Politechnika Warszawska 

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych 

Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich 

 

 
 
 
 
 
 
 

Laboratorium Konstrukcji Nośnych 

 
 
 
 
 
 
 
 

Skręcanie profili cienkościennych

 

 

 

Wersja robocza 

Tylko dla użytku wewnętrznego SiMR PW 

 

 
 
 
 
 
 
 

Opracowanie: 

  

Artur Jankowiak 

Hieronim Jakubczak 

Jan Maciejewski 

 

 
 
 
 

Warszawa 2014 

Wszelkie prawa zastrzeżone 

 

2

Ćwiczenie 2 

 

Skręcanie profili cienkościennych  

 
2.1 CEL ĆWICZENIA 

Celem  ćwiczenia jest poznanie zjawiska skręcania profili cienkościennych, które są 

szeroko wykorzystywane w konstrukcjach nośnych maszyn roboczych. Elementy konstrukcji 

nośnych maszyn podlegają zwykle obciążeniom przestrzennym, których efektem jest dość 

często skręcanie tych elementów. Obciążenia skręcające są ważne z tego względu, że mogą 

wywoływać znaczne wytężenie materiału w elementach, w zależności od sposobu ich 

zamocowania i obciążenia, jak również kształtu przekroju poprzecznego.  

2.2 PODSTAWY TEORETYCZNE 

Skręcanie - wiadomości ogólne 

Skręcanie jest zjawiskiem często występującym w konstrukcjach nośnych maszyn. 

Rozpatrując je na przykładzie pręta o przekroju kołowym, można wyobrazić sobie parę sił F 

przyłożonych do pręta w płaszczyźnie prostopadłej do osi wzdłużnej (rys. 1). Efektem tego są 

siły wewnętrzne zredukowane do momentu skręcającego M. 

l

F

F

M

M

φ

l

F

F

M

M

φ

 

Rys. 2.1 Skręcanie pręta o przekroju okrągłym 

Pod działaniem momentu skręcającego przekrój kołowy, normalny do osi pręta doznaje 

obrotu wokół osi zachowując swą  płaskość. Takie zachowanie przekrojów cienkościennych 

jest jednak słuszne tylko dla elementów o przekrojach nie podlegających zjawisku deplanacji 

(o zjawisku tym będzie mowa w dalszej części opracowania). 

 

3

Miarą odkształcenia w pręcie skręcanym jest kąt skręcenia. Jest to kąt pomiędzy dwoma 

wzajemnymi przekrojami płaskimi, które obróciły się względem siebie (rys. 2.1). Jeżeli na 

rozpatrywanej długości pręta  M = const, G = const, I

o

 = const to kąt skręcenia można 

wyznaczyć ze wzoru: 

o

I

G

l

M

⋅

⋅

=

ϕ

 

 

 

 

 

    (2.1)  

gdzie:  M - moment skręcający, l - długość pręta, I

o

 - biegunowy moment bezwładności 

przekroju, G - moduł Kirchoffa, wyznaczany ze wzoru: 

(

)

ν

+

⋅

=

1

2

E

G

    

 

 

 

    (2.2) 

gdzie: E - moduł Younga, 

ν

 - liczba Poissona. 

Naprężenia styczne w dowolnym punkcie przekroju pręta okrągłego, obciążonego 

momentem skręcającym opisane są zależnością (2.3), w której 

ρ

 oznacza odległość od środka 

pręta do analizowanego punktu.  

ρ

⋅

=

τ

o

I

M

 

     

 

 

 

(2.3) 

Największe naprężenia styczne występują na konturze zewnętrznym przekroju, tzn. gdy 

ρ

 = r. 

Skręcanie profili cienkościennych 

W konstrukcjach nośnych maszyn najczęściej stosuje się elementy o przekrojach 

cienkościennych. Przykład takiego pręta o przekroju kołowym otwartym przedstawia rys. 

2.2a. Podczas skręcania takich przekrojów może wystąpić zjawisko deplanacji (paczenia) 

przekroju, objawiające się tym, że przekrój płaski po obciążeniu momentem skręcającym 

przestaje być płaski (przekroje odkształcają się w kierunku osiowym), rys. 2.2b. 

Ze względu na deplanację przekroju i jej ograniczenie, rozróżnia się skręcanie swobodne 

i nieswobodne. Skręcanie swobodne występuje wtedy, gdy deplanacja przekroju pręta nie jest 

ograniczana na całej długości pręta, np. przez sposób zamocowania pręta lub żebra 

poprzeczne w pręcie, rys. 2.2b. Z powyższej definicji wynika, że przekroje nie ulegające 

deplanacji są skręcane w sposób swobodny, niezależnie od sposobu utwierdzenia pręta.  

