Uniw
ersytet
W
arsza
wski
W
ydziaª
Matemat
yki,
Informat
yki
i
Me
haniki
P
aulina
Szyma«sk
a
Nr
album
u:
234625
O
ró
wnaniu
ru
h
u
uliznego
Praa
lienja
k
a
na
kierunku
MA
TEMA
TYKA
Praa
wyk
onana
p
o
d
kierunkiem
dr
Agnieszki
wierzewskiej-Gwiazdy
Inst
ytut
Matemat
yki
Stoso
w
anej
Ma
j
2006
O±wiadzenie
kieruj¡ego
pra¡
P
ot
wierdzam,
»e
niniejsza
praa
zostaªa
przygoto
w
ana
p
o
d
moim
kierunkiem
i
kw
a-
likuje
si
do
przedsta
wienia
jej
w
p
ostp
o
w
aniu
o
nadanie
t
ytuªu
za
w
o
do
w
ego.
Data
P
o
dpis
kieruj¡ego
pra¡
O±wiadzenie
autora
(autoró
w)
pray
wiadom
o
dp
o
wiedzialno±i
pra
wnej
o±wiadzam,
»e
niniejsza
praa
dyplomo
w
a
zostaªa
napisana
przeze
mnie
samo
dzielnie
i
nie
za
wiera
tre±i
uzysk
an
y
h
w
sp
osób
niezgo
dn
y
z
ob
o
wi¡zuj¡ymi
przepisami.
O±wiadzam
ró
wnie»,
»e
przedsta
wiona
praa
nie
b
yªa
w
ze±niej
przedmiotem
pro-
edur
zwi¡zan
y
h
z
uzysk
aniem
t
ytuªu
za
w
o
do
w
ego
w
wy»szej
uzelni.
O±wiadzam
p
onadto,
»e
niniejsza
w
ersja
pray
jest
iden
t
yzna
z
zaª¡zon¡
w
ersj¡
elektronizn¡.
Data
P
o
dpis
autora
(autoró
w)
pray
Streszzenie
Praa
dot
yzy
hip
erb
olizn
y
h
ró
wna«
z¡stk
o
wy
h.
Rozw
a»an
y
problem
mot
yw
o
w
an
y
jest
opisem
ru
h
u
uliznego.
W
pray
przedsta
wiono
zwi¡zki
i
±isªe
przej±ie
o
d
sform
uªo
w
ania
kinet
yznego
(r
ównanie
tr
ansp
ortu),
do
tzw.
sªab
ego
sform
uªo
w
ania
en
tropijnego
(r
ównanie
ruhu
ulizne
go).
Sªo
w
a
kluzo
w
e
ró
wnanie
ró»nizk
o
w
e,
sªab
e
rozwi¡zanie,
harakteryst
yk
a,
zbie»no±¢
w
przestrzeni
L
p
Dziedzina
pray
(k
o
dy
wg
program
u
So
rates-Erasm
us)
11.1
Matemat
yk
a
Klasyk
aja
temat
yzna
35.
P
artial
dieren
tial
equations
35.L.
P
artial
dieren
tial
equations
of
h
yp
erb
oli
t
yp
e
35.L.65.
Conserv
ation
la
ws
T
ytuª
pray
w
jzyku
angielskim
On
tra
o
w
equation
Spis
tre±i
W
pro
w
adzenie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
1.
Kilk
a
narzdzi
matemat
yzn
y
h
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
2.
Ró
wnanie
transp
ortu
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
3.
Od
ró
wnania
transp
ortu
do
ró
wnania
ru
h
u
uliznego
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
4.
P
o
dsumo
w
anie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
21
Bibliograa
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
3
W
pro
w
adzenie
Wikszo±¢
zja
wisk
otaza
j¡ego
nas
±wiata
mo»na
rozpatryw
a¢
na
wielu
p
ozioma
h.
