n+k−1

(x) − s

n

(x)

 +

f

n+k

(x)

s

n+k

(x) − s

n

(x)

Je´sli spe lnione jest kt´ore´s z za lo˙ze´

n (i), (ii) to |f

n+1

− f

n+2

||s

n+1

− s

n

| ⇒ 0 ,

sup

k,x

f

n+k

(x)|s

n+k

(x) − s

n

(x)| ⇒ 0 i

6

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

f

n+1

(x)−f

n+2

(x)

s

n+1

(x)−s

n

(x)

+

f

n+2

(x)−f

n+3

(x)

s

n+2

(x)−s

n

(x)

+· · ·+

+

f

n+k−1

(x) − f

n+k

(x)

s

n+k−1

(x) − s

n

(x)

 +

f

n+k

(x)

s

n+k

(x) − s

n

(x)

 ≤

≤ |f

n+1

(x) − f

n+2

(x)| + |f

n+2

(x) − f

n+3

(x)| + · · · +

+|f

n+k−1

(x) − f

n+k

(x)|

· sup

i,x

|s

n+i

(x) − s

n

(x)| +

f

n+k

(x)

s

n+k

(x) − s

n

(x)

 =

= |f

n+1

(x) − f

n+k

(x)|

sup

i

|s

n+i

| +

f

n+k

(x)

s

n+k

(x) − s

n

(x)

 ⇒ 0

Oczywi´scie ostatnia r´owno´s´c to jedyne miejsce, w kt´orym wykorzystywana jest mo-

notoniczno´s´c cia

,

gu (f

n

) . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie to w jawny spos´ob nie pojawi lo sie

,

do tej pory na wyk ladzie, stanowi

ono niez la

,

podstawe

,

do zadania pytania na egzaminie ustnym:  latwe uog´olnienie

twierdzenia Abela – Dirichleta na przypadek szeregu funkcyjnego.

Twierdzenie 12.8 (

o jednostajnej zbie˙zno´

sci cia

,

gu funkcji monotonicznych

)

Je´sli funkcje f

n

, n = 0, 1, 2, . . . sa

,

monotoniczne, cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny punktowo

do funkcji cia

,

g lej f na przedziale domknie

,

tym (zbiorze zwartym, tj. takim, ˙ze z

ka˙zdego cia

,

gu punkt´ow tego zbioru mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do granicy be

,

da

,

cej

elementem tego zbioru), to cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny jednostajnie.

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze ε > 0 . Poniewa˙z funkcja f jest cia

,

g la na przedziale do-

mknie

,

tym, wie

,

c jest cia

,

g la jednostajnie. Istnieje wie

,

c liczba δ > 0 taka, ˙ze je´sli

|x − y| < δ , to |f (x) − f (y)| <

ε
3

. Niech punkty x

0

< x

1

< . . . < x

k−1

< x

k

be

,

da

,

tak wybrane, ˙ze x

i

− x

i−1

< δ , x

0

jest lewym ko´

ncem dziedziny funkcji f , a x

k

— prawym. Poniewa˙z cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny punktowo do funkcji f , wie

,

c dla dosta-

tecznie du˙zych n zachodzi k + 1 nier´owno´sci |f

n

(x

i

) − f (x

i

)| <

ε
3

, i = 0, 1, 2, . . . , k .

Bez straty og´olno´sci mo˙zna za lo˙zy´c, ˙ze funkcje f

1

, f

2

, . . . sa

,

niemaleja

,

ce: w cia

,

gu

(f

n

) musi wysta

,

pi´c niesko´

nczenie wiele funkcji niemaleja

,

cych lub niesko´

nczenie wiele

funkcji nierosna

,

cych, wystarczy oczywi´scie rozpatrywa´c jeden z tych przypadk´ow.

Funkcja graniczna f musi r´ownie˙z by´c niemaleja

,

ca. Je´sli x jest dowolnym punktem

przedzia lu [x

0

, x

k

] , to dla pewnego i zachodzi nier´owno´s´c x

i−1

≤ x ≤ x

i

. Wo-

bec tego f (x

i−1

) ≤ f (x) ≤ f (x

i

) oraz f

n

(x

i−1

) ≤ f

n

(x) ≤ f

n

(x

i

) . Zachodza

,

te˙z

nier´owno´sci f (x

i−1

) −

ε
3

≤ f

n

(x

i−1

) oraz f

n

(x

i

) ≤ f (x

i

) +

ε
3

. Sta

,

d wynika, ˙ze obie

liczby f (x) i f

n

(x) znajduja

,

sie

,

w przedziale f (x

i−1

)−

ε
3

, f (x

i

)+

ε
3

, wie

,

c odleg lo´s´c

mie

,

dzy nimi jest mniejsza od jego d lugo´sci, kt´ora jest mniejsza od liczby ε . Dow´od

zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie 12.9 (

Dini’ego o jednost. zbie˙z. monotonicznego cia

,

gu funkcji cia

,

g lych

)

Je´sli cia

,

g funkcji cia

,

g lych (f

n

) jest zbie˙zny punktowo do funkcji cia

,

g lej f na prze-

dziale domknie

,

tym (zbiorze zwartym) i dla ka˙zdego x cia

,

g (f

n

(x)) jest monoto-

7

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

niczny, to f

n

⇒ f .

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze teza nie jest prawdziwa oraz ˙ze cia

,

g (f

n

) jest niemaleja

,

cy.

