1
Niech
będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru
.
@ Ograniczeniem górnym zbioru
nazywamy dowolny element zbioru
nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru
.
@ Ograniczeniem dolnym zbioru
nazywamy dowolny element zbioru
nie większy od dowolnego elementu zbioru
.
@ Najmniejsze ograniczenie górne zbioru
nazywamy kresem
górnym zbioru
(lub: supremum zbioru
) i oznaczamy symbolem
.
@ Największe ograniczenie dolne zbioru
nazywamy kresem
dolnym zbioru
(lub: infimum zbioru
) i oznaczamy symbolem
.
@ CiÄ…g o wyrazach
gdzie
nazywamy
ciÄ…giem arytmetycznym o poczÄ…tkowym wyrazie
i różnicy
@ Niech
i
CiÄ…g o wyrazach
, gdzie
nazywamy ciÄ…giem geometrycznym o poczÄ…tkowym
wyrazie
i ilorazie
.
@ Iloczynem kartezjańskim
zbiorów
i
nazywamy zbiór
par uporzÄ…dkowanych
takich, że
i
, tj.
@ W iloczynie kartezjańskim
definiujemy sumÄ™ oraz iloczyn
par
oraz
następująco
Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w
powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy
literÄ…
@ Jeśli
, to liczbÄ™
nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy
, a każdy z kątów
takich, że zachodzą równości
, nazywamy
argumentem liczby
i oznaczamy
. Najmniejszy nieujemny argument
liczby zespolonej
nazywamy argumentem głównym tej liczby i
oznaczamy
. Wyrażenie
będziemy
krótko notować w postaci wykładniczej
lub
pomijajÄ…c na razie
zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę
zespolonÄ… o module i argumencie
będziemy zapisywać w postaci
trygonometrycznej
lub wykładniczej
@ Sprzężeniem liczby zespolonej
nazywamy liczbÄ™
.
@ FunkcjÄ™
nazywamy iniekcjÄ… zbioru
w zbiór
, jeśli jest
różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów
z
równości
wynika, że
@ FunkcjÄ™
nazywamy suriekcjÄ… zbioru
na zbiór
, jeśli
każdy element zbioru
jest wartością funkcji
to znaczy, że dla
dowolnego elementu
istnieje element
taki, że
@ FunkcjÄ™
nazywamy bijekcjÄ… zbioru
na zbiór
, jeśli jest
iniekcjÄ… i suriekcjÄ….
@ Mówimy, że zbiory
są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru
na zbiór
. Mówimy też wtedy, że zbiory
,
sÄ… tej samej mocy, co
zapisujemy krótko
lub
. Jeśli zbiór zawiera
skończoną liczbę elementów równą
(innymi słowy: jeśli jest równoliczny
ze zbiorem
), to mówimy, że jest zbiorem mocy
, co zapisujemy
lub
.
@ Niech
będzie funkcją. Mówimy, że funkcja
jest
funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu
zachodzi równość
i dla dowolnego elementu
zachodzi
równość
. FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji
będziemy oznaczać często symbolem
,
@ Mówimy, że funkcja
jest rosnąca (odpowiednio: ściśle
rosnÄ…ca) w przedziale
, jeśli
(odpowiednio:
).
@ Mówimy, że funkcja
jest malejąca (odpowiednio: ściśle
malejÄ…ca) w przedziale
, jeśli
(odpowiednio:
).
@Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym
przedziale jest rosnÄ…ca albo malejÄ…ca.
@ Niech
będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią,
różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji
nazywamy funkcjÄ…
logarytmicznÄ… o podstawie
i oznaczamy
. Na ogół pomija się
indeks
w oznaczeniu logarytmu liczby
i pisze się krótko
.
@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej
.
@ [granica ciÄ…gu]
Niech
będzie ciągiem oraz niech
Mówimy, że jest granicą ciągu
jeśli
i piszemy
Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli
@[ciÄ…g ograniczony]
CiÄ…g
nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości
jest ograniczony w
to znaczy zawarty w pewnej kuli.
Innymi słowy ciąg
jest ograniczony, gdy
@ [podciÄ…g]
Niech
będzie ciągiem. Niech
będzie funkcją
silnie rosnÄ…cÄ….
CiÄ…g
nazywamy podciÄ…giem ciÄ…gu
i
oznaczamy
gdzie
dla
@[warunek Cauchy'ego]
Niech
będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg
spełnia
warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
Warunek Cauchy'ego dla ciÄ…gu
oznacza, że dla dowolnie wybranej
liczby
począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są
oddalone od siebie o mniej niż
@[ciÄ…g liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w
(to znaczy
w zbiorze liczbowym
traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką
euklidesową). Piszemy krótko
Ponieważ w zbiorze liczbowym
mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy
ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu
@ (1) Mówimy, że ciąg
jest malejący, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg
jest silnie malejący, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg
jest rosnący, jeśli
(4) Mówimy, że ciąg
jest silnie rosnący, jeśli
(5) Mówimy, że ciąg
jest monotoniczny, jeśli jest on malejący
lub rosnÄ…cy.
(6) Mówimy, że ciąg
jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie
malejÄ…cy lub silnie rosnÄ…cy.
@ (1) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony z dołu, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony z góry, jeśli
1
Niech
będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru
.
@ Ograniczeniem górnym zbioru
nazywamy dowolny element zbioru
nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru
.
@ Ograniczeniem dolnym zbioru
nazywamy dowolny element zbioru
nie większy od dowolnego elementu zbioru
.
@ Najmniejsze ograniczenie górne zbioru
nazywamy kresem
górnym zbioru
(lub: supremum zbioru
) i oznaczamy symbolem
.
@ Największe ograniczenie dolne zbioru
nazywamy kresem
dolnym zbioru
(lub: infimum zbioru
) i oznaczamy symbolem
.
@ CiÄ…g o wyrazach
gdzie
nazywamy
ciÄ…giem arytmetycznym o poczÄ…tkowym wyrazie
i różnicy
@ Niech
i
CiÄ…g o wyrazach
, gdzie
nazywamy ciÄ…giem geometrycznym o poczÄ…tkowym
wyrazie
i ilorazie
.
@ Iloczynem kartezjańskim
zbiorów
i
nazywamy zbiór
par uporzÄ…dkowanych
takich, że
i
, tj.
@ W iloczynie kartezjańskim
definiujemy sumÄ™ oraz iloczyn
par
oraz
następująco
Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w
powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy
literÄ…
@ Jeśli
, to liczbÄ™
nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy
, a każdy z kątów
takich, że zachodzą równości
, nazywamy
argumentem liczby
i oznaczamy
. Najmniejszy nieujemny argument
liczby zespolonej
nazywamy argumentem głównym tej liczby i
oznaczamy
. Wyrażenie
będziemy
krótko notować w postaci wykładniczej
lub
pomijajÄ…c na razie
zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę
zespolonÄ… o module i argumencie
będziemy zapisywać w postaci
trygonometrycznej
lub wykładniczej
@ Sprzężeniem liczby zespolonej
nazywamy liczbÄ™
.
@ FunkcjÄ™
nazywamy iniekcjÄ… zbioru
w zbiór
, jeśli jest
różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów
z
równości
wynika, że
@ FunkcjÄ™
nazywamy suriekcjÄ… zbioru
na zbiór
, jeśli
każdy element zbioru
jest wartością funkcji
to znaczy, że dla
dowolnego elementu
istnieje element
taki, że
@ FunkcjÄ™
nazywamy bijekcjÄ… zbioru
na zbiór
, jeśli jest
iniekcjÄ… i suriekcjÄ….
@ Mówimy, że zbiory
są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru
na zbiór
. Mówimy też wtedy, że zbiory
,
sÄ… tej samej mocy, co
zapisujemy krótko
lub
. Jeśli zbiór zawiera
skończoną liczbę elementów równą
(innymi słowy: jeśli jest równoliczny
ze zbiorem
), to mówimy, że jest zbiorem mocy
, co zapisujemy
lub
.
@ Niech
będzie funkcją. Mówimy, że funkcja
jest
funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu
zachodzi równość
i dla dowolnego elementu
zachodzi
równość
. FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji
będziemy oznaczać często symbolem
,
@ Mówimy, że funkcja
jest rosnąca (odpowiednio: ściśle
rosnÄ…ca) w przedziale
, jeśli
(odpowiednio:
).
@ Mówimy, że funkcja
jest malejąca (odpowiednio: ściśle
malejÄ…ca) w przedziale
, jeśli
(odpowiednio:
).
@Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym
przedziale jest rosnÄ…ca albo malejÄ…ca.
@ Niech
będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią,
różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji
nazywamy funkcjÄ…
logarytmicznÄ… o podstawie
i oznaczamy
. Na ogół pomija się
indeks
w oznaczeniu logarytmu liczby
i pisze się krótko
.
@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej
.
@ [granica ciÄ…gu]
Niech
będzie ciągiem oraz niech
Mówimy, że jest granicą ciągu
jeśli
i piszemy
Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli
@[ciÄ…g ograniczony]
CiÄ…g
nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości
jest ograniczony w
to znaczy zawarty w pewnej kuli.
Innymi słowy ciąg
jest ograniczony, gdy
@ [podciÄ…g]
Niech
będzie ciągiem. Niech
będzie funkcją
silnie rosnÄ…cÄ….
CiÄ…g
nazywamy podciÄ…giem ciÄ…gu
i
oznaczamy
gdzie
dla
@[warunek Cauchy'ego]
Niech
będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg
spełnia
warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
Warunek Cauchy'ego dla ciÄ…gu
oznacza, że dla dowolnie wybranej
liczby
począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są
oddalone od siebie o mniej niż
@[ciÄ…g liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w
(to znaczy
w zbiorze liczbowym
traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką
euklidesową). Piszemy krótko
Ponieważ w zbiorze liczbowym
mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy
ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu
@ (1) Mówimy, że ciąg
jest malejący, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg
jest silnie malejący, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg
jest rosnący, jeśli
(4) Mówimy, że ciąg
jest silnie rosnący, jeśli
(5) Mówimy, że ciąg
jest monotoniczny, jeśli jest on malejący
lub rosnÄ…cy.
(6) Mówimy, że ciąg
jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie
malejÄ…cy lub silnie rosnÄ…cy.
@ (1) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony z dołu, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony z góry, jeśli
1
Niech
będzie dowolnym niepustym podzbiorem zbioru
.
@ Ograniczeniem górnym zbioru
nazywamy dowolny element zbioru
nie mniejszy od dowolnego elementu zbioru
.
