6. Zespolony współczynnik załamania / zespolone przewodnictwo, częstość plazmowa.

Pole elektromagnetyczne należy traktować jako szybko zmienne pole elektryczne.
W polu wolnozmiennym dryf i zderzenia się równoważą:

const

f

f

f

=

+

=

1

0

;

0

1

=

−













=













+













=

τ

f

dt

df

dt

df

dt

df

dt

df

dryf

zd

dryf

→

τ

1

f

dt

df

dryf

=













W polu szybkozmiennym jest zupełnie inaczej:

Weźmy równanie fali EM, np.

(

)

r

k

t

i

e

t

±

=

ω

ε

ε

0

)

(

, wówczas:

t

i

e

f

f

ω

0

1

1

=

0

1

≠

−













=

τ

f

dt

df

dt

df

dryf

;

dt

df

f

dt

df

dryf

+

=













τ

1

dt

df

dt

df

dt

df

1

0

+

=

;

const

f

=

0

;

0

0

=

dt

df

→

1

0

1

1

f

i

e

f

i

dt

df

dt

df

t

i

ω

ω

ω

=

=

=













+

=













ω

τ

i

f

dt

df

dryf

1

1

Dla pola wolnozmiennego wyprowadziliśmy:

*

2

m

e

τ

σ

=

W polu EM zamiast

τ

mamy

ωτ

τ

ω

τ

i

i

+

=













+

−

1

1

1

2

1

2

2

*

2

2

2

*

2

*

2

1

1

1

*

σ

σ

τ

ω

τ

ω

τ

ω

τ

ωτ

τ

σ

i

m

e

i

m

e

i

m

e

+

=

+

−

+

=

+

=

- zespolone przewodnictwo

__________________________

równania Maxwella:

- prawo Faraday’a:

t

B

E

c

∂

∂

−

=

rot

- prawo Gaussa:

ρ

=

D

div

- prawo, które mówi, że nie ma monopoli magnetycznych:

0

div

=

B

- prawo Ampera:

j

t

D

H

c

π

4

rot

−

∂

∂

=

|

|

prąd przesunięcia normalny prąd

_____________________________

Korzystając z czwartego równania Maxwella możemy dokonać interpretacji wyniku:

ε

πα

ε

ε

4

+

=

+

=

p

D

(układ jednostek Gaussa)

|

|

pole elektr.

polaryzowalność

H

B

µ

=

;

ε

σ

=

j

Podstawiamy to do

j

t

D

H

c

π

4

rot

−

∂

∂

=

:

ε

πσ

ε

πα

ε

4

4

rot

+

∂

∂

+

∂

∂

=

t

t

H

c

;

t

i

e

ω

ε

ε

0

=

Stąd:

(

)

ωα

σ

π

ε

i

t

H

c

+

+

∂

∂

=

4

rot

gdzie

2

2

*

2

1

*

τ

ω

τ

σ

+

=

m

e

- to co mierzymy eksperymentalnie jako przewodnictwo

2

2

2

*

2

1

τ

ω

τ

α

+

−

=

m

e

- część urojona, opisuje nam polaryzowalność ośrodka

Jeśli

12

10

~

−

τ

s, a

50

~

ω

Hz, możemy przyjąć, że

τ

σ

*

2

m

e

≈

, jednak dla fal EM (już od

podczerwieni) musimy uwzględnić

1

1

2

2

≠

+

τ

ω

.

Wyprowadzenie równania falowego:

H

B

µ

=

;

1

=

µ

→

H

B

=













+

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

j

t

D

t

H

c

t

π

4

rot

;

ε

πα

ε

4

+

=

D

t

t

t

c

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

−

ε

πσ

ε

πα

ε

ε

4

4

rot

rot

2

2

2

2

2

t

t

t

c

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

ε

πσ

ε

πα

ε

ε

4

4

2

2

2

2

2

2

- równanie falowe Maxwella

Rozwiązując to równanie całkiem klasycznie odkrywamy, że pole elektromagnetyczne może być falą
(przypomina falę mechaniczną).

