MECHANIKA OGÓLNA
semestr I
mgr in
ż
. Hanna Weber
A
B
C
D
V
A
V
B
V
C
V
D
H
A
M
A
D
C
B
A
E
F
G
D
C
B
A
E
F
G
V
A
H
A
M
A
V
E
V
E
H
E
H
F
V
B
V
F
H
F
V
F
H
G
V
G
H
G
V
G
V
C
V
D
- fikcyjna podpora
Wyznaczenie reakcji w Belkach Gerbera
Przykład 1. Podziel Belk
ę
Gerbera w przegubach, ustal schemat pracy poszczególnych cz
ęś
ci i zaznacz
reakcje podporowe.
Schemat 1.:
Krok 1.: Dokonujemy podziału belki gerbera w przegubach.
Krok 2.: Wstawiamy podpory fikcyjne tak, aby belki powstałe po podziale były geometrycznie niezmienne
i umiejscawiamy je na odpowiedniej wysoko
ś
ci:
MECHANIKA OGÓLNA
semestr I
mgr in
ż
. Hanna Weber
A
B
C
D
V
A
V
C
V
E
H
A
M
A
E
F
G
A
B
C
D
E
F
G
V
A
H
A
M
A
V
B
V
B
H
B
H
B
V
D
V
C
H
D
V
D
H
D
V
E
V
F
H
F
V
F
H
F
V
G
V
G
Wyznaczamy reakcje dla poszczególnych belek oddzielnie zaczynaj
ą
c od tej poło
ż
onej najwy
ż
ej i schodzimy
stopniowo w dół obci
ąż
aj
ą
c belki ni
ż
ej poło
ż
one wyliczonymi wcze
ś
niej reakcjami.
W schemacie 1. najpierw liczymy cz
ęść
FG ( cz
ęść
ta jest przypadkiem belki statycznie niewyznaczalnej, aby
policzy
ć
reakcje poziome, nale
ż
y wyznaczy
ć
H
G
z sumy rzutów na o
ś
x dla cz
ęś
ci GD), pó
ź
niej cz
ęś
ci EF lub
GD, na ko
ń
cu za
ś
AE.
Schemat 2.:
W schemacie 2. najpierw liczymy cz
ęść
FG, pó
ź
niej DF, nast
ę
pnie BD, na ko
ń
cu za
ś
AB.
MECHANIKA OGÓLNA
semestr I
mgr in
ż
. Hanna Weber
Schemat 3.:
F
A
B
C
V
B
V
D
D
E
G
V
C
V
B
H
C
V
C
H
C
V
D
V
E
H
E
V
E
H
E
V
G
V
G
F
A
B
C
D
E
G
V
F
V
F
M
P
M
P
M
P
W schemacie 3. najpierw liczymy cz
ęść
BC, pó
ź
niej CE, na ko
ń
cu za
ś
EG.
MECHANIKA OGÓLNA
semestr I
mgr in
ż
. Hanna Weber
4
2
3
6
2
1
1
2
q2=4kN/m
q1=6kN/m
P=15kN
60
M=4kNm
A
B
C
D
E
F
G
q2=4kN/m
V = 12kN
E
V = 12kN
D
H = 7,5kN
E
H = 7,5kN
D
P=15kN
60
V = 12kN
E
H = 7,5kN
E
V = 30,495kN
F
Psin60=12,99kN
Pcos60=7,5kN
V = 5,505kN
G
q1=6kN/m
M=4kNm
V = 12kN
D
V = 3,5kN
C
V = 2,5kN
B
H = 7,5kN
D
H = 7,5kN
B
V = 2,5kN
B
V = 2,5kN
A
H = 7,5kN
B
H = 7,5kN
M =10kNm
A
Przykład 2. Podziel Belk
ę
Gerbera w przegubach, ustal schemat pracy poszczególnych cz
ęś
ci i zaznacz
reakcje podporowe oraz policz ich warto
ś
ci z równa
ń
równowagi.
