Prof. Edmund Wittbrodt
Ruch kulisty bryły. Kinematyka
Ruchem kulistym nazywamy ruch, w czasie którego jeden z punktów bryły jest stale nieruchomy. Ruch kulisty jest obrotem
dookoła chwilowej osi obrotu (oś ta zmienia swoje położenie w czasie).
Ruch kulisty bryły: a) obrót wokół punktu, b) obrót dookoła chwilowej osi obrotu
Symetralne, le
żą
ce
na kołach du
ż
ych
A’
∆
OAB=
∆
OA’B’
O
1
Chwilowa
o
ś
obrotu
B’
A
B
O
b)
O
a)
y
x
z
ϕ
x
ϕ
y
ϕ
z
Prof. Edmund Wittbrodt
Położenie. Bryła, której jeden punkt jest unieruchomiony ma 3 stopnie swobody. Jej położenie jest opisane w sposób
jednoznaczny jedynie za pomocą kątów, zwanych
kątami Eulera
. Dla określenia tych kątów wprowadzamy układ
współrzędnych związanych z bryłą
ξ
,
η
,
ζ
.
Opis ruchu kulistego bryły za pomocą kątów Eulera
Wyobraźmy sobie, że początkowo osie układu nieruchomego x, y, z pokrywają się z osiami układu
ξ
,
η
,
ζ
. Następnie bryła
wykonuje obroty:
•
wokół osi nieruchomej
z
o kąt
ψ
(kąt
precesji
), po wykonaniu tego obrotu oś
ξ
znajdzie się na linii zwanej linią
węzłów
w
,
•
wokół osi
ξ
o kąt
θ
(kąt
nutacji
), ściśle wokół linii węzłów
w
,
•
wokół osi
ζ
o kąt
ϕ
(kąt
obrotu własnego
).
Kolejność „wykonywania” powyższych obrotów jest dowolna i nie ma ona wpływu na położenie końcowe bryły.
y
ξ
ψ
x
η
z
ζ
θ
ϕ
linia
w
ę
złów w
O
Prof. Edmund Wittbrodt
Gdybyśmy chcieli za współrzędne bryły przyjąć kąty będące obrotami wokół osi układu nieruchomego x, y, z, wówczas
kolejność wykonywania obrotów decydowałaby o położeniu końcowym bryły. Kąty
ϕ
x
,
ϕ
y
,
ϕ
z
nie opisują więc
jednoznacznie położenia bryły (można je przyjąć tylko dla małych obrotów).
Wpływ kolejności „wykonywania” obrotów bryły na położenie
końcowe: a) obroty w kolejności – wokół osi x potem y, b)
obroty w kolejności – wokół osi y potem x
Zatem kąty:
ψ
=
ψ
(t),
θ
=
θ
(t),
( )
t
ϕ ϕ
=
są współrzędnymi bryły w ruchu kulistym.
x
z
y
1
2
b)
x
z
y
1
2
a)
Prof. Edmund Wittbrodt
Położenie dowolnego punktu A bryły określamy za pomocą wektora
r
(o stałej długości), którego współrzędne możemy
podać w nieruchomym układzie osi x, y, z
Położenie punktu A bryły w ruchu kulistym:
a) w układzie nieruchomym x, y, z,
b) w układzie
ξ
,
η
,
ζ
związanym z bryłą
A
A
A
A
r
x i
y j
z k
=
+
+
lub w układzie związanym z bryłą
ξ
,
η
,
ζ
ζ
η
ξ
ζ
η
ξ
e
e
e
r
A
A
A
A
+
+
=
,
gdzie
ξ
A
,
η
A
,
ζ
A
są wielkościami stałymi.
z
A
x
y
A
O
x
A
y
z
A
r
A
a)
O
A
r
A
ξ
η
ζ
ζ
A
ξ
A
η
A
b)
Prof. Edmund Wittbrodt
Prędkość. Ponieważ ruch kulisty jest obrotem wokół chwilowej osi obrotu, wektor prędkości kątowej leży na tej osi.
Chwilowa oś obrotu bryły w ruchu kulistym
Wektor prędkości kątowej
ω
możemy podać zarówno w nieruchomym układzie osi x, y, z
x
y
z
i
j
k
ω ω
ω
ω
=
+
+
,
jak i w układzie związanym z bryłą
e
e
e
ξ ξ
η η
ζ ζ
ω ω
ω
ω
=
+
+
.
0
chwilowa o
ś
obrotu
ω
Prof. Edmund Wittbrodt
Znając prędkości:
ϕ
&
– obrotu własnego,
ψ
&
– precesji oraz
θ
&
– nutacji,
Wektory prędkości kątowych: obrotu własnego
ϕ
&
, precesji
ψ
&
i nutacji
θ
&
Składowe wektora
ω
, w układzie nieruchomym
z
y
x
,
,
oraz ruchomym
ξ
,
η
,
ζ
obliczamy z zależności:
⋅
−
=
=
θ
ψ
ϕ
θ
ψ
ψ
θ
ψ
ψ
θ
ω
ω
ω
ω
&
&
&
0
1
cos
sin
0
cos
sin
cos
0
sin
sin
z
y
x
.