Niech D oznacza dziedzine

,

rozpatrywanych funkcji. Istnieje wie

,

c liczba ε > 0 taka,

˙ze dla ka˙zdego naturalnego n istnieje numer m > n oraz punkt x

m

, dla kt´orych

|f

m

(x

m

) − f (x

m

)| ≥ ε . Poniewa˙z cia

,

g (f

n

) jest niemaleja

,

cy, wie

,

c dla ka˙zdego x

zachodzi nier´owno´s´c f

n

(x) ≤ f (x) . Wobec tego musi by´c spe lniona nier´owno´s´c

f

m

(x

m

) ≤ f (x

m

) − ε . Z cia

,

gu (x

m

) mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do granicy

p ∈ D , bo dziedzina funkcji jest przedzia lem domknie

,

tym (zbiorem zwartym). By nie

komplikowa´c oznacze´

n przyjmijmy, ˙ze cia

,

g (x

m

) jest zbie˙zny do p . Je´sli j ≤ m , to

mamy f

j

(x

m

) ≤ f

m

(x

m

) ≤ f (x

m

) − ε . Sta

,

d i z cia

,

g lo´sci funkcji f

j

w punkcie p wy-

nika, ˙ze f

j

(p) = lim

m→∞

f

j

(x

m

) ≤ lim

m→∞

f (x

m

) − ε = f (p) − ε . Otrzymana nier´owno´s´c

przeczy oczywi´scie temu, ˙ze lim

j→∞

f

j

(p) = f (p) .Dow´od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie 12.10 (

o cia

,

g lo´

sci granicy jednostajnie zbie˙znego cia

,

gu funkcyjnego

)

Je´sli f

n

⇒ f i wszystkie funkcje f

1

, f

2

, . . . sa

,

cia

,

g le w punkcie p , to r´ownie˙z funkcja

f jest cia

,

g la w punkcie p .

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze ε > 0 . Dla ka˙zdej dostatecznie du˙zej liczby naturalnej n , dla

wszystkich x zachodzi nier´owno´s´c |f

n

(x)−f (x)| <

ε
3

. Wybierzmy jedna

,

dostatecznie

du˙za

,

liczbe

,

naturalna

,

n . Poniewa˙z funkcja f

n

jest cia

,

g la w punkcie p , wie

,

c istnieje

liczba δ > 0 taka, ˙ze je´sli |x − p| < δ , to zachodzi |f

n

(x) − f

n

(p)| < ε . Mamy wie

,

c

|f (x) − f (p)| ≤ |f (x) − f

n

(x)| + |f

n

(x) − f

n

(p)| + |f

n

(p) − f (p)| <

ε
3

+

ε
3

+

ε
3

= ε .

Oznacza to, ˙ze granica f jest cia

,

g la w punkcie p .Dow´od zosta l zako´

nczony.

Naste

,

pne twierdzenie r´o˙zni sie

,

tym od poprzednich, ˙ze zak ladamy jednostajna

,

zbie˙zno´s´c cia

,

gu pochodnych zamiast funkcji, bo inaczej nic sensownego wykaza´c nie

mo˙zna.

Twierdzenie 12.11 (

o r´

o˙zniczkowalno´

sci granicy cia

,

gu funkcyjnego

)

Je´sli funkcje f

1

, f

2

, . . . sa

,

okre´slone na przedziale ograniczonym I , r´o˙zniczkowalne

i f

0

n

⇒ g , cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny w punkcie p , to cia

,

g (f

n

) jest jednostajnie zbie˙zny

do funkcji f i zachodzi r´owno´s´c f

0

(x) = g(x) dla ka˙zdego x ∈ I .

Dow´

od. Wyka˙zemy najpierw, ˙ze cia

,

g (f

n

) jest zbie˙zny jednostajnie. Niech ε > 0 .

Istnieje n

ε

takie, ˙ze dla ka˙zdych n, k > n

ε

i dowolnego x zachodza

,

nier´owno´sci

|f

0

n

(x) − f

0

k

(x)| < ε oraz

f

n

(p) − f

k

(p)

 < ε . Wobec tego

|f

n

(x) − f

k

(x)| ≤

f

n

(x) − f

k

(x) − f

n

(p) − f

k

(p)

 +

f

n

(p) − f

k

(p)

 =

8

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

=

f

0

n

(c

x

) − f

0

k

(c

x

)

x − p

 +

f

n

(p) − f

k

(p)

 < ε + ε = 2ε .

Twierdzenie Lagrange’a zosta lo tu zastosowane do funkcji f

n

− f

k

! Cia

,

g f

n

jest

wie

,

c cia

,

giem Cauchy’ego, zatem jest zbie˙zny jednostajnie do pewnej funkcji f . Funk-

cja ta jest cia

,

g la jako granica cia

,

gu funkcji cia

,

g lych zbie˙znego jednostajnie.

