1
A.07.2.
Jerzy Czesław Ossowski
Katedra Ekonomii i Zarz dzania Przedsi biorstwem
Wydział Zarz dzania i Ekonomii
Politechnika Gda ska
XIII Ogólnopolska Konferencja Naukowa nt. „Mikroekonometria w teorii i praktyce”,
Katedra Ekonometrii i Statystyki Uniwersytetu Szczeci skiego, IADiPG w Szczecinie oraz PAN,
winouj cie 6-8 wrzesie 2007 r.
PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELI
MULTIPLIKATYWNYCH - WZGL DNE BŁ DY PROGNOZ
1. Zało enia do prognostycznego modelu multiplikatywnego
Uznajmy, e t=1,2,...,n jest numerem okresu w próbie statystycznej, natomiast p=n+j
(j=1,2,...,s) jest numerem okresu prognozowanego. Multiplikatywny model dla okresu próbkowego
zapiszemy nast puj co:
t
t
u
t
t
v
)
x
(
g
e
)
x
(
g
y
t
⋅
=
⋅
=
,
(1)
gdzie:
b
x
x
b
b
t
t
n
1
i
ti
i
0
e
e
)
x
(
g
=
=
=
+
,
(2)
a ponadto:
]
x
.
.
.
x
x
1
[
x
tk
2
t
1
t
t
=
- wektor wierszowy zmiennych obja niaj cych,
t
u
t
t
t
e
)
x
(
g
/
y
v
=
=
- multiplikatywny składnik zakłócaj cy modelu (1).
Posta zlinearyzowan modelu (1) mo emy przedstawi w nast puj cych jego wersjach:
t
t
t
n
1
i
ti
i
0
t
t
t
u
b
x
u
x
b
b
v
ln
)
x
(
g
ln
y
ln
+
=
+
+
=
+
=
=
(3)
Uznajmy ponadto, e parametry strukturalne i parametry struktury stochastycznej modelu (1) s stałe
w czasie. W tych warunkach model prognostyczny dla zmiennej y zdefiniujemy nast puj co:
p
p
p
v
)
x
(
g
y
⋅
=
,
(4)
gdzie v
p
jest multiplikatywnym składnikiem zakłócaj cym w okresie prognozowanym, natomiast g(x
p
)
jest nielosow i nieobserwowan funkcj prognozuj c zmienn y w okresie prognozowanym p.
Funkcj t definiujemy nast puj co:
b
x
p
p
e
)
x
(
g
=
,
(5)
gdzie:
]
x
.
.
.
x
x
1
[
x
pk
2
p
1
p
p
=
- wektor wierszowy zmiennych prognozuj cych.
Model zmiennej prognozowanej y, zdefiniowany w (4) i (5), po obustronnym zlogarytmowaniu
przedstawia si nast puj co:
p
p
p
p
p
u
b
x
v
ln
)
x
(
g
ln
y
ln
+
=
+
=
,
(6)
gdzie zakłócenie logarytmu zmiennej prognozowanej jest równe:
=
−
=
−
=
=
)
x
(
g
y
ln
)
x
(
g
ln
y
ln
b
x
y
ln
v
ln
u
p
p
p
p
p
p
p
p
.
(7)
W wietle powy szego wzgl dne zakłócenie zmiennej prognozowanej wynosi:
2
b
x
p
p
p
p
p
e
y
)
x
(
g
y
v
−
=
=
(8)
Z powy szego wynika, e wzgl dne zakłócenie zmiennej prognozowanej okre la udział zmiennej
prognozowanej w funkcji prognozuj cej.
Przyj cie zało enia o stało ci parametrów strukturalnych i parametrów struktury
stochastycznej, równowa ne z uznaniem stabilno ci procesów ekonomicznych w czasie, oznacza, e
warto oczekiwana i wariancja składnika zakłócaj cego z okresu próbkowego jest równa warto ci
oczekiwanej i wariancji składnika zakłócaj cego w okresie prognozowanym:
)
,
0
(
~
u
)
,
0
(
~
u
2
u
p
2
u
t
σ
Ν
σ
Ν
∧
(9)
Ponadto uznajemy brak autokorelacji w okresie próbkowym i okresie prognozowanym, co zapiszemy
nast puj co:
0
u
Eu
p
t
=
(10)
W nakre lonych warunkach stwierdzamy, e:
)
x
(
g
ln
b
x
)
u
b
x
(
E
y
ln
E
p
p
p
p
p
=
=
+
=
.
