Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
N – ilość którzy doszli do 3 etapu
P(K+M=k)=P(N=n-k)
P(dojdzie do 3 etapu)=
25
4
5
2
)
1
(
2
2
=
=
−
θ
n
k
k
n
k
k
k
n
k
n
k
k
n
k
n
k
n
k
n
n
k
M
K
P
2
2
5
21
4
25
21
4
4
25
5
1
25
21
25
4
)
(
−
−
=
=
−
=
=
+
Zadanie 2
[
]
=
+
−
+
−
−
=
≥
−
=
60
7
6
120
40
40
120
40
...
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
6
(
)
1
(
θ
θ
θ
θ
θ
θ
T
P
θ
θ
L
480
40
60
360
60
120
40
)
1
(
)
1
(
)
1
(
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
−
=
−
−
=
)
1
ln(
480
ln
40
ln
θ
θ
L
−
+
=
13
1
520
40
ˆ
0
)
1
(
40
520
)
1
(
480
)
1
(
40
1
480
40
=
=
→
=
−
+
−
=
−
−
−
=
−
−
=
∂
∂
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
Zadanie 3
(
)
∑
∑
−
=
−
2
2
2
Z
n
Z
Z
Z
i
i
Y
X
Y
X
Y
X
Z
i
i
i
−
=
−
−
=
(
)
≅
≅
15
2
;
0
2
;
0
2
2
σ
N
Z
σ
N
Z
(
)
(
)
=
>
+
−
=
>
+
−
∑
∑
2
2
2
2
2
2
15
1
15
15
1
c
Z
Z
Z
Z
P
c
Z
Z
Z
Z
P
i
i
(
)
gdzie
c
X
Y
X
P
c
σ
Z
σ
Z
Z
σ
Z
P
i
,
2
15
2
2
15
2
2
2
2
2
2
>
+
=
>
+
−
=
∑
nzl
i
)
14
(
),
1
(
2
2
χ
Y
χ
X
≅
≅
}
4973
,
0
6
,
4
1
14
1
14
14
2
2
2
2
)
14
;
1
(
≈
→
=
−
→
−
>
=
≅
c
c
c
c
c
Y
X
P
F
Zadanie 4
)
1
,
0
(
J
p
≅
(
)
12)
w
P(7
T)
12
w
7
(
12
7
+
=
×
P
T
P
(
)
∫
∫
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
−
=
1
0
1
0
5
4
3
2
8
5
7
14
1
13
5
12
10
11
10
2
1
9
1
7
12
5
10
10
5
1
7
12
)
1
(
7
12
p
p
p
p
p
p
p
p
p
LICZ
∫
−
+
−
+
−
=
−
=
1
0
5
7
13
1
12
5
11
10
10
10
9
5
8
1
7
12
)
1
(
7
12
p
p
MIAN
14
8
=
MIAN
LICZ
Zadanie 5
(
)
∑
∑
i
i
X
X ,
2
- STAT dostateczna i zupełna
weźmy naturalnie:
nzl
,
i
9
;
,
,
ˆ
2
2
S
X
σ
µ
N
X
S
σ
X
µ
≅
=
=
(
)
)
8
(
gdzie
8
3
0
3
2
)
8
(
χ
X
X
σ
E
S
E
S
µ
X
E
t
≅
=
→
=
−
≅
4
8
47
6
∫
∫
∞
∞
−
−
−
=
Γ
=
Γ
=
0
0
2
/
1
2
7
4
2
/
3
4
5
,
0
)
4
(
2
1
8
)
4
(
2
1
1
8
8
x
x
e
x
σ
e
x
x
σ
X
σ
E
∫
∞
−
−
→
Γ
=
Γ
Γ
=
Γ
⋅
Γ
Γ
=
0
5
,
3
2
1
2
7
5
,
3
4
)
5
,
3
(
3
1
)
4
(
)
5
,
3
(
2
8
)
5
,
3
(
2
)
5
,
3
(
2
1
)
4
(
2
1
8
σ
σ
dx
e
x
σ
x
→
Γ
=
Γ
=
→
)
5
,
3
(
)
5
,
3
(
3
1
3
3
σ
µ
σ
µ
S
µ
E
σ
µ
S
X
E
σ
µ
S
X
E
=
Γ
→
Γ
=
→
)
5
,
3
(
3
)
5
,
3
(
3
i statystyka dostateczna i zupełna
Z tego odpowiedź (B) jest prawidłowa
Zadanie 6
3
N - liczba kostek w III rundzie
2
N
- liczba kostek w II rundzie
( )
(
)
∑
=
=
=
3
0
3
)
(
k
k
N
P
k
A
P
