3
Całka krzywoliniowa nieskierowana
(całka krzywoliniowa funkcji skalarnej)
Niech
K – krzywa regularna w R
3
f – pole skalarne, tzn
R
→
K
f :
)
(K
C
f
∈
Wtedy
•
krzywą K dzielimy na n części o długościach
,...,n
,
, i
∆s
i
2
1
=
•
w każdej z krzywych cząstkowych wybieramy po jednym punkcie
i
M
•
tworzymy sumę
∑
=
∆
⋅
=
n
i
i
i
n
s
M
f
1
)
(
σ
Definicja
Jeśli przy
∞
→
n
i
0
max
,...,
1
→
∆
∞
→
=
n
i
n
i
s
istnieje granica
n
n
σ
∞
→
lim
niezależna od sposobu
podziału krzywej i od wyboru punktu
M
i
, to granicę tę nazywamy
całką krzywoliniową
nieskierowaną i oznaczamy
∫
K
fds .
Uwaga
Gdy zmienimy zwrot krzywej na przeciwny przy tym samym podziale krzywej i tych samych
wybranych punktach, to nie zmienią się sumy
n
σ
, a zatem nie zmieni się całka
krzywoliniowa nieskierowana
∫
∫
=
−
K
K
fds
fds
.
x
y
r
( )
α
r
( )
β
∆
s
M
z
i
i
4
Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na całkę oznaczoną)
Jeżeli
K – krzywa regularna oraz
)
(
K
C
f
∈
,
to
∫
∫
+
+
⋅
=
K
dt
t
z
t
y
t
x
t
z
t
y
t
x
f
ds
z
y
x
f
β
α
)
(
)
(
)
(
))
(
),
(
),
(
(
)
,
,
(
2
'
2
'
2
'
.
Przykład
Obliczyć całkę
∫
=
K
xyzds
I
2
, gdzie
K:
=
=
=
t
z
t
y
t
x
2
sin
cos
dla
∈
4
,
6
π
π
t
.
Oczywiście krzywa
K jest regularna oraz
)
(
K
C
f
∈
. Zatem można zastosować twierdzenie o
zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną.
2
)
(
cos
)
(
sin
)
(
'
'
'
=
=
−
=
t
z
t
t
y
t
t
x
Stąd
12
15
3
5
6
5
2
3
2
5
1
2
5
2
1
6
5
4
2
sin
2
2
cos
5
2
2
sin
5
2
4
cos
sin
2
sin
cos
2
4
6
4
6
4
6
2
2
−
+
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
=
+
−
=
⋅
=
+
+
⋅
⋅
=
∫
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
t
t
t
tdt
t
dt
t
t
t
t
t
I
x
y
z
1
1
π
π
π
6
4
K
5
Uwaga
1. Jeśli krzywa K leży w płaszczyźnie OXY,
OXY
K
⊂
,
=
=
)
(
)
(
:
t
y
y
t
x
x
K
, gdzie
]
,
[
β
α
∈
t
oraz
)
(K
C
f
∈
,
to
(
)
dt
t
y
t
x
t
y
t
x
f
ds
y
x
f
K
)
(
)
(
)
(
),
(
)
,
(
2
2
+
=
∫
∫
β
α
.
2. Jeśli krzywa K leż w płaszczyźnie OXY i zadana jest w sposób jawny, tzn.
],
,
[
dla
)
(
b
a
x
x
y
y
∈
=
to K możemy sparametryzować:
K:
1
]
,
[
gdzie
,
)
(
'
'
'
=
=
⇒
∈
=
=
y
y
x
b
a
x
x
y
y
x
x
i wtedy
(
)
.
)
(
1
)
(
,
)
,
(
2
'
dx
x
y
x
y
x
f
ds
y
x
f
b
a
K
+
⋅
=
∫
∫
Przykład
Obliczyć
∫
K
yds
x
2
, gdzie
4
:
2
2
=
+
y
x
K
,
0
≥
y
.
Funkcja
2
4
x
y
−
=
dla
[
]
2
,
2
−
∈
x
określa krzywą K.
Obliczamy
2
'
4
x
x
y
−
−
=
i korzystamy z uwagi 2.
3
32
3
2
2
4
1
4
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
=
=
−
+
⋅
−
=
+
−
−
−
∫
∫
x
dx
x
dx
x
x
x
x
I
6
Interpretacja geometryczna całki krzywoliniowej niekierowanej
1. Niech
1
≡
f
na K.
Wtedy
∫
=
K
K
ds
- długość krzywej K.
2. Niech K – krzywa płaska,
,
OXY
K
⊂
.
0
),
(
>
∈
f
K
C
f
Wtedy
∫
K
ds
y
x
f
)
,
(
- pole części
powierzchni walcowej znajdujące się pod wykresem funkcji
f.
Interpretacja fizyczna całki krzywoliniowej nieskierowanej
1. Jeśli
ρ
- gęstość liniowa masy rozmieszczonej wzdłuż krzywej
K, to
∫
K
ds
ρ
- masa krzywej
K
2. Jeśli
d – funkcja określającą odległość punktu krzywej K od pewnej prostej, to
∫
K
ds
d
ρ
2
- moment bezwładności krzywej
K względem tej prostej.
Uwaga
Niech
n
K
K
K
K
...
2
1
∪
∪
=
, gdzie
i
K krzywa regularna dla i=1,…,n.
Wtedy definiujemy
∑ ∫
∫
=
=
n
i
K
K
i
fds
fds
1
:
.
x
y
z
z=f(x,y)
K