(11)
Tym samym otrzymujemy:
b
x
y
ln
E
p
p
p
e
e
)
x
(
g
=
=
(12)
Oznacza to, e przy przyj tych zało eniach:
• logarytm funkcji prognozuj cej ln g(x
p
)
wyznacza zbiór punktów b d cych warunkowymi
rednimi arytmetycznymi logarytmu zmiennej prognozowanej,
• funkcja prognozuj ca g(x
p
)
wyznacza zbiór punktów b d cych warunkowymi rednimi
geometrycznymi zmiennej prognozowanej.
Warunkow prognoz zmiennej y dokona mo emy na podstawie predyktora o nast puj cej postaci:
bˆ
x
p
p
e
yˆ
=
,
(13)
gdzie:
y
X
)
X
X
(
bˆ
T
1
T
−
=
(14)
Rys. 1 Obraz graficzny prognostycznego modelu multiplikatywnego w wersji pierwotnej
i zlinearyzowanej – przypadek modelu wykładniczego:
y
p
=g(x
p
)v
p
ln y
p
=lng(x
p
)+u
p
,
gdzie: g(x
p
)=exp(b
0
+b
1
x
p
) lng(x
p
)=b
0
+b
1
x
p
,
u
p
= lnv
p
, u
p
~ N(0,
2
u
)
f(lny
p
)
f(y
p
)
lny
p
y
p
x
n+1
x
n+1
x
n+2
x
n+2
Elny
p
=lng(x
p
)
My(x
p
)
Dy(x
p
)
Ey(x
p
)
gdzie:
My(x
p
) = g(x
p
)
Ey(x
p
) = g(x
p
)exp(0,5
2
u
)
Dy(x
p
) = g(x
p
)exp(-
2
u
)
x
n+j
x
n+j
3
jest estymatorem MNK parametrów strukturalnych postaci zlinearyzowanej modelu (1) zapisanej w
(3). Z tych te wzgl dów wyra enie (13) nazwiemy predyktorem MNK. Powy szy predyktor, po
obustronnym zlogarytmowaniu, zapiszemy nast puj co:
bˆ
x
yˆ
ln
p
p
=
(15)
Uznaj c, i wyst puj cy w predyktorze estymator ma rozkład normalny, uznajemy jednocze nie, i
zlinearyzowany predyktor (15) ma równie rozkład normalny a tym samym predyktor (13) ma rozkład
logarytmiczno-normalny. Zauwa my, e funkcja (13) jest warunkowym predyktorem zmiennej
prognozowanej y
p
na poziomie redniej geometrycznej (mediany), jako e:
)
x
(
g
ln
b
x
y
ln
E
yˆ
ln
E
p
p
p
p
=
=
=
,
(16)
a st d:
)
x
(
g
e
e
e
p
b
x
y
ln
E
yˆ
ln
E
p
p
p
=
=
=
.
(17)
Tym samym mo emy uzna , e
predyktor MNK zdefiniowany w (15) jest nieobci onym
predyktorem zmiennej prognozowanej zdefiniowanej w (4) w tym sensie , i rednia
geometryczna predyktora jest równa redniej geometrycznej zmiennej prognozowanej (por.: [13]
s. 36-37 oraz [2]).
Na podstawie (6) i (13) definiujemy bł d prognozy dla postaci logarytmiczno-liniowej modelu
multiplikatywnego w nast puj cy sposób:
p
p
p
p
p
p
p
p
u
)
bˆ
b
(
x
bˆ
x
u
b
x
yˆ
ln
y
ln
f
+
−
=
−
+
=
−
=
.
