plik

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

1. Wprowadzenie

ostek Thomsona jest układem przeznaczonym do pomiaru szczególnie
małych rezystancji - od ułamków milioma (m

Ω

) do kilku omów (

Ω

to rezystancje porównywalne z rezystancjami przewodów

cych, których obecno

ś ć

jest nieunikniona w ka

dym układzie pomiarowym.

Dla przykładu rezystancja mierzona w niniejszym

wiczeniu ma warto

ś ć

≈

1 m

Ω

, tymczasem miedziany przewód ł

cy o długo

ci 0,5 m

i przekroju 1,5 mm

ma rezystancj

≈

6 m

Ω

(rys.1)

Rys.1. Rezystancja mierzona R

wraz z przewodami ł

cymi.

Próba pomiaru tak małej rezystancji w układzie mostka Wheatstone’a

zako

czyłaby si

wynikiem obarczonym olbrzymim bł

dem.

Na rys.1 przedstawione jest jedno z czterech ramion mostka Wheatstone’a.

Pomijaj

c inne aspekty maj

ce wpływ na bł

d pomiaru, nale

y zauwa

e w

układzie tego mostka zostałaby zmierzona rezystancja całej gał

zi AB. Jej

warto

ś ć

dla przytoczonych wy

ej warto

ci rezystancji R

, R

wyniosłaby:

= R

+ 2R

= 13 m

Ω

Wynik pomiaru trzynastokrotnie przewy

szałby wi

c warto

ś ć

rzeczywist

rezystancji R

, za

bł

dy pomiaru wyniosłyby odpowiednio:

a) bł

d bezwzgl

dny:

Ω

⋅

−

∆

b) bł

d wzgl

dny:

∆

100%

1200%

!!!

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

Zaproponowany w roku 1862 przez fizyka angielskiego Williama

Thomsona (od roku 1892 lorda Kelvina) układ do pomiaru małych rezystancji
wywodzi si

z układu mostka Wheatstone’a, którego schemat ideowy jest

przedstawiony na rys. 2.

Rys. 2. Schemat ideowy mostka Wheatstone’a

z bardzo małymi rezystancjami R

, R

Na schemacie tym pogrubiono cztery odcinki przewodów ł

cych: AB,

CD, DE, FG. Ich rezystancje s

porównywalne z rezystancjami rezystorów R

i odgrywaj

znacz

rol

w górnych ramionach mostka. Natomiast

rezystancje R

, R

maj

warto

ci rz

du co najmniej kilkuset omów (cz

sto kilku

lub kilkunastu kiloomów), wobec czego wpływ przewodów wyst

puj

cych

wokół nich mo

na całkowicie zaniedba

Wyja

nijmy jeszcze,

e potrzeba pomiaru bardzo małej rezystancji R

poci

ga za sob

konieczno

ś ć

wł

czenia do układu jeszcze jednej rezystancji tego

samego rz

du. Z analizy bł

du nieczuło

ci mostka Wheatstone’a wynika,

powinna ni

rezystancja R

. Kwestia ta jest szczegółowo omawiana na

wykładzie dotycz

cym mostka Wheatstone’a.

Pierwszym

krokiem

drodze

przekształcania

układu

mostka

Wheatstone’a w układ mostka Thomsona jest przeniesienie odcinków AB oraz
FG przewodów ł

cych do tych gał

zi mostka, w których s

one nieszkodliwe,

a wi

c do gał

zi zawieraj

cych du

e rezystancje R

, R

. Osi

ga si

to przez

doprowadzenie przewodów biegn

cych od

ródła zasilania bezpo

rednio do

zacisków B i F małych rezystancji R

, R

. Rezultat takiego zabiegu

przedstawiono na rys. 3.

Dla układu mostka Wheatstone’a z rys. 3 napiszemy równanie równowagi,

uwzgl

dniaj

c w nim rezystancje przewodów CD i DE.

(

)

(

)

(1)

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

Dziel

c obie strony równania (1) przez wyra

enie R

, otrzymuje si

zale

ś ć

(2)

Z zale

ci tej wynika,

e gdyby spełniony został warunek (3),

(3)

lub, co na jedno wychodzi, warunek (4),

(4)

to z równania równowagi (1) znikłyby paso

ytnicze rezystancje R

i R

przewodów CD i DE i równanie to przyj

łoby posta

(5)

to znaczy zawierałoby jedynie rezystancje rezystorów wyst

puj

cych

w ramionach mostka.

Rys. 3. Schemat układu mostka Wheatstone’a po zmianie punktów przył

czenia

przewodów biegn

cych od

ródła zasilania

Z warunku (4) wynika,

e rozwi

zanie problemu le

y w znalezieniu

wła

ciwego poło

enia punktu D, który powinien dzieli

odcinek przewodu CE na

takie dwie cz

ę ś

ci, których rezystancje miałyby si

do siebie jak R

do R

Praktyczna realizacja tej idei byłaby kłopotliwa z uwagi na niewielkie warto

rezystancji, z jakimi ma si

tutaj do czynienia. Zamiast wi

c dzieli

odcinek CE,

dzieli si

spadek napi

cia na nim przy pomocy rezystancyjnego dzielnika

zło

onego z rezystorów R’

, R’

(rys. 4) spełniaj

cych warunek (6) ,

identyczny z warunkiem (4).

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

(6)

Poprawno

ść

tego rozwi

zania układowego nie jest oczywista i wymaga dowodu,

który podajemy ni

ej.

Układ przedstawiony na rys. 4 jest ju

układem mostka Thomsona,

narysowanym w do

ść

nietypowy sposób, pokazuj

cym jednak charakte-

rystyczne cechy tego mostka, to znaczy sposób prowadzenia przewodów od

ródła zasilania oraz obecno

ść

dzielnika napi

cia R’

, R’

R’

Rys.4. Schemat ideowy mostka Thomsona

Chc

c dowie

ść

prawdziwo

ci warunku (6), przekształcimy trójk

t rezystancji

, R’

(rezystancje przewodów wyst

puj

cych wokół R’

, R’

pomini

cia wobec znacznej rezystancji tych ostatnich) w równowa

gwiazd

rezystancji R

, R

. Otrzymany w wyniku tego przekształcenia układ,

przedstawiony jest na rys. 5.

Przy czym:

(7)

(8)

(9)

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

Rys.5. Równowa

na gwiazda rezystancji R

, R

Dla czteroramiennego mostka z rysunku 5 napiszemy teraz znane równanie
równowagi

(

)

(

)

Dziel

c obie strony tego równania przez wyra

enie

R R

3 4

, otrzymujemy zale

ś ć

(10)

eli w równaniu równowagi (10) maj

wyst

powa

tylko rezystancje

, trzeba aby spełnione była równo

ś ć

lub, co na jedno wychodzi:

(11)

Podstawiaj

c do (11) zale

ci (7), (8), otrzymuje si

po przekształceniach:

czyli warunek (6), co nale

ało wykaza

W literaturze spotyka si

najcz

ę ś

ciej schemat ideowy mostka Thomsona

przedstawiony na rys.6, nie ró

cy si

ideowo od mostka z rysunku 4.

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

R’

Rys. 6. „Uporz

dkowany” schemat mostka Thomsona

W mostku z rysunku 6 rezystory R

i R’

sprz

ę ż

one s

mechanicznie dzi

czemu w ka

dej chwili ich rezystancje s

sobie równe. To samo dotyczy

rezystorów R

i R’

. Rozwi

zanie takie ułatwia spełnienie warunku (6) podczas

równowa

enia mostka. Równowa

enie odbywa si

przez regulacj

tylko

rezystancji R

-R’

. Zespół R

-R

’ słu

y do zmiany zakresu pomiarowego mostka.

Mostek Thomsona ma cztery zaciski wej

ciowe

Pouczaj

ce wydaje si

pokazanie czytelnikowi układu mostka Thomsona

w sposób przedstawiaj

cy wyra

nie cztery zaciski wej

ciowe mostka i nie-

odzowne cztery przewody ł

ce rezystancj

mierzon

z tym mostkiem.

Przedstawia to rysunek 7.

R’

Rys.7. Mostek Thomsona ma cztery zaciski wej

ciowe

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

W układzie mostka Thomsona istniej

(zaznaczone na rys.7 grubymi

liniami) gał

zie, w których płynie pr

d o znacznym nat

ę ż

eniu. W mostku

stosowanym w

wiczeniu wynosi ono 20 A. Tak du

y pr

d potrzebny jest do

wywołania na bardzo małych rezystancjach R

, R

odczuwalnie du

ych spadków

napi

ę ć

zapewniaj

cych dostateczn

czuło

ś ć

układu.

Bł

d podstawowy

Bez dowodu podamy tu wyra

enie na wzgl

dny bł

d graniczny pomiaru

rezystancji mostkiem Thomsona. Dany jest on zale

(12).

(

)

(12)

gdzie:

- rezystancja przewodu ł

cego rezystancje R

i R

eli rezystancja

ma pomijalnie mał

warto

ś ć

(jest ni

np. gruby płaskownik

miedziany), wówczas bł

d wyra

dostatecznie dobrze trzy pierwsze składniki

wyra

enia (12), które staje si

wtedy identyczne z zale

wra

analogiczny bł

d mostka dotycz

cym mostka Wheatstone’a.

Bł

d nieczuło

Bez dowodu podajemy ni

ej wyra

enie na bł

d nieczuło

ci mostka Thomsona.

(

)

[

]

(

)

[

]

(

)

R R

R R da

R R

R S

⋅

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

⋅

R R

R S

3 4

2 3

2 4

(13)

gdzie:

-napi

cie zasilaj

- rezystancja wewn

trzna galwanometru

- rezystancja przewodu ł

cego rezystancje R

, R

- czuło

ś ć

dowa galwanometru

da - najmniejsze dostrzegalne przemieszczenie wskazówki galwanome

tru (przyjmuje si

umownie da = 0,1 mm)

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

2. Przebieg

wiczenia

Na wst

pie nale

y zmierzy

wskazan

przez prowadz

cego rezystancj

technicznym mostkiem Thomsona typu TMT-2. Jest to niezb

dne do

sprawnego i bezpiecznego przeprowadzenia zasadniczego pomiaru rezystancji
mostkiem laboratoryjnym

Techniczny mostek Thomsona

Techniczny mostek Thomsona u

ywany jest w laboratorium do zgrubnego

pomiaru nieznanej rezystancji R

, co pozwala na prawidłowe nastawienie

parametrów mostka laboratoryjnego i przy

pieszenie jego równowa

enia..

Mostek techniczny ma niewielkie rozmiary i jest łatwy w obsłudze. Na rys.8
przedstawiono sposób przył

czania do mostka rezystancji mierzonej R

czterozaciskowej i dwuzaciskowej.

W obydwu przypadkach konieczne jest u

ycie czterech przewodów

cych. Wszystkie „usprawnienia” stosowane niekiedy przez „adeptów”

sztuki mierzenia, a polegaj

ce na zwieraniu par zacisków wej

ciowych i

przył

czaniu rezystancji mierzonej tylko dwoma przewodami, powoduj

powstawanie kilkusetprocentowych bł

dów pomiaru.

Rys.8. Sposób przył

czania do mostka Thomsona rezystancji mierzonych:

czterozaciskowej i dwuzaciskowej.

Mostek techniczny typu TMT-2 jest zasilany z baterii płaskiej 4,5V ;

przystosowany jest jednak tak

e do zasilania ze

ródła zewn

trznego. Podczas

wiczenia mostek nale

y zasili

z zasilacza stabilizowanego.

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

Wynik pomiaru rezystancji mostkiem technicznym:

= ..................

Ω

Wynik pomiaru, w celu jego weryfikacji, nale

y poda

prowadz

cemu

wiczenie

Pomiar rezystancji laboratoryjnym

mostkiem Thomsona

Schemat układu laboratoryjnego mostka Thomsona przedstawiono na

rysunku 9

100

1000

x1000

x10

x100

x0,1

0,1G

Z S

Rys.9. Schemat laboratoryjnego układu mostka Thomsona

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

Opis elementów mostka

ZS – zasilacz stabilizowany o du

ej wydajno

ci pr

dowej

R – rezystor drutowy o rezystancji 0,6

Ω

- rezystancja mierzona (bocznik amperomierza magnetoele-

ktrycznego)

-rezystor wzorcowy (0,001

Ω

)

- szyna miedziana

G - galwanometr magnetoelektryczny
Z - zwieracz galwanometru
(G - 0,1G) - przeł

cznik (wł

cznik) galwanometru:

•

pozycja „0,1G” oznacza ograniczon

czuło

ś ć

galwanometru

•

pozycja „G” oznacza pełn

czuło

ś ć

galwanometru

•

w pozycji

rodkowej galwanometr jest odł

czony od układu

N, X

- pary zacisków, do których doprowadzane s

spadki napi

ę ć

rezystorach R

i R

(miejsce przył

czenia poszczególnych

napi

ę ć

zale

y od warto

ci rezystancji R

zmierzonej mostkiem

technicznym - patrz Tablica 1

W - rezystor odpowiadaj

cy rezystorowi R’

T - rezystor odpowiadaj

cy rezystorowi R

W ka

dej chwili powinno by

W = T

R - pi

ciodekadowy zespół sprz

ę ż

onych mechanicznie rezystorów

R’

, R

słu

żą

cy do równowa

enia mostka

Zasady zestawiania laboratoryjnego mostka Thomsona

1. Na wst

pie nale

y ustali

miejsca przył

czenia rezystancji R

oraz R

a) gdy R

≥≥≥≥

0,001

Ω

nale

y przył

czy

do zac. X

do zac. N

b) gdy R

<<<<

0,001

Ω

nale

y przył

czy

do zac. N za

do zac. X

2. W kolejnym kroku nale

y dokona

wyboru warto

ci rezystancji rezystora

wzorcowego R

oraz rezystorów W, T. Wyboru R

, W , T dokonuje si

według wskaza

Tablicy 1.