A
P
(
)
(
)
(
)
∑
=
=
=
=
=
=
3
2
2
3
3
k
m
m
N
P
m
N
k
N
P
k
N
P
(
)
3
2
6
1
0
=
=
N
P
(
)
3
2
2
6
15
6
1
6
5
1
3
1
=
=
=
N
P
(
)
3
2
2
6
75
6
1
6
5
2
3
2
=
=
=
N
P
(
)
3
3
2
6
125
6
5
3
3
3
=
=
=
N
P
(
)
1
0
0
2
3
=
=
=
N
N
P
(
)
6
1
1
0
2
3
=
=
=
N
N
P
(
)
2
2
3
6
1
2
0
=
=
=
N
N
P
(
)
3
2
3
6
1
3
0
=
=
=
N
N
P
(
)
6
5
1
1
2
3
=
=
=
N
N
P
(
)
6
1
6
5
2
2
1
2
3
⋅
=
=
=
N
N
P
(
)
2
2
3
6
1
6
5
3
3
1
=
=
=
N
N
P
(
)
2
2
3
6
5
2
2
=
=
=
N
N
P
(
)
6
1
6
5
3
3
2
2
2
3
=
=
=
N
N
P
(
)
3
2
3
6
5
3
3
=
=
=
N
N
P
(
)
6
3
3
3
2
3
3
3
6
1331
6
125
6
1
6
75
6
1
6
15
6
1
6
1
0
=
+
+
+
=
=
N
P
(
)
6
3
3
3
2
2
3
6
9075
6
125
6
15
6
75
6
10
6
15
6
5
1
=
+
+
=
=
N
P
(
)
6
3
3
3
2
3
6
20625
6
125
6
75
6
75
6
25
2
=
+
=
=
N
P
(
)
6
3
3
3
6
15625
6
125
6
125
3
=
=
=
N
P
(
)
(
)
(
)
=
=
⋅
+
=
+
=
+
=
=
)
0
(
1
3
6
1
2
6
1
1
6
1
)
(
3
3
3
2
3
N
P
N
P
N
P
N
P
A
P
075
,
0
6
1331
6
15625
20625
6
9075
36
9
3
≈
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
Zadanie 7
(
)
t
X
nE
ODP
=
=
max
1
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
max
max
max
1
1
1
1
1
1
1
<
<
+
=
=
=
=
X
P
t
X
X
E
X
P
t
X
X
E
t
X
E
(
)
(
)
∫
∫
=
=
=
<
=
<
t
t
t
t
t
x
t
t
X
P
x
t
X
X
E
0
3
4
0
2
4
1
3
1
1
4
3
1
4
3
3
1
4
3
1
3
(
)
n
tn
t
n
t
tn
t
n
n
t
n
t
t
X
E
4
3
4
3
3
4
1
4
3
1
max
1
+
=
−
+
=
−
+
=
=
t
n
n
n
t
n
ODP
4
1
3
4
)
3
1
(
+
=
+
=
Zadanie 8
(
)
(
)
(
)
j
j
i
i
i
i
i
i
X
Z
X
Z
n
X
Z
n
X
Z
,
cov
2
2
var
var
+
=
∑
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
p
µ
µ
p
µ
p
µ
Z
P
Z
X
Z
E
Z
P
Z
X
Z
E
X
Z
E
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
2
)
(
)
1
(
1
1
1
1
−
=
−
+
−
=
−
=
−
=
+
=
=
=
(
) ( )
2
2
2
2
2
µ
σ
X
E
X
Z
E
i
i
i
+
=
=
(
)
(
)
2
2
2
2
var
p
µ
µ
µ
σ
X
Z
i
i
−
−
+
=
(
)
(
)
[
]
2
2
2
)
2
1
(
µ
ρσ
p
X
X
E
EZ
EZ
X
X
Z
Z
E
j
i
j
i
j
i
j
i
+
−
=
=
[
]
(
)
(
)
(
)
[
]
=
−
−
+
−
−
+
−
−
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
)
1
(
)
2
(
p
µ
µ
µ
ρσ
p
n
n
p
µ
µ
µ
σ
n
ODP
[
]
(
)
[
]
X
µ
µ
p
ρσ
p
µ
p
ρσ
p
µ
ρσ
n
n
p
µ
p
µ
µ
µ
σ
n
+
−
+
+
−
−
+
−
+
−
+
−
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
gdzie
2
2
2
4
4
p
µ
p
µ
X
−
=
(
)
)
1
(
4
)
2
1
(
)
1
(
1
2
2
2
p
p
µ
n
p
ρ
n
σ
n
−
+
−
−
+
=
Zadanie 9
( ) ( )
)
3
,
2
(
)
2
(
