MECHANIKA
UKŁADÓW WIELOCZŁONOWYCH
Prowadzący: dr inŜ. Paweł Ostapkowicz
WM-324
MECHANIKA
UKŁADÓW WIELOCZŁONOWYCH
Prowadzący: dr inŜ. Paweł Ostapkowicz
WM-324
Wykład 2
Temat:
Wykreślne metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń
mechanizmów płaskich
1. Wstęp
Kinematyka: (od greckiego słowa „kinema” - ruch) – dział mechaniki, który zajmuje się
badaniem ruchu mechanizmów w oderwaniu od przyczyn (sił), które ten ruch powodują.
Stąd uzasadnia to często stosowaną zamiennie ze słowem kinematyka nazwę geometria
ruchu.
Badanie ruchu polega na określeniu połoŜeń, prędkości i przyspieszeń punktów (danego
mechanizmu).
W kinematyce występują dwie jednostki:
- długości (przemieszczenia),
- czasu.
Kinematyka dzieli się na dwa podstawowe działy:
1)
analiza – dotyczy badania ruchu istniejących mechanizmów,
2)
synteza – dotyczy projektowania mechanizmów wykonujących określony ruch.
Metody stosowane w kinematyce moŜna podzielić na trzy grupy:
- metody wykreślne – są szczególnie przydatne dla konstruktorów mechanizmów
i maszyn. Pozwalają prosto i szybko wyznaczyć połoŜenia, prędkości i przyśpieszenia
w złoŜonych mechanizmach;
- metody analityczne – zapewniają większą dokładność wyników;
- metody numeryczne – zapewniają większą dokładność wyników i szybkość obliczeń.
Metody analizy powinny być dobierane w zaleŜności od Ŝądanej dokładności i rodzaju
mechanizmu. W mechanizmach prostych metody analityczne są dość proste,
w mechanizmach złoŜonych stają się one mocno skomplikowane.
2. Przypomnienie wiadomości o wektorach
Wektor jest to wielkość posiadająca:
- kierunek,
- zwrot,
- punkt przyłoŜenia,
- wartość.
Działania na wektorach:
- mnoŜenie skalarne,
- dodawanie skalarne,
- dodawanie graficzne.
3. Metody wykreślne kinematyki
Podstawowym zagadnieniem przy stosowaniu metod wykreślnych jest przyjęcie
odpowiedniej podziałki.
Podziałka
χ
jest to skalar określający stosunek wielkości rzeczywistej do rysunkowej
i mający taki wymiar, aby na rysunku otrzymać długość w milimetrach.
)
(
)
(
X
X
X
X
=
=
→
→
χ
→
X
- wektor rzeczywisty,
X
- moduł wektora,
)
(
→
X
- wektor rysunkowy,
)
(X
- moduł wektora,
v
χ
- podziałka prędkości (m/s / mm)
ε
χ
- podziałka dla przyspieszenia kątowego (1/s
2
/ mm)
3.1. Wyznaczanie prędkości
METODA RZUTÓW
Twierdzenie: Rzuty prędkości dwóch punktów A i B członu sztywnego (nie powinien się
rozciągać lub kurczyć) na prostą AB są sobie równe.
Rys. Ilustracja metody rzutów
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1)
prędkość jednego punktu,
2)
kierunek prędkości drugiego punktu.
METODA CHWILOWEGO ŚRODKA OBROTU
Twierdzenie: Ze środka chwilowego obrotu członu widać prędkości wszystkich punktów
członu pod jednakowym kątem.
Zawsze moŜna napisać, Ŝe
A
A
A
r
V
ω
=
Rys.
Ilustracja metody chwilowego
ś
rodka obrotu
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1)
prędkość jednego punktu ciała,
2)
połoŜenie chwilowego środka obrotu.
Co zrobić, gdy połoŜenie chwilowego środka obrotu nie mieści się na rysunku?
Twierdzenie: KaŜdy ruch złoŜony moŜe być rozpatrywany jako chwilowy ruch postępowy
i obrotowy.
