WM
Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 5
1
Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 5
Z6/5.1 Zadanie 5
Dany jest przekrój pokazany na rysunku Z6/5.1. Wyznaczyć momenty bezwładności w zadanym
układzie współrzędnych YZ.
2,0
6,0
2,0
8,0
2,0
1,0
3,0
2,0
6,5
[cm]
Z
Y
L 80x65x10
Rys. Z6/5.1. Przekrój pręta
Z6/5.2 Charakterystyki geometryczne kątownika nierównoramiennego
Rysunek Z6/5.2 przedstawia położenie kątownika w jego układzie osi środkowych oraz położenie osi
X i Y, które są stosowane w tablicach. Osiowe momenty bezwładności wynoszą
J
Y03
=
J
Y
T
=
48,3 cm
4
,
(Z6/5.1)
J
Z03
=
J
X
T
=
82,2 cm
4
.
(Z6/5.2)
Pole powierzchni kątownika nierównoramiennego 80x65x10 wynosi 13,6 cm
2
. Minimalny moment bezwład-
ności kątownika wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 5
2
8,0
[cm]
5,45
2,55
4,6
9
1,8
1
Y
03
Z
03
X
X
Y
Y
6,
5
Rys. Z6/5.2. Kątownik nierównoramienny
J
2
3
=
24,8 cm
4
.
(Z6/5.3)
Pierwszy niezmiennik dla kątownika wynosi
I
1
3
=
48,382,2=130,5 cm
4
.
(Z6/5.4)
Maksymalny moment bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi
J
1
3
=
130,5−24,8=105,7 cm
4
.
(Z6/5.5)
Drugi niezmiennik dla głównych momentów bezwładności dla kątownika nierównoramiennego wynosi
I
2
3
=
24,8⋅105,7=2621 cm
8
.
(Z6/5.6)
Drugi niezmiennik dla momentów bezwładności w układzie osi środkowych kątownika nierównora-
miennego wynosi
I
2
3
=
48,3⋅82,2−J
Y03Z03
2
=
2621 cm
8
.
(Z6/5.7)
Kwadrat dewiacyjnego momentu bezwładności w osiach środkowych kątownika nierównoramiennego
wynosi
J
Y03Z03
2
=
1349 cm
8
.
(Z6/5.8)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 5
3
Wartość bezwzględna dewiacyjnego momentu bezwładności w osiach środkowych kątownika nierów-
noramiennego wynosi
∣
J
Y03Z03
∣
=
36,73 cm
4
.
(Z6/5.9)
8,0
[cm]
5,45
2,55
4,
69
1,
81
Y
03
Z
03
6,5
Rys. Z6/5.3. Większa część kątownika nierównoramiennego
Zgodnie z rysunkiem Z6/5.3 większa część kątownika nierównoramiennego znajduje się w ćwiartkach
dodatnich więc dewiacyjny moment bezwładności w układzie osi środkowych kątownika wynosi
J
Y03Z03
=
36,73 cm
4
.
(Z6/5.10)
Z6/5.3 Wyznaczenie współrzędnych środków ciężkości w układzie YZ
Rysunek Z6/5.4 przedstawia położenie układów osi środkowych dla poszczególnych figur składowych
w układzie współrzędnych YZ. Pierwszą figurą jest prostokąt o wymiarach 10,0 cm na 6,0 cm. Drugą figurą
jest trójkąt prostokątny o wymiarach 6,0 na 3,0 cm. Trzecią figurą jest kątownik nierównoramienny
80x65x10. Współrzędne środka ciężkości prostokąta w układzie YZ wynoszą
y
1
=
10,0
2
−
2,0=3,0 cm z
1
=
6,0
2
=
3,0 cm
.
(Z6/5.11)
Współrzędne środka ciężkości trójkąta prostokątnego w układzie YZ wynoszą
y
2
=
2
3
⋅
6,0=4,0 cm z
2
=
1,0
2
3
⋅
3,0 =3,0 cm
.
(Z6/5.12)
Współrzędne środka ciężkości kątownika nierównoramiennego w układzie YZ wynoszą
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 5
4
2,0
6,0
2,0
8,0
2,0
1,
0
3,
0
2,
0
6,
5
[cm]
Z
Y
5,45
2,0
6,0
6,5
10,0
2,55
6,0
4,6
9
1,8
1
Y
01
Z
01
Y
02
Z
02
Y
03
Z
03
sc
1
sc
2
sc
3
Rys. Z6/5.4. Położenie osi środkowych poszczególnych figur składowych
y
3
=
8,0−2,55=5,45 cm z
3
=
6,01,81=7,81 cm
.
(Z6/5.13)
Rysunek Z6/5.5 przedstawia współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych w układzie
YZ.
Z6/5.4 Wyznaczenie momentów bezwładności w układzie YZ
Mając już wyznaczone charakterystyki geometryczne w układzie osi środkowych kątownika
nierównoramiennego oraz współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych w układzie YZ
możemy wyznaczyć wartości momentów bezwładności w tym układzie.
Zgodnie ze wzorem (6.22) osiowy moment bezwładności względem osi Y będzie miał wartość
J
Y
=
10,0⋅6,0
3
12
3,0
2
⋅
10,0⋅6,0
−
6,0⋅3,0
3
36
3,0
2
⋅
1
2
⋅
6,0⋅3,0
48,3
7,81
2
⋅
13,6=1512 cm
4
.
(Z6/5.14)
Dr inż. Janusz Dębiński
WM
Z6/5. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU – ZADANIE 5
5
2,0
6,0
2,0
8,0
2,0
1,
0
3,
0
2,
0
6,
5
[cm]
Z
Y
5,45
2,0
6,0
6,5
10,0
2,55
4,6
9
7,8
1
Y
01
Z
01
Y
02
Z
02
Y
03
Z
03
3,0
4,0
6,
0
4,
69
1,
81
3,
0
sc
2
sc
1
sc
3
Rys. Z6/5.5. Współrzędne środków ciężkości poszczególnych figur składowych
Zgodnie ze wzorem (6.23) osiowy moment bezwładności względem osi Z będzie miał wartość
J
Z
=
6,0⋅10,0
3
12
3,0
2
⋅
10,0⋅6,0
−
3,0⋅6,0
3
36
4,0
2
⋅
1
2
⋅
6,0⋅3,0
82,2
5,45
2
⋅
13,6=1364 cm
4
.
(Z6/5.15)
Zgodnie ze wzorem (6.24) dewiacyjny moment bezwładności w układzie YZ będzie miał wartość
J
YZ
=
0,0
3,0
⋅
3,0
⋅
10,0⋅6,0
−
−
3,0
2
⋅
6,0
2
72
4,0
⋅
3,0
⋅
1
2
⋅
6,0⋅3,0
36,73
5,45
⋅
7,81
⋅
13,6=1052 cm
4
.
(Z6/5.16)
Dr inż. Janusz Dębiński