1. Znaleźć postać trygonometryczną liczby z

4

 ­ 

2

, gdzie z jest liczbą zespoloną taką, że |z| =1 i arg z =     (0, /3). 

 

2. Znaleźć wektory u,v   

3

 wiedząc, że ciąg (2,0,1), u, v jest bazą przestrzeni 

3

, w której wektor (0,1,0) ma współrzędne ­1,1, 2, zaś wektor (0,­1,5) ma 

współrzędne 2,­1, 2. 

3. Niech X będzie przestrzenią wektorową z bazą e

1

, e

2

, e

3

, zaś T: X   X będzie przekształceniem liniowym, które w tej bazie ma macierz 

 

Wyznaczyć T 

­1

(3e

1

 + 5e

2

). 

4. Dla jakich wartości parametru p     układ równań 

ma dokładnie jedno rozwiązanie? Znaleźć to rozwiązanie. 

5. Niech A   M

7

( ), zaś B powstaje przez obrót macierzy A względem jej środka o kąt 90  przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Znaleźć zależność między det B i 

det A. 

1. Niech X będzie przestrzenią wektorową z bazą e

1

, e

2

, e

3

, zaś T: X   X będzie przekształceniem liniowym, które w tej bazie ma macierz 

 

Wyznaczyć T 

­1

(e

2

 ­ 2e

3

). 

2. Dla jakich wartości parametru p     układ równań 

ma dokładnie jedno rozwiązanie? Znaleźć to rozwiązanie. 

3. Niech A   M

8

( ), zaś B powstaje przez obrót macierzy A względem jej środka o kąt 90  zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Znaleźć zależność między det B i 

det A. 

4. Znaleźć postać trygonometryczną liczby z

3

 ­ iz, gdzie z jest liczbą zespoloną taką, że |z| =1 i arg z =     (0, /4). 

 

5. Niech Y będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni 

4

 zawierającą wektory u = (1,0,1,0) i v = (3,4,­1,8). Znaleźć bazę przestrzeni Y wiedząc, że współrzędne 

wektora u w tej bazie wynoszą 1,­2, zaś współrzędne wektora v wynoszą 3, 2. 

Egzamin z algebry liniowej I 2002

Zestaw I

px

1 

+ 2x

2

 + 2x

3

 = 8

x

1

 + px

2

 +x

3

 = 4

x

1

 + x

2

 + x

3

 = 6

Zestaw II

x

1 

+ 2x

2

 + px

3

 = 1

x

1

 ­ px

2

 + x

3

 = ­1

x

1

 ­ x

2

 + x

3

 = p