W prętach skręcanych swobodnie występują tylko naprężenia styczne.  

 

4

Przy skręcaniu nieswobodnym istnieją przyczyny nie pozwalające na swobodną 

deplanację przekrojów pręta, jak np. przyspawanie pręta do płyty (rys. 2.2c). Skutkiem tego 

ograniczenia część ‘wzdłużnych włókien’ pręta powyżej linii przecięcia konturu przekroju z 

rys. 2.2c zostanie skrócona, zaś włókna poniżej przecięcia zostaną wydłużone. Efektem tego 

są jest powstanie odkształceń (i naprężeń) wzdłuż osi pręta (normalnych do przekroju). Warto 

zauważyć,  że rozkład tych naprężeń w przekroju pręta musi być taki, aby siła normalna w 

przekroju była równa zeru, bo na pręt nie działa żadna siła osiowa. 

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

 

Rys. 2.2 Skręcanie swobodne (b) i nieswobodne (c) 

Ze względu na deplanację i jej wpływ na efekty skręcania prętów cienkościennych, 

przekroje prętów można podzielić na trzy grupy: 

a)  przekroje nie podlegające deplanacji (skręcane swobodnie, niezależnie od 

utwierdzenia), wśród których znajdują się: 

•  przekroje kołowo - symetryczne, w których środek skręcania pokrywa się ze 

środkiem masy, 

•  przekroje złożone z krzyżujących się pasów, środek skręcania tych przekrojów 

leży na ich przecięciu, 

•  przekroje zamknięte o stałej grubości opisane na okręgu, jak profile trójkątne i 

inne wielokątne foremne. 

a) 

b) 

c) 

 

5

b)  przekroje ulegające deplanacji w niewielkim stopniu, dla których zastosowanie 

modelu skręcania swobodnego daje zadowalające przybliżenie, 

c)  przekroje podlegające deplanacji, dla których konieczne jest uwzględnienie tego 

zjawiska. 

Należy tu podkreślić,  że deplanacja przekroju ma wpływ jedynie na wartości naprężeń  

w pręcie przy skręcaniu nieswobodnym. Przy skręcaniu swobodnym to zjawisko nie jest  

w ogóle brane pod uwagę. 

Do obliczania kąta skręcenia profili cienkościennych o przekroju otwartym jak  

i zamkniętym można wykorzystać wzór (2.1). Biegunowy moment bezwładności przekroju, 

I

o

, powinien jednak zostać zastąpiony wskaźnikiem sztywności przekroju na skręcanie,  I

s

, 

który jest nazywany również biegunowym momentem bezwładności przekroju 

cienkościennego, chociaż w ogólności nie jest obliczany tak, jak moment bezwładności.  

a)   

 

 

 

b) 

 

 

 

c) 

 

S

4 

S

1

 

S

2 

S

3

 

δ

2 

δ

1

 

δ

4 

δ

3 

        

 

δ

2 

δ

1

 

h

1 

h

2 

δ

3 

h

3

 

      

 

δ

3

 

δ

1 

h

1

 

h

3 

h

2 

δ

2 

 

Rys. 2.3 Profile o przekroju zamkniętym (a) oraz otwartym (b) i (c). 

W przypadku profili o przekroju otwartym, wartość I

s

 oblicza się jako sumę wskaźników, 

I

si

, poszczególnych odcinków (części składowych) przekroju. 

3

1

3

1

i

n

i

i

S

h

I

δ

⋅

⋅

⋅

α

=

∑

=

 

 

    (2.4) 

gdzie:  h

i

 i 

δ

i

 - długość i szerokość i - tego prostokąta. 

Dodatkowy współczynnik poprawkowy 

α

 uwzględnia kształt przekroju cienkościennego. 

Poniżej przedstawiono jego wartość dla kilku podstawowych profili. 

Kątownik                             

α

 = 1.00 

Walcowany dwuteownik     

α

 = 1.20 

 

6

Walcowany ceownik            

α

 = 1.12 

Spawany dwuteownik          

α

 = 1.50 

W przypadku profili o przekroju zamkniętym wskaźnik sztywności przekroju na 

skręcanie opisywany jest wzorem: 

∫

δ

⋅

=

ds

A

I

o

S

2

4

   

 

 

 

 

    (2.5) 

Dla profili o zarysie odcinkowo prostoliniowym o stałych grubościach całkę we wzorze 

możemy zamienić na sumę, a mianowicie 

∑

=

δ

⋅

=

n

i

i

i

o

S

s

A

I

1

2

4

   

 

 

 

 

    (2.6) 

gdzie:  A

o

 - pole powierzchni ograniczone linią  środkową  ścianki, zaś  s

i

 i 

δ

i

 – to długość  

i grubość i - tego odcinka ścianki przekroju pręta zamkniętego. 

Skręcanie swobodne profili o przekroju otwartym i zamkniętym 

Naprężenia styczne przy skręcaniu swobodnym prętów wyznacza się z następujących 

wzorów: 

•  Dla profili o przekrojach otwartych: 

δ

⋅

=

τ

S

S

I

M

 

     

 

 

 

(2.7) 

gdzie 

δ

 oznacza grubość  ścianki. Naprężenia styczne osiągają największe wartości na 

powierzchni swobodnej przekroju (rys. 2.4a). 

•  Dla profili o przekrojach zamkniętych naprężenia styczne przy skręcaniu swobodnym 

określa się ze wzoru Breda (2.8), a ich rozkład wzdłuż grubości jest równomierny, rys. 

2.4b. Dla profili zamkniętych obowiązuje zależność 

.

const

i

Si

=

δ

τ

 

δ

⋅

=

τ

o

s

A

M

2

 

 

     

 

(2.8) 

Warto zwrócić uwagę,  że w przekrojach otwartych największa wartość naprężeń 

stycznych występuje przy największej, zaś w przekrojach zamkniętych – przy najmniejszej 

grubości ścianki. 

 

7

a)   

 

 

 

 

 

 

b) 

 

Rys. 2.4 Rozkład naprężeń stycznych skręcania swobodnego 

Skręcanie nieswobodne profili otwartych i zamkniętych 

Obliczanie naprężeń w prętach przy skręcaniu nieswobodnym jest o wiele bardziej 

złożone niż w przypadku skręcania swobodnego. Wymaga to bowiem wyznaczenia wartości 

dodatkowych sił wewnętrznych w analizowanych przekrojach pręta (moment skręcania 

swobodnego i giętno-skrętnego oraz bimomentu), które są efektem nie tylko sposobu 

obciążenia pręta, ale również jego zamocowania oraz kształtu i wymiarów przekroju 

poprzecznego. W pierwszej kolejności należy jednak wyznaczyć środek skręcania przekroju 

pręta oraz dodatkowe charakterystyki przekroju.  

Wyznaczanie środka skręcania 

Środek skręcania jest punktem (w przekroju poprzecznym), wokół którego odbywa się 

względny obrót sąsiednich przekrojów pręta.  Środek skręcania pokrywa się ze środkiem 

ścinania [3]. Warto pamiętać,  że siły poprzeczne przechodzące przez środek  ścinania nie 

wywołują skręcania pręta. W przypadku przekrojów posiadających oś symetrii - środek 

skręcania znajduje się zawsze na tej osi.  

Wyznaczenie środka skręcania jest niezbędne dla określenia deplanacji przekroju, której 

miarą jest powierzchnia wycinkowa 

ω

 (powierzchnia wycinkowa pokazuje sposób paczenia 

przekroju przy skręcaniu). Powierzchnią wycinkową (lub współrzędną wycinkową) punktu N 

krzywej s względem bieguna B, nazywamy wyrażenie  

( )

∫

⋅

=

MN

ds

s

h

ω

     (2.9) 

gdzie h(s) jest zmienną odległością bieguna B od stycznej do krzywej s, a punkt M wyznacza 

początek sumowania, w którym 

ω

 = 0, rys. 2.5a. Powierzchnia wycinkowa przyjmuje 

wartości dodatnie gdy promień wodzący BM obraca się zgodnie z ruchem zegara. Całka we 

 

8

wzorze (2.9) równa jest podwojonemu polu powierzchni ograniczonej odcinkiem łuku 

konturu MN oraz prostymi BM i BN.  

Położenie bieguna B można przyjmować w dowolnym miejscu, ale wówczas nie 

odzwierciedla rzeczywistej deplanacji przekroju. Na rys. 2.5c przedstawiono przykład 

powierzchni wycinkowej względem punktu B dla przekroju ceowego. Położenie punktu 

zerowego początku całkowania M wyznaczamy z warunku zerowania statycznego momentu 

wycinkowego:  

0

=

⋅

=

∫

Ac

c

dA

S

ω

ω

     (2.10) 

 

Dla przekrojów posiadających oś symetrii (np. przekrój ceowy) początek całkowania leży 

na przecięciu osi symetrii z profilem.  

B

M

N

h(s)

ss

s=0

K

L

c

b

z

y

δ

δ

δ

B

S

y

y

M

M

α

y

c

2 (b+

α

y

)

c

2

α

y

c

2

-

α

y

c

2(

-

α

y

-b)

c

2

-b

c

2

b

z

z

y

S

d)

c)

b)

a)

y

y

y

B

B

B

B

B

M

N

h(s)

ss

s=0

K

L

c

b

z

y

δ

δ

δ

B

S

y

y

M

M

α

y

c

2 (b+

α

y

)

c

2

α

y

c

2

-

α

y

c

2(

-

α

y

-b)

c

2

-b

c

2

b

z

z

y

S

d)

c)

b)

a)

y

y

y

B

B

B

B

 

Rys. 2.5 Sposób wyznaczania środka skręcania. 

Rzeczywistą deplanację przekroju obrazuje główna powierzchnia wycinkowa, która jest 

wyznaczana względem  środka skręcania  S. Położenie  środka skręcania,  S dowolnego 

przekroju (współrzędne  y

S

, z

S

) wyznacza się na podstawie powierzchni wycinkowej 

ω

B

, 

wyznaczonej względem dowolnie wybranego punktu, B (o znanym położeniu y

B

, z

B

): 

y

By

B

S

y

I

I

y

y

ω

−

=

−

=

α

     

 

 

(2.11) 

z

Bz

B

S

Z

I

I

z

z

ω

=

−

=

α

 

     

 

(2.12) 

gdzie: y, z - główne osie bezwładności, I

y

, I

z

 – momenty bezwładności przekroju względem 

osi y i z, y

B

 , z

B

 - położenie dowolnego punktu B względem układu współrzędnych. 

 

9

Parametry 

α

y

 i 

α

z

 wyznaczają przesunięcie  środka skręcania względem punktu B, przy 

czym wartości dodatnie oznaczają przesunięcie zgodne z kierunkiem osi, natomiast wartości 

ujemne – przesunięcie w stronę przeciwną (jak 

α

y

 na rys. 2.5d). Z tego względu przy 

wyznaczaniu głównej powierzchni wycinkowej (rys. 2.5d) należy uwzględnić znak tego 

parametru.  

Wycinkowo - liniowe momenty względem osi y i z wynoszą odpowiednio: 

zdA

I

B

By

∫

ω

=

ω

      

 

(2.13) 

ydA

I

B

Bz

∫

ω

=

ω

      

 

(2.14) 

gdzie:  A - pole przekroju pręta,  ω

B

 - powierzchnia wycinkowa względem dowolnie 

wybranego punktu B. 

Poniższy tok postępowania jest podobny dla profili otwartych i zamkniętych.  

W przypadku przekrojów zamkniętych należy się posługiwać tzw. uogólnioną powierzchnią 

wycinkową, 

ωˆ

. Pełniejsze informacje dotyczące wyznaczania środka skręcania dla 

przekrojów otwartych i zamkniętych są zawarte w pracy [1]. 

Wyznaczanie charakterystyk geometrycznych przekroju 

Istotnym problemem do rozwiązania jest tu określenie powierzchni wycinkowych dla 

danego przekroju. Przykładowe wykresy powierzchni wycinkowych dla profili stosowanych 

w ćwiczeniu pokazane zostaną w części dotyczącej wykonania ćwiczenia.  

Wycinkowy moment bezwładności obliczany jest ze wzoru: 

dA

I

A

∫

ω

=

ω

2

 

      

 

(2.15) 

Wycinkowy moment statyczny dla dowolnego punktu przekroju oblicza się 

uwzględniając jedynie część przekroju A

c

 od początku konturu: 

∫

⋅

=

Ac

c

dA

S

ω

ω

 

      

 

(2.16) 

Oznacza to, że w każdym punkcie początkowym (i końcowym) konturu wartość 

wycinkowego momentu bezwładności jest równa zero. 

 

 

10

Wyznaczanie sił wewnętrznych 

Przy skręcaniu nieswobodnym w przekroju pręta cienkościennego, którego przekrój 

ulega deplanacji, pojawiają się dodatkowe naprężenia styczne, równomiernie rozłożone po 

grubości  ścianki. Stąd całkowity moment skręcający  M dzieli się na moment skręcania 

swobodnego M

S

 i moment giętno-skrętny M

ω

. 

ω

M

M

M

S

+

=

      

 

(2.17) 

Wartości momentów M

s

 i M

ω

, wyznaczane są z równań różniczkowych kąta skręcenia 

pręta: 

'

s

S

I

G

M

ϕ

⋅

⋅

=

 

     

 

 

 

(2.18) 

oraz     

''

'

I

E

M

ϕ

⋅

⋅

⋅

μ

−

=

ω

1

1

 

    (2.19) 

gdzie:  I

1

 = I

ω

 dla profilu otwartego i I

1

  =

ω

ˆ

I dla profilu zamkniętego.  I

ω

 oraz 

ω

ˆ

I  to główne 

wycinkowe momenty bezwładności przekroju cienkościennego otwartego i zamkniętego. 

Zatem: 

'

s

''

'

I

G

I

E

M

ϕ

⋅

⋅

+

ϕ

⋅

⋅

⋅

μ

−

=

1

1

     

(2.20) 

Przy skręcaniu nieswobodnym należy uwzględnić również bimoment B, który wyraża się 

wzorem: 

''

I

E

B

ϕ

⋅

⋅

⋅

μ

−

=

1

1

 

     

 

(2.21) 

W powyższych wzorach μ oznacza współczynnik spaczenia przekroju (μ = 1 dla 

przekrojów otwartych oraz dla przekrojów zamkniętych, które nie ulegają deplanacji): 

p

S

I

I

−

=

μ 1

 

 

     (2.22) 

dla przekroju zamkniętego, gdzie I

p

 jest kierunkowym momentem bezwładności przekroju, 

obliczanym ze wzoru: 

∫

⋅

δ

=

ds

h

I

p

2

 

 

     (2.23) 

gdzie h jest odległością od środka skręcania do odcinka ds konturu przekroju. 

 

11

Po zróżniczkowaniu równanie (2.20) przybiera postać:: 

( )

( )

x

I

G

x

I

E

dx

dM

II

s

IV

ϕ

⋅

⋅

+

ϕ

⋅

⋅

⋅

μ

−

=

1

1

 

  

 

  (2.24) 

Przy założeniu stałości momentu obciążającego pręt wzdłuż jego długości, równanie kąta 

skręcenia można przekształcić do postaci obowiązującej zarówno dla przekrojów otwartych 

oraz zamkniętych: 

( )

0

2

=

ϕ

⋅

−

ϕ

II

IV

k

x

 

     

 

(2.25) 

gdzie k - współczynnik giętno-skrętny pręta cienkościennego: 

1

I

E

I

G

k

s

⋅

⋅

⋅

μ

=

. 

      

 

(2.26) 

Rozwiązanie równania różniczkowego (2.18) pręta skręcanego, z uwzględnieniem 

warunków brzegowych, wynikających z jego zamocowania i obciążenia, umożliwia 

wyznaczenie sił wewnętrznych M

s

, M

ω

 oraz B w każdym przekroju pręta. 

Wyznaczanie naprężeń 

Znając siły wewnętrzne (B, M

S

, M

ω

) i charakterystyki przekrojów możemy wyznaczyć 

naprężenia panujące w przekroju pręta.  

Naprężenia styczne St. Venanta (wywołane momentem M

s

) oblicza się tak, jak przy 

skręcaniu swobodnym, ze wzorów (2.7) i (2.8) odpowiednio dla przekrojów otwartych  

i zamkniętych. 

a)  Przekroje otwarte  

•  naprężenia normalne wycinkowe (otrzymane w wyniku deplanacji): 

ω

⋅

=

σ

ω

ω

I

B

 

 

 

      

 

(2.27) 

•  naprężenia styczne wycinkowe (powstałe na skutek nierównomiernego rozkładu 

naprężeń normalnych): 

δ

⋅

⋅

−

=

τ

ω

ω

ω

ω

I

S

M

c

      

 

(2.28) 

b) Przekroje zamknięte 

•  naprężenia normalne wycinkowe (otrzymane w wyniku deplanacji): 

 

12

ω

⋅

=

σ

ω

ω

ˆ

I

B

ˆ

ˆ

 

      

 

(2.29) 

•  naprężenia styczne wycinkowe (zmienne wzdłuż konturu, analogiczne do przekrojów 

otwartych): 

δ

⋅

⋅

−

=

τ

ω

ω

ω

ω

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

I

S

M

 

 

      

 

(2.30) 

Wyznaczenie tych naprężeń stycznych jest bardzo złożone i jest szczegółowo opisane w 

pracy [1]. 

2.3 STANOWISKO BADAWCZE 

W ćwiczeniu dostępne są dwa rodzaje profili - profil zamknięty i profil otwarty (rys. 2.7). 

Stanowisko badawcze jest wykonane w taki sposób, aby pozwolić na obciążenie tych 

elementów momentem skręcającym. Moment skręcający uzyskujemy przykładając obciążenie 

P do ramienia a o maksymalnej długości 500 mm. Zarówno przykładaną siłę jak i ramię jej 

działania można zmieniać, czego efektem będzie zmiana momentu skręcającego.  

P

a

P

a

       

b

h

b

h

b

h

a

b

h

a

b

h

a

 

Rys. 2.7 Stanowisko badawcze oraz przekroje prętów 

Pomiaru kąta skręcenia dokonuje się pośrednio mierząc wielkość przesunięcia punktu 

odniesienia od położenia zerowego do położenia po obciążeniu. 

Do wyznaczenia naprężeń w wybranych przekrojach badanych elementów zastosowano 

tensometry, pozwalające uzyskać wartości odkształceń w danych kierunkach. Składowe 

naprężeń dla płaskiego stanu naprężenia wyznacza się wykorzystując uogólnione prawo 

Hooke’a. 

 

13

Model obliczeniowy  

Model pręta z wyszczególnieniem warunków brzegowych przedstawia rys. 2.8. 

x

M

ϕ

(0) = 0

ϕ

’(0) = 0

B(0)

≠ 0

x

l

M

ϕ

”(l) = 0

B(l) =  0

x

M

ϕ

(0) = 0

ϕ

’(0) = 0

B(0)

≠ 0

x

l

M

ϕ

”(l) = 0

B(l) =  0

 

Rys. 2.8 Warunki brzegowe do wyznaczenia sił wewnętrznych 

Ze względu na to, że moment skręcający, obciążający pręt w stanowisku badawczym jest 

stały wzdłuż jego długości można posłużyć się równaniem (2.25). Rozwiązanie ogólne 

równania różniczkowego można zapisać w następujący sposób: 

4

3

2

1

A

x

A

kx

cosh

A

kx

sinh

A

+

+

+

=

ϕ

 

   (2.31) 

Wartości stałych  A

i 

wyznaczymy z warunków brzegowych, podanych na rysunku 2.8,  

a mianowicie: 

•  kąt skręcenia w miejscu zamocowania ϕ(0) = 0 

•  naprężenia normalne na brzegu swobodnym: 

( )

( )

( )

0

0

0

=

ϕ

⇒

=

⇒

=

σ

ω

ω

l

"

l

B

l

 

•  Moment skręcający równy jest M  

M

)

l

(

I

G

)

l

(

I

E

M

)

l

(

M

S

=

ϕ′

⋅

⋅

+

ϕ ′′′

⋅

⋅

⋅

μ

−

⇒

=

ω

1

   (2.32) 

•  W miejscu zamocowania znika moment skręcania swobodnego 

0

0

0

0

=

ϕ

⇒

=

)

(

'

)

(

M

S

 

Uwzględniając warunki brzegowe, rozwiązanie tego równania przedstawia się 

następująco: 

(

)

(

)

kx

sinh

kx

kGI

M

kx

cosh

GI

B

s

s

O

−

μ

+

−

μ

=

ϕ

1

 

   

 

(2.33) 

(

)

(

)

kx

cosh

GI

M

kx

sinh

k

GI

B

'

s

s

O

−

μ

+

−

⋅

μ

=

ϕ

1

 

   

 

(2.34) 

(

)

(

)

kx

sinh

k

GI

M

kx

cosh

k

GI

B

''

s

s

O

−

⋅

μ

+

−

⋅

μ

=

ϕ

2

 

   

 

(2.35) 

 

14

(

)

(

)

kx

cosh

k

kGI

M

kx

sinh

k

GI

B

''

'

s

s

O

−

⋅

μ

+

−

⋅

μ

=

ϕ

2

3

 

 

  (2.36) 

Korzystając z faktu, że pochodna kąta φ”(l) = 0, z równania (2.35) można określić jedyną 

niewiadomą wielkość w powyższych równaniach - bimoment B

o

 w miejscu zamocowania 

pręta: 

kl

tgh

k

M

B

O

⋅

−

=

      