Wyka˙zemy, ˙ze f

0

(x) = g(x) dla ka˙zdego x . Stosuja

,

c zn´ow twierdzenie La-

grange’a do r´o˙znicy f

n

− f

k

otrzymujemy dla dostatecznie du˙zych n i k nier´owno´s´c

f

n

(x + h) − f

n

(x)

h

− f

0

n

(x) −

f

k

(x + h) − f

k

(x)

h

− f

0

k

(x)

 =

=

f

0

n

(c

n,k

) − f

0

n

(x) −

f

0

k

(c

n,k

) − f

0

k

(x)

 < ε

— bowiem dla dostatecznie du˙zych n, k i dowolnego t zachodzi nier´owno´s´c

f

0

n

(t) − f

0

n

(t)

 <

ε
2

,

kt´ora

,

stosujemy w przypadku t = c

n,k

oraz t = x . Poniewa˙z lim

k→∞

f

k

(t) = f (t) i

lim

k→∞

f

0

k

(t) = g(t) , wie

,

c dla dostatecznie du˙zego n wszystkich x ∈ I i wszystkich

takich h , ˙ze x + h ∈ I , zachodzi nier´owno´s´c

f

n

(x + h) − f

n

(x)

h

− f

0

n

(x) −

f (x + h) − f (x)

h

− g(x)

 ≤ ε .

Dla ustalonego, dostatecznie du˙zego n i ustalonego x istnieje δ > 0 taka, ˙ze

0 < |h| < δ ⇒

f

n

(x + h) − f

n

(x)

h

−f

0

n

(x)

 < ε , je´sli tylko x+h ∈ I . Sta

,

d wynika, ˙ze

0 < |h| < δ ⇒

f (x + h) − f (x)

h

− g(x)

 < 2ε dla tego ustalonego x , je´sli x + h ∈ I .

Oznacza to, ˙ze g(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h

, a to oznacza, ˙ze g(x) = f

0

(x) . Dow´od

zosta l zako´

nczony.

Wyka˙zemy jeszcze jedno twierdzenie m´owia

,

ce o istnieniu podcia

,

g´ow zbie˙znych

jednostajnie.

Definicja 12.12 (

zbioru zwartego.

)

1. Zbi´or K ⊂ IR

k

nazywany jest zwartym, je´sli z ka˙zdego cia

,

gu (x

n

) punkt´ow

zbioru K mo˙zna wybra´c podcia

,

g (x

n

k

) zbie˙zny do granicy g ∈ K .

2. Zbi´or F z lo˙zony z funkcji cia

,

g lych okre´slonych na zbiorze K nazywamy zwartym

wtedy i tylko wtedy, gdy z ka˙zdego cia

,

gu (f

n

) funkcji ze zbioru F mo˙zna wybra´c

podcia

,

g (f

n

k

) zbie˙zny jednostajnie do funkcji g ∈ F .

Z twierdzenia Bolzano–Weierstrassa wynika, ˙ze ka˙zdy przedzia l domknie

,

ty jest

zbiorem zwartym. Przedzia l [0, 2) zwarty nie jest bowiem lim

n→∞

2 −

1

n

= 2 /

∈ [0, 2) ,

wie

,

c wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu 2 −

1

n

sa

,

zbie˙zne do liczby 2 , wie

,

c ich wsp´olna gra-

nica, czyli liczba 2 , znajduje sie

,

poza [0, 2) . Prosta IR nie jest zbiorem zwartym, bo-

9

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

wiem z cia

,

gu (n) nie mo˙zna wybra´c podcia

,

gu zbie˙znego do liczby rzeczywistej. Zbi´or

Cantora C jest zwarty, bowiem z cia

,

gu x

n

punkt´ow zbioru C , wie

,

c ograniczonego

mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny; granica tego podcia

,

gu musi le˙ze´c w przedziale [0, 1] ,

bo wszystkie wyrazy znajduja

,

sie

,

w tym przedziale; nie mo˙ze sie

,

znale´z´c ona w prze-

dziale (

1
3

,

2
3

) , bo w tym przedziale otwartym w og´ole nie ma wyraz´ow cia

,

gu (x

n

) ;

analogicznie nie mo˙ze znale´z´c sie

,

ona w przedziale (

1
9

,

2
9

) , ani w przedziale (

7
9

,

8
8

) ;

proces wykluczania przedzia l´ow, w kt´orych granica mog laby sie

,

znale´z´c, mo˙zna konty-

nuowa´c; wobec tego mo˙ze ona znale´z´c sie

,

jedynie w zbiorze Cantora. Te rozumowania

mo˙zna  latwo uog´olni´c i otrzyma´c naste

,

puja

,

ca

,

charakteryzacje

,

podzbior´ow zwartych

prostej:

Twierdzenie 12.13 (

o zwartych podzbiorach prostej

)

Zbi´or K ⊂ IR jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on ograniczony (tzn.

istnieje liczba d ≥ 0 taka, ˙ze |x| ≤ d dla ka˙zdego x ∈ K ) i domknie

,

ty (tzn. je´sli

x

n

∈ K i lim

n→∞

x

n

= g ∈ IR , to g ∈ K ).

Dow´

od. Za l´o˙zmy najpierw, ˙ze zbi´or K jest zwarty. Je´sli zbi´or K nie jest ogra-

niczony, to dla ka˙zdej liczby naturalnej n istnieje x

n

∈ K takie, ˙ze |x

n

| ≥ n . Z

cia

,

gu (x

n

) nie mo˙zna oczywi´scie wybra´c podcia

,

gu ograniczonego, wie

,

c zbie˙znego do

granicy sko´

nczonej. Je´sli zbi´or K nie jest domknie

,

ty, to zawiera cia

,

g (x

n

) , kt´orego

granica g znajduje sie

,

poza K . Wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu (x

n

) sa

,

wie

,

c zbie˙zne go

g /

∈ K . Dowodzi to, ˙ze zbi´or zwarty K ⊂ IR jest domknie

,

ty i ograniczony.