)
3
(
9
9
)
(
)
(
)
3
(
2
1
0
)
3
(
1
3
T
n
e
n
T
θ
e
θ
e
θ
e
θ
x
f
θ
f
θ
x
f
x
θ
f
θ
T
n
n
θ
T
n
θ
x
θ
n
i
+
+
Γ
≅
+
Γ
+
=
=
=
+
−
+
+
∞
+
−
+
−
−
∫
∑
2
)
3
(
)
2
(
9
3
2
+
+
+
Γ
=
+
=
+
=
=
n
T
n
T
β
n
α
MIAN
(
)
2
1
3
3
+
−
−
−
+
+
=
n
a
a
θ
T
T
e
x
e
E
( )
)
(
1
3
2
2
3
2
a
f
a
T
n
T
T
e
x
L
E
n
a
=
−
+
+
+
−
+
+
=
+
−
2
2
2
3
0
1
2
3
)
(
+
+
−
+
+
=
→
=
+
+
+
−
=
′
n
a
n
a
T
T
e
T
T
e
a
f
T
T
n
a
+
+
+
=
2
3
ln
)
2
(
Zadanie 10
Π
>
+
−
=
>
Π
=
>
Π
+
−
−
−
t
x
x
P
t
e
P
t
e
e
P
x
x
x
x
2
2
ln
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
Π
>
−
>
Π
>
+
<
t
x
x
P
x
t
x
x
P
x
2
2
ln
2
0
.
2
2
2
ln
2
0
.
1
2
2
Π
+
=
∆
→
t
2
2
ln
2
1
w obu przypadkach taka sama
dla 1:
∆
+
−
=
∆
−
−
=
1
,
1
2
1
x
x
dla 2:
∆
+
=
∆
−
=
1
,
1
4
3
x
x
z tego
1
x
najmniejsze więc równe –1,9
Z tego:
9
,
1
2
2
ln
2
1
1
−
=
Π
+
−
−
t
81
,
0
2
2
ln
2
1
=
Π
+
t
19
,
0
2
2
ln
2
−
=
Π
t
095
,
0
ln(...)
−
=
9
,
0
81
,
0
095
,
0
2
1
=
∆
=
⋅
−
=
∆
9
,
1
;
1
,
0
;
1
,
0
,
9
,
1
4
3
2
1
=
=
−
=
−
=
→
x
x
x
x
)
;
9
,
1
(
)
1
,
0
;
1
,
0
(
)
9
,
1
;
(
∞
∪
−
∪
−
−∞
=
K
137
,
0
)
(
0
≈
K
P
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2005.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1998.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1998 12 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 18587
2000 12 09 prawdopodobie stwo i statystykaid 21582
2010 12 13 prawdopodobie stwo i statystykaid 27016
2007 12 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 25662
2003.12.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2003 12 06 prawdopodobie stwo i statystykaid 21710
2008 12 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 26466
2007.12.03 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.12.07 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.12.15 prawdopodobie stwo i statystyka
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2006 06 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 25461
2009 10 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 26670
2000.12.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.01.17 prawdopodobie stwo i statystyka
1997.04.05 prawdopodobie stwo i statystyka
więcej podobnych podstron