 

(2.37) 

Znając rozwiązanie kąta skręcenia pręta, siły wewnętrzne 

B, M

S

 i 

M

ω

 oraz ich przebiegi  

w funkcji długości pręta można wyznaczyć odpowiednio ze wzorów (2.35), (2.34) i (2.36). Są 

one przedstawione na rys. 2.9. Warto zwrócić uwagę, że moment giętno-skrętny 

M

ω

 na końcu 

swobodnym ma wartość podaną wzorem (2.38), co oznacza, że przy małych wartościach 

kl na 

końcu pręta występuje moment skręcania swobodnego oraz moment giętno-skrętny. 

kl

cosh

M

M

l

=

ω

 

      

 

(2.38) 

x

x

M

ω

(x)

B (x)

M

S

(x)

 

Rys. 2.9 Zmiana sił wewnętrznych 

B, M

S

 i 

M

ω

 wzdłuż długości pręta 

Charakterystyki geometryczne przekrojów występujących w ćwiczeniu 

Charakterystyki geometryczne dla przekroju otwartego wyznaczono na podstawie 

wykresu powierzchni wycinkowej, przedstawionego na rys. 2.10.  

Położenie punktu 

S względem  B wskazuje, że wartość 

α

y

 < 0, bowiem jego wartość 

wynosi (wartość 

h

*

 = 

h/2 -2/3a): 

(

)

3

2

3

2

2

2

2

6

2

4

3

a

h

bh

h

h

a

ah

bh

b

*

y

−

−

+

+

+

⋅

−

=

α

 

    

 

(2.39) 

 

15

1

z

B

S

α

y

y

2

3

5

6

3

4

7

8

9

2

h

y

α

2

2

bh

h

y

+

α

(

)

y

y

b

a

bh

h

α

−

+

+

α

2

2

1

z

B

S

α

y

y

2

3

5

6

3

4

7

8

9

2

h

y

α

2

2

bh

h

y

+

α

(

)

y

y

b

a

bh

h

α

−

+

+

α

2

2

 

Rys. 2.10 Powierzchnia wycinkowa dla przekroju otwartego 

•  Wskaźnik sztywności na skręcanie dla przekroju otwartego, obliczany ze wzoru (2.4), 

przedstawia się następująco: 

(

)

3

2

2

3

2

1

δ

⋅

+

+

⋅

=

a

h

b

.

I

S

 

 

 

 

  (2.40) 

•  Główny wycinkowy moment bezwładności dla przekroju otwartego o powierzchni 

wycinkowej z rys. 2.10 oblicza się ze wzoru:  

(

)

(

)

(

)

(

)

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

α

−

⋅

+

α

+

⋅

+

α

+

+

α

−

α

⋅

δ

=

ω

2

3

2

2

3

2

2

2

2

3

2

6

2

y

y

y

y

b

a

b

ah

b

h

h

h

I

 (2.41) 

•  Wycinkowy moment statyczny wyznacza się w charakterystycznych punktach przekroju z 

rys. 2.10 korzystając ze wzoru (2.16): 

( )

0

1

=

ω

S

  

 

 

 

 

 

 

  (2.42) 

( )

( )

(

) (

)

[

]

y

y

b

a

b

h

a

S

S

α

−

⋅

+

α

+

⋅

δ

⋅

+

=

ω

ω

2

1

1

2

 

   

 

(2.43) 

( )

( )

(

)

2

4

2

3

y

b

h

S

S

α

+

⋅

δ

⋅

+

=

ω

ω

   

 

 

 

  (2.44) 

( )

( )

δ

α

ω

ω

⋅

⋅

−

=

4

3

4

2

h

S

S

y

 

 

 

 

 

  (2.45) 

 

16

( )

( )

δ

⋅

⋅

α

+

=

ω

ω

8

4

5

2

h

S

S

y

 

 

 

 

 

  (2.46) 

Na tej podstawie można sporządzić rozkład wycinkowego momentu statycznego 

S

ω

 dla 

przekroju badanej belki, pamiętając o symetrycznym rozkładzie 

S

ω

 względem osi 

y. 

Przedstawiono go poniżej, na rys. 2.11. 