Teraz za l´o˙zmy, ˙ze zbi´or K jest domknie

,

ty i ograniczony i ˙ze wyrazy cia

,

gu (x

n

)

sa

,

jego elementami. Z wyraz´ow cia

,

gu ograniczonego (x

n

) mo˙zna wybra´c podcia

,

g

zbie˙zny (x

n

k

) (twierdzenie Bolzano–Weierstrassa). Jego granica musi sie

,

znajdowa´c

w zbiorze K , bowiem zbi´or ten jest z za lo˙zenia domknie

,

ty, a wyrazy cia

,

gu (x

n

k

) sa

,

elementami K . Wobec tego zbi´or K jest zwarty.

Je´sli x = (x

1

, x

2

, . . . , x

k

) ∈ R

k

, to definiujemy kxk =

p

x

2

1

+ x

2

2

+ · · · + x

2

k

. Bez

trudu mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze kxk = 0 ⇔ x = 0 = (0, 0, . . . , 0) , ktxk = |t| · kxk dla

ka˙zdego t ∈ R , i kx + yk ≤ kxk + kyk dla dowolnych x, y ∈ R

k

. Liczbe

,

kx − yk

nazywa´c be

,

dziemy odleg lo´scia

,

punkt´ow x, y . Liczba kxk = kx − 0k to odleg lo´s´c

punktu x od punktu 0 , nazywa´c ja

,

be

,

dziemy norma

,

punktu x . Norma, o kt´orej

tu m´owimy jest jedna

,

z kilku u˙zywanych w analizie. Odleg lo´s´c zdefiniowana z jej

pomoca

,

to „zwyk la” odleg lo´s´c (w przypadku k = 1, 2, 3 ).

Definicja 12.14 (

zbior´

ow otwartych i domknie

,

tych w

R

k

)

1. Zbi´or G ⊆ R

k

nazywamy otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego

punktu p ∈ G istnieje liczba r > 0 taka, ˙ze je´sli kx − pk < r , to x ∈ G .

10

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

2. Zbi´or F ⊆ R

k

nazywamy domknie

,

tym wtedy i tylko wtedy, gdy z tego, ˙ze

p

n

∈ F oraz lim

n→∞

p

n

= p wynika, ˙ze p ∈ F .

Niech B(p, r) = {x ∈ R

k

:

kx − pk < r} . Zbi´or ten nazywany jest kula

,

otwarta

,

o ´srodku p i promieniu r . Wyka˙zemy, ˙ze jest to zbi´or otwarty. Niech q ∈ B(p, r)

i niech % = r − kq − pk > 0 . Z nier´owno´sci kx − qk < % i nier´owno´sci tr´ojka

,

ta

wynika naste

,

pna: kx − pk ≤ kx − qk + kq − pk < % + kq − pk = r , a to ozna-

cza, ˙ze x ∈ B(p, r) , co ko´

nczy dow´od otwarto´sci kuli otwartej B(p, r) . Czytelnik

udowodni bez trudu, ˙ze przedzia l otwarty jest otwartym podzbiorem prostej, na-

tomiast odcinek bez ko´

nc´ow nie jest otwartym podzbiorem p laszczyzny, ani prze-

strzeni tr´ojwymiarowej. Oczywi´scie zbi´or pusty jest otwarty i jednocze´snie domknie

,

ty.

Ta sama w lasno´s´c przys luguje ca lej przestrzeni R

k

. Odcinek domknie

,

ty, prosta to

przyk lady zbior´ow domknie

,

tych. Ka˙zdy zbi´or sko´

nczony jest domknie

,

ty. Dope lnienie

zbioru domknie

,

tego jest zbiorem otwartym i odwrotnie.

Zadanie: Wykaza´c, ˙ze otwarty podzbi´or prostej jest suma

,

przeliczalnej lub sko´

n-

czonej rodziny przedzia l´ow parami roz la

,

cznych.*

Definicja 12.15 (

zbioru ograniczonego

)

Zbi´or A ⊆ R

k

nazywamy ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba d > 0

taka, ˙ze je´sli x ∈ A , to kxk ≤ d .

Zbiory zwarte w przestrzenie R

k

mo˙zna  latwo scharakteryzowa´c.

Twierdzenie 12.16 (

o zwartych podzbiorach przestrzeni

R

k

)

Zbi´or K ⊆ R

k

jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy K jest domknie

,

ty i ograniczony.

Dow´

od. Przeprowadzimy dow´od w przypadku k = 2 . Udowodnimy, ˙ze je´sli K jest

zwarty, to jest ograniczony. Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Dla ka˙zdej liczby naturalnej n

istnieje wtedy punkt p

n

∈ K taki, ˙ze kp

n

k > n . Za l´o˙zmy, ˙ze uda lo nam sie

,

wybra´c

podcia

,

g (p

n

j

) cia

,

gu (p

n

) zbie˙zny do punktu p ∈ K . Mamy wie

,

c lim

j→∞

kp

n

j

−pk = 0

oraz n

j

< kp

n

j

k ≤ kp

n

j

− pk + kpk −−−−→

j→∞

kpk , co jest niemo˙zliwe, bo lim

j→∞

n

j

= ∞ .

Teraz wyka˙zemy, ˙ze K jest zbiorem domknie

,

tym. Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Istnieje

wtedy cia

,

g (p

n

) taki, ˙ze lim

n→∞

p

n

= p , p

n

∈ K dla ka˙zdego n , ale p /

∈ K .