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

3. Miejsce przył

czenia rezystora R

(zaciski N lub X

) decyduje o postaci

równania pomiaru:

dla przypadku a) obowi

zuje zale

ś ć

(13)

dla przypadku b) obowi

zuje zale

ś ć

(14)

Zasady zawarte w punktach 1, 2, 3 ujmuje wyczerpuj

co Tablica 1.

Tablica 1

Przedziały

warto

→

= R

→

= R

Ω

1-0,1

0,1-0,01

0,01-0,001

0,001-0,0001

0,0001-0,00001

0,00001-0,000001

0,1

0,01

0,001

-
-
-

1000
1000
1000

-
-
-

1000
1000
1000

-
-
-

0,001
0,001
0,001

-
-
-

1000

100

-
-
-

1000

100

Przebieg pomiarów

Czynno

ci przygotowawcze

Przed zamkni

ciem wył

cznika W (rys.9), nale

y nastawi

okre

lone

parametry mostka tak, aby był on w stanie zbli

onym do stanu równowagi .

Przy

piesza to osi

gni

cie stanu równowagi i zapobiega ewentualnemu

uszkodzeniu czułego galwanometru laboratoryjnego.

Przybli

ony stan równowagi uzyskuje si

, nastawiaj

c odpowiedni

warto

ś ć

ciodekadowego rezystora R, któr

oblicza si

z zale

ci (13) lub

(14), podstawiaj

c w niej w miejsce R

wynik pomiaru rezystancji mostkiem

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

technicznym. Warto

ci rezystorów W, T ustala si

przy pomocy przeł

czników

kołkowych na podstawie Tablicy 1. Jak wiadomo, powinno by

zawsze W = T.

Kolejn

operacj

przygotowawcz

jest wyzerowanie galwanometru. Przy

otwartym wył

czniku W oraz zwieraczu Z nale

y ustawi

wietln

wskazówk

galwanometru na zerowej kresce działowej. W wypadku gdy wyst

puj

trudno

w całkowitym stłumieniu oscylacji wskazówki, przyrz

d uwa

a si

wyzerowany, gdy lewa amplituda oscylacji wokół poło

enia zerowego jest równa

amplitudzie prawej. Po wyzerowaniu nie nale

y zmienia

miejsca ustawienia

galwanometru na stole.

Pomiar rezystancji R

1. Zamknij wył

cznik W i przy pomocy rezystora R

nastaw pr

d pomocniczy I

=20 A. Przeł

cznik galwanometru ustaw w pozycji „0,1 G” (ograniczona

czuło

ść

). Reguluj

c rezystancj

ciodekadowego rezystora R, doprowad

wskazanie galwanometru do zera. Ustaw nast

pnie przeł

cznik galwanometru

w poło

enie „G” (pełna czuło

ść

) i w przypadku gdy wskazania galwanometru

oka

ż ą

ró

ne od zera, podobnie jak poprzednio zrównowa

mostek.

Warto

ść

rezystancji R, dla której uzyskano zerowe wskazanie galwanometru

zapisz w Tablicy 2. Poszukiwan

warto

ść

oblicz ze wzoru (13) lub (14).

Tablica 2

= ..........................

Ω

(wynik pomiaru mostkiem technicznym)

= 0,001

Ω

W = T = ...................

Ω

= 20 A

Numer pomiaru

Ω

= ...................

Ω

Pomiar nale

y powtórzy

trzykrotnie, wskazane jest przy tym, aby za

dym razem dokonywała tego inna osoba z grupy laboratoryjnej. Je

eli

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

poszczególne wyniki ró

nieznacznie mi

dzy sob

, obliczamy ich

redni

arytmetyczn

Wyznaczanie bł

du nieczuło

ci mostka

Definicja bł

du nieczuło

Bezwzgl

dnym bł

dem nieczuło

ci mostka

∆

nazywa si

najwi

kszy

przyrost

∆

rezystancji mierzonej R

, nie powoduj

cy jeszcze dostrzegalnego

przemieszczenia wskazówki

wietlnej galwanometru.

W praktyce stosuje si

ytkow

definicj

tego bł

du.

