Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

1 

MPiS30 W10: ESTYMACJA PARAMETRÓW 

POPULACJI  

1.  Estymacja punktowa i estymator parametru  
2.  Własności estymatorów 

Przykład 1  
Przykład 2  

3.  Metoda momentów wyznaczania estymatorów 

Przykład 3  

4.  Metoda największej wiarygodności  

Przykład 4  

5.  Estymatory  podstawowych  charakterystyk  liczbo-

wych 

6.  Szeregi: szczegółowy, pozycyjny i rozdzielczy  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

2 

7.  Estymacja przedziałowa  
8.  Przykładowa konstrukcja przedziału ufności  

Przykład 5  

9.  Minimalna liczebność próby 

Przykład 6 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

3 

1. Estymacja punktowa i estymator parametru 

Estymacją  punktową  (point  estimation)  nazywamy  meto-

dy  statystyczne,  służące  do  punktowego  oszacowania  warto-
ści nieznanego parametru rozkładu cechy w populacji.  

W  szczególności,  estymujemy  wartość  oczekiwaną,  wa-

riancję i wskaźnik struktury populacji.  

Niech  θ  będzie  nieznanym  parametrem  (np.  wartością 

oczekiwaną, wariancją, jakąś funkcją pewnych charakterystyk 
liczbowych)  rozkładu  cechy  X  w  populacji  generalnej.  Para-
metr ten jest estymowany na podstawie prostej próby losowej 
X

1

,…, X

n

 pobranej z badanej populacji.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

4 

Estymatorem  U

n

  nieznanego  parametru 



  populacji  gene-

ralnej  nazywamy  statystykę  U

n

 



  h(X

1

,  X

2

,…, X

n

)  służącą  do 

jego estymacji. Estymator U

n

 parametru 



 oznaczamy 

n



ˆ

.  

Oceną  parametru 



  nazywamy  każdą  realizację  u

n

  (war-

tość liczbową) estymatora 

n



ˆ

. Ocena parametru prawie zaw-

sze różni się od rzeczywistej wartości parametru θ.  

Miarą błędu estymacji jest błąd szacunku 









n

d

ˆ

.  

 

 

 

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

5 

2. Własności estymatorów  

Statystyka 

n



ˆ

  jest  dobrym  estymatorem  nieznanego  para-

metru 



, jeżeli ma odpowiednie własności. Są to:  



 nieobciążoność lub asymptotyczna nieobciążoność,  



 

zgodność,  



 

efektywność,  



 

dostateczność. 

 



 

Nieobciążoność.  Estymator 

n



ˆ

  nazywamy 

estymato-

rem nieobciążonym 

parametru 



, jeśli  

0

)

ˆ

(

E





n

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

6 

Własność. Jeśli cecha X populacji ma wartość oczekiwaną m i 
wariancję 



2

,  to  estymatorami  nieobciążonymi  tych  parame-

trów są średnia arytmetyczna i wariancja empiryczna z prostej 
próby losowej X

1

,…, X

n

.  

Jeśli  

)

ˆ

(

)

ˆ

(

E

n

n

b











 

to estymator nazywamy 

estymatorem obciążonym

.  

Różnicę b(U

n

) nazywamy 

obciążeniem estymatora

.  

 



 

Asymptotyczna nieobciążoność  

Estymator nazywamy 

asymptotycznie nieobciążonym

, gdy 

0

)

(

lim







n

n

U

b

. 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

7 



 

Zgodność. Estymator U

n

 nazywamy 

zgodnym

, jeśli jest 

stochastycznie  zbieżny

  do  szacowanego  parametru,  tj.  dla 

każdego 



 > 0  

1

)

ˆ

P(

lim

















n

n

  

Jeśli  rośnie  liczebność  próby,  to  rośnie  prawdop.,  przyjęcia 
przez  estymator  wartości  coraz  bliższych  szacowanemu  pa-
rametrowi.  Tym  samym  zwiększając  liczebność  próby, 
zmniejszamy ryzyko popełnienia błędu. 
Własności.  

1.  Z  prawa  wielkich  liczb  Czebyszewa  wynika,  że  średnia 

arytmetyczna z próby jest zgodnym estymatorem warto-
ści oczekiwanej w populacji generalnej, tzn.: 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

8 

1

)

P(

lim













m

n

n

X

.  

2.  Jeśli  estymator  U

n

  parametru 



  jest  zgodny,  to  jest 

asymptotycznie  nieobciążony.  Tw.  odwrotne  nie  jest 
prawdziwe. 

3.  Jeśli  estymator  U

n

  parametru 



  jest  nieobciążony  (lub 

asymptotycznie  nieobciążony)  oraz  jeśli  jego  wariancja 
spełnia warunek  

0

)

(

D

lim

2







n

n

U

, 

to U

n

 jest estymatorem zgodnym. 

 
 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

9 



 

Efektywność  

Spośród  wszystkich  nieobciążonych  estymatorów  U

1,n

, 

U

2,n

,…,  U

r

,

n

  parametru 



 

estymatorem  najefektywniejszym 

nazywamy estymator o najmniejszej wariancji.  

Do  wyznaczenia  najefektywniejszego  estymatora  potrzeb-

na  jest  znajomość  wariancji  wszystkich  estymatorów  nieob-
ciążonych  danego  parametru.  W  praktyce  korzystamy  z 

nie-

równości Rao-Cramera

.  

 
 
 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

10 

Przykład  1.  Zbadać,  który  z  nieobciążonych  estymatorów 
wartości oczekiwanej  m w populacji generalnej o  dowolnym 
rozkładzie:  średnia  arytmetyczna,  czy  i-ta  obserwacja  X

i

  jest 

efektywniejszym estymatorem.   
Rozwiązanie. Ponieważ 

 

 

 

 

X

X

n

X

i

n

2

2

2

2

D

D

D

D







X

,  

więc średnia arytmetyczna 

n

X

  jest  efektywniejszym  estyma-

torem wartości oczekiwanej niż i-ta zmienna X

i

 z próby. 

 
 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

11 

Przykład  2.  Zbadać  zgodność  i  efektywność  empirycznego 
wskaźnika  struktury 

n

P

  jako  estymatora  parametru  p  w  roz-

kładzie Bernoulliego, X ~ B(p). 
Rozwiązanie. Niech X

1

,…, X

n

 będzie prostą próbą z populacji 

X ~B(p). Ponieważ  









n

i

i

n

p

X

n

P

1

)

(

E

1

)

(

E

 

oraz  

                











n

i

i

n

n

p

p

X

n

P

1

2

2

2

)

1

(

)

(

D

1

)

(

D

 

i 

n

P

 

jest estymatorem o minimalnej wariancji, więc jest zgod-

ny i najefektywniejszy dla parametru p.   

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

12 



 

Dostateczność  
Pojęcie dostateczności (wystarczalności) estymatora wpro-

wadził Fisher

1

. Estymator dostateczny parametru 



 to taki es-

tymator, który skupia w sobie wszystkie informacje o tym pa-
rametrze, tzn. żaden inny estymator nie zawiera w sobie wię-
cej informacji o parametrze 



 wyciągniętej z próby losowej.

 

                                                           

 1

 Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) 



 genetyk i statystyk brytyjski. Twórca podstaw 

współczesnej statystyki. Stworzył m.in. statystyczną 

metodę największej wiarygodności

 (

ang

. maximum like-

lihood), 

analizę wariancji

 (ANOVA) oraz 

liniową analizę dyskryminacyjną

. 

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

13 

3. Metoda momentów wyznaczania estymatorów  

Wprowadzona około roku 1900 przez K. Pearsona. Polega na 
przyjmowaniu  momentów  empirycznych  M

i

  jako  estymato-

rów  odpowiednich  momentów  rozkładu  cechy  w  populacji 
ogólnej.  Momenty  są  zazwyczaj  funkcjami  parametrów  θ

i

 

rozkładu.  Z  otrzymanego  układu  równań  wyznacza  się  esty-
matory parametrów.  

Przykład 3. Różnica wskazań dowolnych dwóch przyrządów 
pomiarowych jest zmienną losowa o rozkładzie jednostajnym 
w  przedziale  (a,  b).  Oszacować  metodą  momentów  końce 
przedziału.  

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

14 

Rozwiązanie. Ponieważ X~u(a, b), więc  





,

2

1

E

b

a

X





       





,

3

2

1

D

a

b

X





 

Zastępując  zgodnie z  metodą  momentów  EX przez 

n

X

  i  DX 

przez S otrzymujemy estymatory  

3

S

a

n





X

 oraz 

3

S

b

n





X

. 

 

 

 

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

15 

4. Metoda największej wiarygodności  

Opracowana  przez  R.  A.  Fishera.  Jest  efektywniejsza  od  in-
nych metod. Niech rozkład badanej cechy  X zależy od k nie-
znanych parametrów 



1

,…, 



k

, które chcemy oszacować. 

Krok 1.

 Wyznaczamy funkcję wiarygodności próby:  















n

i

k

i

k

n

x

f

x

x

L

1

1

1

1

)

,...,

;

(

)

,...,

;

,...,

(

, 

gdzie f oznacza PDF dla rozkładu typu ciągłego lub PMF dla 
rozkładu typu dyskretnego. 

Krok  2.

  Za  estymatory  parametrów  przyjmujemy 

k





ˆ

,...,

ˆ

1

, 

dla których L (lub ln L) przyjmuje wartość największą  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

16 

Wartości maksymalizujące muszą spełniać układ równań  

 .

 

1,...,

 

 

 

dla

   

0

ln

k

i

L

i











 

Krok 3.

 Sprawdzamy warunek konieczny i wystarczający dla 

maksimum funkcji. W szczególności dla k 



 1 oznacza to, że 

druga pochodna w punkcie 



ˆ

 jest ujemna. 

 
Przykład 4. Cecha X pewnej populacji ma rozkład trzypunk-
towy z nieznanym parametrem p 



















p

p

f

1

5

,

0

0

5

,

0

1

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

17 

Wyznaczyć estymator parametru p  

a)  metodą momentów,  
b)  metodą największej wiarygodności.  

Rozwiązanie. Niech x

1

, x

2

,…, x

n

 będzie realizacją próby pro-

stej.  
a) W metodzie momentów wyznaczamy wartość oczekiwaną 

m 



 EX 



 2p − ½,  

czyli p 



 (m 



 ½ )/2. Wstawiając moment empiryczny otrzy-

mujemy estymator parametru p  

.

2

2

1

ˆ





n

n

p

X

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

18 

b) Dla uproszczenia zapisu niech k oznacza liczbę obserwacji 
przyjmujących wartość –1, a l – liczbę obserwacji przyjmują-
cych wartość 0.  

Funkcja wiarygodności ma postać:  

)

(

P

...

)

(

P

)

;

,

,

(

)

;

,...,

,

(

1

1

2

1

n

n

n

x

X

x

X

p

n

l

k

L

p

x

x

x

L













 

l

k

n

l

k

p

p









)

5

,

0

(

)

5

,

0

(

 

L osiąga maksimum w tym samym punkcie co funkcja ln L.  

p

l

k

n

l

p

k

p

n

l

k

L

ln

)

(

5

,

0

ln

)

5

,

0

ln(

)

;

,

,

(

ln













 

Funkcja ln L jest różniczkowalna względem p  

0

)

;

,

,

(

ln



dp

p

n

l

k

L

d

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

19 

0

5

,

0













p

l

k

n

p

k

 

Stąd  

.

)

(

2

l

n

l

k

n

p









 

Ostatecznie estymator wyraża się wzorem 

,

)

(

2

ˆ

0

0

1

U

n

U

U

n

p









 

gdzie  U

1

  i  U

0

  są  statystykami  liczącymi  wystąpienia  odpo-

wiednio wartości −1 i 0 (k i l są realizacjami tych statystyk).  

Zadanie.  Wyznaczyć  estymator  parametru  p  w  rozkładzie 
Bernoulliego.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

20 

5. Estymatory podstawowych charakterystyk licz-
bowych 

A.  Estymator  wartości  oczekiwanej.  Średnia  arytmetyczna 
jest  estymatorem  nieobciążonym  i  jednocześnie  estymatorem 
największej  wiarygodności  wartości  oczekiwanej  zm.  l.  X 
przy spełnieniu przynajmniej jednego z poniższych założeń:  



 liczba obserwacji n jest dostatecznie duża (zob. CTG),  



 rozkład zmiennej X jest normalny.   

