6. Zespolony współczynnik załamania / zespolone przewodnictwo, częstość plazmowa.
Pole elektromagnetyczne należy traktować jako szybko zmienne pole elektryczne.
W polu wolnozmiennym dryf i zderzenia się równoważą:
const
f
f
f
=
+
=
1
0
;
0
1
=
−
=
+
=
τ
f
dt
df
dt
df
dt
df
dt
df
dryf
zd
dryf
→
τ
1
f
dt
df
dryf
=
W polu szybkozmiennym jest zupełnie inaczej:
Weźmy równanie fali EM, np.
(
)
r
k
t
i
e
t
±
=
ω
ε
ε
0
)
(
, wówczas:
t
i
e
f
f
ω
0
1
1
=
0
1
≠
−
=
τ
f
dt
df
dt
df
dryf
;
dt
df
f
dt
df
dryf
+
=
τ
1
dt
df
dt
df
dt
df
1
0
+
=
;
const
f
=
0
;
0
0
=
dt
df
→
1
0
1
1
f
i
e
f
i
dt
df
dt
df
t
i
ω
ω
ω
=
=
=
+
=
ω
τ
i
f
dt
df
dryf
1
1
Dla pola wolnozmiennego wyprowadziliśmy:
*
2
m
e
τ
σ
=
W polu EM zamiast
τ
mamy
ωτ
τ
ω
τ
i
i
+
=
+
−
1
1
1
2
1
2
2
*
2
2
2
*
2
*
2
1
1
1
*
σ
σ
τ
ω
τ
ω
τ
ω
τ
ωτ
τ
σ
i
m
e
i
m
e
i
m
e
+
=
+
−
+
=
+
=
- zespolone przewodnictwo
__________________________
równania Maxwella:
- prawo Faraday’a:
t
B
E
c
∂
∂
−
=
rot
- prawo Gaussa:
ρ
=
D
div
- prawo, które mówi, że nie ma monopoli magnetycznych:
0
div
=
B
- prawo Ampera:
j
t
D
H
c
π
4
rot
−
∂
∂
=
|
|
prąd przesunięcia normalny prąd
_____________________________
Korzystając z czwartego równania Maxwella możemy dokonać interpretacji wyniku:
ε
πα
ε
ε
4
+
=
+
=
p
D
(układ jednostek Gaussa)
|
|
pole elektr.
polaryzowalność
H
B
µ
=
;
ε
σ
=
j
Podstawiamy to do
j
t
D
H
c
π
4
rot
−
∂
∂
=
:
ε
πσ
ε
πα
ε
4
4
rot
+
∂
∂
+
∂
∂
=
t
t
H
c
;
t
i
e
ω
ε
ε
0
=
Stąd:
(
)
ωα
σ
π
ε
i
t
H
c
+
+
∂
∂
=
4
rot
gdzie
2
2
*
2
1
*
τ
ω
τ
σ
+
=
m
e
- to co mierzymy eksperymentalnie jako przewodnictwo
2
2
2
*
2
1
τ
ω
τ
α
+
−
=
m
e
- część urojona, opisuje nam polaryzowalność ośrodka
Jeśli
12
10
~
−
τ
s, a
50
~
ω
Hz, możemy przyjąć, że
τ
σ
*
2
m
e
≈
, jednak dla fal EM (już od
podczerwieni) musimy uwzględnić
1
1
2
2
≠
+
τ
ω
.
Wyprowadzenie równania falowego:
H
B
µ
=
;
1
=
µ
→
H
B
=
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
j
t
D
t
H
c
t
π
4
rot
;
ε
πα
ε
4
+
=
D
t
t
t
c
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
−
ε
πσ
ε
πα
ε
ε
4
4
rot
rot
2
2
2
2
2
t
t
t
c
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
ε
πσ
ε
πα
ε
ε
4
4
2
2
2
2
2
2
- równanie falowe Maxwella
Rozwiązując to równanie całkiem klasycznie odkrywamy, że pole elektromagnetyczne może być falą
(przypomina falę mechaniczną).