Składowe chwilowego ruchu obrotowego są
prostopadłe do a
0
b
0
i są proporcjonalne do
odległości od punktu O.
To prawo proporcjonalności pozwala określić
prędkość dowolnego punktu członu sztywnego,
w przypadku gdy nie znany jest kierunek jego
prędkości,
a
ś
rodek
prędkości
leŜy
poza
rysunkiem.
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.
Rys. Ilustracja zasady, Ŝe kaŜdy
ruch złoŜony składa się z ruchu
obrotowego i postępowego
Do wyznaczenia chwilowego środka obrotu (środka prędkości) trzeba mieć dane kierunki
prędkości dwóch punktów ciała sztywnego i punkty przyłoŜenia tych prędkości. Środek
prędkości leŜy na przecięciu prostopadłych do kierunków prędkości, wyprowadzonych z
punktów przyłoŜenia prędkości.
Jak wyznaczyć chwilowe środki obrotu trzech układów płaskich poruszających się
względem siebie?
Twierdzenie: Trzy chwilowe środki obrotu względnego dowolnych trzech członów
mechanizmu płaskiego leŜą na jednej prostej.
Rys. Trzy układy płaskie poruszające się względem siebie
trzy układy płaskie: i, k , l; dane środki obrotu: ki, li, kl;
przy czym poszukiwany jest środek obrotu kl
Punkt x będzie chwilowym środkiem obrotu członów k i l
wtedy i tylko wtedy, jeśli ∆V = 0, a to wymaga aby x leŜał
na prostej kl.
METODA ROZKŁADU NA PRĘDKOŚĆ UNOSZENIA I PRĘDKOŚĆ WZGLĘDNĄ
Twierdzenie: Prędkość bezwzględna dowolnego punktu ciała sztywnego
jest sumą wektorową prędkości unoszenia i prędkości względnej.
Ruch względny jednego punktu członu sztywnego
względem drugiego punktu tego członu moŜe być tylko
ruchem obrotowym, prędkość względna musi być zawsze
prostopadła do prostej łączącej punkty członu.
Rys. Ilustracja metody
Wektor będąc sumą ma zwrot przeciwny do składowych. NaleŜy równieŜ
przestrzegać kolejności indeksów. Nie wolno ich zmieniać, szczególnie dla prędkości
względnej. Kreski pod oznaczeniami prędkości informują o ilości danych. Dwie kreski
oznaczają, Ŝe znany jest moduł i kierunek, jedna kreska, Ŝe znana jest tylko jedna z tych
wielkości np. kierunek prędkości
. Kierunki pisze się zwykle pod kreską.
Dane konieczne do zastosowania metody to:
1) prędkość jednego punktu ciała,
2) kierunek prędkości drugiego punktu.
METODA PLANU PRĘDKOŚCI
Zadanie: Obliczyć prędkości punktów
Q i R członu a poruszającego się
względem nieruchomego członu b.
Dane: prędkość punktu P i kierunek
prędkości punktu Q.
Rys. Ilustracja metody
Obiera się dowolny punkt O' i w wybranej podziałce kreśli wektor prędkości
→
P
V
.
Z punktu P' kreśli się prostopadłą do PQ. Na kierunku tym będzie leŜał wektor prędkości
względnej
QP
V
. Przez punkt O' kreśli się równoległą do kierunku V
Q
. Punkt Q' jako
przecięcie kierunków V
Q
i V
QP
daje wielkości tych prędkości. Odcinek O'Q' reprezentuje
w wybranej podziałce wektor
→
Q
V
, a odcinek P'Q' wektor
→
QP
V
. Przez punkt P' kreśli się
prostopadłą do PR. Jest to kierunek prędkości V
RP
. Kierunek prędkości V
RQ
otrzymuje się
kreśląc prostopadłą do QR przez punkt Q'. Przecięcie się kierunków V
RP
i V
RQ
daje wektor
→
R
V
zgodnie z sumą wektorową:
Obliczono prędkości punktów Q i R.