B.  Estymator  wariancji.  Jeżeli  wartość  oczekiwana  m

X

  po-

pulacji  X  jest  nieznana,  to  estymatorem  nieobciążonym  nie-
znanej  wariancji  w  populacji  X  jest  wariancja  z  próby,  tj. 

2

2

ˆ

n

X

S





. 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

21 

Jeżeli wartość oczekiwana m

X

 populacji X jest znana, to es-

tymatorem  nieobciążonym  nieznanej  wariancji  dla  danych 
szczegółowych jest statystyka S

n

2

 określoną wzorem:  













n

i

i

n

m

X

n

m

S

1

2

2

1

)

,

(X

.  

C. Estymator wskaźnika struktury. Wskaźnikiem struktury 
w  populacji  X~B(p)  nazywamy  prawdop.  p  zaobserwowania 
wyróżnionej  cechy  w  populacji.  Estymatorem  wskaźnika  p 
jest częstość w próbie X

n

, tj. 

n

P

p



ˆ

 , gdzie  

n

X

P

i

n





, 

X

i

 ~B(p), n jest licznością próby.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

22 

6. Szeregi: szczegółowy, pozycyjny i rozdzielczy 

Dane  statystyczne najczęściej  zestawiane  są w postaci ta-

bel.  Jeżeli  danych  dotyczących  jednej  cechy  jest  mało,  to 
zwykle są zestawiane wszystkie x

1

, x

2

,…, x

n

. Mówimy wtedy 

o 

szeregu szczegółowym

. Uporządkowany zestaw danych  

x

(1)

 



 x

(2) 



 …



 x

(n)

 

nazywamy 

szeregiem pozycyjnym

. Duże ilości danych (n



30) 

najczęściej są zestawiane w postaci 

szeregu rozdzielczego

.  

Szereg  rozdzielczy

  jest  syntetycznym  sposobem  prezenta-

cji danych. Uzyskuje się go poprzez podział danych szczegó-
łowych  x

1

,  x

2

,…,  x

n

  na  klasy  reprezentowane  przez  pewne 

liczby k

1

, k

2

,…, k

r

 i ustalenie liczebności n

i

 i/lub 

częstości

 w

i

 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

23 



  n

i

/n (dla  i 



  1,  2,…,  r)  zbiorów  danych  przypadających  na 

każdą  z  tych  klas.  Zwykle  szereg  rozdzielczy  jest  podawany 
w postaci ciągu par (k

i

, n

i

), i 



 1, 2,…, r.  

Jeśli cecha ma charakter 

ciągły

, wtedy dzielimy przedział 

wartości  cechy  na 

przedziały  klasowe

.  Liczba  i  rozpiętości 

przedziałów  powinny  być  tak  dobrane,  aby  dawały  przejrzy-
sty obraz rozkładu.  

Na ogół przyjmuje się, że liczba przedziałów powinna być 

większa  od  5  i  mniejsza  od  20.  Zwykle  klasy  są  reprezento-
wane przez środki przedziałów klasowych.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

24 

Jeśli cecha jest typu dyskretnego, a liczba możliwych war-

tości jest bardzo duża, wtedy możemy postąpić podobnie jak 
w przypadku cechy typu ciągłego.  

Średnia ważona dla danych w postaci 

szeregu rozdzielczego

:  

i

r

i

i

n

n

k

n







1

1

x

,  

gdzie k

i

 to liczba reprezentująca i-tą klasę, zaś n

i

 to liczebność 

i-tej klasy (i 



 1, 2,…, r).  

Wariancja ważona dla danych w postaci szeregu:   















r

i

n

i

i

n

k

n

n

s

1

2

2

1

1

x

.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

25 

7. Estymacja przedziałowa  

Estymacja przedziałowa

 (

interval estimation

) to grupa metod 

statystycznych służących do oszacowania parametrów rozkła-
du  cechy  w 

populacji  generalnej

.  Oceną  nieznanego  parame-

tru 



 nie jest konkretna wartość, ale pewien przedział, który z 

określonym prawdop. pokrywa wartość tego parametru. Poję-
cie  przedziału  ufności  wprowadził  polski  matematyk 

Jerzy 

Spława-Neyman

2

.  

                                                           

2

 

Jerzy Spława-Neyman (ur. 

16 kwietnia

 

1894

 w 

Benderach

 w 

Besarabii

, zm. 

5 sierpnia

 

1981

 

w 

Berkeley

). W 

1863

 jego rodzina została deportowana do 

Rosji

. Studiował matematykę w 

Charkowie

. W 

1921

 wrócił do Polski. Od 

1938

 przebywał w 

USA

, gdzie został profesorem Uniwersytetu w 

Berkeley

.

  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

26 

Przedziałem  ufności

  (

confidence  interval

)  parametru 



 

nazywamy  przedział  (θ

1

,  θ

2

),  którego  końce  są  statystykami 

wyznaczonymi na podstawie próby losowej, tj. 



i

 



 



i

(X

n

), i 



 

1, 2 oraz  

P(θ

1

 < θ < θ

2

) 



 1 − α  

Wielkość 1



 nazywamy 

poziomem ufności

. Różnica l

n 



 



2

 



 



1

  jest  losową  długością  przedziału  ufności.  Im  bliższy  1 

poziom ufności, tym dłuższy jest przedział ufności, a tym sa-
mym  mniejsza  dokładność  estymacji  parametru.  Wybór  po-
ziomu  1



  jest  kompromisem  pomiędzy  dokładnością  esty-

macji  a  ryzykiem  błędu.  W  praktyce  zwykle  przyjmujemy 
1



 



  0,99;  0,95  lub  0,90.  Wybór  najlepszych  statystyk 

sprowadza się do poszukiwania przedziałów najkrótszych.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

27 

8. Przykładowa konstrukcja przedziału ufności  

Skonstruować  100(1−



)%  CI  (przedział  ufności)  dla  war-

tości oczekiwanej m populacji o rozkładzie N(m, 



) z niezna-

nymi parametrami.  

Konstrukcja.  Niech  X

1

,…,  X

n

  będzie  SRS  (prostą  próbą 

losową). Z CTG wiemy, że  

)

1

(

~







n

t

n

S

m

t

n

n

X

. 

Niech t



, n



1

 oznacza kwantyl rzędu 



 tego rozkładu, wówczas  



































1

P

1

,

2

/

1

1

,

2

/

n

n

n

n

t

n

S

m

t

X

.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

28 

Przekształcając nierówności i przyjmując t



/2,  n



1 



 



t

1



/2,  n



1

, 

otrzymujemy 100(1



)% końce przedziału ufności dla m  

n

S

t

n

n

n

1

,

2

/

1

1













X

    

n

S

t

n

n

n

1

,

2

/

1

2













X

. 

 

Przykład  5.  W  wielkoseryjnej  produkcji  pewnych  urządzeń 
poddano szczegółowej kontroli 500 z nich. Otrzymano nastę-
pujący rozkład liczby usterek:  

Liczba usterek 

0   

1   

2    3    4    5    6   

Liczba urządzeń  112  168  119  63  28  9 

1 

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

29 

a)  Ocenić  wartość  oczekiwaną  i  odchylenie  standardowe 

liczby  usterek  w  każdym  z  produkowanych  urządzeń. 
Ocenić wskaźnik struktury urządzeń bez usterek. 

b)  Wyznaczyć na poziomie ufności 0,95 przedział ufności 

dla przeciętnej liczby usterek produkowanych urządzeń. 

c)  Na poziomie ufności 0,99 wyznaczyć przedział ufności 

dla odchylenia standardowego liczby usterek.  

d)  Na poziomie ufności 0,90 wyznaczyć przedział ufności 

dla wskaźnika produkowanych urządzeń bez usterek.   

Rozwiązanie.

 Niech X oznacza liczbę usterek urządzeń w ba-

danej  ich  populacji.  Zm.  l.  X  ma  nieznany  rozkład.  Zakłada-
my, że ma skończoną wariancję. Próba jest bardzo duża, n 



 

500, więc możemy skorzystać z CTG.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

30 

a) Obliczone z próby wartości statystyk wynoszą:  

52

,

1



n

x

, 

24

,

1



n

s

.  

Stąd oceny nieznanych parametrów:  

52

,

1

ˆ



X

m

, 

24

,

1

ˆ





X

, 

224

,

0

500

112

ˆ









n

x

p

i

. 

 
b) Ocenę końców przedziału wyznaczamy z modelu:  

n

s

z

2

/

1







x

.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

31 

Kwantyl z

0,975

 stand. rozkładu normalnego odczytany z tablic 

wynosi z

0,975

 



 1,96. Wstawiając dane otrzymujemy  

500

24

,

1

96

,

1

52

,

1



.  

Wniosek:

  95



procentową  realizacją  przedziału  ufności  dla 

nieznanej przeciętnej liczby usterek produkowanych urządzeń 
jest  1,46  <  m  <  1,63,  a  maksymalny  błąd  oszacowania  prze-
ciętnej m wynosi (1,63 



 1,41)/2 



 0,22. 

c)  Próba  jest  bardzo  duża,  więc  korzystamy  z  granicznego 
rozkładu statystyki S, tj. z rozkładu normalnego. Przedział uf-
ności dla odchylenia standardowego 



 jest postaci  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

32 

n

z

s

n

z

s

2

1

1

2

1

1

2

/

1

2

/

1



















.  

Wstawiając dane n 



 500, s 



 1,24, 1 



 



 



 0,99 oraz kwantyl 

z

0,995

 



 2,5758, otrzymujemy  

1000

576

,

2

1

24

,

1

1000

576

,

2

1

24

,

1











 

Wniosek:

  99  procentową  realizacją  przedziału  ufności  dla 

nieznanego  odchylenia  standardowego  liczby  usterek  produ-
kowanych urządzeń jest przedział (1,15; 1,35).  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

33 

d)  Badana  cecha  ma  rozkład  B(p),  gdzie  p  jest  nieznanym 
wskaźnikiem urządzeń bez usterek. Próba jest tak duża, że do 
wyznaczenia  realizacji  końców  przedziału  ufności  dla  p  ko-
rzystamy z modelu:  

n

p

p

z

p

n

n

n

)

1

(

2

/

1









.  

Dla danych: n 



 500, 

224

,

0



n

p

, 1 



 



 



 0,90, z

0,95 



 1,645 

otrzymujemy  

03067

,

0

22400

,

0

500

776

,

0

224

,

0

645

,

1

224

,

0









.  

Wniosek:

  90  procentową  realizacją  przedziału  ufności  dla 

wskaźnika p jest przedział (0,19333; 0,25467).  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

34 

9. Minimalna liczebność próby  

Maksymalny błąd estymacji to połowa przedziału ufności 

2

1

2











  

Ustalamy  minimalną  liczebność  próby  zapewniająca,  przy 
danym  poziomie  ufności  1



,  nie  przekroczenie  przez  mak-

symalny błąd szacunku z góry założonej wielkości d: 



  przy estymacji m w populacji normalnej ze znaną oraz nie-

znaną wariancją  





















2

2

2

2

/

1

d

z

n

,     

























2

2

2

1

;

2

/

1

0

d

s

t

n

n

  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

35 



  przy estymacji wskaźnika p w rozkładzie Bernoulliego:  

a)  jeśli znamy p

0

, tj. spodziewany rząd wielkości p  





















2

0

0

2

2

/

1

)

1

(

d

p

p

z

n

  

b)  jeśli nie znamy rzędu wielkości p  



















2

2

2

/

1

4d

z

n

,  

gdzie

 

 

x

 oznacza funkcję sufit.  

 

Karol J. Andrzejczak,  MPiS30 W10: Estymacja parametrów populacji 

 

36 

Przykład  6.  Ustalić  tak  liczebność  próby,  aby  na  poziomie 
ufności 0,99 można było oszacować oczekiwany czas zdatno-
ści akumulatorów z dokładnością do i) 20h; ii) 10h, jeśli od-
chylenie standardowe w populacji jest  

a)  znane i wynosi 



 



 40h;  

b)  nieznane i wyznaczone z  n

0

-elementowej próby wstęp-

nej wynosi s 



 40h.