@ Ograniczeniem dolnym zbioru
nazywamy dowolny element zbioru
nie większy od dowolnego elementu zbioru
.
@ Najmniejsze ograniczenie górne zbioru
nazywamy kresem
górnym zbioru
(lub: supremum zbioru
) i oznaczamy symbolem
.
@ Największe ograniczenie dolne zbioru
nazywamy kresem
dolnym zbioru
(lub: infimum zbioru
) i oznaczamy symbolem
.
@ CiÄ…g o wyrazach
gdzie
nazywamy
ciÄ…giem arytmetycznym o poczÄ…tkowym wyrazie
i różnicy
@ Niech
i
CiÄ…g o wyrazach
, gdzie
nazywamy ciÄ…giem geometrycznym o poczÄ…tkowym
wyrazie
i ilorazie
.
@ Iloczynem kartezjańskim
zbiorów
i
nazywamy zbiór
par uporzÄ…dkowanych
takich, że
i
, tj.
@ W iloczynie kartezjańskim
definiujemy sumÄ™ oraz iloczyn
par
oraz
następująco
Zbiór par liczb rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem określonym w
powyższej definicji, nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy
literÄ…
@ Jeśli
, to liczbÄ™
nazywamy modułem liczby zespolonej i oznaczamy
, a każdy z kątów
takich, że zachodzą równości
, nazywamy
argumentem liczby
i oznaczamy
. Najmniejszy nieujemny argument
liczby zespolonej
nazywamy argumentem głównym tej liczby i
oznaczamy
. Wyrażenie
będziemy
krótko notować w postaci wykładniczej
lub
pomijajÄ…c na razie
zasadność użycia symbolu funkcji wykładniczej w tej notacji. Odtąd liczbę
zespolonÄ… o module i argumencie
będziemy zapisywać w postaci
trygonometrycznej
lub wykładniczej
@ Sprzężeniem liczby zespolonej
nazywamy liczbÄ™
.
@ FunkcjÄ™
nazywamy iniekcjÄ… zbioru
w zbiór
, jeśli jest
różnowartościowa, to znaczy, że dla dowolnych elementów
z
równości
wynika, że
@ FunkcjÄ™
nazywamy suriekcjÄ… zbioru
na zbiór
, jeśli
każdy element zbioru
jest wartością funkcji
to znaczy, że dla
dowolnego elementu
istnieje element
taki, że
@ FunkcjÄ™
nazywamy bijekcjÄ… zbioru
na zbiór
, jeśli jest
iniekcjÄ… i suriekcjÄ….
@ Mówimy, że zbiory
są równoliczne, jeśli istnieje bijekcja zbioru
na zbiór
. Mówimy też wtedy, że zbiory
,
sÄ… tej samej mocy, co
zapisujemy krótko
lub
. Jeśli zbiór zawiera
skończoną liczbę elementów równą
(innymi słowy: jeśli jest równoliczny
ze zbiorem
), to mówimy, że jest zbiorem mocy
, co zapisujemy
lub
.
@ Niech
będzie funkcją. Mówimy, że funkcja
jest
funkcją odwrotną do funkcji , jeśli dla dowolnego elementu
zachodzi równość
i dla dowolnego elementu
zachodzi
równość
. FunkcjÄ™ odwrotnÄ… do funkcji
będziemy oznaczać często symbolem
,
@ Mówimy, że funkcja
jest rosnąca (odpowiednio: ściśle
rosnÄ…ca) w przedziale
, jeśli
(odpowiednio:
).
@ Mówimy, że funkcja
jest malejąca (odpowiednio: ściśle
malejÄ…ca) w przedziale
, jeśli
(odpowiednio:
).
@Mówimy, że funkcja jest monotoniczna w przedziale, jeśli w tym
przedziale jest rosnÄ…ca albo malejÄ…ca.
@ Niech
będzie dowolną liczbą rzeczywistą dodatnią,
różną od jedności. Funkcję odwrotną do funkcji
nazywamy funkcjÄ…
logarytmicznÄ… o podstawie
i oznaczamy
. Na ogół pomija się
indeks
w oznaczeniu logarytmu liczby
i pisze się krótko
.
@ Logarytmem naturalnym z liczby dodatniej
.
@ [granica ciÄ…gu]
Niech
będzie ciągiem oraz niech
Mówimy, że jest granicą ciągu
jeśli
i piszemy
Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśli ma granicę, czyli
@[ciÄ…g ograniczony]
CiÄ…g
nazywamy ograniczonym, jeśli zbiór jego wartości
jest ograniczony w
to znaczy zawarty w pewnej kuli.
Innymi słowy ciąg
jest ograniczony, gdy
@ [podciÄ…g]
Niech
będzie ciągiem. Niech
będzie funkcją
silnie rosnÄ…cÄ….
