ZAD 9
Od rakiety, która wznosi si pionowo w gór , w chwili, gdy ma ona pr dko v
0
= 300 m/s, oderwał si na
wysoko ci h = 2 km jeden z niepotrzebnych ju zbiorników paliwa. Znale czas t, po którym zbiornik ten
opadnie na ziemi . Opory powietrza pomin .
Rozwi zanie
O y w gór , punkt zerowy osi y na poziomie ziemi,
)
2
0
2
2
0
2
0
kwadratowe
(równanie
gt
t
v
h
gt
t
v
h
y
−
+
=
−
+
=
2
2
2
5
300
2000
0
s
s
s
m
m
t
s
m
t
−
+
=
∆=130000, t
(1)
=
−6,06s, t
(2)
=66,06 s
t
(1)
< 0 nie spełnia warunków zadania (czas lotu nie mo e by ujemny),
zatem odpowied jest: t = t
(2)
=66,06 s
ZAD 10
Z wysoko ci h = 220 m nad poziomem ziemi spada swobodnie ciało A. W momencie, w którym to ciało
zacz ło spada , z poziomu ziemi wyrzucono ciało B pionowo w gór z pr dko ci pocz tkow v
0
= 50 m/s.
W jakim momencie czasu i na jakiej wysoko ci spotkaj si te ciała?
Rozwi zanie
O y w gór , punkt zerowy osi y na poziomie ziemi,
2
)
2
(
2
)
1
(
2
0
2
2
1
gt
t
v
y
gt
h
y
−
=
−
=
Mo na napisa
y
1
=
y
2
, bowiem ciała w chwili spotkania musz znajdowa si
na tej samej wysoko ci. Zatem
s
4,4
s
m
50
m
220
=
=
=
=
−
=
−
0
0
2
0
2
2
2
v
h
t
t
v
h
gt
t
v
gt
h
x
x
x
x
x
Wysoko h
x
na jakiej spotkały si ciała znajdziemy wstawiaj c otrzymany czas do (1) lub (2)
( )
(
)
( )
(
)
m
123,2
m
96,8
220
2
s
4,4
s
m
10
m
123,2
m
96,8
220
2
s
4,4
s
m
10
m
220
2
2
2
2
=
−
=
⋅
−
⋅
=
−
=
=
−
=
⋅
−
=
−
=
s
s
m
gt
t
v
h
gt
h
h
x
x
x
x
x
4
,
4
50
2
)
2
(
2
)
1
(
2
0
2
ZAD 11
Z jak pr dko ci pocz tkow v
0
nale y wyrzuci pionowo w gór ciało z wysoko ci H = 20 m nad
poziomem ziemi, aby spadło na ziemie po czasie t = 6 s.
Rozwi zanie
O y w gór , punkt zerowy osi y na poziomie ziemi,
s
m
s
m
s
m
s
s
m
2
67
,
26
33
,
3
30
6
20
2
6
10
2
2
2
2
0
?
6
,
20
0
2
0
2
0
0
=
−
=
−
⋅
=
−
=
=
−
=
−
=
−
+
=
=
=
=
t
H
gt
v
t
H
gt
t
H
gt
v
gt
t
v
H
v
t
m
H
0
y
g
v
0
t
(+) (−)
0
y
g
v
0
(+) (−)
t
x
h
x
h
0
y
g
v
0
t
(+) (−)
H= 20 m
t=6 s
ZAD 12
Z jakiej wysoko ci h spadło ciało, je eli ostatnie 2/3 drogi przebyło w czasie t
2
= 2 s. Jak miało pr dko
ko cow v
k
? (v
0
= 0)
Rozwi zanie
O y w dół, punkt zerowy osi y na poziomie ziemi h,
Oznaczmy przez t
x
czas spadku ciała z wysoko ci h.
Wtedy
2
)
1
(
2
x
gt
h
=
Z faktu, e ostatnie 2/3 drogi ciało przebyło w czasie 2 s wynika, e pierwsze 1/3
drogi ciało przebyło w czasie t
x
−2 s, co mo na zapisa
(
)
2
2
3
1
)
2
(
2
−
=
x
t
g
h
Wstawiaj c h z (1) do (2) otrzymujemy równanie
(
)
2
2
2
3
1
2
2
−
=
x
x
t
g
gt
co po przekształceniach daje równanie kwadratowe w postaci:
(
)
0
6
6
0
12
12
2
12
12
3
2
3
2
2
2
2
2
2
=
+
−
=
+
−
+
−
=
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
t
t
t
t
t
t
t
t
t
∆=12, t
(1)
= 1, 27 s, t
(2)
= 4, 73 s
Wynik t
(1)
= 1, 27 s nale y odrzuci gdy całkowity czas spadku ciała nie mo e by mniejszy ni 2 s.
Rozwi zaniem jest t
(2)
= 4, 73 s
Wysoko obliczamy wstawiaj c czas t
(2)
= 4, 73 s np. do (1)
( )
m
112
2
s
4,73
s
m
10
2
2
2
=
=
=
2
2
x
gt
h
Pr dko ko cow z wzoru
s
m
m
112
s
m
10
2
3
,
47
2
2
=
⋅
⋅
=
=
gh
v
k
ZAD 13
Jak nale y wyrzuci ciało z samolotu, aby spadło pionowo w dół? Podaj warto , kierunek i zwrot tego rzutu.
Czy istnieje tylko jeden taki kierunek?
Tak by składowa pozioma pr dko ci (wzgl dem samolotu) wyrzucanego ciała kompensowała składow poziom pr dko ci samolotu.
ZAD 14
Z wie y o wysoko ci h = 25 m rzucono poziomo kamie z pr dko ci v
0
= 10 m/s. W jakiej odległo ci od
podstawy wie y spadnie on na ziemi i jak osi gnie pr dko ko cow ? Napisa równanie toru tego ciała
Rozwi zanie
O y w gór , o x w prawo
poziomie)
(ruch w
pionie)
(ruch w
t
v
x
gt
h
y
0
2
)
2
(
2
)
1
(
=
−
=
z (2) liczymy t i wstawiamy do (1)
toru)
(równanie
2
0
2
2v
gx
h
y
−
=
- parabola
Pr dko ko cowa v
k
jest sum wektorow składowej poziomej pr dko ci (v
0
) oraz składowej pionowej pr dko ci v
y
(w chwili
zderzenia z ziemi )
Na pr dko ko cow w spadku swobodnym znany jest wzór
gh
v
y
2
=
, który mo na wyprowadzi , jak poni ej:
0
y
g
t
x
h/3
h=?
t
x
−2 s
t
v
0
v
0
v
k
v
y
h
gt
v
gt
h
y
y
−
=
−
−
=
)
2
(
2
)
1
(
2
wstawiaj c t z (2) do (1) (dla y = 0) mamy
2
0
2
−
=
g
v
g
h
y
gh
v
v
gh
g
gv
h
y
y
y
2
2
2
0
2
2
2
=
=
−
=
Ostatecznie
( )
s
m
24,5
m
25
s
m
10
2
s
m
10
2
2
2
2
=
⋅
⋅
⋅
+
=
+
=
gh
v
v
k
2
2
0
Odległo s od podstawy wie y znajdziemy z wzoru
t
v
s
⋅
=
0
, gdzie czas t jest czasem swobodnego spadku ciała z wysoko ci h
g
h
t
gt
h
2
2
2
=
=
czyli,
m
s
m
10
m
25
2
s
m
10
2
4
,
22
2
0
0
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⋅
=
g
h
v
t
v
s
ZAD 15
Kamie wyrzucono pod k tem
α = 60° do poziomu z szybko ci v
0
= 20 m/s. Obliczy czas, po którym
wektor pr dko ci kamienia utworzy z poziomem k t
β = 30° oraz wysoko , na której b dzie si w tym
momencie znajdował.
Rozwi zanie
β
= tg
v
v
x
y
gdzie
gt
v
v
y
−
α
= sin
0
oraz
α
= cos
0
v
v
x
, zatem
s
g
v
v
t
v
gt
v
v
gt
v
15
,
1
cos
sin
cos
sin
cos
sin
0
0
0
0
0
0
=
β
α
−
α
=
β
α
=
−
α
β
=
α
−
α
tg
tg
tg
m
3
,
13
2
sin
2
0
=
−
⋅
α
=
gt
t
v
h
β
α
v
0
cos
α
v
0
cosα
v
0
sin
α−gt
v
0
sinα
v
0
v
ZAD 16
Pod jakim k tem
α do poziomu nale y ustawi luf działa stoj cego na ziemi, aby trafi w szczyt wie y o
wysoko ci h = 50 m znajduj cej si w odległo ci s = 400 m od stanowiska działa? Pr dko wylotowa pocisku v
0
= 300 m/s. Czy jest tylko jedna odpowied ?
Rozwi zanie:
(
)
(
)
rys)
(patrz
ie
trajektor
dwie
zatem
s
-
88,7
oraz
8,4
k ty
dwa
odpowiadaj
,
x
,
x
a
rozwi zani
dwa
ma
które
kwadratowe
równanie
y
otrzymujem
tg
x
c
podstawiaj
jest tg
zmienn
szukan
gdzie
kwadratowe
równanie
jest to
tg
tg
tg
tg
sin
tg
sin
tg
tryczna)
trygonome
jedynka
tzw.
(jest to
sin
zachodzi
k ta
dowolnego
dla
e
,
zale no ci
z
korzystamy
tg
(1)
do
wstawiamy
czym
po
obliczamy
(2)
z
poziomym)
kierunku
y w
jednostajn
(ruch
pionowym)
kierunku
w
gór
pionowy w
(rzut
s
m
m
m
0
0
2
1
2
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
2
2
0
2
2
0
0
0
0
0
2
0
0
2
2
0
2
2
0
1
2
cos
cos
2
cos
2
cos
cos
2
tan
cos
cos
2
2
cos
cos
sin
cos
)
2
(
cos
)
1
(
2
sin
?
,
300
,
400
,
50
x
v
gs
x
s
v
gs
h
v
gs
s
v
gs
h
zatem
v
gs
s
v
gs
s
v
gs
s
v
gs
s
h
v
gs
s
v
s
g
v
s
v
h
v
s
t
t
t
v
s
gt
t
v
h
v
s
h
−
⋅
+
−
−
=
α
=
α
α
−
α
⋅
+
−
−
=
α
+
⋅
−
α
⋅
=
α
α
+
α
⋅
−
α
⋅
=
α
α
+
α
⋅
−
α
⋅
=
α
⋅
−
α
⋅
=
=
α
+
α
α
α
−
α
⋅
=
α
−
α
⋅
α
=
α
=
⋅
α
=
−
⋅
α
=
=
α
=
=
=
1
1
ZAD 18
Kamie wyrzucony z szybko ci v
0
= 12 m/s. pod k tem
α = 45° do poziomu spadł na ziemi w pewnej
odległo ci s od miejsca wyrzucenia. Z jakiej wysoko ci h nale y rzuci kamie w kierunku poziomym, aby
przy tej samej pr dko ci pocz tkowej v
0
upadł w to samo miejsce? (Uwaga: Nale y wykorzysta rozkład
ruchu na niezale ne ruchy prostoliniowe wzdłu kierunków prostopadłych)
Rozwi zanie:
( )
( )
( )
m
m
s
m
s
m
:
y
otrzymujem
(2)
do
(1)
z
czas
wstawiaj c
upadku
chwili
w
upadku
chwili
w
(1)
wtedy
prawo)
x w
o
ziemi,
poziomie
na
na
osi
pocz tek
gór ,
y w
(o
mamy
poziomego
rzutu
dla
upadku
chwili
w
upadku
chwili
w
(1)
wtedy
prawo)
x w
o
H,
wysoko ci
na
osi
pocz tek
dól,
y w
(o
mamy
poziomego
rzutu
dla
m
m
m
s
s
m
:
i
to samo c
z
korzystamy
y
otrzymujem
(3))
do
(lub
(2)
do
(1)
z
czas
Wstawiaj c
upadku
chwili
w
napisa
te
mo na
upadku
chwili
w
upadku
chwili
w
(1)
prawo)
x w
o
ziemi,
poziomie
na
na
osi
pocz tek
gór ,
y w
(o
mamy
uko nego
rzutu
dla
2
2
2
2
2
2
2
2
,
7
12
4
,
14
2
10
2
2
2
2
)
2
(
lub
2
2
)
2
(
4
,
14
10
144
90
sin
10
12
2
sin
2
sin
cos
sin
2
cos
sin
2
cos
sin
2
sin
2
sin
sin
sin
)
3
(
sin
2
2
sin
0
2
sin
)
2
(
cos
cos
cos
45
,
12
2
2
2
0
2
2
2
0
0
0
2
2
0
0
0
2
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2
0
0
0
0
0
=
⋅
=
=
=
=
−
=
=
⋅
=
⋅
=
=
=
=
⋅
=
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
α
⋅
=
α
=
α
α
α
α
⋅
=
α
=
α
=
α
−
α
=
α
−
⋅
α
=
=
α
−
⋅
α
=
−
⋅
α
=
α
=
⋅
α
=
⋅
α
=
=
α
=
v
s
g
gt
H
t
gt
H
gt
H
y
v
s
t
t
v
s
t
v
x
gt
H
gt
y
v
s
t
t
v
s
t
v
x
g
v
s
g
v
s
v
s
g
v
t
gt
v
gt
v
v
t
v
v
gt
v
gt
t
v
gt
t
v
y
v
s
t
t
v
s
t
v
x
s
m
v
y
1
s
s
H
v
0
v
0