Wtedy jednak wszystkie podcia

,

gi cia

,

gu (p

n

) sa

,

zbie˙zne do p /

∈ K wbrew temu, ˙ze

z podcia

,

gu (p

n

) mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do elementu zbioru K .

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze zbi´or K jest domknie

,

ty i ograniczony. Wyka˙zemy, ˙ze jest on

zwarty. Niech (p

n

) be

,

dzie cia

,

giem punkt´ow zbioru K . Niech d be

,

dzie taka

,

liczba

,

,

˙ze kxk ≤ d dla ka˙zdego x ∈ K . Niech p

n

= (x

n

, y

n

) . Mamy |x

n

| ≤

p

x

2

n

+ y

2

n

=

*

To twierdzenie nie ma odpowiednika na p laszczy´

znie, ani w przestrzeni tr´

ojwymiarowej.

11

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

=kp

n

k ≤ d . Analogicznie |y

n

| ≤ d . Z twierdzenia Bolzano–Weierstrassa wynika,

˙ze z cia

,

gu (x

n

) mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny (x

n

j

) . Niech x = lim

j→∞

x

n

j

. Cia

,

g

(y

n

j

) jest ograniczony, wie

,

c mo˙zna ze´

n wybra´c podcia

,

g zbie˙zny, np. (y

n

jm

) . Niech

y = lim

m→∞

y

n

jm

. Poniewa˙z podcia

,

g cia

,

gu zbie˙znego jest zbie˙zny do tej samej granicy

co cia

,

g, wie

,

c x = lim

m→∞

x

n

jm

. Wynika sta

,

d, ˙ze p := (x, y) = lim

m→∞

p

n

jm

. Mamy

bowiem kp − p

n

jm

k ≤ ≤|x − x

n

jm

| + |y − y

n

jm

| −−−−−→

m→∞

0 . Punkt p jest granica

,

cia

,

gu punkt´ow ze zbioru domknie

,

tego K , wie

,

c p ∈ K , co ko´

nczy dow´od zwarto´sci

zbioru K .

Twierdzenie to w takiej dos lownie wersji nie jest prawdziwe w przypadku zbio-

r´ow, kt´orych elementami sa

,

funkcja cia

,

g le. Niech bowiem F = {f

n

:

n = 1, 2, 3, . . .} ,

f

n

(x) = sin 2

n

x

. Jasne jest, ˙ze je´sli n 6= k , to sup

x∈K

|f

n

(x) − f

k

(x)| ≥ 1 , zatem z

cia

,

gu (f

n

) nie mo˙zna wybra´c podcia

,

gu zbie˙znego jednostajnie.

Trzeba je nieco poprawi´c, ale zaczniemy od prostego twierdzenia

Lemat 12.17 (

o o´

srodkowo´

sci zbioru zwartego

)

Je´sli K jest zbiorem zwartym, to istnieje zbi´or przeliczalny lub sko´

nczony P ⊆ K

taki, ˙ze dla ka˙zdej liczby δ > 0 i ka˙zdego x ∈ K istnieje punkt y ∈ P taki, ˙ze

kx − yk < δ .

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze A ⊆ K jest zbiorem δ –rozdzielonym, tzn. ˙ze je´sli x, y ∈ A

i x 6= y , to kx − yk ≥ δ . Wtedy zbi´or ma sko´

nczenie wiele element´ow. Gdyby

mia l ich niesko´

nczenie wiele, to istnia lby cia

,

g (a

n

) taki, ˙ze ka

m

− a

n

k ≥ δ , gdy

m 6= n , ale z takiego cia

,

gu nie mo˙zna wybra´c podcia

,

gu zbie˙znego, bo podcia

,

g

zbie˙zny musia lby spe lnia´c warunek Cauchy’ego. Niech P

1

be

,

dzie maksymalnym zbio-

rem 1 –rozdzielonym, P

2

— maksymalnym zbiorem

1
2

–rozdzielonym, P

3

— mak-

symalnym zbiorem

1
3

–rozdzielonym itd. Je´sli x /

∈ P

k

, to istnieje a ∈ P

k

taki, ˙ze

kx − ak <

1
k

, w innym przypadku mogliby´smy do la

,

czy´c x do zbioru P

k

i otrzyma´c

wie

,

kszy ni˙z P

k

zbi´or

1
k

–rozdzielony, wbrew temu, ˙ze P

k

jest maksymalnym o tej

w lasno´sci. Przyjmujemy P =

S

∞
n=1

P

n

. Jest jasne, ˙ze zbi´or ten spe lnia ˙za

,

dany wa-

runek.

Komentarz Zbi´or (przestrze´

n) X nazywany jest o´srodkowym, je´sli istnieje zbi´or

sko´

nczony lub przeliczalny P ⊆ X ge

,

sty w zbiorze X czyli taki, ˙ze dla ka˙zdej liczby

δ > 0 . Mo˙zna wie

,

c udowodniony w la´snie lemat sformu lowa´c tak: przestrze´

n zwarta

(metryczna) jest o´srodkowa.

Definicja 12.18 (

jednakowej jednostajnej cia

,

g lo´

sci.

)

Funkcje z rodziny F sa

,

jednakowo jednostajnie cia

,

g le wtedy i tylko wtedy, gdy dla

12

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze je´sli |x

1

− x

2

| < δ to dla ka˙zdej

funkcji f ∈ F zachodzi nier´owno´s´c |f (x

1

) − f (x

2

)| < ε .