(18)
Bł d prognozy składa si z dwóch cz ci. Pierwsza cz
okre la bł d estymacji parametrów za
pomoc estymatora MNK. Druga cz
bł du prognozy odzwierciedla pomini cie w predyktorze
przyszłych zakłóce losowych. Zauwa my, e przy przyj tych zało eniach warto rednia bł du
prognozy postaci logarytmicznej modelu jest równa:
0
Eu
)
bˆ
b
(
E
x
v
ln
E
)
bˆ
b
(
E
x
Ef
p
p
p
p
p
=
+
−
=
+
−
=
(19)
a jego wariancja wyra a si wzorem:
2
)
p
(
yˆ
ln
2
v
ln
2
p
p
2
p
p
2
)
p
(
f
2
p
yˆ
y
ln
E
)
yˆ
ln
y
(ln
E
:
Ef
σ
σ
σ
+
=
=
−
=
,
(20)
W powy szym wyra eniu wyró niamy obok wariancji składnika zakłócaj cego postaci
zlinearyzowanej modelu multiplikatywnego (
2
lnv
), wariancj predyktora, któr definiujemy
nast puj co:
T
p
p
2
p
p
2
p
p
2
p
p
2
)
p
(
yˆ
ln
x
)
bˆ
(
x
)
x
(
g
y
ln
E
)]
x
(
g
ln
y
[ln
E
)
yˆ
ln
E
y
(ln
E
Σ
σ
=
=
−
=
−
=
,
(21)
gdzie:
1
T
2
v
ln
)
X
X
(
)
bˆ
(
−
=
σ
Σ
(22)
jest macierz kowariancji estymatorów MNK parametrów strukturalnych modelu. Niebci onym
estymatorem powy szej macierzy jest nast puj ca funkcja stochastyczna:
1
T
2
v
ln
)
X
X
(
ˆ
)
bˆ
(
ˆ
−
=
σ
Σ
(23)
w której nast puj ce wyra enie:
(
)
2
t
t
2
v
ln
yˆ
ln
y
ln
)
1
k
(
n
1
ˆ
−
+
−
=
σ
(24)
jest nieobci on statystyk wariancji składnika losowego (
2
lnv
).
Wykorzystuj c powy sze zdefiniowania jeste my w stanie okre li nieobci on statystyk
wariancji predykcji (20) w nast puj cy sposób:
2
)
p
(
yˆ
ln
2
v
ln
2
)
p
(
f
2
p
ˆ
ˆ
ˆ
:
fˆ
E
σ
σ
σ
+
=
(25)
gdzie wyra enie:
T
p
p
2
)
p
(
yˆ
ln
x
)
bˆ
(
ˆ
x
ˆ
Σ
σ
=
(26)
jest nieobci on statystyk wariancji predyktora zdefiniowanego w (21).
4
Zauwa my, e pierwiastkuj c wyra enie (20) wyznaczamy bł d standardowy prognozy, co
zapiszemy nast puj co:
2
)
p
(
yˆ
ln
2
v
ln
2
p
p
)
p
(
f
)
yˆ
ln
y
(ln
E
σ
σ
σ
+
=
−
=
(27)
Z kolei nieobci on ocen powy ej zdefiniowanego bł du standardowego prognozy jest
dodatni pierwiastek wyra enia (25):
2
)
p
(
yˆ
ln
2
v
ln
)
p
(
f
ˆ
ˆ
ˆ
σ
σ
σ
+
=
(28)
2. Wzgl dny i absolutny przedział ufno ci prognozy dla modelu multiplikatywnego
Je li utrzymamy zało enie o normalno ci rozkładu składnika losowego u
t
=lnv
t
oraz o jego
stabilno ci w okresie prognozowanym p, to automatycznie uznajemy, i bł d prognozy f
p
-
zdefiniowany w (18) – jest funkcj zmiennej losowej o rozkładzie normalnym. Oznacza to e
nast puj ce wyra enie:
)
p
(
f
p
p
yˆ
ln
y
ln
σ
−
(29)
ma standaryzowany rozkład normalny N(0,1). Tym samym nast puj ca statystyka:
)
p
(
f
p
p
ˆ
yˆ
ln
y
ln
σ
−
(30)
ma rozkład t-Studenta o n-(k+1) stopniach swobody.
Wykorzystuj c wła ciwo ci powy szego wyra enia zdefiniowa mo emy w nast puj cy
sposób przedział ufno ci:
α
σ
α
α
−
=
≤
−
≤
−
1
t
ˆ
yˆ
ln
y
ln
t
P
2
/
)
p
(
f
p
p
2
/
,
(31)
gdzie t
/2
jest odczytan z tablic rozkładu t-Studenta, przy n-(k+1) stopniach swobody dla ustalonego
poziomu istotno ci , warto ci krytyczn . Wyra enie (31) przekształci mo emy do nast puj cej
postaci:
α
σ
σ
α
α
−
=
⋅
≤
≤
⋅
−
1
ˆ
t
yˆ
y
ln
ˆ
t
P
)
p
(
f
2
/
p
p
)
p
(
f
2
/
(32)
Antylogarytmuj c wyra enie w nawiasie, wyznaczamy przedział ufno ci dla wzgl dnego bł du
prognozy. W konsekwencji, w uj ciu procentowym, otrzymujemy nast puj ce wyra enie:
α
σ
σ
α
α
−
=
⋅
≤
⋅
≤
⋅
⋅
⋅
−
1
%
100
e
%
100
yˆ
y
%
100
e
P
)
p
(
f
2
/
)
p
(
f
2
/
ˆ
t
p
p
ˆ
t
(33)
Na podstawie powy szego powiemy, e z prawdopodobie stwem 1- udział zmiennej prognozowanej
w prognozie mie ci si w wyznaczonym w nawiasie przedziale.
