Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23-1
Wykład 23
23.
Indukcja elektromagnetyczna, energia pola magnetycznego
23.1
Indukcyjność
23.1.1
Transformator
Gdy dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej) to prąd
zmienny w jednej wywołuje SEM indukcji w drugiej.
N
1
- liczba zwojów w cewce pierwotnej, N
2
- liczba zwojów w cewce wtórnej
t
N
U
B
d
d
2
2
φ
−
=
oraz
t
N
U
B
d
d
1
1
φ
−
=
Stosunek napięć
1
2
1
2
N
N
U
U
=
(23.1)
Widać, Ŝe regulując ilość zwojów w cewkach moŜemy zamieniać małe napięcia na duŜe
i odwrotnie.
Przykład 1
Obliczmy straty mocy w linii przesyłowej o oporze 10
Ω
przesyłanej z generatora
10 MW gdy napięcie wynosi 1.5·10
4
oraz 10
5
V.
P = IU
P
strat
= I
2
R = (P/U)
2
R
P
strat1
= 4.4 MW (44%)
P
strat2
= 0.1 MW (1%)
23.1.2
Indukcyjność własna
Gdy natęŜenie prądu przepływającego przez cewkę zmienia się to zmienia się teŜ
strumień przez kaŜdy zwój tej cewki więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya induku-
je się SEM. Tę siłę elektromotoryczną nazywamy
siłą elektromotoryczną samoindukcji
.
t
N
d
d
φ
ε
−
=
(23.2)
Wielkość N
φ
jest całkowitym strumieniem zawartym w obwodzie i nosi nazwę strumie-
nia skojarzonego. Strumień skojarzony jest proporcjonalny do prądu płynącego przez
cewkę.
N
φ
= LI
(23.3)
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23-2
Stała proporcjonalności
L = N
φ
/I
(23.4)
nazywana jest
indukcyjnością.
ZróŜniczkowanie(po czasie) równania (23.3) daje
t
I
L
t
N
d
d
d
d
=
φ
Stąd
t
I
L
d
d
−
=
ε
(23.5)
Jednostką L jest henr. 1 H = 1 Vs/A
Jako przykład obliczmy indukcyjność cewki o długości l
0
i N zwojach.
Strumień przez kaŜdy zwój wynosi
φ
= BS
gdzie B dla cewki wynosi
B =
µ
0
nI =
µ
0
I(N/l
0
)
Zatem
I
l
NS
0
0
µ
φ
=
Indukcyjność L otrzymujemy mnoŜąc strumień przez N/I
0
2
0
l
S
N
L
µ
=
(23.6)
ZauwaŜmy, Ŝe L zaleŜy tylko od geometrii.
23.1.3
Indukcja wzajemna
Omawiając transformator pokazywaliśmy, Ŝe dwie cewki mogą oddziaływać na sie-
bie. Prąd zmienny w jednej wywoływał SEM w drugiej. Tym razem strumień przecho-
dzący przez cewkę 2 jest proporcjonalny do prądu płynącego przez cewkę 1.
N
2
φ
21
= M
21
I
1
Stałą proporcjonalności M
21
nazywamy
indukcją wzajemną.
RóŜniczkując to równanie otrzymujemy
t
I
M
t
N
d
d
d
d
1
21
21
2
=
φ
Stąd
t
I
M
d
d
1
21
2
−
=
ε
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23-3
JeŜeli zmieniamy prąd I
2
to analogicznie
t
I
M
d
d
2
12
1
−
=
ε
MoŜna pokazać (ale w skomplikowany sposób), Ŝe
M
12
= M
21
= M
Podobnie jak L tak samo M zaleŜy tylko od
geometrii układu
.
23.2
Obwody RC i RL, stałe czasowe
Zaczniemy teraz zajmować się prądami zmieniającymi się w czasie.
23.2.1
Obwód RC
Rozpatrzmy jaki prąd popłynie w obwodzie po zamknięciu wyłącznika do pozy-
cji (a).
Korzystamy z prawa Kirchoffa.
C
q
IR
+
=
εεεε
(23.7)
W równaniu tym są dwie niewiadome I oraz q. Ale moŜemy skorzystać ze związku
I = dq/dt. Otrzymujemy równanie róŜniczkowe
C
q
R
t
q
+
=
d
d
ε
Szukamy rozwiązania q(t). Ma ono postać
)
1
(
/
RC
t
e
C
q
−
−
=
ε
(23.8)
MoŜemy sprawdzić czy funkcja ta jest rozwiązaniem równania róŜniczkowego poprzez
jej podstawienie.
ε
R
C
a
b
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23-4
Prąd obliczamy róŜniczkując dq/dt
RC
t
e
R
t
q
I
/
d
d
−
=
=
ε
Rysunki przedstawiają zaleŜność q(t) oraz I(t).
JeŜeli teraz przełączymy wyłącznik do pozycji (b) to będziemy rozładowywać konden-
sator. Teraz w obwodzie nie ma
ε
i prawo Kirchoffa przyjmuje postać
0
=
+
C
q
IR
czyli
0
d
d
=
+
C
q
t
q
R
Rozwiązanie ma postać
RC
t
e
q
q
/
0
−
=
(23.9)
gdzie q
0
jest ładunkiem początkowym na kondensatorze.
