Cztery zadania nadesłane przez internautów
Zadanie 1.
W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku C jest dwa razy większy od kąta przy
wierzchołku B. Dwusieczna kąta przecina bok AB w punkcie D. Wykazać, że
AB
AD
AC
2
⋅⋅⋅⋅
====
.
Rozwiązanie
αααα
====
αααα
−−−−
++++
αααα
−−−−
====
ββββ
++++
αααα
−−−−
====
∠
∠
∠
∠
αααα
−−−−
====
ββββ
2
)
3
180
(
180
)
(
180
ADC
3
180
o
o
o
o
Wobec tego trójkąty ABC i ACD są podobne, bo mają takie same kąty.
Korzystając z podobieństwa tych trójkątów, otrzymujemy:
AB
AD
AC
AD
AC
AC
AB
2
⋅⋅⋅⋅
====
⇔
⇔
⇔
⇔
====
, co należało udowodnić.
***************************************************************************
***************************************************************************
Zadanie 2.
Udowodnić, że stosunek pola prostokąta wpisanego w koło do pola tego koła jest
mniejszy od
3
2
.
Rozwiązanie
Należy udowodnić, że
3
2
r
S
2
<<<<
ππππ
, gdzie S – pole prostokąta.
Pole każdego czworokąta wypukłego można obliczyć jako połowę iloczynu długości
przekątnych przez sinus kąta między przekątnymi, dlatego:
αααα
====
αααα
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
sin
r
2
sin
r
2
r
2
2
1
S
2
Mamy:
ππππ
≤≤≤≤
ππππ
αααα
====
ππππ
αααα
====
ππππ
2
sin
2
r
sin
r
2
r
S
2
2
2
bo
1
sin
≤≤≤≤
αααα
i dalej:
3
2
2
<<<<
ππππ
, bo
3
>>>>
ππππ
.
Wynika stąd, że
3
2
r
S
2
<<<<
ππππ
, co należało udowodnić.
***************************************************************************
***************************************************************************
Zadanie 3.
Obliczyć sumę
n
3
2
n
nx
...
x
3
x
2
x
S
++++
++++
++++
++++
====
.
Rozwiązanie
((((
)))) ((((
))))
n
n
3
2
n
n
n
3
2
n
3
2
1
n
4
3
2
n
n
1
n
4
3
2
n
n
3
2
n
nx
x
...
x
x
x
)
1
x
(
S
:
mamy
nx
x
...
x
x
x
nx
...
x
3
x
2
x
nx
...
x
3
x
2
x
S
S
x
nx
...
x
3
x
2
x
S
x
nx
...
x
3
x
2
x
S
++++
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
====
++++
++++
++++
++++
−−−−
++++
++++
++++
++++
====
−−−−
⋅⋅⋅⋅
++++
++++
++++
++++
====
⋅⋅⋅⋅
++++
++++
++++
++++
====
++++
++++
Jeżeli
1
x
====
, to
n
2
n
1
n
...
3
2
1
1
n
...
1
3
1
2
1
S
n
3
2
n
⋅⋅⋅⋅
++++
====
++++
++++
++++
++++
====
⋅⋅⋅⋅
++++
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
++++
====
Jeżeli
1
x
≠≠≠≠
, to
1
x
nx
x
...
x
x
x
S
n
n
3
2
n
−−−−
++++
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
((((
))))
1
x
)
1
x
(
x
x
1
x
1
x
x
...
x
x
x
x
...
x
x
x
n
n
n
3
2
n
3
2
−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
⋅⋅⋅⋅
−−−−
====
++++
++++
++++
++++
−−−−
====
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
Stąd:
2
n
n
n
n
n
n
n
n
3
2
n
)
1
x
(
)
1
x
(
x
x
)
1
x
(
n
1
x
1
x
)
1
x
(
x
x
)
1
x
(
n
1
x
nx
1
x
)
1
x
(
x
1
x
nx
x
...
x
x
x
S
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
====
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−
++++
−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−
++++
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
***************************************************************************
***************************************************************************
Zadanie 4.
Rozwiązać równanie z niewiadomą x:
)
a
1
)(
a
1
)(
a
1
(
a
...
a
a
1
4
2
x
2
++++
++++
++++
====
++++
++++
++++
++++
.
Rozwiązanie
Lewa strona równania jest sumą
)
1
x
(
++++
wyrazów ciągu geometrycznego.
Jeżeli
1
a
====
, to lewa strona wynosi
1
x
++++
.
W tym przypadku:
1
)
a
1
)(
a
1
)(
a
1
(
x
4
2
−−−−
++++
++++
++++
====
.
Jeżeli
1
a
≠≠≠≠
, to równanie przyjmuje postać:
