LISTA 6 - Funkcja dwóch zmiennych.

Zadanie 1

Obliczy´c pochodne cz ¾

astkowe

@f
@x

,

@f
@y

,

@

2

f

@x

2

,

@

2

f

@y

2

,

@

2

f

@x@y

,

@

2

f

@y@x

funkcji:

a) f (x; y) = x + y;

b) f (x; y) = xy;

c) f (x; y) = x

2

+ xy + y

3

;

d) f (x; y) = x sin (2x + y

1) ;

e) f (x; y) =

x y+1
x+y+7

;

f ) f (x; y) =

x
y

;

g) f (x; y) = e

x
y

;

h) f (x; y) = ln (xy) ;

i) f (x; y) = ln

x
y

:

Zadanie 2

Znajd´z ekstrema funkcji dwóch zmiennych z = f (x; y):

a) z = 3x

3

+ 3x

2

y

y

3

15x;

b) z = 6y

x

y

2

+ y

p

x;

c) z = e

x y

(x

2

2y

2

) ;

d) z = sin x + sin y

sin (x + y) ;

e) z = x

2

+ xy + y

2

2x

y;

f ) z = x

2

+ xy + y

2

4 ln x

10 ln y;

g) z = x

2

y

2

;

h) z = x

2

+ 2xy

4x + 8y;

i) z = x

2

xy + y

2

:

Zadanie 3

Wyznaczy´c ró·zniczki zupe÷ne funkcji:

a) f (x; y) = 3x

2

y

5

;

b) f (x; y) = y ln 2x;

c) f (x; y) = sin

2

x cos

2

y:

Zadanie 4

Sprawd´z, czy wyra·zenie jest ró·zniczk ¾

a zupe÷

n ¾

a funkcji. Je·zeli tak,

to wyznacz funkcj ¾

e pierwotn ¾

a:

a) (x

4

+ 6xy

2

) dx + (6x

2

y

5y

4

) dy,

b)

2x(1 e

y

)

(1+x

2

)

2

dx +

e

y

1+x

2

dy:

1