NatęŜenie prądu przy rozładowaniu wynosi
RC
t
e
RC
q
t
q
I
/
0
d
d
−
−
=
=
W równaniach opisujących ładowanie i rozładowanie kondensatora wielkość RC ma
wymiar czasu i jest nazywana
stałą czasową
obwodu. Opisuje ona fakt, Ŝe ładunek na
kondensatorze nie osiąga od razu wartości końcowej lecz zbliŜa się do niej wykładni-
czo. Podobnie przy rozładowaniu.
23.2.2
Obwód RL
Analogicznie opóźnienie w narastaniu i zanikaniu prądu pojawia się w obwodzie RL
przy włączaniu lub wyłączaniu źródła SEM.
Gdyby nie było cewki prąd osiągnąłby natychmiast wartość
ε
/R. Dzięki cewce w obwo-
dzie pojawia się dodatkowo SEM samoindukcji
ε
L
, która zgodnie z regułą Lenza prze-
ciwdziała wzrostowi prądu (po włączeniu) co oznacza, Ŝe jej zwrot jest przeciwny do
ε
.
q
t
C
ε
I
ε
/R
t
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23-5
Z prawa Kirchoffa otrzymujemy
0
d
d
=
−
−
t
I
L
IR
ε
(23.10)
Poszukujemy rozwiązania tego równania róŜniczkowego w postaci I(t).
Ma ono postać
)
1
(
/ L
Rt
e
R
I
−
−
=
ε
(23.11)
Sprawdzamy poprzez podstawienie do równania. Napięcie na oporniku i cewce pokaza-
ne jest na rysunkach poniŜej.
Narastanie prądu w obwodzie jest opisane stałą czasową
τ
L
= L/R.
JeŜeli przełącznik ustawimy w pozycji (b) to wyłączmy źródło SEM i otrzymamy
0
d
d
=
+
IR
t
I
L
(23.12)
z rozwiązaniem
L
Rt
e
R
I
/
−
=
ε
(23.12)
ε
R
L
a
b
V
R
t
ε
V
L
ε
t
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23-6
23.3
Energia, a pole magnetyczne
Pozostańmy przy obwodzie RL. Z prawa Kirchoffa otrzymaliśmy
t
I
L
IR
d
d
+
=
ε
MnoŜąc to równanie przez I dostajemy
t
I
LI
R
I
I
d
d
2
+
=
ε
Interpretacja tego równania z punktu widzenia pracy i energii jest następująca:
•
lewa strona równania przedstawia szybkość (moc =
ε
I tj
ε
dq/dt) z jaką źródło prze-
kazuje do obwodu energię
ε
q.
•
pierwszy wyraz po prawej stronie to szybkość (moc) wydzielania ciepła na oporze R.
•
drugi wyraz po prawej stronie to szybkość z jaką energia gromadzi się w polu ma-
gnetycznym.
To ostatnie moŜemy zapisać jako
t
I
LI
t
W
B
d
d
d
d
=
czyli
I
LI
dW
B
d
=
Po scałkowaniu otrzymujemy
2
2
1
d
d
LI
I
LI
W
W
B
B
=
=
=
∫
∫
(23.13)
Równanie określa
całkowitą energię magnetyczną
zawartą w cewce o indukcyjności L
przez, którą płynie prąd I.
Porównajmy to z energią naładowanego kondensatora
C
q
W
C
2
2
1
=
(23.14)
23.4
Gęstość energii a pole magnetyczne
Rozpatrzmy solenoid o długości l i powierzchni przekroju S czyli o objętości lS.
Tak więc gęstość energii
lS
W
w
B
B
=
PoniewaŜ
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23-7
2
2
1
LI
W
B
=
więc
lS
LI
w
B
2
2
1
=
Przypomnijmy, Ŝe
l
S
N
L
2
0
µ
=
oraz
l
N
I
In
B
0
0
µ
µ
=
=
co w połączeniu daje wyraŜenie
0
2
2
1
µ
B
w
B
=
(23.15)
opisujące
gęstość energii
zawartej w kaŜdym punkcie przestrzeni w której jest indukcja
magnetyczna B.
Przykład 2
Długi koncentryczny kabel składa się z cylin-
drycznych przewodników o promieniach
a i b. Obliczmy energię zawartą w polu ma-
gnetycznym kabla na odcinku o długości l
0
oraz jego indukcyjność.
Stosując prawo Ampera dla przestrzeni po-
między cylindrami otrzymamy
I
rB
0
2
µ
π
=
czyli
r
I
B
π
µ
2
0
=
Gęstość energii w punktach pomiędzy przewodami
2
2
2
0
2
0
0
0
2
8
2
2
1
2
1
r
I
r
I
B
w
B
π
µ
π
µ
µ
µ
=
=
=
Rozpatrzmy teraz cienką (dr) warstewkę pomiędzy cylindrami. Objętość tej warstewki
wynosi:
dV = 2
π
rdrl
0
dla odcinka kabla o długości l
0
.
Energia w tej objętości wynosi więc
-
+
a
b
r
dr
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
23-8
r
r
l
I
rl
r
r
I
V
w
W
B
d
4
d
2
8
d
d
0
2
0
0
2
2
2
0
π
µ
π
π
µ
=
=
=
Sumując (całkując) po całej objętości obliczamy całkowitą energię W
a
b
l
I
r
r
l
I
W
W
b
a
ln
4
d
4
d
0
2
0
0
2
0
π
µ
π
µ
∫
∫
=
=
=
Indukcyjność znajdziemy z zaleŜności
2
2
1
LI
U
=
czyli
2
2
I
U
L
=
a
b
l
L
ln
2
0
0
π
µ
=
L zaleŜy tylko od czynników geometrycznych.