Bezwzgl

dnym bł

dem nieczuło

ci mostka

∆

nazywa si

przyrost

∆

rezystancji mierzonej R

powoduj

cy najmniejsze dostrzegalne przemieszczenie

wskazówki

wietlnej galwanometru

∆

a. Jego warto

ś ć

przyjmuje si

umownie za

równ

0,1 mm.

Zgodnie z tym ostatnim okre

leniem,

∆

(dla

∆

a = 0,1 mm)

(15)

Wzgl

dny bł

d nieczuło

ci natomiast definiuje si

nast

puj

co:

∆

(16)

Odst

pstwa od definicji

Zgodnie z podan

ej definicj

bł

du nieczuło

ci do

wiadczalne

wyznaczanie bł

du nieczuło

ci wymaga płynnej regulacji rezystancji mierzonej

. W znakomitej wi

kszo

ci przypadków jest to niemo

liwe, bowiem rezystory

mierzone nie s

na ogół regulowane. Ma to miejsce tak

e w niniejszym

wiczeniu, dlatego definicje (15), (16) stosowane b

tutaj w odniesieniu do

rezystancji R słu

żą

cej do równowa

enia mostka.

Poza tym przemieszczanie wskazówki galwanometru o definicyjn

warto

ś ć

∆

a =0,1 mm jest praktycznie niewykonalne, dlatego w

wiczeniu zaleca si

zmian

rezystancji R o tak

warto

ś ć

, która wywoła przemieszczenie wskazówki

∆

a = 5 mm, a nast

pnie obliczenie bezwzgl

dnego bł

du nieczuło

ci według

wzoru (17)

∆

(17)

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

który pozwala na drodze teoretycznej ustali

warto

ś ć

∆

R niezb

przemieszczenia wskazówki o

∆

a = 0,1 mm.

Bł

d wzgl

dny oblicza si

natomiast według wzoru (18)

100

∆

(18)

gdzie: R - rezystancja w stanie równowagi mostka.

Przebieg pomiarów

Pomiary bł

du nieczuło

ci odbywaj

w układzie przedstawionym na

rysunku 9. według nast

puj

cego porz

dku.

1. Nastaw pr

d pomocniczy I

= 20 A

2. Zrównowa

mostek i zanotuj w Tablicy 3 warto

ś ć

rezystancji

uzyskan

dla

du galwanometru I

=0. Nast

pnie poprzez regulacj

rezystorów R uzyskaj

odchylenie wskazówki galwanometru o

∆

a = 5 mm od poło

enia zerowego w

dowoln

stron

. T

now

warto

ś ć

rezystancji R (

R’

) zanotuj w odpowiedniej

rubryce Tablicy 3. Ze wzorów (17), (18) oblicz bł

dy nieczuło

∆

3. Eksperyment powtórz dla ró

nych (wskazanych w Tablicy 3) warto

ci pr

pomocniczego I

, reguluj

c go przy pomocy rezystora suwakowego R

wicz. nr 6 Mostek Thomsona

Tablica 3

=0)

Ω

R’

=5mm)

Ω

∆∆∆∆

||||

R-R’

||||

Ω

∆∆∆∆

Ω

δδδδ

W sprawozdaniu nale

Sporz

dzi

wykres zale

( )

f I

Wyja

, dlaczego bł

d nieczuło

ci zale

y od warto

ci pr

du I

3. Pytania i zadania kontrolne

1. Dlaczego bardzo małych rezystancji nie mierzy si

mostkiem Wheatstone’a ?

2. Narysuj schemat ideowy mostka Thomsona.
3. Które rezystancje mostka Thomsona maj

b. małe warto

ci, a które du

4. Jaki warunek spełnia

musz

rezystancje R’

, R’

(rys. 4) ?

5. Napisz warunek równowagi mostka Thomsona (rys. 4).
6. Podaj definicje bezwzgl

dnego i wzgl

dnego bł

du nieczuło

ci.

7. Na czym polegaj

odst

pstwa od definicji bł

dów nieczuło

ci i z czego

wynikaj

8. W jaki sposób nale

y przył

czy

dwie ko

cówki przewodu ł

czeniowego

ywanego w laboratorium, do technicznego mostka Thomsona o czterech

zaciskach wej

ciowych w celu pomiaru rezystancji tego przewodu?

4. Literatura

1. Lebson S. Podstawy miernictwa elektrycznego WNT, Warszawa 1970
2. Chwaleba A. i inni Metrologia elektryczna WNT, Warszawa 1998
3. Marcyniuk A. i inni Podstawy metrologii elektrycznej WNT, Warszawa 1984