WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne
Semestr IV
Kierunek: ELEKTROTECHNIKA
Lista zadań Nr 22
ELEMENTY TEORII POLA WEKTOROWEGO
Zad.1. Wyznaczyć gradienty podanych funkcji skalarnych:
a)
(
)
z
y
x
z
y
x
F
2
2
)
,
,
(
+
=
b)
2
2
2
1
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
F
+
+
=
c)
(
)
xyz
z
y
x
z
y
x
F
2
3
1
)
,
,
(
3
3
3
−
+
+
=
d)
x
y
z
z
y
x
F
arctg
)
,
,
(
−
=
e)
z
xy
y
x
x
z
y
x
F
+
−
=
)
,
,
(
f)
y
x
z
z
y
x
z
y
x
F
+
+
+
+
=
arctg
)
(
ln
)
,
,
(
2
2
.
Zad.2. Wyznaczyć długość i cosinusy kierunkowe gradientu funkcji skalarnej:
a)
z
y
x
xy
z
y
x
z
y
x
F
4
2
4
2
3
2
)
,
,
(
2
2
2
−
+
−
+
+
+
=
w punkach:
)
0
,
0
,
0
(
A
,
−
3
2
,
2
5
,
6
B
b)
z
y
x
xy
z
y
x
z
y
x
F
6
2
3
3
2
)
,
,
(
2
2
2
−
−
+
+
+
+
=
w punkach:
)
0
,
1
,
1
(
A
,
)
0
,
0
,
2
(
B
Zad.3. Uzasadnić wzór
(
)
G
F
F
G
G
F
grad
grad
grad
+
=
, jeśli funkcje
)
,
,
(
z
y
x
F
,
)
,
,
(
z
y
x
G
mają gradienty
w obszarze
3
R
⊂
V
.
Zad.4. Wyznaczyć dywergencję pola wektorowego:
a)
(
)
(
)
(
)
k
z
x
y
j
z
x
y
i
y
x
W
r
r
r
r
2
2
2
2
2
+
+
+
+
−
=
b)
[
]
z
y
e
W
xy
2
sin
,
cos
, −
=
r
c)
k
r
z
j
r
y
i
r
x
W
r
r
r
r
+
+
=
, gdzie
2
2
2
z
y
x
r
+
+
=
d)
(
)
k
z
j
x
i
y
x
W
r
r
r
r
2
3
2
+
+
+
=
e)
=
x
z
e
x
W
xyz
arctg
,
,
ln
r
f)
[
]
z
z
y
x
z
y
x
W
−
+
+
+
+
=
,
,
3
2
2
r
Zad.5. Wyznaczyć rotację pola wektorowego:
a)
(
)
(
)
k
z
x
j
xyz
i
z
xy
x
W
r
r
r
r
+
+
+
+
+
=
2
2
b)
[
]
xz
yz
y
x
W
,
2
,
2
3
=
r
c)
k
r
z
j
r
y
i
r
x
W
r
r
r
r
+
+
=
, gdzie
2
2
2
z
y
x
r
+
+
=
d)
(
)
k
j
y
i
z
x
W
r
r
r
r
2
+
−
+
=
e)
(
)
(
)
(
)
k
z
x
j
y
z
i
z
x
W
r
r
r
r
5
4
3
2
+
+
−
+
+
=
f)
−
−
−
=
2
2
2
,
,
2
1
z
x
zy
xy
W
r
Zad.6. Wyznaczyć laplasjan funkcji:
a)
(
)
xyz
z
y
x
z
y
x
F
2
3
1
)
,
,
(
3
3
3
−
+
+
=
b)
)
(
)
,
,
(
z
y
x
xyz
z
y
x
F
+
+
=
c)
y
x
z
z
y
x
z
y
x
F
+
+
+
+
=
arctg
)
(
ln
)
,
,
(
2
2
d)
(
)
2
2
2
2
1
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
F
+
+
=
e)
R
c
b
a
cz
by
ax
z
y
x
F
∈
+
+
=
,
,
,
)
,
,
(
f)
2
2
2
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
F
+
+
=
Zad.7. Sprawdzić, czy podane pola wektorowe są potencjalne, jeśli tak, to wyznaczyć potencjał skalarny.
a)
(
)
(
)
(
)
k
xy
z
j
xz
y
i
yz
x
W
r
r
r
r
−
+
−
+
−
=
2
2
2
b)
(
)
k
j
y
i
z
x
W
r
r
r
r
2
+
−
+
=
c)
k
r
z
j
r
y
i
r
x
W
r
r
r
r
+
+
=
, gdzie
2
2
2
z
y
x
r
+
+
=
d)
[
]
y
x
z
x
z
y
W
+
+
+
=
,
,
r
e)
k
z
xy
j
y
x
z
x
i
z
y
y
W
r
r
r
r
2
2
1
1
−
+
+
+
−
=
f)
[
]
2
2
2
,
,
z
x
y
W
−
=
r
Zad.8. Sprawdzić, czy dane pola wektorowe są solenoidalne i ewentualnie znaleźć ich potencjał wektorowy.
a)
[
]
y
x
x
z
z
y
W
−
−
−
⋅
=
,
,
2
r
b)
[
]
xz
yz
xy
W
,
,
=
r