Na podstawie (33) jeste my w stanie wyznaczy przedział ufno ci dla absolutnego bł du
prognozy:
α
σ
σ
α
α
−
=
⋅
≤
≤
⋅
⋅
⋅
−
1
]
e
yˆ
y
e
yˆ
[
P
)
p
(
f
2
/
)
p
(
f
2
/
ˆ
t
p
p
ˆ
t
p
(34)
Z powy szego wynika, e z prawdopodobie stwem 1- zmienna prognozowana odchyla si od
prognozy w wyznaczonym w nawiasie przedziale.
Celem zilustrowania procedury wnioskowania o wzgl dnych i absolutnych przedziałach
ufno ci prognoz, posłu my si przykładem zaczerpni tym z podr cznika Theila ([21] s.: 121-154).
Rozwa any tam przykład dotyczy zwi zku przyczynowo-skutkowego pomi dzy konsumpcj
tekstyliów (y
t
) a dochodem realnym ludno ci (x
t1
) i cen realn tekstyliów (x
t2
) w USA w latach 1923-
1939. Zmienne zostały uj te w postaci indeksów, których podstaw ustalono na poziomie 1925r. =
100. Rozwa any przez Theila model w postaci wyj ciowej miał nast puj c posta multiplikatywn :
t
b
2
t
b
1
t
0
t
v
x
x
B
y
2
1
⋅
⋅
⋅
=
(35)
5
Powy szy model po obustronnym zlogarytmowaniu zapiszemy nast puj co
1
:
)
v
ln
u
(
),
B
ln
b
(
,
u
x
ln
b
x
ln
b
b
y
ln
t
t
0
0
t
2
t
2
2
t
1
0
t
=
=
+
+
+
=
(36)
Oszacowana posta modelu przedstawia si nast puj co:
2
t
)
036
,
0
(
2
t
)
156
,
0
(
)
705
,
0
(
t
x
ln
829
,
0
x
ln
143
,
1
16
,
3
yˆ
ln
−
+
=
(37)
Pod ocenami parametrów zamieszczono bł dy standardowe szacunku. Ponadto model charakteryzował
si nast puj cymi wła ciwo ciami:
• współczynnik determinacji:
R
2
= 0,9744
• statystyka Durbina-Watsona:
DW = 1,9267
• odchylenie standardowe:
03118
,
0
ˆ
v
ln
=
σ
• nieobci ona ocena macierzy kowariancji estymatorów parametrów strukturalnych:
−
−
−
−
=
=
−
001304
,
0
00125
,
0
0000175
,
0
00125
,
0
0243
,
0
107
,
0
000175
,
0
1074
,
0
4967
,
0
)
X
X
(
ˆ
)
bˆ
(
ˆ
1
T
v
ln
σ
Σ
Zauwa my, e warto ci empiryczne statystyk t-Studenta wynosz odpowiednio:
95
,
22
036
,
0
/
829
,
0
ˆ
/
bˆ
t
33
,
7
156
,
0
/
143
,
1
ˆ
/
bˆ
t
49
,
4
705
,
0
/
16
,
3
ˆ
/
bˆ
t
2
b
2
2
1
b
1
1
0
b
0
0
−
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
σ
σ
σ
Z powy szego wynika, e analizowane parametry uzna mo na za statystycznie istotnie ró ni ce si
od zera , tym samym zmienne wyst puj ce przy tych parametrach uznane mog by za statystycznie
istotnie oddziaływuj ce na zmienn obja nian .
Na podstawie bł du standardowego reszt szacujemy miary przeci tnego wzgl dnego
rozproszenia warto ci rzeczywistych w stosunku do ich warto ci teoretycznych:
032
,
1
e
e
v
969
,
0
e
e
v
03118
,
0
ˆ
g
03118
,
0
ˆ
d
v
ln
v
ln
=
=
=
=
=
=
−
−
σ
σ
Na podstawie powy szych miar powiemy, e w sensie standardowym przeci tny udział warto ci
rzeczywistych (obserwowanych) zmiennej y
t
w jej warto ciach teoretycznych, ustalonych na poziomie
rednich geometrycznych, waha si w granicach od 96,9% do 103,2%. Tym samym w sensie
standardowym warto ci zmiennej obja nianej odchylaj si od warto ci teoretycznych rednio
wprzedziale od -3,1% do do 3,2%.
