37
Nierówno
ś
ci kwadratowe
Zad. 1:
Dla jakich wartości parametru m
R
∈
nierówność
m
m
m
x
m
x
m
m
2
2
2
2
6
1
1
1
3
0
+ −
−
+
+
−
−
+
>
(
)
jest
spełniona dla kaŜdej wartości x
R
∈
?
Odp.: m
∈ − − ∪ −
(
;
)
(
; ).
7 3
1 1
Zad. 2:
Dla jakich wartości parametru m nierówność (5 - m)x
2
- 2(1 - m)x + 2(1 - m) < 0 jest speł-
niona dla kaŜdego x
R
∈
?
Odp.: m > 9.
Zad. 3:
a) Dla jakich wartości parametru a nierówność (a
2
- 1)x
2
+ 2(a - 1)x + 2 > 0 jest spełniona dla
kaŜdego x
R
∈
?
*b) Czy istnieje takie x, aby dla kaŜdego a
R
∈
powyŜsza nierówność była prawdziwa?
Odp.: a)
a
∈ −∞ − ∪ +∞
(
;
)
;
)
3
1
. *b) x
∈ − −
− +
(
;
)
1
2
1
2 .
Zad. 4:
Dla jakich wartości parametru
m nierówność (5 - m)x
2
- 2(1 - m)x + 2(1 - m) < 0 jest speł-
niona dla kaŜdego x
R
∈
?
Odp.: m > 9.
Zad. 5:
a) Dla jakich wartości parametru
a nierówność (a
2
- 1)x
2
+ 2(a - 1)x + 2 > 0 jest spełniona dla
kaŜdego x
R
∈
?
*b) Czy istnieje takie
x, aby dla kaŜdego a
R
∈
powyŜsza nierówność była prawdziwa?
Odp.: a)
a
∈ −∞ − ∪ +∞
(
;
)
;
)
3
1
. *b) x
∈ − −
− +
(
;
)
1
2
1
2 .
Zad. 6*:
Dla jakich wartości parametru
a zbiór rozwiązań nierówności x
2
- 3x + 2 < 0 jest zawarty w
zbiorze rozwiązań nierówności ax
2
-(3a + 1)x + 3 > 0?
Odp.:
(
a
∈ − ∞
;
1
2
.
Zad. 7:
Dane są zbiory:
{
}
0
30
11
:
2
=
+
−
∧
∈
=
x
x
R
x
x
A
≤
−
+
∧
∈
=
1
2
3
1
2
:
x
x
R
x
x
B
{
}
0
6
11
3
:
2
>
+
−
∧
∈
=
x
x
R
x
x
C
Udowodnij, Ŝe
(
)
C
C
B
A
=
∩
∪
.