Opisuj¡
ru
h
samo
ho
dó
w
na
autostradzie
(zy
z¡stezek
substanji
p
orusza
j¡y
h
si
w
jednowy-
miarowym
o±ro
dku)
mo»em
y
denio
w
a¢
funk
je
zale»ne
o
d
prdk
o±i
p
o
jedynzy
h
p
o
jazdó
w
(sk
ala
mikrosk
op
o
w
a),
aªy
h
grup
p
o
jazdó
w
(sk
ala
mezosk
op
o
w
a)
zy
wreszie
u±rednia¢
prdk
o±i
wszystki
h
zna
jduj¡y
h
si
p
o
jazdó
w
na
dro
dze
(sk
ala
makrosk
op
o
w
a).
W
pray
p
o
djto
prób
zapisania
problem
u
za
p
omo
¡
narzdzi,
jakie
da
je
nam
teoria
ró
wna«
ró»nizk
o
wy
h
i
formalnego
przej±ia
z
opisu
wy»ej
wsp
omnianego
zja
wisk
a
w
sk
ali
mezosk
o-
p
ow
ej
do
sk
ali
makrosk
op
o
w
ej.
W
pray
rozpatrujem
y
ró
wnanie
w
tzw.
sformuªowaniu
kinetyznym
i
szuk
am
y
zwi¡zk
ó
w
z
r
ozwi¡zaniem
entr
opijnym
o
dp
o
wiada
j¡ego
m
u
w
sk
ali
makrosk
op
o
w
ej
hip
erb
oliznego
pra
w
a
za
ho
w
ania.
Pierwszy
rozdziaª
przytaza
kluzo
w
e
denije
i
t
wierdzenia,
z
który
h
k
orzysta
si
w
rozdzia-
ªa
h
p
ó¹niejszy
h.
W
drugim
rozdziale
przedsta
wione
zostaªy
mot
yw
aje
zyzne
dla
p
osta
wionego
problem
u,
m.in.
sk
¡d
wziªo
si
r
ównanie
tr
ansp
ortu
i
udo
w
adniam
y
p
ewne
wªasno±i
funk
ji
rozwi¡zu-
j¡y
h
sform
uªo
w
anie
kinet
yzne
(niejednoro
dne
ró
wnanie
transp
ortu).
Rozdziaª
ostatni
za
wiera
t
wierdzenie
wraz
z
do
w
o
dem
stano
wi¡e
±isªe
przej±ie
o
d
sform
u-
ªow
ania
kinet
yznego
do
sªab
ego
en
tropijnego
rozwi¡zania
ró
wnania
hip
erb
oliznego.
5
Rozdziaª
1
Kilk
a
narzdzi
matemat
yzn
y
h
W
rozdziale
t
ym
wpro
w
adz
niezb
dne
denije
i
t
wierdzenia
wyk
orzyst
yw
ane
w
rozdziale
drugim
i
trzeim.
Dot
yz¡
one
p
o
j¢
z
zakresu
ró
wna«
ró»nizk
o
wy
h
zwyza
jn
y
h
i
z¡stk
o-
wy
h
i
analizy
funk
jonalnej.
Nie
b
d
jednak
przyp
omina¢
zup
eªnie
p
o
dsta
w
o
wy
h
deniji,
(taki
h,
jak
np.
ró
wnania
ró»nizk
o
w
ego
z¡stk
o
w
ego)
przyjm
uj¡
je
za
elemen
tarne.
Denija
1.
[5
℄
Przestrzeni¡
dualn¡
do
przestrzeni
X
nazwiemy
zbiór
funkjonaªów
linio-
wyh
i¡gªyh
z
X
w
iaªo
skalar
ów
K
:
X
∗
=
n
x
∗
: X → K : kx
∗
k
X
∗
= sup
ky|k≤1
kx
∗
(y)k < ∞
o
.
Powiemy,
»e
X
jest
d
la
X
∗
predualna.
Denija
2.
[5℄
Powiemy,
»e
i¡g
x
n
∈ X
jest
sªab
o
zbie»n
y
do
x
∈ X
,
je±li
d
la
ka»de
go
f
∈ X
∗
mamy
zbie»no±¢:
f
(x
n
) → f (x)
.