Zauwa my, e parametry wyst puj ce przy zmiennych x
t1
i x
t2
s odpowiednio
elastyczno ciami dochodowymi i cenowymi konsumpcji wyrobów tekstylnych. Na podstawie ocen
tych parametrów powiemy, e:
• w warunkach stało ci pozostałych zmiennych, wzrost realnych dochodów ludno ci (x
t1
) 0 1%
prowadził do wzrostu konsumpcji wyrobów tekstylnych przeci tnie 1,143% z przeci tnym bł dem
0,156%,
• w warunkach stało ci pozostałych zmiennych, wzrost cen realnych wyrobów tekstylnych (x
t2
) o
1% prowadził do spadku konsumpcji wyrobów tekstylnych przeci tnie o 0,829% z przeci tnym
bł dem 0,036%.
W swoim podr czniku Theil (por.: [21] s. 153], w oparciu o oszacowany model, rozwa ał
prognoz warunkow konsumpcji uznaj c, e w okresie prognozowanym (p) zmienne prognozuj ce
przyjm warto ci: x
p1
= 105
oraz x
p2
= 65
. Oznacza to, e wektor wierszowy zmiennych
prognozuj cych dla postaci zlinearyzowanej modelu multiplikatywnego jest odpowiednio równy:
]
174
,
4
654
,
4
1
[
]
65
ln
105
ln
1
[
]
x
ln
x
ln
1
[
x
2
p
1
p
p
=
=
=
1
W swoim podr czniku Theil posługiwał si logarytmami dziesi tnymi (por.[21] s.:134-135). W niniejszy
opracowaniu posłu ono si logarytmami naturalnymi, co ułatwia proces wnioskowania o rozpatrywanych
rednich geometrycznych. Warto zaznaczy , e na skutek zastosowanego zabiegu zmiany podstaw logarytmów
zmieniła si jedynie ocena parametru wyrazu wolnego. Wraz z t zmian uległy jednocze nie zmianie elementy
z pierwszego wiersza i pierwszej kolumny macierzy kowariancji. Zmiany te jednak nie wpłyn ły na warto ci
statystyk t-Studenta oraz wielko prognoz oraz na ich absolutne i wzgl dne bł dy.
6
Wykorzystuj c powy sze dane obliczmy prognoz warunkow konsumpcji tekstyliów w postaci
logarytmu oraz jej warto ci pierwotnej:
0
,
152
e
yˆ
0239
,
5
174
,
4
829
,
0
654
,
4
143
,
1
164
,
3
yˆ
ln
0239
,
5
p
p
=
=
=
⋅
−
⋅
+
=
Zgodnie z (25) i (26) ocena warunkowej wariancji prognozy wynosi odpowiednio:
0010716
,
0
x
)
bˆ
(
ˆ
x
ˆ
ˆ
T
p
p
2
v
ln
2
)
p
(
f
=
+
=
Σ
σ
σ
Na tej podstawie wyznaczamy ocen standardowego bł du prognozy dla postaci zlinearyzowanej
modelu:
0327
,
0
0010716
,
0
ˆ
)
p
(
f
=
=
σ
Zakładaj c przedział ufno ci 0,95, odczytujemy z tablic rozkładu t-Studenta warto t
0,025
=2,145 dla
14 stopni swobody. Obecnie wyznaczaj c przedział ufno ci dla logarytmu stosunku zmiennej
prognozowanej do jej prognozy, zgodnie z (32) otrzymujemy:
07014
,
0
0327
,
0
145
,
2
ˆ
t
)
p
(
f
2
/
=
⋅
=
⋅
σ
α
Wykorzystuj c powy szy rezultat, zgodnie z (33), wyznaczamy doln i górn granic przedziału
ufno ci dla udziału zmiennej prognozowanej w prognozie:
• granica dolna wzgl dnego przedziału ufno ci:
9323
,
0
e
e
07014
,
0
ˆ
t
)
p
(
f
2
/
=
=
−
⋅
−
σ
α
,
• granica górna wzgl dnego przedziału ufno ci:
0727
,
1
e
e
07014
,
0
ˆ
t
)
p
(
f
2
/
=
=
⋅
σ
α
.
