plik

STOPA PROCENTOWA

Realna stopa dochodu/koszt kapitału – jest to nominalna stopa skorygowana o inflację. Wyznaczamy ją na
podstawie wzoru Fishera:







gdzie:

- realna stopa dochodu,

- nominalna stopa dochodu,

- stopa inflacji.

Często stosuje się przybliżony wzór (wynik nieznacznie różni się od uzyskanego z wzoru Fishera):





Stopa  procentowa  spot  (stopa  procentowa  natychmiastowa)  –  stopa  procentowa  obowiązująca  od  danego
momentu przez okres, którego dotyczy.

Stopa  procentowa  forward  (stopa  procentowa  terminowa)  –  stopa  procentowa  obowiązująca  od  pewnego
momentu w przyszłości przez okres, którego dotyczy.



















gdzie:

- stopa forward;

- ilość okresów stopy forward;

- m okresowa stopa spot;

- ilość okresów stopy

;

- s okresowa stopa spot;

- ilość okresów stopy

Stopa forward. Horyzont do roku, kapitalizacja prosta.























360

Stopa forward. Horyzont powyżej roku, kapitalizacja złożona.



























Stopa forward. Dowolny horyzont, kapitalizacja ciągła.









Stopa forward depozytu – jest to stopa depozytu, w który można zainwestować w pewnym momencie w
przyszłości na pewien okres.

Kwota otrzymana z depozytu na v dni po m dniach:

360

bid



gdzie:

bid

- v-dniowa stopa forward depozytu za s dni.

Kwota otrzymana z transakcji syntetycznej po m dniach:











 



360

bid

ask

gdzie:

ask

- stopa spot kredytu s-dniowego;

bid

- stopa spot depozytu m dniowego.

Syntetyczna stopa forward depozytu (synthetic forward bid rate):

ask

bid

360





















bid

- syntetyczna stopa depozytu v-dniowego za s dni.

Stopa forward kredytu – określa stopę kredytu, który będzie udzielony w pewnym momencie w przyszłości na
pewien okres.

Kwota płacona w kredycie na v dni po m dniach:

360

ask



Kwota płacona z transakcji syntetycznej po m dniach:











 



360

ask

bid

Syntetyczna stopa forward kredytu (synthetic forward ask rate):

360

bid



bid

ask

360





















Warunki, które muszą spełniać stopy terminowe:

ask

bid



bid

ask



Przybliżenia stóp syntetycznych forward depozytu oraz kredytu:

bid

360





















ask

360





















Struktura terminowa stóp procentowych

Na podstawie stóp procentowych spot dotyczących różnych okresów, można wyznaczyć stopę terminową. W
pewnym uproszczeniu informuje ona o tym, jakich stóp można się spodziewać w pewnym okresie w przyszłości.
Fakty te wskazują na to, iż określenie stóp dotyczących różnych okresów ma ważne znaczenie praktyczne. W
tym podrozdziale odniesiemy się do teorii związanych ze stopami procentowymi dotyczącymi różnych okresów.
Zagadnienie to nosi nazwę struktura terminowa stóp procentowych (term structure of interest rates).
Stosowana jest również uproszczona nazwa krzywa dochodowości lub krzywa stopy dochodu (yield curve), co
ma uzasadnienie z powodu graficznej prezentacji zagadnienia.

Krzywa dochodowości

Na rysunku przedstawiona jest zależność stopy procentowej (na przykład stopy dochodu) od długości okresu,
którego ta stopa dotyczy. Zależność ta przedstawiona jest w postaci krzywej, składającej się z punktów,

Stopa dochodu

0,5

Liczba lat

odpowiadających stopom procentowym dotyczącym poszczególnych okresów. Na przykład punkt A odpowiada
stopie półrocznej, zaś punkt B stopie rocznej. W tym przypadku stopa roczna jest wyższa od stopy półrocznej,
ale w praktyce może się zdarzyć odwrotnie. To oznacza, że krzywa dochodowości, będąca ilustracją struktury
terminowej stóp procentowych może mieć różny kształt. Typowe kształty tej krzywej przedstawione są na
rysunkach 3.5, 3.6, 3.7 i 3.8, przy czym:
- na rysunku 3.5 jest krzywa normalna (normal curve);
- na rysunku 3.6 jest krzywa odwrócona (inverted curve);
- na rysunku 3.7 jest krzywa płaska (flat curve);
- na rysunku 3.8 jest krzywa łukowata (humped curve).

Rysunek 3.5. Normalna krzywa dochodowości

Rysunek 3.6. Odwrócona krzywa dochodowości

Rysunek 3.7. Płaska krzywa dochodowości

Stopa dochodu

Liczba lat

Stopa dochodu

Liczba lat

Rysunek 3.8. Łukowata krzywa dochodowości

W  praktyce  najczęściej  spotykana  jest  krzywa  normalna  (wyjaśnia  to  jej  nazwę),  zaś  w  teorii  najprostsza  do
analiz  jest  krzywa  płaska,  w  której  stopy  dotyczące  różnych  okresów  są  (przynajmniej  w  przybliżeniu)  takie
same.

Obecnie przedstawimy kilka teorii, które mają na celu wyjaśnienie kształtowania się struktury terminowej stóp
procentowych, co oznacza też wyjaśnienie kształtu krzywej dochodowości. Ma to również znaczenie praktyczne.
Na  przykład,  jeśli  wiemy,  iż  w  danym  momencie  krzywa  dochodowości  jest  malejąca,  oznacza  to,  iż  warto
pozyskać kapitał na dłuższy okres (w przypadku którego cena tego kapitału jest niższa). Powoduje to również
określone implikacje dla stóp terminowych.

Traktując  rzecz  w  pewnym  uproszczeniu,  podstawowe  teorie  struktury  terminowej  stóp  procentowych  są
następujące:
- teoria segmentacji rynku (market segmentation theory);
- teoria oczekiwań (expectations theory);
- teoria preferencji płynności (liquidity preference theory);
- teoria preferowanego habitatu (preferred habitat theory).

Teoria segmentacji rynku  jest chyba najprostsza spośród wymienionych podejść. Wychodzi z podstawowego
prawa  ekonomii,  mówiącego,  że  o  cenie  decyduje  popyt  i  podaż.  Teoria  ta  zakłada,  że  na  rynku  transferu
kapitału  występują  segmenty  odpowiadające  różnym  okresom  udostępniania  kapitału,  np.  segment  dzienny,
półroczny, roczny itp. Stopa procentowa w danym segmencie, czyli stopa procentowa odpowiadająca danemu
okresowi udostępnienia kapitału, zależy od podaży kapitału i popytu na kapitał. Jeśli wzrasta popyt na kapitał
udostępniony na dany okres, w stosunku do podaży kapitału, wówczas stopa procentowa rośnie, odwrotnie jest

Stopa dochodu

Liczba lat

Stopa dochodu

Liczba lat

w przypadku wzrostu podaży w stosunku do popytu. Teoria segmentacji rynku w pewnym sensie nawiązuje do
realnej stopy procentowej będącej składnikiem stopy procentowej we wzorze (3.1).
W  zasadzie  teoria  ta  może  wyjaśnić  każdą  z  czterech  postaci  krzywej  dochodowości,  przedstawionych  na
rysunkach 3.5-3.8.
Pewną wadą tej teorii jest upraszczające założenie, iż każdy segment rynku transferu kapitału rozpatrywany jest
odrębnie, bez wskazania zależności z innymi segmentami. Oznaczałoby to na przykład, że stopa półroczna nie
ma żadnego związku ze stopą roczną, co w praktyce może nie być słuszne.

Teoria  oczekiwań  jest  chyba  najpopularniejszą  spośród  wymienionych  powyżej  teorii.  Główna  teza  tej  teorii
mówi, że stopy długoterminowe zależą od stóp krótkoterminowych  – tych, które są teraz i tych, których rynek
oczekuje w przyszłości. To właśnie zależność stopy długoterminowej od oczekiwanych stóp krótkoterminowych
uzasadnia nazwę  tej  teorii.  Podstawową  tezę  teorii  oczekiwań  zilustrujemy  na  przykładzie.  Podobny  przykład
wykorzystaliśmy już przy ilustracji zagadnienia stopy terminowej.
Rozpatrzymy dwie inwestycje o horyzoncie dwuletnim:
- inwestycja dwuletnia, po stopie spot dwuletniej (przyjmujemy tu kapitalizację roczną);
- inwestycja złożona z dwóch części: najpierw inwestycja roczna po stopie  spot rocznej, a potem reinwestycja
przychodów po stopie spot rocznej, która będzie za rok.
Podstawowa  idea,  która  jest  tu  wykorzystana,  jest  to  idea  równości  stóp  dochodu  z  rozpatrywanych  dwóch
inwestycji. Ilustruje to następujący wzór:

)

(

))

(

)(

(

)

(







gdzie:

)

(

- oczekiwana stopa spot roczna za rok.

Oznacza  to,  iż  stopa  procentowa  dwuletnia  zależy  od  dwóch  stóp  procentowych  rocznych,  aktualnej  i
oczekiwanej za rok. Zauważmy, że ta sama idea była wykorzystana przy wyznaczaniu stopy terminowej, jednak
jest podstawowa koncepcyjna różnica między tymi dwoma podejściami:
- przy WYZNACZANIU stopy terminowej, na przykład stopy rocznej za rok, wykorzystane są znane stopy spot,
roczna i dwuletnia;
- przy WYJAŚNIANIU zależności między stopami spot, na przykład roczną i dwuletnią, wykorzystana jest stopa
spot roczna i oczekiwana stopa spot roczna za rok.
Jest natomiast łącznik między tymi dwoma podejściami, mianowicie:
Stopa terminowa może być (w uproszczeniu) interpretowana jako oczekiwana stopa spot.

Przedstawiony powyżej przykład może być uogólniony. W tym celu rozpatrzmy długoterminową,
m-letnią inwestycję, w przypadku której stopa procentowa (jest to stopa dochodu) jest wyjaśniana za pomocą  m
krótkoterminowych, rocznych stóp procentowych. Wówczas otrzymujemy ogólny wzór:

)

(

))

(

...

))

(

))(

(

)(

(

)

(













Kształtowanie się oczekiwanych stóp krótkoterminowych w relacji do aktualnych stóp krótkoterminowych niesie
pewne informacje, jeśli chodzi o kształt krzywej dochodowości. W szczególności, wyjaśnimy to na przykładzie
dwóch stóp, gdzie relacje są następujące:
-  jeśli  oczekiwana  stopa  krótkoterminowa  jest  wyższa  od  aktualnej  stopy  krótkoterminowej,  to  stopa
długoterminowa jest wyższa od stopy krótkoterminowej – sugeruje to normalną krzywą dochodowości;
-  jeśli  oczekiwana  stopa  krótkoterminowa  jest  niższa  od  aktualnej  stopy  krótkoterminowej,  to  stopa
długoterminowa jest niższa od stopy krótkoterminowej – sugeruje to odwróconą krzywą dochodowości;
-  jeśli  oczekiwana  stopa  krótkoterminowa  jest  równa  aktualnej  stopie  krótkoterminowej,  to  stopa
długoterminowa jest równa stopie krótkoterminowej – sugeruje to płaską krzywą dochodowości.
Te prawidłowości ilustrują dwa przykłady.

Przykład. Zadanie nr 8 dla studentów.

Jak widać, obserwuje się rosnące stopy  spot, aż do piątego roku, w przypadku którego stopa jest niższa, gdyż
oczekiwana stopa krótkoterminowa po czwartym roku jest niższa.

W  praktyce  wyznaczenie  stóp  spot  przy  bardzo  długich  terminach  w  podany  sposób  nie  jest  proste,  gdyż
wymaga znajomości oczekiwań w zakresie stóp krótkoterminowych w dalszej przyszłości.

Teoria  preferencji  płynności  pozostaje  w  pewnej  opozycji  do  teorii  oczekiwań,  przynajmniej  w  tej  sytuacji,
gdy teoria oczekiwań wyjaśnia płaską i odwróconą krzywą dochodowości. Teoria ta w pewnym sensie skłania
się do podejścia zawartego we  wzorze (3.1), w którym jednym ze składników stopy procentowej  jest  premia
płynności, która rośnie w miarę wzrostu horyzontu inwestycji. Tutaj warto dodać, iż czasem łączy się tę premię
z  premią  za  ryzyko,  twierdząc,  że  premia  płynności  jest  premią  za  większą  niepewność  związaną  z  długim
horyzontem. My jednak zdecydowaliśmy się dokonać rozdziału tych dwóch składników.
Teoria  preferencji  płynności  najczęściej  jest  traktowana  jako  koncepcja  wyjaśniająca  normalną  krzywą
dochodowości.  Jest  to  jednak  duże  uproszczenie.  Dla  wyjaśnienia  tej  kwestii  rozpatrzmy  dwie  inwestycje,
dwuletnią  i  trzyletnią  i  przyjmijmy  dla  uproszczenia,  że  są  one  wolne  od  ryzyka,  a  także,  że  realna  stopa
procentowa w obu przypadkach jest taka sama i wynosi 2%. Oznacza to, iż stopa procentowa dekomponowana
na składniki i dana wzorem (3.1), w tym wypadku jest równa:





Przyjmijmy teraz, że oczekiwana stopa inflacji za następne 2 lata wynosi 4%, zaś za następne trzy lata wynosi
2,5% (obie stopy wyrażone są w skali rocznej). Oznacza to, że spodziewany jest spadek stopy inflacji w trzecim
roku.
Przyjmijmy, że stopy  spot wynoszą: dwuletnia: 7%, trzyletnia: 6%. Oznacza to (w tym przedziale czasowym)
odwróconą krzywą dochodowości. Jednak po wyznaczeniu premii płynności otrzymujemy:
- dla inwestycji dwuletniej: 1% (bo 7%=4%+2%+1%);
- dla inwestycji trzyletniej: 1,5% (bo 6%=2,5%+2%+1,5%).
Jak widać, premia płynności rośnie, ale krzywa dochodowości jest odwrócona, bo działa silniejszy efekt spadku
oczekiwanej inflacji.

Teoria  preferowanego  habitatu  jest  trochę  podobna  do  teorii  segmentacji  rynku  i  czasem  jest  z  nią
utożsamiana.  Jest  jednak  pewna  różnica  między  tymi  teoriami.  Habitat  jest  pojęciem  z  biologii  i  oznacza
środowisko,  w  którym  osobniki  danego  gatunku  znajdują  najdogodniejsze  warunki  życia.  W  tym  przypadku
habitat można utożsamiać z segmentem rynku transferu kapitału, preferowanym przez podmioty udostępniające i
pozyskujące  kapitał.  W tym  zatem  sensie teoria  preferowanego habitatu  sprowadza  się  do  segmentacji rynku,
lecz wyjaśnia, że segmentacja rynku występuje z powodu preferencji podmiotów. Ta teoria może wyjaśnić na
przykład  łukowatą  krzywą  dochodowości,  która  pojawia  się  wtedy,  gdy  występują  zwiększone  preferencje  w
zakresie  podaży  kapitału  krótkoterminowego  (zgłaszane  przez  banki)  i  kapitału  długoterminowego  (zgłaszane
przez fundusze emerytalne), w stosunku do kapitału średnioterminowego.

Na  zakończenie  rozważań  o  strukturze  terminowej  stóp  procentowych,  kilka  słów  poświęcimy  czwartemu
składnikowi  stopy  procentowej,  tzn.  premii  za  ryzyko.  Co  prawda  problem  ryzyka  jest  omawiany  szeroko  w
dalszej  części,  jednak  tutaj  przedstawimy  pewne  wprowadzające  rozważania  właśnie  w  kontekście  struktury
terminowej stóp procentowych.
Weźmy pod uwagę wzór (3.1), zawierający dekompozycję stopy procentowej na cztery składniki. Zauważmy, że
trzy  spośród  nich,  tzn.  oczekiwana  stopa  inflacji,  realna  stopa  procentowa  i  premia  płynności  mogą  być
traktowane jako ustalone dla dowolnego  okresu (np. dla dwóch lat, czterech tygodni itp.). Jednak jest jeszcze
czwarty składnik, tzn. premia za ryzyko i ten składnik dla danego okresu może być różny, w zależności od tego,
jakim ryzykiem obarczony jest kapitał, który jest transferowany i któremu właśnie odpowiada stopa procentowa.
Oznacza to, że mogą występować różne krzywe dochodowości, osobno dla każdego poziomu ryzyka.
Zjawisko  to  nazywa  się  strukturą  terminową  ryzyka  (term  structure  of  risk).  Problem  ten  zilustrujemy
rozpatrując  dwie  inwestycje,  z  których  jedna  jest  wolna  od  ryzyka,  zaś  druga  obarczona  ryzykiem.
Charakteryzują  się  one  różnymi  krzywymi  dochodowości,  czyli  różna  jest  struktura  terminowa  stóp
procentowych w tych dwóch inwestycjach. Oznaczmy:
- stopy procentowe (dochodu) inwestycji wolnej od ryzyka odpowiadające kolejnym n okresom jako:

,...,

- stopy procentowe (dochodu) inwestycji ryzykownej odpowiadające kolejnym n okresom jako:

,...,

Ponieważ premia za ryzyko jest – w świetle wzoru (3.1) – nadwyżką stopy dochodu ponad stopę wolną od
ryzyka, możemy łatwo obliczyć premie za ryzyko odpowiadające kolejnym okresom. Są one równe:



,...,

W ten sposób otrzymuje się  ciąg stóp procentowych, nazywany strukturą terminową ryzyka. Ilustracja zawarta
jest na rysunku 3.9

Rysunek 3.9. Struktura terminowa ryzyka

Na rysunku przedstawione są dwie krzywe dochodowości. Krzywa A odpowiada inwestycji wolnej od ryzyka,
zaś  krzywa  B  odpowiada  inwestycji  ryzykownej.  Różnica  między  tymi  krzywymi  to  właśnie  struktura
terminowa ryzyka. Została ona dodatkowo zaznaczona w postaci krzywej C. Jak widać krzywa A i krzywa C
„sumują się” dając w efekcie krzywą B.
Rozważania te podsumowane są w poniższym przykładzie.

Przykład. Zadanie nr 9 dla studentów.

Liczba lat

Stopa dochodu

ZADANIA

ZAD 1.
Oblicz realną stopę dochodu z lokaty wiedząc że oprocentowanie wynosi

a)  10% a inflacja 3%,
b)  15% a inflacja 1,5%,
c)  6,5% a inflacja 0,5%.

ZAD 2.
Ile powinna wynosić sześćdziesięcio dniowa stopa terminowa (forward) po 30 dniach, jeśli
rynkowa stopa WIBOR 30-dniowa wynosi 5,28% oraz WIBOR 90-dniowa wynosi: 5,55%.

Wszystkie stopy podano w skali rocznej. Kapitalizacja prosta.

ZAD 3.

Na rynku dostępne są następujące stopy spot LIBOR dla kredytów udzielanych w USD
wyrażone w skali rocznej (dane z 11 marca 2009):

a) jednomiesięczna r

= 0,52%;

b) trzymiesięczna r

= 1,28%;

c) sześciomiesięczna r

= 1,82%;

Wszystkie stopy podano w skali rocznej. Przyjąć, że kapitalizacja jest prosta. Oblicz
wszystkie możliwe stopy forward.

ZAD 4.
Ile powinna wynosić roczna stopa terminowa (forward) po roku, jeśli rynkowe stopy
natychmiastowe (spot) – roczna r

i dwuletnia r

wynoszą:

a) r

= 10%, r

= 10%,

b) r

= 8%, r

= 11%,

c) r

= 7%, r

= 6%.

Wszystkie stopy podano w skali rocznej. Przyjąć, że kapitalizacja jest złożona, roczna.

ZAD 5.
Na rynku dostępne są następujące stopy spot wyrażone w skali rocznej:

a) półroczna r

0,5

= 7%,

b) dziewięciomiesięczna r

0,75

= 7,5%,

c) roczna r

= 8%.

Kapitalizacja jest złożona, kwartalna. Jakie stopy forward można obliczyć na podstawie tych
stóp spot? Oblicz te stopy.

ZAD 6.
Dostępne są stopy spot:

a) 180-dniowa równa 5,5%;
b) 270-dniowa równa 6,5%;

wyznacz 90-dniową stopę forward za 180 dni (3 miesięczna stopa za 6 miesięcy) zakładając
że mamy do czynienia z kapitalizacją ciągłą.