⋅
−
=
=
θ
ψ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
θ
ω
ω
ω
ω
ζ
η
ξ
&
&
&
0
cos
1
sin
cos
sin
0
cos
sin
sin
0
ϕ
y
ξ
ψ
x
η
z
ζ
O
ψ
&
ϕ
&
θ
&
θ
w
Prof. Edmund Wittbrodt
W celu znalezienia składowych prędkości kątowej w układzie x,y,z obliczamy poszczególne jej składowe sumując
algebraicznie odpowiednie składowe wektorów prędkości kątowych w układzie x’,y’,z’
z’
O
z
y
w
x
n
θθθθ
2
ϕ
′
=
ω
k
r
r
&
2
π ψ
−
ψ
1
ψ
=
ω
k
r
r
&
3
e
θ
=
r
r
&
w
ω
2
π
cos
ϕ
θ
&
sin sin
ϕ
θ ψ
&
sin cos
ϕ
θ
ψ
−
&
sin
ϕ
θ
&
Prof. Edmund Wittbrodt
Transformacja do układu nieruchomego:
x,y,z
k
⋅
=
ψ
ω
&
1
'
2
k
⋅
=
ϕ
ω
&
w
e
⋅
=
θ
ω
&
3
x
ω
0
ψ
θ
ϕ
sin
sin
⋅
⋅
&
ψ
θ
cos
⋅
&
y
ω
0
ψ
θ
ϕ
cos
sin
⋅
⋅
−
&
ψ
θ
sin
⋅
&
z
ω
ψ
&
θ
ϕ
cos
⋅
&
0
Transformacja do układu ruchomego:
ζ
η
ξ
,
,
k
⋅
=
ψ
ω
&
1
'
2
k
⋅
=
ϕ
ω
&
w
e
⋅
=
θ
ω
&
3
ξ
ω
ϕ
θ
ψ
sin
sin
⋅
⋅
&
0
ϕ
θ
cos
⋅
&
η
ω
ϕ
θ
ψ
cos
sin
⋅
⋅
&
0
ϕ
θ
sin
⋅
−
&
ζ
ω
θ
ψ
cos
⋅
&
ϕ
&
0
Prędkość liniową punktu A bryły, w układzie nieruchomym x, y, z, obliczamy z zależności
Prof. Edmund Wittbrodt
A
A
x
y
z
A
A
A
i
j
k
v
r
x
y
z
ω
ω
ω
ω
= × =
,
co stanowi wektor
A
Ax
Ay
Az
v
v
i
v
j
v k
=
+
+
,
gdzie:
Ax
y A
z
A
v
z
y
ω
ω
=
−
,
Ay
z A
x A
v
x
z
ω
ω
=
−
,
Az
x
A
y A
v
y
x
ω
ω
=
−
.
Natomiast wektor prędkości punktu A w układzie związanym z bryłą obliczamy
Prof. Edmund Wittbrodt
ξ
η
ζ
ξ
η
ζ
ω
ω
ω
ω
ξ
η
ζ
= × =
A
A
A
A
A
e
e
e
v
r
,
co zapisujemy
A
Ax
A
A
v
v e
v e
v
e
ξ
η η
ζ ζ
=
+
+
,
gdzie:
A
A
A
v
ξ
η
ζ
ω ζ
ω η
=
−
,
A
A
A
v
η
ζ
ξ
ω ξ
ω ζ
=
−
,
A
A
A
v
ζ
ξ
η
ω η ω ξ
=
−
.
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie. Wektor przyspieszenia kątowego bryły w ruchu kulistym leży na chwilowej osi przyspieszenia.
Chwilowa oś przyśpieszenia bryły w ruchu kulistym
Wektor przyspieszenia kątowego możemy podać tak w nieruchomym układzie osi x, y, z
x
y
z
i
j
k
ε ω ε
ε
ε
= =
+
+
&
,
jak i w ruchomym układzie osi
ξ
,
η
,
ζ
e
e
e
ξ ξ
η η
ζ ζ
ε ω ε
ε
ε
= =
+
+
&
.
O
chwilowa
oś
przyśpieszenia
ε
Prof. Edmund Wittbrodt
Przyspieszenie liniowe dowolnego punktu A bryły określamy różniczkując względem czasu wyrażenie na prędkość
liniową tego punktu
(
)
(
)
A
A
A
A
A
A
A
Aob
Ado
d
a
v
r
r
r
r
r
a
a
dt
ω
ω
ω
ε
ω ω
=
=
×
= × + × = × + × ×
=
+
&
&
&
,
gdzie:
Aob
A
a
r
ε
= ×
–
przyspieszenie obrotowe
,
A
A
A
A
Ado
r
r
v
r
a
2
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
⋅
=
×
=
×
×
=
–
przyspieszenie doosiowe
.
Przyśpieszenie doosiowe i obrotowe bryły w ruchu kulistym
Znając
położenie
chwilowych
osi
prędkości i przyspieszenia, wartości
przyspieszeń obrotowego i doosiowego
możemy obliczać ze wzorów:
Aob
a
ε
ερ
=
,
2
ω
ω ρ
=
Ado
a
.
chwilowa o
ś
obrotu
ρ
ε
ρ
ω
chwilowa o
ś
przy
ś
pieszenia
O
ω
ε
A
a
Ado
a
Aob
a
A
Prof. Edmund Wittbrodt
W czasie ruchu kulistego bryły sztywnej chwilowa oś obrotu zmienia swoje położenie względem nieruchomego układu
odniesienia U oraz względem poruszającej się bryły. Przechodzi ona jednak zawsze przez środek O ruchu kulistego. Z tego
względu chwilowe osie obrotu muszą leżeć na pewnej powierzchni stożkowej o wierzchołku w punkcie O. Podobnie,
miejscem geometrycznym chwilowych osi obrotu w układzie ruchomym U’ jest powierzchnia innego stożka, o wierzchołku
w punkcie O. Powierzchnie te nazywają się
aksoidami (aksioida ruchoma i aksioida nieruchoma)
.
aksioida nieruchoma
aksioida ruchoma
ω
ωω
ω
l
O=O’