a)
Wyznaczenie reakcji:
Cz
ęść
DE:
∑
F
X
= -H
D
+ H
E
=0
∑
M
D
= -q
2
·
6
·
3 + V
E
·
6=0
→
V
E
=3q
2
=3
·
4=12kN
∑
M
E
= q
2
·
6
·
3 - V
D
·
6=0
→
V
D
=3q
2
=3
·
4=12kN
Sprawdzenie:
∑
F
Y
= V
D
+ V
E
– q
2
·
6 = 12 + 12 - 4
·
6 = 0
Cz
ęść
EG:
∑
F
X
= -H
E
+ Pcos60°=0
→
H
E
= Pcos60°=7,5kN
→
H
D
= 7,5kN
∑
M
F
= V
E
·
2 - Psin60°
·
1 - V
G
·
2=0
→
V
G
=0,5(2V
E
- Psin60°
·
1) = 0,5(2
·
12 – 12,99
·
1)=5,505kN
∑
M
G
= V
E
·
4 + Psin60°
·
1 - V
F
·
2=0
→
V
F
=0,5(4V
E
+ Psin60°
·
1) =0,5(4
·
12 + 12,99
·
1)=30,495kN
Sprawdzenie:
∑
F
Y
= V
F
- V
E
– V
G
- Psin60° = 30,495 – 12 - 5,505 - 12,99= 0
Cz
ęść
BD:
∑
F
X
= -H
B
+ H
D
= 0
→
H
B
= H
D
=7,5kN
∑
M
B
= -V
C
·
2 + M + q
1
·
3
·
3,5 - V
D
·
5=0
→
V
C
=0,5
·
(M + q
1
·
3
·
3,5 - V
D
·
5) = 0,5(4 + 6
·
3
·
3,5 - 12
·
5)=3,5kN
∑
M
C
= V
B
·
2 + M + q
1
·
3
·
1,5 - V
D
·
3=0
→
V
B
=0,5
·
(-M - q
1
·
3
·
1,5 + V
D
·
3) = 0,5(-4 - 6
·
3
·
1,5 + 12
·
3)=2,5kN
Sprawdzenie:
∑
F
Y
= -V
B
– V
C
– V
D
+ q
1
·
3= - 2,5 – 3,5 - 12 + 6
·
3= 0
Cz
ęść
AB:
∑
F
X
= -H
A
+ H
B
= 0
→
H
A
= H
B
=7,5kN
∑
M
A
= V
B
·
4 - M
A
=0
→
M
A
=4V
B
= 4
·
2,5 =10kNm
∑
F
Y
= -V
A
+ V
B
=0
→
V
A
= V
B
=2,5kN
Sprawdzenie:
∑
M
B
= V
A
·
4
- M
A
= - 2,5
·
4 + 10 = 0
MECHANIKA OGÓLNA
semestr I
mgr in
ż
. Hanna Weber
P1=17kN
45
M =4kNm
M =8kNm
q=6kN/m
4
2
2
3
2
1
1
1
A
B
C
D
E
F
G
P1=17kN
45
M =4kNm
q=6kN/m
M =8kNm
V = 6,01kN
A
H = 12,02kN
A
M =20,04kNm
V = 6,01kN
B
H = 12,02kN
B
H = 12,02kN
B
V = 6,01kN
B
V = 6,01kN
C
H = 0kN
C
H = 0kN
C
V = 6,01kN
C
V = 22,475kN
D
V = 1,515kN
E
H = 0kN
E
H = 0kN
E
V = 1,515kN
E
V = 9,515kN
G
V = 11,03kN
F
Psin45=12,02kN
Pcos45=12,02kN
A
1
1
2
2
c)
Wyznaczenie reakcji:
Cz
ęść
BC:
∑
F
X
= -H
B
+ H
C
+ P
1
cos45° =0
→
H
B
= H
C
+ P
1
cos45°
∑
M
B
= V
C
·
4 - P
1
sin45°
·
2=0
→
V
C
=0,25
·
( 2P
1
sin45°)=0,25
·
2
·
12,02=6,01kN
∑
M
C
= - V
B
·
4 + P
1
sin45°
·
2=0 =
→
V
B
=0,25
·
( 2P
1
sin45°)=0,25
·
2
·
12,02=6,01kN
Sprawdzenie:
∑
F
Y
= V
B
+ V
C
– P
1
sin45° = 6,01 + 6,01 - 12,02 = 0
Cz
ęść
CE:
∑
F
X
= -H
C
+ H
E
=0
→
H
C
= H
E
∑
M
D
= -q
·
5
·
0,5 - V
E
·
2 + V
C
·
3=0
→
V
E
=0,5(3V
C
– 2,5q) = 0,5(3
·
6,01 – 2,5
·
6)=1,515kN
∑
M
E
= V
D
·
2 - q
·
5
·
2,5 + V
C
·
5=0
→
V
D
=0,5(-5V
C
+ 12,5q) =0,5(- 5
·
6,01 + 12,5
·
6)=22,475kN
Sprawdzenie:
∑
F
Y
= -V
C
+ 5q – V
D
– V
E
= - 6,01 + 5
·
6 – 22,475 – 1,515 = 0
Cz
ęść
EG:
∑
F
X
= - H
E
= 0
→
H
E
= 0kN
→
H
C
= 0kN
→
H
B
= 0 + P
1
cos45° = 0 + 12,02 = 12,02kN
∑
M
F
= V
G
·
1 - M
2
- V
E
·
1 =0
→
V
G
= M
2
+ 1V
E
= 8 + 1
·
1,515 = 9,515kN
∑
M
G
= V
F
·
1 - M
2
- V
E
·
2 =0
→
V
F
= M
2
+ 2V
E
= 8 + 2
·
1,515 = 11,03kN
Sprawdzenie:
∑
F
Y
= -V
F
+ V
E
+ V
G
= - 11,03 + 1,515 + 9,515 = 0
Cz
ęść
AB:
∑
F
X
= - H
A
+ H
B
= 0
→
H
A
= H
B
= 12,02kN
∑
M
A
= - V
B
·
4 + M
A
+ M
1
=0
→
M
A
= 4V
B
– M
1
= 4
·
6,01 - 4 =20,04kNm
∑
F
Y
= V
A
- V
B
=0
→
V
A
= V
B
= 6,01kN
Sprawdzenie:
∑
M
B
= -V
A
·
4
+ M
A
+ M
1
= 4
·
6,01 – 20,04 - 4 = 0