Najprostsza fala:
(
)
r
k
t
i
e
−
=
ω
ε
ε
0
;
Τ
=
π
ω
2
;
λ
π
2
=
k
(
)
−
=
−
ω
ω
ω
r
k
t
i
r
k
t
i
;
V
k
1
=
Τ
=
λ
ω
, gdzie
n
c
V
=
- prędkość fali w ośrodku
n
- współczynnik załamania;
u
N
n
=
, u - wektor jednostkowy
−
=
−
c
r
u
N
t
i
r
k
t
i
ω
ω
ω
−
=
c
r
u
N
t
i
e
ω
ε
ε
0
1) w próżni:
0
=
α
,
0
=
σ
:
2
2
2
2
2
ω
ω
−
=
−
c
c
N
;
1
2
=
N
;
1
=
N
;
1
=
n
2) w ośrodkach nieprzewodzących (dielektrykach, np. szkłach):
0
≠
α
,
0
=
σ
:
2
2
2
2
2
2
4
παω
ω
ω
−
−
=
−
c
c
N
;
πα
4
1
2
+
=
N
;
0
4
1
ε
πα
=
+
=
N
- stała dielektryczna
3) w ośrodkach przewodzących:
0
≠
α
,
0
≠
σ
:
ω
πσ
παω
ω
ω
i
c
c
N
4
4
2
2
2
2
2
2
+
−
−
=
−
;
σ
ω
π
πα
i
N
4
4
1
2
−
+
=
ik
n
N
−
=
*
- zespolony współczynnik załamania ( k - tzw. współczynnik ekstynkcji)
( )
nik
k
n
N
2
*
2
2
2
−
−
=
Ostatecznie mamy więc:
0
2
2
ε
=
−
k
n
ω
πσ
4
2
=
nk
Natężenie promieniowania jest proporcjonalne do kwadratu natężenia pola EM:
2
~
ε
I
Przechodzimy na jedną współrzędną:
z
r
→
( )
−
−
=
z
c
ik
n
t
i
e
z
ω
ε
ε
2
2
0
2
;
( )
z
c
k
z
c
n
t
i
e
e
z
ω
ω
ε
ε
2
2
2
0
2
−
=
Stąd znane prawo:
z
e
I
I
η
−
=
0
,
gdzie
η
- współczynnik absorbcji
c
k
ω
η
2
=
;
Τ
=
π
ω
2
→
λ
π
η
k
4
=
Część urojona współczynnika załamania światła jest odpowiedzialna za pochłanianie energii wiązki
ś
wiatła, czyli za absorpcję.
Jeśli
1
≈
k
i weźmiemy
6
10
−
=
λ
m ( = 1µm, światło widzialne: 0,4–0,8µm), to
η
będzie rzędu
6
10
m
1
−
W ciałach stałych przy przejściach prostych
k
rzeczywiście jest rzędu
n
. Widzimy, że
σ
~
k
- stąd w
materiałach przewodzących mamy bardzo silne pochłanianie.
Przy dużych częstościach (
∞
→
ω
) wartość
nk
dąży do 0. Są dwie możliwości:
I.
0
→
k
, wówczas
0
2
2
2
ε
=
≈
−
n
k
n
;
0
ε
=
n
II.
0
→
n
, wtedy
0
2
ε
=
−
k
;
0
ε
−
=
k
- to oznacza, że stała dielektryczna musi być ujemna
Czy taki przypadek jest możliwy?
Mamy:
πα
ε
4
1
0
2
2
+
=
=
−
k
n
Jeśli uwzględnimy polaryzowalność sieciową, za 1 musimy wstawić
S
ε
:
πα
ε
4
2
2
+
=
−
S
k
n
;
ω
πσ
2
=
nk
Wstawiamy:
2
2
*
2
1
*
τ
ω
τ
σ
+
=
m
e
;
2
2
2
*
2
1
τ
ω
τ
α
+
−
=
m
e
;
2
2
2
*
2
2
2
1
4
τ
ω
τ
π
ε
+
−
=
−
m
e
k
n
S
;
2
2
*
2
1
2
τ
ω
ω
τ
π
+
=
m
e
nk
k
może być dużo większe niż
n
- stała dielektryczna może być ujemna. Elektrony przeciwdziałają
przyłożonej zmianie pola (reguła samoindukcji Lenza).
Przyjmijmy, że mamy
e
N nośników, np. elektronów w metalu:
2
2
2
*
2
2
2
2
*
2
2
2
1
4
1
4
τ
ω
τ
π
ε
τ
ω
τ
π
ε
+
⋅
−
=
+
−
=
−
e
S
S
N
m
e
m
e
k
n
2
2
*
2
2
2
*
2
1
2
1
2
τ
ω
ω
τ
π
τ
ω
ω
τ
π
+
⋅
=
+
=
e
N
m
e
m
e
nk
ponieważ
S
p
m
e
ε
π
ω
*
2
2
4
=
, otrzymujemy:
+
−
=
−
2
2
2
2
2
2
1
1
τ
ω
τ
ω
ε
p
S
k
n
;
+
=
2
2
2
1
2
τ
ω
ω
τ
ω
ε
p
S
nk
;
gdzie
p
ω
- częstość plazmowa
Wzory te są dobre, jeśli ciało stałe może być opisane statystyką Boltzmanna.
τ
- czas relaksacji, rzędu
12
10
−
s (jest to czas pomiędzy zderzeniami elektronów z siecią)
γ
τ
=
1
- współczynnik tłumienia (opór stawiany elektronom podczas ich wędrówki przez sieć)
Częstość plazmowa: w metalach o
3
23
cm
1
10
≈
e
N
jest rzędu
s
1
10
16
, a więc
γ
ω
>>
p
.
Gdy
γ
ω
ω
>>
>>
p
(np. dla światła widzialnego
s
1
10
14
≈
ω
), rozważajac oddziaływanie
promieniowania z nośnikami ładunku możemy uprościć wcześniejsze wyrażenia:
−
≈
+
−
=
−
2
2
2
2
2
2
2
1
1
ω
ω
ε
ω
γ
ω
ε
p
S
p
S
k
n
;
3
2
2
2
2
2
ω
γ
ω
ε
ω
γ
γ
ω
ω
ε
p
S
p
S
nk
≈
+
⋅
=
Wynika z tego tzw. metaliczne odbicie.
Wzory Frenera na współczynnik odbicia:
(
)
(
)
2
2
2
2
1
1
k
n
k
n
R
+
+
+
−
=
,
gdzie:
k
- współczynnik ekstynkcji;
n
- zwykły współczynnik odbicia
Jeśli
0
2
→
nk
, to albo
0
→
k
,
0
→
n
. Widzimy, że to
0
→
n
, bo
ω
ω
>>
p
, stąd
0
2
2
<<
−
k
n
.
A zatem
2
2
2
ω
ω
ε
p
S
k
=
, i dostajemy
1
=
R
(
%
100
=
R
) – odbicie metaliczne (czysty metal odbija 100%
ś
wiatła widzialnego).
Częstość plazmowa to częstość promieniowania, przy
której wszystkie nośniki ładunku drgają w takt pola fali
elektromagnetycznej. W pobliżu częstości plazmowej
metal nie odbija już 100% . Dla aluminium
odpowiadająca tej częstości długość fali wynosi
200
=
p
λ
nm. Z kolei półprzewodniki odbijają 100%
w obszarze bardzo dalekiej podczerwieni, natomiast
słabo odbijają światło widzialne. Można to zmienić
poprzez domieszkowanie, jednak to nie zmienia faktu,
ż
e GaAs może odbić maksymalnie 30% światła
widzialnego.
opracował: Radek Kołkowski