 

5

 

1

2

3

4

 

5

 

1

2

3

4

 

Rys. 2.11 Rozkład wycinkowego momentu statycznego 

S

ω

 

Wykres uogólnionej powierzchni wycinkowej dla przekroju zamkniętego jest 

przedstawiony na rys. 2.12. Na jego podstawie wyznaczono następujące charakterystyki 

przekroju:  

•  Powierzchnia ograniczona średnim konturem przekroju: 

h

b

A

O

⋅

=

 

 

 

 

 

  (2.47) 

•  Biegunowy moment bezwładności obliczany ze wzoru (2.5):  

( )

(

)

h

b

h

b

ds

A

I

o

S

+

δ

⋅

=

δ

⋅

=

∫

2

2

2

4

   

 

 

 

  (2.48) 

•  Główny wycinkowy moment bezwładności przekroju: 

(

)

b

h

I

O

+

⋅

δ

⋅

ω

⋅

=

ω

2

3

2

   

 

 

 

  (2.49) 

gdzie: 

b

h

b

h

h

b

O

+

−

⋅

⋅

=

4

ω

  

 

 

 

  (2.50) 

 

17

ϖ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

ϖ

0

ϖ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

ϖ

0

 

Rys. 2.12 Uogólniona powierzchnia wycinkowa 

ω

ˆ  dla przekroju zamkniętego. 

•  Kierunkowy moment bezwładności przekroju: 

(

)

b

h

b

h

I

p

+

⋅

δ

⋅

⋅

=

2

 

 

 

 

 

  (2.51) 

•  Wycinkowy moment statyczny dla przekroju zamkniętego badanego w ćwiczeniu wynosi 

w wybranych punktach odpowiednio: 

( )

0

1

=

ω

S

,  

 

 

 

 

 

(2.52) 

( )

( )

δ

ω

ω

ω

⋅

⋅

+

=

4

1

2

h

S

S

O

 

 

 

 

 (2.53) 

( )

( )

δ

ω

ω

ω

⋅

⋅

+

=

4

2

3

b

S

S

O

 

 

 

 

  (2.54) 

( )

( )

δ

ω

ω

ω

⋅

⋅

−

=

4

3

4

b

S

S

O

 

 

 

 

  (2.55) 

( )

( )

δ

ω

ω

ω

⋅

⋅

−

=

4

4

5

h

S

S

O

 

 

 

 

  (2.56) 

Rozkład wycinkowego momentu statycznego przedstawia rys. 2.13. Warto podkreślić, że 

rozkłady powierzchni wycinkowej, przedstawione na rys. 2.10 i 2.12, odzwierciedlają 

rozkłady naprężeń normalnych w przekrojach badanych prętów (patrz wzory 2.27 i 2.29).  

Podobnie, wykresy wycinkowego momentu statycznego, przedstawione na rys. 2.11  

i 2.13 odzwierciedlają rozkłady wartości naprężeń stycznych skręcania giętno-skrętnego 

(patrz wzory 2.28 i 2.30). 

 

18

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

 

Rys. 2.13 Rozkład wycinkowego momentu statycznego 

2.4 WYKONANIE ĆWICZENIA 

W celu wykonania ćwiczenia należy: 

1.  Dokonać pomiarów wielkości geometrycznych przekrojów badanych prętów. 

2.  Wyznaczyć charakterystyki przekroju, niezbędne do obliczenia kąta skręcenia pręta. 

3.  Wyznaczyć graficzną zależność teoretycznego kąta skręcenia od wartości momentu 

skręcającego. 

4.  Dokonać pomiarów kąta skręcenia dla kilku wartości momentu skręcającego (zmiana 

obciążenia i ramienia siły) i otrzymane wyniki nanieść na wykres teoretyczny. 

5.  Dokonać pomiaru naprężeń za pomocą tensometrów naklejonych w wybranych 

przekrojach badanego pręta i ocenić wartość naprężeń normalnych.  

6.  Dokonać obliczeń sił wewnętrznych w przekrojach oraz naprężeń w punktach 

pomiarowych przy założeniu skręcania swobodnego i nieswobodnego. 

7.  Dokonać porównania wartości otrzymanych teoretycznie i doświadczalnie oraz wyciągnąć 

wnioski. 

 

2.5 LITERATURA 

1.  S. Oziemski, W. Sobczykiewicz: 

Konstrukcje nośne maszyn roboczych ciężkich, WPW 

Warszawa 1990 

2.  Z. Dyląg, A. Jakubowicz, Z. Orłoś: 

Wytrzymałość materiałów, WNT Warszawa 1996 

3.  J. Rutecki: 

Cienkościenne konstrukcje nośne, WNT Warszawa 1966