Powiemy,
»e
i¡g
f
n
∈ X
∗
jest
sªab
o
z
gwiazdk
¡
zbie»ny
do
f
∈ X
∗
,
je±li
d
la
ka»de
go
x
∈ X
mamy
zbie»no±¢:
f
n
(x) → f (x)
.
T
wierdzenie
1.
Bana
ha-Alaoglu[5 ℄
Nie
h
X
∗
b
dzie
przestrzeni¡
Banaha
z
o±r
o
dkow¡
przestrzeni¡
pr
e
dualn¡.
Wówzas
kula
w
przestrzeni
X
∗
jest
sªab
o
i¡gowo
zwarta,
tzn.
d
la
f
n
⊂ X
∗
mo»na
wybr
a¢
p
o
di¡g
n
k
taki,
»e
∀x ∈ X
mamy
f
n
k
(x) → f (x)
.
Denija
3.
[2℄
α
= (α
1
, α
2
, ..., α
n
) ∈ N
n
,
Ω ⊆ R
n
-
dow
lony
obszar,
f
∈ L
1
loc
(Ω)
.
F
unkj
f
α
∈ L
1
loc
(Ω)
nazwiemy
p
o
ho
dn¡
uogólnion¡
funkji
f,
je±li
∀φ ∈ C
∞
0
mamy:
Z
Ω
f
(x)D
α
φ
(x)dx = (−1)
|α|
Z
Ω
f
α
(x)φ(x)dx;
gdzie
|α| =
P
i
α
i
,
D
α
=
∂
|α|
∂
α1
x1
...∂
αn
xn
.
Denija
4.
[1℄
Przestrzeni¡
Sob
olew
a
nazywamy
przestrze«:
W
m,p
(Ω) := {f ∈ L
p
(Ω) : ∀α : |α| ≤ m
istnieje
p
o
ho
dna
uo
gólniona:
D
α
f
i
D
α
f
∈ L
p
(Ω)}
.
Denija
5.
[2℄
Ogr
anizona,
mierzalna
funkja
u
okr
e±lona
na
R × [0, T )
jest
dopuszzal-
n
ym
sªab
ym
rozwi¡zaniem
zagadnienia:
∂
t
u
(x, t) + ∂
x
g
(u(x, t)) = 0, x ∈ R, t ∈ [0, T ),
z
u
(x, 0) = u
0
(x)
,
je±li
sp
eªniona
jest
r
ówno±¢:
Z
T
0
Z
R
u
(t, x) ·
∂
∂t
φ
(t, x) + g(u(x, t)) ·
∂
∂x
φ
(x, t)dxdt +
Z
R
φ
(x, 0) · u
0
(x)dx = 0
7
d
la
wszystkih
i¡gªyh
funkji
testuj¡yh
φ
o
zwartym
no±niku
or
az
nier
ówno±¢
(zwana
nier
ówno±i¡
entr
opijn¡):
Z
T
0
Z
R
[∂
t
ψη
(u) + ∂
x
ψq
(u)]dxdt +
Z
R
ψ
(x, 0)η(u
0
(x))dx ≥ 0
jest
sp
eªniona
d
la
ka»dej
wypukªej
funkji
η
,
z
q
okr
e±lon¡:
q
(u) =
R
u
−∞
η
′
(ω)g
′
(ω)dω
,
i
wszyst-
kih
nieujemnyh,
i¡gªyh,
lipshitzowskih
funkji
testuj¡yh
ψ
na
R × [0, T )
o
zwartym
no±niku.
8
Rozdziaª
2
Ró
wnanie
transp
ortu
Na
p
o
z¡tku
rozpatrzm
y
p
o
jazdy
(substanje)
p
oruszj¡e
si
z
prdk
o±i¡
v
p
o
osi
i
za
jm
uj¡e
na
niej
o
dinek
[0, a]
:
P
o
zasie
h
:
Je±li
przez
f
(x, t)
oznazym
y
gsto±¢
p
o
jazdó
w
w
h
wili
t
to:
Z
a
0
f
(x, t)dx
b
dzie
wyra»a¢
lizb
p
o
jazdó
w.
P
o
zasie
h
,
na
osi
(autostradzie)
w
przedziale
[vh, a + vh]
jest:
Z
a
+vh
vh
f
(x, t + h)dx
samo
ho
dó
w.
Ozywi±ie,
z
pra
w
a
za
ho
w
ania
masy
wynik
a
ró
wno±¢
midzy
aªk
ami:
Z
a
0
f
(x, t)dx =
Z
a
+vh
vh
f
(x, t + h)dx.
Ró»nizkuj¡
stronami
p
o
a
otrzym
ujem
y
f
(a, t) = f (a + vh, t + h)
,
a
nastpnie,
ró»nizkuj¡
p
o
h
dosta
jem
y:
0 =
∂f
∂x
·
∂
(a + vh)
∂h
+
∂f
∂t
·
∂
(t + h)
∂h
= f
x
· v + f
t
.
W
ten
sp
osób
otrzym
ujem
y
jednoro
dne
ró
wnanie
transp
ortu:
f
t
+ v · f
x
= 0.
Jest
to
o
zywi±ie
mo
del
bardzo
uproszzon
y
,
niewystarza
j¡y
do
opisu
problem
u
ru
h
u
uliznego,
gdzie
istotn¡
rol
o
dgryw
a
jeszze
wiele
do
datk
o
wy
h
zynnik
ó
w.
Na
jw
a»niejszym
9
z
ni
h,
nieu
wzgldnion
ym
w
mo
delu
jest
prdk
o±¢
p
oruszj¡y
h
si
p
o
jazdó
w.
Dlatego
przyj-
miem
y
teraz,
»e
funk
ja
opisuj¡a
gsto±¢
p
o
jazdó
w
na
dro
dze
zale»y
nie
t
ylk
o
o
d
p
oªo»enia
i
zasu,
ale
ró
wnie»
o
d
i
h
prdk
o±i,
tzn.
f
(x, t) := f (v, x, t)
.
Nie
h
u
oznaza
u±rednion¡
funk
j
gsto±i
p
o
jazdó
w,
f
(v, x, t)
,
tzn.:
u
(x, t) =
Z
+∞
−∞
f
(v, x, t)dv.
(2.1)
Mo»em
y
teraz
przede
wszystkim
zamieni¢
zmienne,
tak,
b
y
zamiast
samej
prdk
o±i
v
mie¢
p
o-
ho
dn¡
p
ewnej
funk
ji
o
d
niej
zale»nej.
T
ak
wi
v
→ g
′
(v)
.
Zaªó»m
y
,
»e
g
′
(v) ∈ L
∞
.
P
onadto
mo»em
y
rozpatryw
a¢
'subtelniejsz¡'
ni»
jednoro
dna
w
ersj
ró
wnania
transp
ortu,
miano
wiie,
gdy
w
pra
w
ej
stronie
ró
wnania
zamiast
zera
umie±im
y
tzw.
'zªon
zderzenio
wy':
1
µ
[χ − f ],
gdzie
µ
jest
do
datnim
parametrem,
natomiast
funk
ja
χ
jest
okre±lona
nastpuj¡o:
χ
w
(v) =
1
dla
0 < v ≤ w,
−1
dla
w
≤ v < 0,
0
w
przeiwn
ym
przypadku
.
(2.2)
Szuk
am
y
wi
funk
ji
f
(v, x, t)
,
b
d¡ej
rozwi¡zaniem
tak
zmo
dyk
o
w
anego
ró
wnania
trans-
p
ortu:
∂f
(v, x, t)
∂t
+ g
′
(v)
∂f
(v, x, t)
∂x
=
1
µ
[χ
u
(x,t)
(v) − f (v, x, t)],
(2.3)
gdy
µ
→ 0
.
P
ok
a»em
y
,
»e
przy
µ
d¡»¡ym
do
0
rozwi¡zania
(2.3)
b
d¡
sp
eªnia¢:
f
(v, x, t) = χ
u
(x,t)
(v), v ∈ R, x ∈ R, t ∈ [0, ∞),
(2.4)
tak,
»e
f
b
dzie
miaªa
rozkªad
jednosta
jn
y
na
przedziale
[0, u]
przyjm
uj¡
w
arto±i
−1
i
1
i
b
dzie
dopuszzaln
ym
sªab
ym
rozwi¡zaniem
en
tropijnego
ró
wnania
hip
erb
oliznego
(zw
anego
ró
wnaniem
ru
h
u
uliznego):
∂
t
u
(x, t) + ∂
x
g
(u(x, t)) = 0 x ∈ R, t ∈ [0, T ).
Zanim
jednak
udo
w
o
dnim
y
p
o
wy»sze,
wyk
a»m
y
par
wªasno±i
rozwi¡za«
(2.1),
(2.3).
T
wierdzenie
2.
[2℄
Nie
h
u
0
∈ L
∞
(R)∩L
1
(R)
.
Dla
ka»de
go
µ >
0
istniej¡
funkje
mierzalne,
o
gr
anizone
(f, u)
:
f
∈ C
0
([0, ∞); L
1
(R × R)), u ∈ C
0
([0, ∞); L
1
(R)),
(2.5)
b
d¡
e
je
dnoznaznymi
r
ozwi¡zaniami
d
la
(2.3)
i
(2.1)
z
warunkiem
p
o
z¡tkowym:
f
(v, x, 0) = χ
u
0
(x)
(x), v ∈ R, x ∈ R.
(2.6)
Ponadto:
0 ≤ f (v, x, t) ≤ 1
d
la
v
≥ 0, −1 ≤ f (v, x, t) ≤ 0
d
la
v
≤ 0.
(2.7)
10
Je±li
¯
u
0
∈ L
∞
(R) ∩ L
1
(R)
jest
innym
warunkiem
p
o
z¡tkowym,
wówzas,
d
la
ka»de
go
t >
0
:
kf (·, ·, t) − ¯
f
(·, ·, t)k
L
1
(R×R)
≤ kf (·, ·, 0) − ¯
f
(·, ·, 0)k
L
1
(R×R)
,
(2.8)
ku(·, t) − ¯
u
(·, t)k
L
1
(R)
≤ ku
0
(·) − ¯
u
0
(·)k
L
1
(R)
,
(2.9)
gdzie
¯
f
,
¯
u
jest
r
ozwi¡zaniem
o
dp
owiadaj¡ym
¯
u
0
Dalej,
je±li
u
0
(x) ≤ ¯
u
0
(x), x ∈ R,
(2.10)
to:
f
(v, x, t) ≤ ¯
f
(v, x, t), v ∈ R, x ∈ R, t ∈ [0, ∞),
(2.11)
u
(x, t) ≤ ¯
u
(x, t), x ∈ R, t ∈ [0, ∞).
(2.12)
Do
w
ó
d:
Na
p
o
z¡tku
zaªó»m
y
istnienie
rozwi¡za«
dla
(2.3),
(2.1)
i
(2.4).
Saªkujem
y
(2.8)
wzdªu»
harakteryst
yk
[1, g
′
(v)]
(b
o:
dt
dt
= 1,
dx
dt
= g
′
(v),
dv
dt
= 0
).
Sparametryzujm
y
je
nastpuj¡o:
x
(t) = x + t · g
′
(v)
.
Ró
wnanie
(2.3)
przybiera
w
ó
w
zas
p
osta¢:
df
(v, x(t), t)
dt
=
1
µ
[χ(v) − f (v, x(t), t)].
Rozpatrujem
y
na
jpierw
ró
wnanie
jednoro
dne,
tzn.
przyjm
ujem
y
χ
(v) = 0
(p
otem
b
dziem
y
uzmiennia¢
staª¡):
df
(v, x(t), t)
dt
=
1
µ
(−f (v, x(t), t)).
Mam
y
zatem:
df
(v, x(t), t)
f
(v, x(t), t)
= −
dt
µ
Z
df
(v, x(t), t)
f
(v, x(t), t)
=
Z
−
dt
µ
ln f (v, x(t), t) = −
t
µ
,
wi
f
(v, x(t), t) = e
−
t
µ
· c.
(2.13)
Uzmiennim
y
teraz
staª¡:
c
:= c(t)
.
Ró»nizkujem
y
uzysk
an
y
wynik:
df
(v, x(t), t)
dt
= c
′
(t) · e
−
t
µ
−
1
µ
c
(t) · e
−
t
µ
=
1
µ
[χ(v) − f (v, x(t), t)] =
=
1
µ
[χ(v) − e
−
t
µ
· c(t)].
P
o
uproszzeniu
dosta
jem
y:
c
′
(t) · e
−
t
µ
=
χ
(v)
µ
c
′
(t) =
e
t
µ
µ
· χ(v),
11
a
p
o
saªk
o
w
aniu
w
grania
h
(0, t)
otrzym
ujem
y:
c
(t) =
1
µ
Z
t
0
e
τ
µ
χ
u
(τ,x−τ g
′
(v))
(v)dτ + c(0).
P
o
dsta
wiam
y
do
(2.13):
f
(v, x(t), t) = e
−
t
µ
·
1
µ
Z
t
0
e
τ
µ
χ
u
(τ,x−τ g
′
(v))
(v)dτ + e
−
t
µ
· c(0).
(2.14)
W
ylizam
y
jeszze
c
(0)
:
c
(0) =
f
(v, x(0), 0)
e
−
0
µ
= f (v, x, 0)
(2.15)
i
k
orzystam
y
z
to»samo±i
za
ho
dz¡ej
dla
k
a»dego
F
:
Z
t
0
F
(τ )dτ =
Z
t
0
F
(t − τ )dτ.
(2.16)
Przyp
omnijm
y
jeszze,
»e
harakteryst
yk
a
wzdªu»
której
aªk
o
w
ali±m
y
sparametryzo
w
ana
b
yªa
nastpuj¡o:
x
(t) = x + t · g
′
(v)
,
tzn.
z
punktu
p
o
z¡tk
o
w
ego
przesu
w
ali±m
y
si
wzdªu»
harakteryst
yki
o
g
′
(v)
(do
x
do
da
jem
y
t
· g
′
(v)
).
Mo»em
y
ró
wno
w
a»nie
zazyna¢
z
punktu
k
o«o
w
ego
i
ofa¢
si
wzdªu»
harakteryst
yki,
tzn.
o
dejmo
w
a¢
t
· g
′
(v)
.
Dziki
takiej
zamianie
otrzymam
y
dokªadne
wylizenie
dla
f
(v, x, t)
,
(w
ze±niej
mieli±m
y
to
wylizenie
dla
f
(v, x(t), t) = f (v, x + g
′
(v)t, t)
).
Uwzgldnia
j¡
(2.15),
(2.16)
i
p
o
wy»sz¡
u
w
ag,
z
(2.14)
otrzym
ujem
y
ostateznie:
f
(v, x, t) = e
−
t
µ
f
(v, x − tg
′
(v), 0) +
1
µ
Z
t
0
e
τ
−t
µ
χ
u
(x−(t−τ )g
′
(v),τ )
(v)dτ.
(2.17)
K
orzysta
j¡
teraz
z
(2.6)
i
z
deniji
χ
w
(v)
,
dla
v
≥ 0
(
χ
w
t
ym
przypadku
wynosi
0
lub
1
)
b
dziem
y
mie¢:
0 ≤ f (v, x, t) ≤ e
−
t
µ
+
1
µ
Z
t
0
e
−
t
−τ
µ
dτ
= e
−
t
µ
+
Z
t
0
d
(e
τ
−t
µ
)
dτ
= e
−
t
µ
+ e
0
− e
−
t
µ
= 1.
Analogiznie
mam
y
dla
v
≤ 0
:
0 ≥ f (v, x, t) ≥ −e
−
t
µ
−
1
µ
Z
t
0
e
−
t
−τ
µ
dτ
= −e
−
t
µ
−
Z
t
0
d
(e
τ
−t
µ
)
dτ
= −e
−
t
µ
− e
0
+ e
−
t
µ
= −1.
T
o
do
w
o
dzi
(2.7).
Je±li
( ¯
f ,
¯
u
)
jest
inn
ym
rozwi¡zaniem
wygenero
w
an
ym
z
w
arunku
p
o
z¡tk
o
w
ego
¯
u
0
,
to
mam
y:
f
(v, x, t) − ¯
f
(v, x, t) = e
−
t
µ
[f (v, x − tg
′
(v), 0) − ¯
f
(v, x − tg
′
(v), 0)]
+
1
µ
Z
t
0
e
−
t
−τ
µ
[χ
u
(x−(t−τ )g
′
(v),τ )
(v) − ¯
χ
u
(x−(t−τ )g
′
(v),τ )
(v)]dτ ,
sk
¡d
nastpuj¡e
oszao
w
anie:
kf (·, ·, t) − ¯
f
(·, ·, t)]k
L
1
(R×R)
≤
(2.18)
≤ e
−
t
µ
kf (·, ·, 0) − ¯
f
(·, ·, 0)k
L
1
(R×R)
12
+
1
µ
Z
t
0
e
−
t
−τ
µ
kχ
u
(ξ(τ ),τ )
(·) − χ
¯
u
(ξ(τ ),τ )
(·)k
L
1
(R×R)
≤ e
−
t
µ
kf (·, ·, 0) − ¯
f
(·, ·, 0)k
L
1
(R×R)
+(1 − e
−
t
µ
) · max
0≤τ ≤t
kf (·, ·, τ ) − ¯
f
(·, ·, τ )k
L
1
(R×R)
.
Pierwszy
znak
nieró
wno±i
jest
zwykªym
zastoso
w
aniem
nieró
wno±i
tró
jk
¡ta
i
wpro
w
adzeniem
norm
y
p
o
d
znak
aªki,
natomiast
drugi
bierze
si
z
nastpuj¡y
h
ró
wno±i
i
oszao
w
a«:
1
µ
Z
t
0
e
−
t
−τ
µ
dτ
=
Z
t
0
(e
τ
−t
µ
)
′
= 1 − e
−
t
µ
,
max kχ
u
(ξ(τ ),τ )
(·) − ¯
χ
u
(ξ(τ ),τ )
(·)k
L
1
(R×R)
= max
0≤τ ≤t
|
Z
R×R
χ
u
(ξ(τ ),τ )
(·) − ¯
χ
u
(ξ(τ ),τ )
(·)dτ |
≤ max
0≤τ ≤t
Z
R×R
|χ
u
(ξ(τ ),τ )
(·) − ¯
χ
u
(ξ(τ ),τ )
(·)|dτ = I
Zau
w
a»m
y
,
»e
z
deniji
χ
u
wynik
a,
»e
aªk
a
z
mo
duªu
ró»niy
|χ
u
− ¯
χ
u
|
szauje
si
przez
mo
duª
|u − ¯
u
|
(
χ
u
przyjm
uje
niezero
w
e
w
arto±i
1
i
−1
t
ylk
o
dla
argumen
tó
w
z
przedziaªó
w
(0, u]
i
[−u, 0)
o
dp
o
wiednio).