Trójkąt P'Q'R' jest podobny do trójkąta
PQR, tylko obrócony względem niego o
90°
w
stronę
obrotu
chwilowego.
Odpowiadające sobie boki są prostopadłe.
Trójkąt P'Q'R' nazywa się planem
prędkości.
Definicja: Figurę geometryczną będącą miejscem geometrycznym końców wektorów
prędkości figury płaskiej a, poruszającej się ruchem płaskim, wykreślonych z dowolnie
obranego punktu, nazywa się planem prędkości figury a w danym połoŜeniu.
Własności planu prędkości:
1. Plan prędkości jest figurą podobną do badanej.
2. Jest obrócony względem figury badanej o kąt 90° w stronę obrotu chwilowego.
3. Wektory
→
)
'
'
( Q
P
,
→
)
'
'
(
R
P
... są prędkościami rysunkowymi względnymi.
4. Twierdzenie o planie prędkości jest prawdziwe dla jednego członu mechanizmu.
ćw.
Zadanie: Znaleźć prędkość punktu D, mając prędkości V
A
i V
B
i geometrię członu k
1) Z dowolnego punktu O naleŜy wykreślić w
wybranej podziałce wektory V
A
i V
B
, otrzymując
plan prędkości prostej AB w postaci prostej ab.
2) Teraz naleŜy znaleźć na planie prędkości punkt d
odpowiadający punktowi D.
PoniewaŜ plan prędkości jest figurą podobną do
danej, moŜna napisać następujące proporcje:
Prawe strony równań są znane, zaś ab jest znane z planu prędkości. NaleŜy obliczyć
odcinki ad i bd określające połoŜenie punktu d na planie prędkości. Wiedząc, Ŝe plan
prędkości jest obrócony o kąt 90° w stronę obrotu chwilowego, połoŜenie punktu d jest
całkowicie określone.
ćw.
Zadanie: Prędkość chwilowa i przyśpieszenie chwilowe punktu A pręta wynoszą:
V
0
i a
0
. Znaleźć prędkość punktu B pręta w danej chwili.
Obliczenie prędkości przeprowadzić trzema metodami:
a) z wykorzystaniem metody rzutów,
b) z wykorzystaniem planu chwilowych środków prędkości.
3.2. Wyznaczanie przyspieszenia
Aby wyznaczyć przyspieszenia punktów członu sztywnego, naleŜy przedtem znać
prędkości tych punktów. Wygodnie jest wyznaczać przyspieszenia w takiej kolejności,
w jakiej wyznaczano prędkości. Są trzy metody wyznaczania przyspieszeń.
METODA ROZKŁADU PRZYSPIESZEŃ
Twierdzenie: przyspieszenie bezwzględne dowolnego punktu członu sztywnego jest sumą
wektorową przyspieszenia unoszenia, przyspieszenia względnego i przyspieszenia
Coriolisa.
Gdy rozpatruje się człon sztywny, wtedy ruch unoszenia jest
ruchem postępowym. Dla członu AB
→
→
=
A
u
p
p
i wtedy
zawsze
0
=
→
c
p
. Dla członu sztywnego ruch względny jest
ruchem obrotowym i wtedy:
Gdy zostały uprzednio obliczone prędkości punktów, wektor
przyspieszenia normalnego
→
n
BA
p
jest zawsze znany, bo jego moduł
wyraŜa się równaniem:
a zwrot jest zawsze skierowany w stronę środka obrotu względnego.
Moduł względnego przyspieszenia stycznego
→
t
BA
p
, które jest prostopadłe do
względnego przyspieszenia normalnego, wyraŜa się równaniem:
Jeśli znane jest ε i przyspieszenie punktu A, moŜna obliczyć
przyspieszenie punktu B za pomocą równania:
Jeśli nie jest znane ε, to w celu zastosowania metody naleŜy
mieć
dane:
przyspieszenie
punktu
A
i
kierunek
przyspieszenia punktu B. Wtedy przyspieszenie punktu B
oblicza się za pomocą równania: