J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
1
Ćwiczenie 3
Płaski stan naprężeń (PSN) i płaski stan odkształceń (PSO)
Nowe oznaczenia osi układu współrzędnych:
1
2
3
,
,
x x x
(odrzucamy oznaczenia
, ,
x y z
ze w
zględu na notację tensorową – indeksy 1,2,3!)
Macierz naprężeń:
Płaski stan naprężeń:
11
12
21
22
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
σ
σ
=
lub
11
13
31
33
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
σ
σ
=
lub
22
23
32
33
0
0
0
0
0
σ
σ
σ
σ
σ
=
przy czym kolejno:
12
21
σ
σ
=
lub
13
31
σ
σ
=
lub
23
32
σ
σ
=
→ zależnie od oznaczenia osi
Macierz małych odkształceń:
Płaski stan odkształceń:
11
12
21
22
0
0
0
0
0
ε
ε
ε
ε
ε
=
lub
11
13
31
33
0
0
0
0
0
ε
ε
ε
ε
ε
=
lub
22
23
32
33
0
0
0
0
0
ε
ε
ε
ε
ε
=
przy czym kolejno:
12
21
ε
ε
=
lub
13
31
ε
ε
=
lub
23
32
ε
ε
=
→ zależnie od oznaczenia osi
→ zależność
Uogólnione prawo Hooke’a
( )
ε σ
zapisana na podstawie „myślowych doświadczeń”
dla materiału izotropowego opisanego stałymi:
→
E
[MPa] –
moduł Younga
→ ν [–] – współczynnik Poissona
→
(
)
2 1
E
G
ν
=
+
[MPa]
Uogólnione prawo Hooke’a:
(
)
11
11
22
33
1
E
ε
σ
ν σ
σ
=
−
+
(
)
22
22
11
33
1
E
ε
σ
ν σ
σ
=
−
+
(
)
33
33
11
22
1
E
ε
σ
ν σ
σ
=
−
+
13
23
12
12
21
13
31
23
32
2
2
2
G
G
G
σ
σ
σ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
=
=
,
=
=
,
=
=
1
dx
2
dx
1
x
2
x
3
x
22
σ
11
σ
12
σ
PSN
1
x
2
x
3
x
11
ε
22
ε
PSO
12
21
,
ε ε
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
2
→ związki odwrotne
( )
ε σ
uzyskamy rozwiązując powyższy układ równań względem składowych naprężeń:
(
)
11
11
11
22
33
1
1 2
E
ν
σ
ε
ε
ε
ε
ν
ν
=
+
+
+
+
−
,
12
21
12
21
2
2
G
G
σ
σ
ε
ε
=
=
=
(
)
22
22
11
22
33
1
1 2
E
ν
σ
ε
ε
ε
ε
ν
ν
=
+
+
+
+
−
,
13
31
13
31
2
2
G
G
σ
σ
ε
ε
=
=
=
(
)
33
33
11
22
33
1
1 2
E
ν
σ
ε
ε
ε
ε
ν
ν
=
+
+
+
+
−
,
23
32
23
32
2
2
G
G
σ
σ
ε
ε
=
=
=
Z definicji PSN,
33
0
σ = , dostajemy:
33
11
22
(
)
E
ν
ε
σ
σ
= −
+
→ to oznacza, iż istnieje odkształcenie w kierunku prostopadłym do płaszczyzny naprężeń
Z definicji PSO,
33
0
ε = , dostajemy:
33
11
22
(
)
σ
ν σ
σ
=
+
→ to oznacza, iż istnieje składowa naprężenia w kierunku prostopadłym do płaszczyzny odkształceń
→ zagadnienia teorii sprężystości i plastyczności są na ogół statycznie niewyznaczalne
Elementarne wyprowadzenie równań równowagi w PSN
→ równania równowagi stanowią ważną grupę w pełnym układzie równań
gdzie:
g
–
grubość elementu,
1
2
,
b
b
ρ ρ – składowe sił objętościowych,
3
[
/
]
kN m
ρ
–
gęstość,
1
2
[
/
]
b b kN kg
,
–
siły masowe
3 równania równowagi płaskiego układu sił:
→
1
2
0,
0,
0
x
x
o
P
P
M
∑
= ∑
= ∑
=
Rozpisując:
1)
1
0
x
P
∑
=
→
11
21
1
2
2
1
1
1
2
1
2
0
dx dx g
dx dx g
b dx dx g
x
x
σ
σ
ρ
∂
∂
+
+
=
∂
∂
→ stąd:
11
21
1
1
2
0
b
x
x
σ
σ
ρ
∂
∂
+
+
=
∂
∂
2)
2
0
x
P
∑
=
→
22
12
2
1
1
2
2
2
1
2
1
0
dx dx g
dx dx g
b dx dx g
x
x
σ
σ
ρ
∂
∂
+
+
=
∂
∂
→ stąd:
12
22
2
1
2
0
b
x
x
σ
σ
ρ
∂
∂
+
+
=
∂
∂
3)
0
o
M
∑
=
→
12
21
σ
σ
=
(po pominięciu nieskończenie małych składników wyższego rzędu)
2
x
3
x
22
σ
11
11
1
1
dx
x
σ
σ
∂
+
∂
12
σ
1
x
11
σ
21
21
2
2
dx
x
σ
σ
∂
+
∂
22
22
2
2
dx
x
σ
σ
∂
+
∂
21
σ
12
12
1
1
dx
x
σ
σ
∂
+
∂
2
b
ρ
1
b
ρ
1
dx
2
dx
różniczka funkcji
– jej przyrost
g
×
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
3
Ćwiczenie 3
Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości
Obok równań równowagi i związków konstytutywnych ważną rolę w teorii sprężystości odgrywają równania
nierozdzielności!
Równanie zgodności odkształceń (nierozdzielności)w zagadnieniach dwuwymiarowych
przypomnienie: układy jednowymiarowe (pręty):
→ stąd:
0
ϕ
∆ =
→ warunek nierozdzielności dla belki ciągłej!
układy dwuwymiarowe (powierzchnie):
Warunek analityczny ciągłości odkształceń w obszarach dwuwymiarowych (równanie nierozdzielności):
2
2
2
11
22
12
2
2
2
1
1
2
2
0
x
x
x x
ε
ε
ε
∂
∂
∂
+
−
=
∂
∂
∂ ∂
Dowód (rachunkowy):
gdzie:
1
2
( ,
)
q x x
→ wektor przemieszczeń
,
u v
→ współrzędne wektora przemieszczeń
11
1
22
2
12
21
2
1
1
2
u
x
v
x
u
v
x
x
ε
ε
ε
ε
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
=
=
+
∂
∂
0
ϕ
∆ ≠
postać odkształcona
– krzywa klasy C
1
(belka ciągła)
postać odkształcona
– krzywa nie jest klasy C
1
linie wyobrażonego podziału – „myślowego”
brak ciągłości odkształceń – pęknięcia
ciągłość odkształceń zachowana – składowe wektora odkształceń:
11
12
21
22
,
,
,
ε ε ε ε
nie mogą być przyjmowane niezależnie (dowolnie)
u
v
1
x
2
x
1
2
( ,
)
q x x
1
dx
2
dx
J. Górski, M. Skowronek,
M. Gołota, K. Winkelmann • Teoria sprężystości i plastyczności – Ćwicz. 2 • KMBiM WILiŚ PG
4
Podstawiając uzyskane wartości do wzoru:
2
2
2
11
22
12
2
2
2
1
1
2
2
0
x
x
x x
ε
ε
ε
∂
∂
∂
+
−
=
∂
∂
∂ ∂
otrzymujemy:
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
0
2
u
v
u
v
x
x
x
x
x x
x
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
−
+
=
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
To daje:
3
3
3
3
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
u
v
u
v
x x
x x
x x
x x
∂
∂
∂
∂
+
−
−
=
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
a więc:
0
0
=
co było do okazania!
Głębsze uzasadnienie równania podane będzie w ramach wykładu!
Zadanie 1:
Od
powiedź uzasadnić.
Czy podane poniżej funkcje mogą być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO?
2
2
4
2
1
2
2
1
1 2
2
10
2
ij
x
x
l
x
x x
ε ε
−
≡
=
⋅
,
[ ]
l
const m
−
Aby podane powyżej funkcje mogły być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO musi zostać spełnione
równanie:
Rozwiązanie zadania 1:
2
2
2
11
22
12
2
2
2
1
1
2
2
0
x
x
x x
ε
ε
ε
∂
∂
∂
+
−
=
∂
∂
∂ ∂
Zatem obliczamy:
( )
2
2
2
11
2
2
2
2
2
2
2
(2 )
2
x
x
x
x
x
ε
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∂
(
)
( )
2
2
22
1 2
2
2
2
1
1
1
0
x x
x
x
x
x
ε
∂
∂
∂
=
=
=
∂
∂
∂
oraz:
( )
( )
2
2
2
12
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
0
2 0
0
x
x x
x x
x
ε
∂
∂
∂
=
=
= ⋅ =
∂ ∂
∂ ∂
∂
lub też:
( )
( )
2
2
2
12
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
4
2 0
0
x
x
x x
x x
x
ε
∂
∂
∂
=
=
= ⋅ =
∂ ∂
∂ ∂
∂
Podstawiając obliczone wartości do równania:
2
2
2
11
22
12
2
2
2
1
1
2
2
0
x
x
x x
ε
ε
ε
∂
∂
∂
+
−
=
∂
∂
∂ ∂
otrzymujemy:
2 0 0
2
0
+ − = ≠
(sprz
eczność)
Odpowiedź: Zatem, podane powyżej funkcje nie mogą być współrzędnymi tensora małych odkształceń w PSO!