Liczba δ dobrana do ε jest wie

,

c taka sama dla wszystkich funkcji z rodziny F .

W przyk ladzie poprzedzaja

,

cym definicje

,

mamy do czynienia z rodzina

,

funkcji, kt´ore

nie sa

,

jednakowo jednostajnie cia

,

g le, chocia˙z ka˙zda z nich jest jednostajnie cia

,

g la.

Wyka˙zemy teraz twierdzenie charakteryzujace zbiory zwarte, kt´orych elementami sa

,

funkcje cia

,

g le okre´slone na zbiorze zwartym K ⊂ IR ( K ⊂ C ).

Twierdzenie 12.19 (

Arzeli-Ascoliego*

)

Zbi´or F z lo˙zony z funkcji cia

,

g lych okre´slonych na zbiorze zwartym K jest zwarty

wtedy i tylko wtedy, gdy spe lnione sa

,

r´ownocze´snie naste

,

puja

,

ce warunki:

AA1. istnieje liczba M ≥ 0 taka, ˙ze dla ka˙zdego x ∈ K i ka˙zdej funkcji f ∈ F

zachodzi nier´owno´s´c |f (x)| ≤ M , czyli funkcje ze zbioru F sa

,

wsp´olnie

ograniczone;

AA2. funkcje z rodziny F sa

,

jednakowo jednostajnie cia

,

g le, tzn.

(∀

ε>0

)(∃

δ>0

)(∀

f ∈F

)(∀

x

1

,x

2

∈K

) |x

1

− x

2

| < δ ⇒ |f (x

1

) − f (x

2

)| < ε ;

AA3. rodzina F jest domknie

,

ta, tzn. je´sli (∀

n

)f

n

∈ F i f

n

⇒ f na zbiorze K ,

to f ∈ F .

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze rodzina F jest zwarta oraz ˙ze funkcje z F . nie sa

,

wsp´olnie

ograniczone. Dla ka˙zdej liczby naturalnej n istnieje wie

,

c funkcja f

n

∈ F taka, ˙ze

sup

x∈K

|f

n

(x)| ≥ n . Z cia

,

gu (f

n

) nie mo˙zna wybra´c podcia

,

gu zbie˙znego jednostajnie do

funkcji cia

,

g lej f , bo funkcja cia

,

g la na zbiorze zwartym jest ograniczona (twierdzenie

Weierstrassa o osia

,

ganiu kres´ow), a z nier´owno´sci |f

n

(x) − f (x)| < ε wynika, ˙ze

|f

n

(x)| < |f (x)| + ε , zatem n = sup

x∈K

|f

n

(x)| ≤ sup

x∈K

|f (x)| + ε , co jest niemo˙zliwe.

Wobec tego funkcje te musza

,

by´c wsp´olnie ograniczone.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze rodzina F nie jest domknie

,

ta, tzn. ˙ze istnieje cia

,

g (f

n

)

zbie˙zny jednostajnie do funkcji f /

∈ F . Wtedy z cia

,

gu f

n

nie mo˙zna wybra´c pocia

,

gu

zbie˙znego jednostajnie do granicy nale˙za

,

cej do F , bo wszystkie podcia

,

gi zbie˙zne

jednostajnie tego cia

,

gu sa

,

zbie˙zne jednostajnie do f /

∈ F . Dowodzi to, ˙ze rodzina

F musi by´c domknie

,

ta. Te dwa fragmenty rozumowania niczym sie

,

nie r´o˙znia

,

od

dowod´ow w twierdzeniu o podzbiorach zwartych prostej.

Ostatnia rzecz, kt´ora

,

nale˙zy wykaza´c to jednakowa jednostajna cia

,

g lo´s´c funkcji

z rodziny F . Za l´o˙zmy, ˙ze funkcje z rodziny F nie sa

,

jednakowo jednostajnie cia

,

g le.

Oznacza to, ˙ze istnieje liczba ε > 0 taka, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n istnieje

*

Wg. mojej wiedzy ka˙zdy z dw´

och pan´

ow udowodni l jedna, implikacje,.

13

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

funkcja f

n

oraz punkty x

n

, y

n

takie, ˙ze |x

n

− y

n

| <

1

n

i |f

n

(x

n

) − f

n

(y

n

)| ≥ ε .

Wybieramy podcia

,

g zbie˙zny z cia

,

gu (x

n

) . Nie zaste

,

pujemy x

n

przez x

n

l

, by nie

komplikowa´c oznacze´

n, ale w dalszym cia

,

gu rozpatrywane sa

,

odpowiednie podcia

,

gi

cia

,

gu (y

n

) i cia

,

gu (f

n

) . Ze zbie˙zno´sci cia

,

gu (x

n

) do ˆ

x ∈ K wynika, ˙ze r´ownie˙z

lim

n→∞

y

n

= ˆ

x . Wybieramy teraz podcia

,

g zbie˙zny jednostajnie z cia

,

gu (f

n

) do funkcji

f ∈ F . Zn´ow zachowujemy oznaczenia. Teraz mamy f

n

⇒ f , czyli sup |f

n

− f | → 0

oraz x

n

→ ˆ

x , y

n

→ ˆ

x . Mamy wie

,

c

ε ≤ |f

n

(x

n

)−f

n

(y

n

)| ≤ |f

n

(x

n

)−f (ˆ

x)|+|f (ˆ

x)−f

n

(y

n

)| ≤ 2 sup

x∈K

|f

n

(x)−f (x)| −→ 0 .