CiÄ…g
nazywamy podciÄ…giem ciÄ…gu
i
oznaczamy
gdzie
dla
@[warunek Cauchy'ego]
Niech
będzie ciągiem. Mówimy, że ciąg
spełnia
warunek Cauchy'ego lub jest ciągiem Cauchy'ego, jeśli
Warunek Cauchy'ego dla ciÄ…gu
oznacza, że dla dowolnie wybranej
liczby
począwszy od pewnego miejsca, każde dwa wyrazy ciągu są
oddalone od siebie o mniej niż
@[ciÄ…g liczbowy]
Przez ciągi liczbowe będziemy rozumieli ciągi o wartościach w
(to znaczy
w zbiorze liczbowym
traktowanym jako przestrzeń metryczna z metryką
euklidesową). Piszemy krótko
Ponieważ w zbiorze liczbowym
mamy liniowy porządek, więc można porównywać ze sobą elementy
ciągu. Pozwala to na wprowadzenie pojęcia monotoniczności ciągu
@ (1) Mówimy, że ciąg
jest malejący, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg
jest silnie malejący, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg
jest rosnący, jeśli
(4) Mówimy, że ciąg
jest silnie rosnący, jeśli
(5) Mówimy, że ciąg
jest monotoniczny, jeśli jest on malejący
lub rosnÄ…cy.
(6) Mówimy, że ciąg
jest silnie monotoniczny, jeśli jest on silnie
malejÄ…cy lub silnie rosnÄ…cy.
@ (1) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony, jeśli
(2) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony z dołu, jeśli
(3) Mówimy, że ciąg
jest ograniczony z góry, jeśli
2
@ (1) Mówimy, że liczba
jest granicÄ… ciÄ…gu
jeśli
i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśli
@. [O trzech ciÄ…gach]
Jeśli
są ciągami takimi, że
to
@ Jeśli
jest ciÄ…giem, to
(1) jeśli
jest rosnÄ…cy, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz
(2) jeśli
jest malejÄ…cy, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz
@ [O ciÄ…gu monotonicznym i ograniczonym]
(1) Jeśli
jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on
zbieżny.
(2) Jeśli
jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest
on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony.
@ [Liczba , symbol
]
(1) CiÄ…g
o wyrazach
jest zbieżny.
Jego granicÄ™ oznaczamy przez
przy czym
(2) Jeśli
jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że
to
@ Niech
będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że
jest punktem skupienia ciÄ…gu
jeśli istnieje
podciÄ…g
taki, że
(2) GranicÄ… dolnÄ… ciÄ…gu
nazywamy
gdzie
jest zbiorem punktów skupienia ciągu
(3) Granicą górną ciągu
nazywamy
gdzie
jest zbiorem punktów skupienia ciągu
@ Jeśli
jest ciÄ…giem liczbowym, to
ma granicÄ™
wtedy i tylko wtedy, gdy
@[Warunek konieczny zbieżności szeregów]
Jeśli szereg
jest zbieżny, to
@(1) szeregi
są zbieżne oraz
(2) szereg
jest zbieżny oraz
@. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem, to szereg
jest zbieżny wtedy i tylko
wtedy, gdy
Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
Zauważmy, że
czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego
dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy
sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]
Jeśli
są szeregami takimi, że
dla
oraz
to
(1) jeśli szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny;
(2) jeśli szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest rozbieżny.
@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy
dla
), to
(1)
szereg
jest zbieżny
(2)
szereg
jest
rozbieżny
(1) Jeśli
to szereg
jest zbieżny.
(2) Jeśli
to szereg
jest rozbieżny.
(3) Jeśli
to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy
szereg jest zbieżny.
@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy
dla
), to
(1)
szereg
jest zbieżny
(2)
dla nieskończenie wielu
szereg
jest rozbieżny
(1) Jeśli
to szereg
jest zbieżny.
(2) Jeśli
to szereg
jest rozbieżny.
(3) Jeśli
to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy
szereg jest zbieżny.
@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]
Jeśli
i
sÄ… szeregami;
oraz
to szereg
jest zbieżny wtedy i tylko
wtedy, gdy szereg
jest zbieżny.
2
@ (1) Mówimy, że liczba
jest granicÄ… ciÄ…gu
jeśli
i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśli
@. [O trzech ciÄ…gach]
Jeśli
są ciągami takimi, że
to
@ Jeśli
jest ciÄ…giem, to
(1) jeśli
jest rosnÄ…cy, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz
(2) jeśli
jest malejÄ…cy, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz
@ [O ciÄ…gu monotonicznym i ograniczonym]
(1) Jeśli
jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on
zbieżny.
(2) Jeśli
jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest
on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony.
@ [Liczba , symbol
]
(1) CiÄ…g
o wyrazach
jest zbieżny.
Jego granicÄ™ oznaczamy przez
przy czym
(2) Jeśli
jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że
to
@ Niech
będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że
jest punktem skupienia ciÄ…gu
jeśli istnieje
podciÄ…g
taki, że
(2) GranicÄ… dolnÄ… ciÄ…gu
nazywamy
gdzie
jest zbiorem punktów skupienia ciągu
(3) Granicą górną ciągu
nazywamy
gdzie
jest zbiorem punktów skupienia ciągu
@ Jeśli
jest ciÄ…giem liczbowym, to
ma granicÄ™
wtedy i tylko wtedy, gdy
@[Warunek konieczny zbieżności szeregów]
Jeśli szereg
jest zbieżny, to
@(1) szeregi
są zbieżne oraz
(2) szereg
jest zbieżny oraz
@. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem, to szereg
jest zbieżny wtedy i tylko
wtedy, gdy
Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
Zauważmy, że
czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego
dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy
sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]
Jeśli
są szeregami takimi, że
dla
oraz
to
(1) jeśli szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny;
(2) jeśli szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest rozbieżny.
@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy
dla
), to
(1)
szereg
jest zbieżny
(2)
szereg
jest
rozbieżny
(1) Jeśli
to szereg
jest zbieżny.
(2) Jeśli
to szereg
jest rozbieżny.
(3) Jeśli
to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy
szereg jest zbieżny.
@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy
dla
), to
(1)
szereg
jest zbieżny
(2)
dla nieskończenie wielu
szereg
jest rozbieżny
(1) Jeśli
to szereg
jest zbieżny.
(2) Jeśli
to szereg
jest rozbieżny.
(3) Jeśli
to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy
szereg jest zbieżny.
@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]
Jeśli
i
sÄ… szeregami;
oraz
to szereg
jest zbieżny wtedy i tylko
wtedy, gdy szereg
jest zbieżny.
2
@ (1) Mówimy, że liczba
jest granicÄ… ciÄ…gu
jeśli
i piszemy
(2) Mówimy, że ciąg
jest zbieżny, jeśli
@. [O trzech ciÄ…gach]
Jeśli
są ciągami takimi, że
to
@ Jeśli
jest ciÄ…giem, to
(1) jeśli
jest rosnÄ…cy, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz
(2) jeśli
jest malejÄ…cy, to
ma granicę (właściwą lub niewłaściwą)
oraz
@ [O ciÄ…gu monotonicznym i ograniczonym]
(1) Jeśli
jest ciągiem rosnącym i ograniczonym z góry, to jest on
zbieżny.
(2) Jeśli
jest ciągiem malejącym i ograniczonym z dołu, to jest
on zbieżny.
(3) Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest
ograniczony.
@ [Liczba , symbol
]
(1) CiÄ…g
o wyrazach
jest zbieżny.
Jego granicÄ™ oznaczamy przez
przy czym
(2) Jeśli
jest ciągiem o wyrazach dodatnich takim, że
to
@ Niech
będzie ciągiem.
(1) Mówimy, że
jest punktem skupienia ciÄ…gu
jeśli istnieje
podciÄ…g
taki, że
(2) GranicÄ… dolnÄ… ciÄ…gu
nazywamy
gdzie
jest zbiorem punktów skupienia ciągu
(3) Granicą górną ciągu
nazywamy
gdzie
jest zbiorem punktów skupienia ciągu
@ Jeśli
jest ciÄ…giem liczbowym, to
ma granicÄ™
wtedy i tylko wtedy, gdy
@[Warunek konieczny zbieżności szeregów]
Jeśli szereg
jest zbieżny, to
@(1) szeregi
są zbieżne oraz
(2) szereg
jest zbieżny oraz
@. [Warunek Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem, to szereg
jest zbieżny wtedy i tylko
wtedy, gdy
Powyższy warunek nazywamy warunkiem Cauchy'ego dla szeregów.
Zauważmy, że
czyli warunek w powyższej definicji jest dokładnie warunkiem Cauchy'ego
dla ciągów. Kolejne twierdzenie będziemy często wykorzystywać przy
sprawdzaniu czy dany szereg jest zbieżny.
@[Kryterium porównawcze zbieżności szeregów]
Jeśli
są szeregami takimi, że
dla
oraz
to
(1) jeśli szereg
jest zbieżny, to szereg
jest zbieżny;
(2) jeśli szereg
jest rozbieżny, to szereg
jest rozbieżny.
@. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach dodatnich (to znaczy
dla
), to
(1)
szereg
jest zbieżny
(2)
szereg
jest
rozbieżny
(1) Jeśli
to szereg
jest zbieżny.
(2) Jeśli
to szereg
jest rozbieżny.
(3) Jeśli
to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy
szereg jest zbieżny.
@ Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]
Jeśli
jest szeregiem o wyrazach nieujemnych (to znaczy
dla
), to
(1)
szereg
jest zbieżny
(2)
dla nieskończenie wielu
szereg
jest rozbieżny
(1) Jeśli
to szereg
jest zbieżny.
(2) Jeśli
to szereg
jest rozbieżny.
(3) Jeśli
to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy
szereg jest zbieżny.
@. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]
Jeśli
i
sÄ… szeregami;
oraz
to szereg
jest zbieżny wtedy i tylko
wtedy, gdy szereg
jest zbieżny.
3
@[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech
będzie podzbiorem
Niech
będzie funkcją oraz
niech
będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)
w punkcie
jeśli
@ [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech
będzie podzbiorem
Niech
będzie funkcją oraz
niech
będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)
w punkcie
jeśli
Piszemy wówczas
@[Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech
niech
będzie funkcją oraz niech
(
nie musi być punktem skupienia zbioru
). Mówimy, że funkcja jest
ciągła w punkcie
jeśli
Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej
dziedziny.
@. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech
oraz
punktem skupienia zbioru
Mówimy, że
ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w
punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w
punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego)
w punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego)
punkcie
jeśli
@ Funkcja
jest ciągła w punkcie
wtedy i tylko
wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
@[Granice specjalne]
(1)
(2)
dla
(3)
oraz
(4)
(5)
dla
(w szczególności
)
(6)
dla
(w szczególności
).
(7)
dla
(8)
dla
@(1) Każdy wielomian
jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa
(
) jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza
(
) jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne
są ciągłe.
@. [Weierstrassa]
Jeśli
jest zbiorem zwartym oraz
jest funkcją ciągłą, to
funkcja osiÄ…ga swoje kresy, to znaczy
@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie
, jeśli
istnieje granica ilorazu różnicowego
Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie
i
oznaczamy symbolem:
lub
. FunkcjÄ™
, która
argumentowi
przyporządkowuje wartość pochodnej
funkcji w
punkcie
nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną
funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej
jest zawsze
podzbiorem dziedziny funkcji
.
@ Niech
będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym
.
Niech
. Jeśli istnieją pochodne
oraz
, to
@ Jeśli istnieje pochodna
i istnieje pochodna
, gdzie
, to istnieje pochodna złożenia
i jest równa
iloczynowi pochodnych, tzn.
@[twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej
istnieje liczba
(zależna od
wyboru liczby
) taka, że zachodzi równość
Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych
czynnik
, stÄ…d
W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet
przybliżeniem
lub (pamiętając, że
) oszacowaniem
, dla
które wykorzystaliśmy do wyznaczenia
promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję
.
@ Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne
Niech
będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i
niech
. Oznaczmy przez
odległość
punktów
.
@ Mówimy, że funkcja
osiÄ…ga maksimum lokalne
(odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie
, jeśli istnieje pewne
otoczenie punktu
, w którym wartości funkcji
są nie większe
(odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji
w punkcie
, to
znaczy
odpowiednio:
@ Jeśli funkcja
osiÄ…ga ekstremum w punkcie
i
jest różniczkowalna w punkcie
, to pochodna
.
3
@[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech
będzie podzbiorem
Niech
będzie funkcją oraz
niech
będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)
w punkcie
jeśli
@ [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech
będzie podzbiorem
Niech
będzie funkcją oraz
niech
będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)
w punkcie
jeśli
Piszemy wówczas
@[Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech
niech
będzie funkcją oraz niech
(
nie musi być punktem skupienia zbioru
). Mówimy, że funkcja jest
ciągła w punkcie
jeśli
Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej
dziedziny.
@. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech
oraz
punktem skupienia zbioru
Mówimy, że
ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w
punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w
punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego)
w punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego)
punkcie
jeśli
@ Funkcja
jest ciągła w punkcie
wtedy i tylko
wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
@[Granice specjalne]
(1)
(2)
dla
(3)
oraz
(4)
(5)
dla
(w szczególności
)
(6)
dla
(w szczególności
).
(7)
dla
(8)
dla
@(1) Każdy wielomian
jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa
(
) jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza
(
) jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne
są ciągłe.
@. [Weierstrassa]
Jeśli
jest zbiorem zwartym oraz
jest funkcją ciągłą, to
funkcja osiÄ…ga swoje kresy, to znaczy
@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie
, jeśli
istnieje granica ilorazu różnicowego
Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie
i
oznaczamy symbolem:
lub
. FunkcjÄ™
, która
argumentowi
przyporządkowuje wartość pochodnej
funkcji w
punkcie
nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną
funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej
jest zawsze
podzbiorem dziedziny funkcji
.
@ Niech
będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym
.
Niech
. Jeśli istnieją pochodne
oraz
, to
@ Jeśli istnieje pochodna
i istnieje pochodna
, gdzie
, to istnieje pochodna złożenia
i jest równa
iloczynowi pochodnych, tzn.
@[twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej
istnieje liczba
(zależna od
wyboru liczby
) taka, że zachodzi równość
Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych
czynnik
, stÄ…d
W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet
przybliżeniem
lub (pamiętając, że
) oszacowaniem
, dla
które wykorzystaliśmy do wyznaczenia
promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję
.
@ Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne
Niech
będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i
niech
. Oznaczmy przez
odległość
punktów
.
@ Mówimy, że funkcja
osiÄ…ga maksimum lokalne
(odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie
, jeśli istnieje pewne
otoczenie punktu
, w którym wartości funkcji
są nie większe
(odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji
w punkcie
, to
znaczy
odpowiednio:
@ Jeśli funkcja
osiÄ…ga ekstremum w punkcie
i
jest różniczkowalna w punkcie
, to pochodna
.
3
@[Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie]
Niech
będzie podzbiorem
Niech
będzie funkcją oraz
niech
będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)
w punkcie
jeśli
@ [Heinego granicy funkcji w punkcie]
Niech
będzie podzbiorem
Niech
będzie funkcją oraz
niech
będzie punktem skupienia zbioru
Mówimy, że funkcja ma granicę (właściwą)
w punkcie
jeśli
Piszemy wówczas
@[Ciągłość funkcji w punkcie]
Niech
niech
będzie funkcją oraz niech
(
nie musi być punktem skupienia zbioru
). Mówimy, że funkcja jest
ciągła w punkcie
jeśli
Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swojej
dziedziny.
@. [Granica niewłaściwa funkcji]
Niech
oraz
punktem skupienia zbioru
Mówimy, że
ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w
punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Cauchy'ego)
w
punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą w (sensie Heinego)
w punkcie
jeśli
Mówimy, że ma granicę niewłaściwą (w sensie Heinego)
punkcie
jeśli
@ Funkcja
jest ciągła w punkcie
wtedy i tylko
wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie ciągła i prawostronnie ciągła.
@[Granice specjalne]
(1)
(2)
dla
(3)
oraz
(4)
(5)
dla
(w szczególności
)
(6)
dla
(w szczególności
).
(7)
dla
(8)
dla
@(1) Każdy wielomian
jest funkcją ciągłą.
(2) Funkcja potęgowa
(
) jest ciągła.
(3) Funkcja wykładnicza
(
) jest ciągła.
(4) Funkcje trygonometryczne
są ciągłe.
@. [Weierstrassa]
Jeśli
jest zbiorem zwartym oraz
jest funkcją ciągłą, to
funkcja osiÄ…ga swoje kresy, to znaczy
@ Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie
, jeśli
istnieje granica ilorazu różnicowego
Granicę tę - jeśli istnieje - nazywamy pochodną funkcji w punkcie
i
oznaczamy symbolem:
lub
. FunkcjÄ™
, która
argumentowi
przyporządkowuje wartość pochodnej
funkcji w
punkcie
nazywamy funkcją pochodną funkcji lub - krótko - pochodną
funkcji . Zwróćmy uwagę, że dziedzina pochodnej
jest zawsze
podzbiorem dziedziny funkcji
.
@ Niech
będą funkcjami określonymi na przedziale otwartym
.
Niech
. Jeśli istnieją pochodne
oraz
, to
@ Jeśli istnieje pochodna
i istnieje pochodna
, gdzie
, to istnieje pochodna złożenia
i jest równa
iloczynowi pochodnych, tzn.
@[twierdzenie Stirlinga]
Dla dowolnej liczby naturalnej
istnieje liczba
(zależna od
wyboru liczby
) taka, że zachodzi równość
Równość tę nazywamy wzorem Stirlinga. Zwróćmy uwagę, że dla dużych
czynnik
, stÄ…d
W wielu praktycznych obliczeniach wystarczy posługiwać się nawet
przybliżeniem
lub (pamiętając, że
) oszacowaniem
, dla
które wykorzystaliśmy do wyznaczenia
promienia zbieżności szeregu definiującego funkcję
.
@ Twierdzenie Rolle'a. Punkty krytyczne
Niech
będzie niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych i
niech
. Oznaczmy przez
odległość
punktów
.
@ Mówimy, że funkcja
osiÄ…ga maksimum lokalne
(odpowiednio: minimum lokalne) w punkcie
, jeśli istnieje pewne
otoczenie punktu
, w którym wartości funkcji
są nie większe
(odpowiednio: nie mniejsze) od wartości funkcji
w punkcie
, to
znaczy
odpowiednio:
@ Jeśli funkcja
osiÄ…ga ekstremum w punkcie
i
jest różniczkowalna w punkcie
, to pochodna
.
4
@[twierdzenie Rolle'a]
Niech
będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym
i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału
funkcja przyjmuje równe wartości
, to istnieje punkt
, w którym zeruje się pochodna funkcji
.
@. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja
jest ciągła w przedziale domkniętym
i
różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego
, to istnieje
punkt
taki, że
Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach
(skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia
można zapisać też następująco:
@ Jeśli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, to znaczy,
jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
, a
granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą
pochodnÄ…) funkcji w punkcie
i oznaczamy symbolem
lub
albo
, bądź też
.
@[wzór Leibniza]
Niech
będą funkcjami
krotnie różniczkowalnymi,
.
Zachodzi równość
@ Niech
będzie funkcją
krotnie różniczkowalną w
przedziale
. Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że
istnieje punkt
taki, że
gdzie
Wielomian
nazywamy wielomianem Taylora rzędu
funkcji
o środku w punkcie
.
@. [twierdzenie Weierstrassa]
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
pomocą wielomianów, tzn. jeśli
jest funkcją ciągłą, to
istnieje ciąg wielomianów
taki, że
@[twierdzenie Bernsteina]
Jeśli
jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów
Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale
, to znaczy
@ Reguła de l'Hospitala
Niech
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale
, przy czym
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu
pochodnych
i jest równa
. Jeśli istnieją granice funkcji
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu
pochodnych w tym punkcie, tj.
@ Mówimy, że funkcja
jest wypukła w przedziale
,
jeśli jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym, to znaczy
Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka
), tzn.
to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale
.
@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale
, to zachodzi nierówność:
dla dowolnych liczb nieujemnych
takich, że
oraz dla dowolnych
z przedziału
.
@ Badanie przebiegu zmienności funkcji
(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.
(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie
składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w
których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc
zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
określenie dziedziny pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna
jest dodatnia, ujemna.
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
określenie dziedziny drugiej pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym
druga pochodna jest dodatnia, ujemna.
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz
punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) SporzÄ…dzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.
4
@[twierdzenie Rolle'a]
Niech
będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym
i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału
funkcja przyjmuje równe wartości
, to istnieje punkt
, w którym zeruje się pochodna funkcji
.
@. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja
jest ciągła w przedziale domkniętym
i
różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego
, to istnieje
punkt
taki, że
Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach
(skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia
można zapisać też następująco:
@ Jeśli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, to znaczy,
jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
, a
granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą
pochodnÄ…) funkcji w punkcie
i oznaczamy symbolem
lub
albo
, bądź też
.
@[wzór Leibniza]
Niech
będą funkcjami
krotnie różniczkowalnymi,
.
Zachodzi równość
@ Niech
będzie funkcją
krotnie różniczkowalną w
przedziale
. Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że
istnieje punkt
taki, że
gdzie
Wielomian
nazywamy wielomianem Taylora rzędu
funkcji
o środku w punkcie
.
@. [twierdzenie Weierstrassa]
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
pomocą wielomianów, tzn. jeśli
jest funkcją ciągłą, to
istnieje ciąg wielomianów
taki, że
@[twierdzenie Bernsteina]
Jeśli
jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów
Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale
, to znaczy
@ Reguła de l'Hospitala
Niech
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale
, przy czym
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu
pochodnych
i jest równa
. Jeśli istnieją granice funkcji
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu
pochodnych w tym punkcie, tj.
@ Mówimy, że funkcja
jest wypukła w przedziale
,
jeśli jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym, to znaczy
Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka
), tzn.
to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale
.
@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale
, to zachodzi nierówność:
dla dowolnych liczb nieujemnych
takich, że
oraz dla dowolnych
z przedziału
.
@ Badanie przebiegu zmienności funkcji
(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.
(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie
składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w
których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc
zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
określenie dziedziny pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna
jest dodatnia, ujemna.
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
określenie dziedziny drugiej pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym
druga pochodna jest dodatnia, ujemna.
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz
punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) SporzÄ…dzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.
4
@[twierdzenie Rolle'a]
Niech
będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym
i różniczkowalną wewnątrz tego przedziału. Jeśli na końcach przedziału
funkcja przyjmuje równe wartości
, to istnieje punkt
, w którym zeruje się pochodna funkcji
.
@. [twierdzenie Lagrange'a]
Jeśli funkcja
jest ciągła w przedziale domkniętym
i
różniczkowalna w każdy punkcie przedziału otwartego
, to istnieje
punkt
taki, że
Twierdzenie Lagrange'a nazywane jest też twierdzeniem o przyrostach
(skończonych) lub twierdzeniem o wartości średniej, gdyż tezę twierdzenia
można zapisać też następująco:
@ Jeśli funkcja
jest różniczkowalna w punkcie
, to znaczy,
jeśli istnieje granica ilorazu różnicowego:
to mówimy, że funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie
, a
granicę tę nazywamy pochodną rzędu drugiego (lub krótko: drugą
pochodnÄ…) funkcji w punkcie
i oznaczamy symbolem
lub
albo
, bądź też
.
@[wzór Leibniza]
Niech
będą funkcjami
krotnie różniczkowalnymi,
.
Zachodzi równość
@ Niech
będzie funkcją
krotnie różniczkowalną w
przedziale
. Wówczas dla dowolnych punktów , takich, że
istnieje punkt
taki, że
gdzie
Wielomian
nazywamy wielomianem Taylora rzędu
funkcji
o środku w punkcie
.
@. [twierdzenie Weierstrassa]
Funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można przybliżać jednostajnie za
pomocą wielomianów, tzn. jeśli
jest funkcją ciągłą, to
istnieje ciąg wielomianów
taki, że
@[twierdzenie Bernsteina]
Jeśli
jest dowolną funkcją ciągłą, to ciąg wielomianów
Bernsteina zmierza do jednostajnie na przedziale
, to znaczy
@ Reguła de l'Hospitala
Niech
będą funkcjami różniczkowalnymi w przedziale
, przy czym
. Załóżmy, że istnieje granica ilorazu
pochodnych
i jest równa
. Jeśli istnieją granice funkcji
to istnieje granica ilorazu funkcji w punkcie i jest równa granicy ilorazu
pochodnych w tym punkcie, tj.
@ Mówimy, że funkcja
jest wypukła w przedziale
,
jeśli jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym, to znaczy
Jeśli powyższa nierówność jest ostra (wewnątrz odcinka
), tzn.
to mówimy, że funkcja jest ściśle wypukła w przedziale
.
@ Twierdzenie 12.13. [nierówność Jensena]
Jeśli funkcja jest wypukła w przedziale
, to zachodzi nierówność:
dla dowolnych liczb nieujemnych
takich, że
oraz dla dowolnych
z przedziału
.
@ Badanie przebiegu zmienności funkcji
(1) Wyznaczenie dziedziny funkcji.
(2) Sprawdzenie, czy funkcja jest okresowa, parzysta, nieparzysta.
(3) Wyznaczenie granic funkcji na końcach przedziałów, z których w sumie
składa się dziedzina funkcji, z wyszczególnieniem końców przedziałów, w
których funkcja jest ciągła.
(4) Wyznaczenie asymptot pionowych, poziomych, ukośnych.
(5) Wyznaczenie punktów charakterystycznych wykresu funkcji, np. miejsc
zerowych, wartości w zerze; wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.
(6) Badanie pierwszej pochodnej:
określenie dziedziny pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych pochodnej oraz zbioru, w którym pochodna
jest dodatnia, ujemna.
(7) Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji.
(8) Wyznaczenie punktów krytycznych funkcji oraz ekstremów.
(9) Badanie drugiej pochodnej funkcji:
określenie dziedziny drugiej pochodnej;
wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej oraz zbioru, w którym
druga pochodna jest dodatnia, ujemna.
(10) Wyznaczenie przedziałów wypukłości i wklęsłości funkcji oraz
punktów przegięcia funkcji.
(11) Zebranie uzyskanych danych o funkcji w tabeli.
(12) SporzÄ…dzenie wykresu w oparciu o uzyskane dane.