Obecnie zgodnie z (33) rozpatrywany przedział ufno ci dla wzgl dnego bł du prognozy w uj ciu
procentowym przedstawia si nast puj co:
95
,
0
%]
27
,
107
%
100
yˆ
y
%
23
,
93
[
P
p
p
=
≤
⋅
≤
Na podstawie powy szego powiemy, e z prawdopodobie stwem 0,95 udział zmiennej
prognozowanej w warunkowej prognozie zawiera si b dzie w przedziale od 93,23% do 107,27%.
Z kolei, zgodnie z (34), wyznaczamy doln i górn granic absolutnego bł du prognozy:
• granica dolna absolutnego przedziału ufno ci:
7
,
141
9323
,
0
152
e
yˆ
)
p
(
f
2
/
ˆ
t
p
=
⋅
=
⋅
−
σ
α
,
• granica górna absolutnego przedziału ufno ci:
05
,
163
0727
,
1
152
e
)
p
(
f
2
/
ˆ
t
=
⋅
=
⋅
σ
α
.
W rezultacie otrzymujemy:
95
,
0
]
05
,
163
y
7,
141
[
P
p
=
≤
≤
Na podstawie powy szego powiemy, e w zarysowanych warunkach, z prawdopodobie stwem 0,95,
prognozowana wielko konsumpcji tekstyliów mie ci si b dzie w przedziale od 141,7 do 163,0.
Wynik ten odpowiada wynikowi przedstawionemu przez Theila (por. [19] s. 153).
3. Wzgl dny bł d predykcji w przypadku modelu multiplikatywnego
Najcz ciej prognozy ekonometryczne nie maj charakteru prognoz przedziałowych.
Zwyczajowo okre la si warunkowe prognozy punktowe oraz, z uwagi na stochastyczny ich charakter,
szacuje si bł d standardowy prognozy. Technika szacowania bł dów prognoz i oraz ich interpretacja,
w przypadku modeli liniowych, jest w ekonometrii wypracowana i cz sto stosowana. Nie budzi
ponadto kontrowersji. Nie jest tak w przypadku modeli multiplikatywnych. Powstaje pytanie: jak
nale y interpretowa bł d standardowy predykcji w przypadku zlinearyzowanego modelu
multiplikatywnego? Z przeprowadzonych rozwa a wynika,
e w przypadku modelu
multiplikatywnego:
• funkcja prognozuj ca g(x
p
)
w modelu (4) wyznacza zbiór punktów b d cych warunkowymi
rednimi geometrycznymi zmiennej prognozowanej,
• wariancja prognozy, zdefiniowana w (20), wyznacza redni kwadrat logarytmu stosunku zmiennej
prognozowanej y
p
do prognozy wyznaczonej przez predyktor
p
yˆ
, zdefiniowany w (13),
Aby wyznaczy redni geometryczny udział zmiennej prognozowanej y
p
w prognozie wyznaczonej
przez predyktor
p
yˆ
, wykorzystujemy nieobci on statystyk wariancji predykcji (
2
)
p
(
f
ˆ
σ
)
zdefiniowan w (20). Na jej podstawie:
7
1.
w pierwszym kroku obliczamy pierwiastek kwadratowy, tzn.
2
)
p
(
f
)
p
(
f
ˆ
ˆ
σ
σ
=
, zgodnie z (28),
2.
w drugim kroku dokonujemy antylogarytmowania bł du wyznaczonego w kroku pierwszym.
Z uwagi na fakt, i zmienna prognozowana oraz predyktor maj rozkład logarytmiczno-normalny i
rozproszenie wokół prognozy ustalonej na poziomie redniej geometrycznej jest asymetryczne
winni my wyznaczy dolny i górny udział zmiennej prognozowanej w prognozie. Ostatecznie
sformułowa mo emy nast puj ce relacje udziałów zmiennej prognozowanej (y
p
) w prognozie
p
yˆ
:
1
e
w
,
1
e
w
)
p
(
f
)
p
(
f
ˆ
g
p
ˆ
d
p
>
=
<
=
−
σ
σ
(38)
Zauwa my, e:
1
w
w
g
p
d
p
=
⋅
(39)
1
w
1
w
g
p
d
p
−
<
−
(40)
Powy sze wła ciwo ci potwierdzaj asymetryczny charakter omawianych tutaj miar rozproszenia.