Jest to niemo˙zliwe, zatem funkcje z rodziny F musza

,

by´c jednakowo jednostajnie

cia

,

g le.

Za lo˙zymy teraz, ˙ze rodzina F spe lnia warunki AA1, AA2 i AA3. Niech f

n

∈ F .

Wyka˙zemy, ˙ze z cia

,

gu (f

n

) mo˙zna wybra´c podcia

,

g zbie˙zny jednostajnie. Istnieje

zbi´or przeliczalny P ⊂ K taki, ˙ze ka˙zdy punkt zbioru K jest granica

,

pewnego cia

,

gu

punkt´ow z P ( P jest ge

,

sty w zbiorze K , w przypadku, gdy K jest przedzia lem zbi´or

P mo˙ze sie

,

sk lada´c np. ze wszystkich liczb wymiernych z tego przedzia lu). Oznaczmy

elementy zbioru P przez p

1

, p

2

, . . . Z cia

,

gu ograniczonego f

n

(p

1

)

mo˙zna wybra´c

podcia

,

g zbie˙zny f

ν(1,n)

(p

1

)

, tzn. z cia

,

gu (f

n

) mo˙zna wybra´c podcia

,

g f

ν(1,n)

w

taki spos´ob, ˙ze cia

,

g f

ν(1,n)

(p

1

)

jest zbie˙zny. Z cia

,

gu f

ν(1,n)

mo˙zna z kolei wy-

bra´c podcia

,

g (f

ν(2,n)

) taki, ˙ze cia

,

g f

2,n

(p

2

)

jest zbie˙zny. Poniewa˙z podcia

,

g cia

,

gu

zbie˙znego jest zbie˙zny, wie

,

c cia

,

g f

ν(2,n)

(p

1

)

jest zbie˙zny. Teraz z cia

,

gu (f

ν(2,n)

) wy-

bieramy podcia

,

g (f

ν(3,n)

) tak, by cia

,

g f

ν(3,n)

(p

3

)

by l zbie˙zny. Wobec tego zbie˙zne

sa

,

cia

,

gi

f

ν(3,n)

(p

1

)

,

f

ν(3,n)

(p

2

)

,

f

ν(3,n)

(p

3

)

. Te

,

procedure

,

mo˙zna kontynu-

owa´c, czyli z otrzymanego cia

,

gu funkcji wybiera´c podcia

,

g zbie˙zny w naste

,

pnym

punkcie zbioru P . Teraz zajmiemy sie

,

cia

,

giem f

ν(n,n)

. Jego wyrazy, z wyja

,

tkiem

pierwszych n−1 sa

,

wyrazami, na og´o l niekolejnymi, cia

,

gu f

ν(n,1)

, f

ν(n,2)

, f

ν(n,3)

, . . . .

Wobec tego cia

,

g f

ν(n,n)

(p

j

)

jest zbie˙zny dla ka˙zdego j ∈ N . Uda lo sie

,

nam wie

,

c wy-

bra´c z cia

,

gu (f

n

) podcia

,

g (f

n,n

) , kt´ory jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie zbioru ge

,

stego

P . Wyka˙zemy, ˙ze jest on zbie˙zny jednostajnie na zbiorze zwartym K . Niech ε ozna-

cza liczbe

,

dodatnia

,

. Istnieje wtedy δ > 0 taka, ˙ze je´sli |x−y| < δ , to |f (x)−f (y)| < ε

dla ka˙zdej funkcji f ∈ F . Istnieje liczba m , zale˙zna od δ taka, ˙ze dla ka˙zdego punktu

x ∈ K istnieje j(x) ∈ {1, 2, . . . , m} taka, ˙ze |x − p

j(x)

| < δ . Istnieje te˙z liczba n

ε

taka, ˙ze je´sli k, l > n

ε

, to |f

ν(k,k)

(p

j

) − f

ν(l,l)

(p

j

)| < ε dla j ∈ {1, 2, . . . , m} . Mamy

zatem

|f

ν(k,k)

(x) − f

ν(l,l)

(x)| ≤ |f

ν(k,k)

(x) − f

ν(k,k)

(p

j(x)

)| + |f

ν(k,k)

(p

j(x)

) − f

ν(l,l)

(p

j(x)

)| +

+ |f

ν(l,l)

(p

j(x)

) − f

ν(l,l)

(x)| < 3ε .

14

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze jest spe lniony jednostajny warunek Cauchy’ego, co oznacza,

˙ze cia

,

g f

n,n

jest zbie˙zny jednostajnie do pewnej funkcji f , kt´ora ze wzgle

,

du na

domknie

,

to´s´c zbioru F jest jego elementem. Dow´od zwarto´sci rodziny F zosta l

zako´

nczony.

Przyk lad 12.4

Poka˙zemy przyk lad zbioru, kt´ory spe lnia za lo˙zenia twierdzenia

Arzeli–Ascoliego, przyk lad jest wa˙zny ze wzgle

,

du na liczne zastosowania. Niech

F = {f : [0, 1] −→ R:

f jest cia

,

g la, ∀

x

|f (x)| ≤ 13, ∀

x,y

|f (x) − f (y)| ≤ 7|x − y|} .

Wsp´olna ograniczono´s´c i cia

,

g lo´s´c sa

,

cze

,

´sciami definicji zbioru F . Jednakowa cia

,

g lo´s´c

wynika natychmiast z tego, ˙ze mo˙zna zdefiniowa´c δ =

ε

13

.

Czytelnik zechce wykaza´c, ˙ze je´sli f

n

(x) = x

n

, to funkcje f

1

, f

2

, f

3

, . . . nie sa

,

jednakowo cia

,

g le na przedziale [0, 1] , na przedziale

0,

7
8

sa

,

jednakowo cia

,

g le.

Przejdziemy teraz do bardzo u˙zytecznego z wielu przyczyn twierdzenia.

Twierdzenie 12.20 (

Weierstrassa o przybli˙zaniu funkcji cia

,

g lych wielomianami

)

Dla ka˙zdej liczby ε > 0 i dla ka˙zdej funkcji cia

,

g lej F : [a, b] −→ R istnieje wielo-

mian W taki, ˙ze |F (x) − W (x)| < ε dla ka˙zdego punktu x ∈ [a, b] , czyli ka˙zda

funkcja cia

,

g la na przedziale domknie

,

tym jest granica

,

jednostajnie zbie˙znego cia

,

gu

wielomian´ow.

Dow´

od. (Bernstein). Istnieje wiele dowod´ow tego twierdzenia. Wybieramy

ten, bo ma on swa

,

oczywista

,

geneze

,

w twierdzeniu z rachunku prawdopodobie´

nstwa

i je´sli kto´s do niego wtedy wr´oci, np. dlatego, ˙ze be

,

dzie on tam powt´orzony przy okazji

prawa wielkich liczb, to be

,

dzie mu  latwiej poja

,

´c, o co w tym wszystkim chodzi.

Wystarczy udowodni´c twierdzenie w przypadku [a, b] = [0, 1] . By sie

,

z tym

pogodzi´c wystarczy przyja

,

´c, ˙ze t =

x−a

b−a

, f (t) = F a+t(b−a)

= F (x) i analogicznie

w(t) = W a + t(b − a)

= W (x) . Jasne jest, ˙ze wtedy |f (t) − w(t)| = |F (x) − W (x)| ,

przy czym a ≤ x ≤ b wtedy i tylko wtedy, gdy 0 ≤ t ≤ 1 .

Niech b

n

(t) =

n

X

k=0

f

k

n

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

. Wielomian b

n

nazywany jest n –tym

wielomianem Bernsteina funkcji f . Wyka˙zemy, ˙ze je´sli liczba n jest dostatecznie

du˙za, to przyje

,

cie w(t) = b

n

(t) powoduje, ˙ze dla ka˙zdego t ∈ [0, 1] zachodzi nier´ow-

no´s´c |f (t) − w(t)| = |f (t) − b

n

(t)| < ε .

Zaczniemy od pomocniczych r´owno´sci.

n

X

k=0

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

= 1

(W1)

15

Cia

,

gi i szeregi funkcyjne

Micha l Krych

n

X

k=0

k

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

= nt

(W2)

n

X

k=0

n

k

t

k

k

2

(1 − t)

n−k

= n(n − 1)t

2

+ nt

(W3)

∀

δ>0

X

k

n

−t

≥δ

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

≤

1

n

·

t(1 − t)

δ

2

≤

1

4nδ

2

(W4)

R´owno´s´c (W1) wynika natychmiast z tego, ˙ze 1 = t + (1 − t)

n

=

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

.

R´owno´s´c (W2) podobnie:

n

X

k=0

k

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

= nt

n

X

k=1

n−1

k−1

t

k−1

(1 − t)

n−1−(k−1)

=

= nt

n−1

X

k=0

n−1

k

t

k

(1 − t)

n−1−k

= nt t + (1 − t)

n−1

= nt .

Kolej na (W3).

n

X

k=0

k

2 n

k

t

k

(1 − t)

n−k

=

n

X

k=2

k(k − 1)

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

+

n

X

k=1

k

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

=

= n(n − 1)t

2

n

X

k=2

n−2

k−2

t

k−2

(1 − t)

n−2−(k−2)

+ nt =

= n(n − 1)t

2

n−2

X

k=0

n−2

k

t

k

(1 − t)

n−2−k

+ nt = n(n − 1)t

2

t + (1 − t)

n−2

+ nt =

= n(n − 1)t

2

+ nt .

Teraz kolej na najwa˙zniejsza

,

z tych czterech r´owno´sci, zwana nier´owno´scia

,

Czeby-

szewa (w przypadku og´olniejszym, na om´owienie kt´orego tu nie ma miejsca).

n

2

δ

2

X

k

n

−t

≥δ

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

≤

X

k

n

−t

≥δ

k − nt

2 n

k

t

k

(1 − t)

n−k

<

<

n

X

k=0

k − nt

2 n

k

t

k

(1 − t)

n−k

=

=

n

X

k=0

k

2 n

k

t

k

(1 − t)

n−k

− 2

n

X

k=0

knt

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

+

n

X

k=0

nt

2 n

k

t

k

(1 − t)

n−k

=

= n(n − 1)t

2

+ nt − 2n

2

t

2

+ n

2

t

2

= nt − nt

2

= nt(1 − t)

Z otrzymanej nier´owno´sci  latwo wynika, ˙ze

X

k

n

−t

≥δ

n

k

t

k

(1 − t)

n−k

≤

nt(1 − t)

n

2

δ

2

=

1

n

·

t(1 − t)

δ

2

≤

1

4nδ

2

.

16