Najprostsza fala:

(

)

r

k

t

i

e

−

=

ω

ε

ε

0

;

Τ

=

π

ω

2

;

λ

π

2

=

k

(

)













−

=

−

ω

ω

ω

r

k

t

i

r

k

t

i

;

V

k

1

=

Τ

=

λ

ω

, gdzie

n

c

V

=

- prędkość fali w ośrodku

n

- współczynnik załamania;

u

N

n

=

, u - wektor jednostkowy













−

=













−

c

r

u

N

t

i

r

k

t

i

ω

ω

ω













−

=

c

r

u

N

t

i

e

ω

ε

ε

0

1) w próżni:

0

=

α

,

0

=

σ

:

2

2

2

2

2

ω

ω

−

=

−

c

c

N

;

1

2

=

N

;

1

=

N

;

1

=

n

2) w ośrodkach nieprzewodzących (dielektrykach, np. szkłach):

0

≠

α

,

0

=

σ

:

2

2

2

2

2

2

4

παω

ω

ω

−

−

=

−

c

c

N

;

πα

4

1

2

+

=

N

;

0

4

1

ε

πα

=

+

=

N

- stała dielektryczna

3) w ośrodkach przewodzących:

0

≠

α

,

0

≠

σ

:

ω

πσ

παω

ω

ω

i

c

c

N

4

4

2

2

2

2

2

2

+

−

−

=

−

;

σ

ω

π

πα

i

N

4

4

1

2

−

+

=

ik

n

N

−

=

*

- zespolony współczynnik załamania ( k - tzw. współczynnik ekstynkcji)

( )

nik

k

n

N

2

*

2

2

2

−

−

=

Ostatecznie mamy więc:

0

2

2

ε

=

−

k

n

ω

πσ

4

2

=

nk

Natężenie promieniowania jest proporcjonalne do kwadratu natężenia pola EM:

2

~

ε

I

Przechodzimy na jedną współrzędną:

z

r

→

( )













−

−

=

z

c

ik

n

t

i

e

z

ω

ε

ε

2

2

0

2

;

( )

z

c

k

z

c

n

t

i

e

e

z

ω

ω

ε

ε

2

2

2

0

2













−

=

Stąd znane prawo:

z

e

I

I

η

−

=

0

,

gdzie

η

- współczynnik absorbcji

c

k

ω

η

2

=

;

Τ

=

π

ω

2

→

λ

π

η

k

4

=

Część urojona współczynnika załamania światła jest odpowiedzialna za pochłanianie energii wiązki
ś

wiatła, czyli za absorpcję.

Jeśli

1

≈

k

i weźmiemy

6

10

−

=

λ

m ( = 1µm, światło widzialne: 0,4–0,8µm), to

η

będzie rzędu

6

10

m

1

−

W ciałach stałych przy przejściach prostych

k

rzeczywiście jest rzędu

n

. Widzimy, że

σ

~

k

- stąd w

materiałach przewodzących mamy bardzo silne pochłanianie.
Przy dużych częstościach (

∞

→

ω

) wartość

nk

dąży do 0. Są dwie możliwości:

I.

0

→

k

, wówczas

0

2

2

2

ε

=

≈

−

n

k

n

;

0

ε

=

n

II.

0

→

n

, wtedy

0

2

ε

=

−

k

;

0

ε

−

=

k

- to oznacza, że stała dielektryczna musi być ujemna

Czy taki przypadek jest możliwy?