Wykorzystuj c powy sze miary powiemy, e
je li w okresie prognozowanym p zmienne
prognozuj ce przyjm warto ci zało one w wektorze x
p
, to oczekujemy, ze zmienna
prognozowana przyjmie warto
)
x
(
yˆ
yˆ
p
p
p
=
, przy czym redni geometryczny udział zmiennej
prognozowanej (y
p
) w prognozie (
p
yˆ
) zawiera si w przedziale [
g
p
d
p
w
;
w
]
Odwołuj c si do omawianego tutaj przykładu otrzymujemy nast puj ce oszacowania:
0332
,
1
e
e
w
,
9678
,
0
e
e
w
0327
,
0
ˆ
g
p
0327
,
0
ˆ
d
p
)
p
(
f
)
p
(
f
=
=
=
=
=
=
−
−
σ
σ
Powiemy, e
przy zało onych wielko ciach zmiennych prognozuj cych, prognoza spo ycia
tekstyliów wyniesie 152 jednostki, przy czym redni geometryczny udział zmiennej
prognozowanej w prognozie zawiera si b dzie w przedziale od 96,78% do 103,32%.
Ten sposób wnioskowania o bł dach prognozy mo e wyda si nieco uci liwy. Z tych te
wzgl dów warto zastanowi si nad, co prawda przybli onym, ale w miar prostym w obliczeniach i
interpretacji miernikiem bł du prognozy. Przy jego wyprowadzaniu wykorzystujemy nast puj c
prawidłowo matematyczn :
0
0
0
0
y
y
y
y
y
y
ln
y
ln
y
dy
y
ln
d
∆
=
−
≅
−
=
(41)
Wykorzystuj c powy sz wła ciwo mo emy dokona nast puj cych przekształce zdefiniowanej w
(20) wariancji prognozy:
2
p
2
p
2
p
p
p
2
p
p
2
)
p
(
f
2
p
yˆ
y
E
yˆ
yˆ
y
E
)
yˆ
ln
y
(ln
E
:
Ef
∆
σ
=
−
≅
−
=
(42)
Oznacza to, e pierwiastek z powy szej wariancji, tzn.:
2
p
2
p
)
p
(
f
yˆ
y
E
∆
σ
≅
(43)
jest przybli on miar udziału przeci tnego udziału bł du prognozy w prognozie. Ocen tej miary
otrzymujemy na podstawie oceny standardowego bł du prognozy dla postaci zlinearyzowane, która
jest zdefiniowana w (28). Wracaj c do rozpatrywanego przykładu, otrzymali my nast puj ce
rezultaty:
0327
,
0
0010716
,
0
ˆ
0010716
,
0
x
)
bˆ
(
ˆ
x
ˆ
ˆ
)
p
(
f
T
p
p
2
v
ln
2
)
p
(
f
=
=
=
+
=
σ
Σ
σ
σ
Na podstawie powy szego powiemy,
e przy zało onych wielko ciach zmiennych prognozuj cych,
prognoza spo ycia tekstyliów wyniesie 152 jednostki, przy czym redni udział bł du prognozy w
prognozie wynosi w przybli eniu 3,27%. Nale y podkre li , e przedstawiony sposób okre lania
przybli onej oceny wzgl dnego bł du prognozy wymaga linearyzacji modelu multiplikatywnego przy
u yciu logarytmów naturalnych.
8
Zauwa my, e podobny wynik do miary (43) otrzymamy, wykorzystuj c wyra enie (40).
U redniaj c warto ci odchyle górnych i dolnych wzgl dnych bł dów prognozy otrzymujemy:
2
1
w
1
w
yˆ
y
E
g
p
d
p
2
p
2
p
)
p
(
f
−
+
−
≅
≅
∆
σ
(44)
Nawi zuj c do rozpatrywanego przykładu i wykorzystuj c (44) otrzymujemy:
0327
,
0
2
0332
,
0
0322
,
0
2
1
0332
,
1
1
9678
,
0
2
1
w
1
w
ˆ
g
p
d
p
)
p
(
f
=
+
=
−
+
−
=
−
+
−
≅
σ
Powy szy wynik odpowiada wynikowi otrzymanemu na podstawie (43).