ZAD 7.

Dostępne są następujące stopy spot depozytu oraz kredytu:

a) stopy spot depozytu: 30-dniowa – 5,5% oraz 60-dniowa – 6,2%;
b) stopy spot kredytu: 30- dniowa – 5,9% oraz 60-dniowa – 6,5%;

Oblicz 30-dniowe syntetyczne stopy forward depozytu oraz kredytu za 30 dni oraz ich
przybliżenia. Sprawdź czy otrzymane wyniki odpowiadają podstawowym nierównością dla
stóp syntetycznych.

ZAD 8.

Roczna stopa spot wynosi 5%. Oczekiwane roczne stopy spot w kolejnych pięciu latach
wynoszą odpowiednio: 5,3%; 5,6%; 5,7%; 6%; 6,5%. Na tej podstawie wyznacz stopy spot
od dwuletniej do sześcioletniej.

ZAD 9.

Mamy odpowiednie stopy dochodu (spot) z inwestycji wolnej od ryzyka:

a)  miesięczna 2,1%;
b)  trzymiesięczna 2,5%;
c)  półroczna 2,69%;
d)  roczna 2,81%;
e)  dwuletnia 2,95%;

oraz odpowiednie stopy dochodu (spot) z inwestycji ryzykownej:

a)  miesięczna 3%;
b)  trzymiesięczna 3,8%;
c)  półroczna 4,1%;
d)  roczna 5,3%;
e)  dwuletnia 6,4%.

Obliczyć strukturę terminową ryzyka, oraz ją wykreślić.

ODPOWIEDZI:

ZAD 1.







a)  0,068;
b)  0,133;
c)  0,060

ZAD 2.























360

0566



ZAD 3.























360

= 0,52%, r

= 1,28%, r

= 1,82%

a) r

1,5

= 0,021;

b) r

3,3

= 0,024;

c) r

1,2

= 0,017.

ZAD 4.



























s = 1, v = 1, m=2

a)

= 10 %, r

= 10 %



= 8 %, r

= 11 %

140833



= 7 %, r

= 6 %

050093



ZAD 5.

Ze względu na to że kapitalizacja złożona stosujemy wzory na horyzont dłuższy niż rok.



















































 











 



0,5

= 7 %, r

0,75

= 7,5 %, r

= 8 %, n = 4

3 m-ce

6 m-cy

9 m-cy

12 m-cy

r [0,5]

r [0,75]

r [1]

r [0,5;0,25]

r [0,75;0,25]

r [0,5;0,5]

;



;



;



ZAD 6.

r

180

= 5,5%, r

270

= 6,5%









180,90

= 0,085

ZAD 7.

bid, s

= 5,5% oraz r

bid, m

= 6,2%;

ask, s

= 5,9% oraz r

ask, m

= 6,5%;

syntetyczne stopy:

ask

bid

360





















bid

ask

360





















bid, 30, 30

= 0,06424;

ask, 30, 30

= 0,0743;

przybliżenia:

bid

360





















ask

360





















bid, 30, 30

= 0,0681;

ask, 30, 30

= 0,0705.

ZAD 8

= 5%;

 

= 5,3%;

 

= 5,6%;

 

= 5,7%;

 

= 6%;

 

= 6,5%.



 



 













 





0515

053











;



 





053

056

053











;



 





054

057

056

053











;



 





0552

057

056

053











;



 





0568

065

057

056

053











ZAD 9.

Elementy struktury terminowej:

r1 = 3,00% - 2,10% = 0,90%
r2 = 3,80% - 2,50% = 1,30%
r3 = 4,10% - 2,69% = 1,41%
r4 = 4,30% - 2,81% = 1,49%
r5 = 4,40% - 2,95% = 1,45%

Struktura terminowa ryzyka

Czas

Sto

Stopa dochodu (spot)
z inw estycji
ryzykow nej
Stopa dochodu (spot)
z inw estycji w olnej od
ryzyka
Struktura terminow a
ryzyka.

WZORNIK:















































360



































ask

bid

360





















bid

ask

360





















ask

bid



bid

ask



bid

360





















ask

360























 



 



