Mamy:

πα

ε

4

1

0

2

2

+

=

=

−

k

n

Jeśli uwzględnimy polaryzowalność sieciową, za 1 musimy wstawić

S

ε

:

πα

ε

4

2

2

+

=

−

S

k

n

;

ω

πσ

2

=

nk

Wstawiamy:

2

2

*

2

1

*

τ

ω

τ

σ

+

=

m

e

;

2

2

2

*

2

1

τ

ω

τ

α

+

−

=

m

e

;

2

2

2

*

2

2

2

1

4

τ

ω

τ

π

ε

+

−

=

−

m

e

k

n

S

;

2

2

*

2

1

2

τ

ω

ω

τ

π

+

=

m

e

nk

k

może być dużo większe niż

n

- stała dielektryczna może być ujemna. Elektrony przeciwdziałają

przyłożonej zmianie pola (reguła samoindukcji Lenza).
Przyjmijmy, że mamy

e

N nośników, np. elektronów w metalu:

2

2

2

*

2

2

2

2

*

2

2

2

1

4

1

4

τ

ω

τ

π

ε

τ

ω

τ

π

ε

+

⋅

−

=

+

−

=

−

e

S

S

N

m

e

m

e

k

n

2

2

*

2

2

2

*

2

1

2

1

2

τ

ω

ω

τ

π

τ

ω

ω

τ

π

+

⋅

=

+

=

e

N

m

e

m

e

nk

ponieważ

S

p

m

e

ε

π

ω

*

2

2

4

=

, otrzymujemy:















+

−

=

−

2

2

2

2

2

2

1

1

τ

ω

τ

ω

ε

p

S

k

n

;





















+

=

2

2

2

1

2

τ

ω

ω

τ

ω

ε

p

S

nk

;

gdzie

p

ω

- częstość plazmowa

Wzory te są dobre, jeśli ciało stałe może być opisane statystyką Boltzmanna.

τ

- czas relaksacji, rzędu

12

10

−

s (jest to czas pomiędzy zderzeniami elektronów z siecią)

γ

τ

=

1

- współczynnik tłumienia (opór stawiany elektronom podczas ich wędrówki przez sieć)

Częstość plazmowa: w metalach o

3

23

cm

1

10

≈

e

N

jest rzędu

s

1

10

16

, a więc

γ

ω

>>

p

.

Gdy

γ

ω

ω

>>

>>

p

(np. dla światła widzialnego

s

1

10

14

≈

ω

), rozważajac oddziaływanie

promieniowania z nośnikami ładunku możemy uprościć wcześniejsze wyrażenia:















−

≈















+

−

=

−

2

2

2

2

2

2

2

1

1

ω

ω

ε

ω

γ

ω

ε

p

S

p

S

k

n

;

3

2

2

2

2

2

ω

γ

ω

ε

ω

γ

γ

ω

ω

ε

p

S

p

S

nk

≈





























+

⋅













=

Wynika z tego tzw. metaliczne odbicie.

Wzory Frenera na współczynnik odbicia:

(

)

(

)

2

2

2

2

1

1

k

n

k

n

R

+

+

+

−

=

,

gdzie:

k

- współczynnik ekstynkcji;

n

- zwykły współczynnik odbicia

Jeśli

0

2

→

nk

, to albo

0

→

k

,

0

→

n

. Widzimy, że to

0

→

n

, bo

ω

ω

>>

p

, stąd

0

2

2

<<

−

k

n

.

A zatem

2

2

2

ω

ω

ε

p

S

k

=

, i dostajemy

1

=

R

(

%

100

=

R

) – odbicie metaliczne (czysty metal odbija 100%

ś

wiatła widzialnego).

Częstość plazmowa to częstość promieniowania, przy
której wszystkie nośniki ładunku drgają w takt pola fali
elektromagnetycznej. W pobliżu częstości plazmowej
metal nie odbija już 100% . Dla aluminium
odpowiadająca tej częstości długość fali wynosi

200

=

p

λ

nm. Z kolei półprzewodniki odbijają 100%

w obszarze bardzo dalekiej podczerwieni, natomiast
słabo odbijają światło widzialne. Można to zmienić
poprzez domieszkowanie, jednak to nie zmienia faktu,
ż

e GaAs może odbić maksymalnie 30% światła

widzialnego.

opracował: Radek Kołkowski