Prezentowany tutaj przybli ony sposób wyznaczania rednich wzgl dnych bł dów predykcji
odpowiada sposobowi wyznaczania tych bł dów przez Z.Pawłowskiego ([18] s. 1320 oraz A.Zeliasia
([22] s.147). Autorzy ci przy okre laniu tego bł du wykorzystali nast puj ce twierdzenie: „je eli
X
jest zmienn losow o wariancji D
2
(X)
, a Z jest zmienn losow okre lon transformacj Z= (X), przy
czym (X) jest funkcj ró niczkowaln , to zachodzi przybli ona równo : D
2
(Z)=(dz/dx)D
2
(X), z tym
e pochodna jest liczona w punkcie x=E(X) (por.: [17] s.124-125).” Z przytoczonego twierdzenia
wynika, e:
).
)
yˆ
y
(
E
ˆ
(
yˆ
ˆ
ˆ
2
p
p
)
p
(
y
p
)
p
(
y
)
p
(
f
−
=
≅
σ
σ
σ
(45)
Z uwagi na fakt, e wspomniani autorzy posługiwali si logarytmami dziesi tnymi, powy szy wzór na
ocen wzgl dnego bł du predykcji uległ modyfikacji, w wyniku której przedstawia si on nast puj co:
.
yˆ
ˆ
)
e
(log
ˆ
p
)
p
(
y
1
10
)
p
(
f
σ
σ
≅
−
(46)
LITERATURA
[1] Aitchison J., Brown A., The Lognormal Distribution, Cambridge University Press, Cambidge
1957.
[2] Bołt T.W., Ossowski J., Prognozowanie na podstawie modeli logarytmiczno-liniowych, Przegl d
Statystyczny 1992, z. 3-4 s.327-340.
[3] Bradu D., Mundlak Y., Estimation in Lognormal Linear Models, Journal of the American
Staistical Association, 1970 nr 65, s.198-211.
[4] Bronsztejn J.N., Siemiendiajew K.A., Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa
1976
[5] Goldberger A.S., Teoria ekonometrii, PWE, Warszawa 1972.
[6] Golberger A.S., The Interpretation and Estimation of Cobb-Douglas Functions, Econometrica,
1968 nr 35, s. 464-472.
[7] Heien D.M.: Not on Log-linear Regression, Journal on the American Statistical Associacion, 1968
nr 63, s.1034-1038
[8] Kendall M. Bucland W.R., Słownik terminów statystycznych, PWE, Warszawa 1975.
[9] Klein L.R., Wst p do ekonometrii, PWE, Warszawa 1965.
[10] Kmenta J.: Elements of Econometrics, Second Edition, Macmillan Publishing Company, New
York 1990.
[11] Murti V.N., Sastry V.K., Production Functions for Indian Industry, Economerica, 1957 nr 25, s.
205-221.
[12] Ossowski J., Własno ci interpretacyjne składnika losowego w modelu multiplikatywnym,
Przegl d Statystyczny 1988, z.2, s.131-142.
[13] Ossowski J., Modele klasy logarytmiczno-liniowej w analizie efektywno ci procesu produkcji,
Wydawnictwo Uniwersytetu Gda skiego, Gda sk 1989, Zeszyty Naukowe, Rozprawy i Monografie
130.
[14] Ossowski J., Rozkład logarytmiczno normalny a wzgl dne i absolutne miary rozproszenia, w
Dynamiczne modele ekonometryczne, Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, Toru 2003,
s. 105-122
9
[15] Ossowski J., Analiza czynnikowa kursu dolara na polskim rynku walutowym – uj cie kwartalne,
w Prace Naukowe Katedry Ekonomii i Zarz dzania Przedsi biorstwem, Tom II, Wydawca KEiZP
Politechnika Gda ska, Gda sk 2003, s. 25-42
[16] Ossowski J., Model multiplikatywny a rednia geometryczna- wybrane problemy, W:
Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Szczeci skiego Nr 394, Prace Katedry Ekonometrii i
Statystyki Nr 15, Metody ilo ciowe w ekonomii cz. I, red. nauk. J.Hozer, Uniwersytet
Szcze i ski, Szczecin 2005, s. 195-221
[17] Pawłowski Z., Wst p do statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1969.
[18] Pawłowski Z., Teoria prognozy ekonometrycznej w gospodarce socjalistycznej, PWN, Warszawa
1974
[19] Welfe A., Ekonometria. Metody i ich zastosowanie, PWE, Warszawa 1995
[20] Teekens R., Koerts J.., Some Statistical Implications of the Log Transformations of
Multiplicative Models,
Econometrica, 1972 nr 5 , s. 793-819.
[21] Theil H., Zasady ekonometrii, PWN, Warszawa 1979
[22] Zelia A., Teoria prognozy, PWE, Warszawa 1984