St¡d
dalej:
I
≤ max
0≤τ ≤t
|u(ξ(τ ), τ ) − ¯
u
(ξ(τ ), τ )|,
a
w
ob
e
deniji
u
(x, t) =
R
R
f
(v, x, t)dv
,
ostatnie
wyra»enie
wynosi:
max
0≤τ ≤t
|
Z
R
f
(·, ·, τ )dτ −
Z
R
¯
f
(·, ·, τ )dτ | = max
0≤τ ≤t
|
Z
R
f
(·, ·, τ ) − ¯
f
(·, ·, τ )dτ |
≤ max
0≤τ ≤t
Z
R
|f (·, ·, τ ) − ¯
f
(·, ·, τ )|dτ = max
0≤τ ≤t
kf (·, ·, τ ) − ¯
f
(·, ·, τ )k
L
1
(R×R)
.
Z
deniji
χ
w
jest
rosn¡¡
funk
j¡
w
,
wi
dla
u
0
(x) ≤ ¯
u
0
(x)
zªon
y:
f
(v, x − tg
′
(v), 0) − ¯
f
(v, x − tg
′
(v), 0)
i
χ
u
(x−(t−τ )g
′
(v),τ )
(v) − χ
¯
u
(x−(t−τ )g
′
(v),τ )
(v)
w
(2.18)
szaujem
y
z
góry
przez
0
(mam
y
z
(2.6),
»e
f
(v, x − tg
′
(v), 0) − ¯
f
(v, x − tg
′
(v), 0) =
χ
u
0
(x−tg
′
(v))
(v) − χ
¯
u
0
(x−tg
′
(v))
(v)
)
i
otrzym
ujem
y:
f
(v, x, t) − ¯
f
(v, x, t) ≤ 0.
I
takie
samo
oszao
w
anie
otrzymam
y
na
u
(b
o
u
(x, t) =
R
R
f
(v, x, t)dv
):
u
(x, t) ≤ ¯
u
(x, t).
T
ak
dostali±m
y
(2.8)
i
(2.9).
Chem
y
teraz
z
(2.18)
wywniosk
o
w
a¢
(2.8).
W
t
ym
elu
wyk
orzysta
jm
y
nast¡
puj¡e
st
wier-
dzenie:
13
St
wierdzenie
1.
Nie
h
d
la
funkji
i¡gªej
f
(t)
b
dzie
sp
eªnione:
0 ≤ f (t) ≤ e
−
t
µ
· f (0) + (1 − e
−
t
µ
) · sup
τ
∈[0,t)
f
(τ ).
Wówzas
f
(t) ≤ f (0)
.
Do
w
ó
d:
Zaªó»m
y
niewprost,
»e
istnieje
t
∗
∈ (0, ∞)
takie,
»e
dla
pierwszej
h
wili
zasu,
kiedy
f
∗
= f (t
∗
)
za
ho
dzi:
f
∗
> f
(0)
.
Sprzezno±¢
otrzym
ujem
y
wprost
z
ra
h
unku:
f
∗
= f (t
∗
) ≤ e
−
t∗
µ
· f (0) + (1 − e
−
t∗
µ
) · sup
τ
∈[0,t
∗
)
f
(τ ) < sup
τ
∈[0,t
∗
)
f
(τ ) = f
∗
.
T
ak
wi
z
oszao
w
ania
(2.18)
i
p
o
wy»szego
lematu
otrzymali±m
y:
Z
|f (t) − ¯
f
(t)| ≤
Z
|f (0) − ¯
f
(0)|,
o
p
o
p
o
wró
eniu
do
preyzyjnego
zapisu
da
je:
Z
R×R
|f (·, ·, t) − ¯
f
(·, ·, t)|dvdx ≤
Z
R×R
|f (·, ·, 0) − ¯
f
(·, ·, 0)|dvdx
zyli
ró
wno
w
a»nie:
kf (·, ·, t) − ¯
f
(·, ·, t)k
L
1
(R×R)
≤ kf (·, ·, 0) − ¯
f
(·, ·, 0)k
L
1
(R×R)
.
A
to
jest
wªa±nie
(2.8).
Analogizne
oszao
w
anie
otrzymam
y
na
u
(b
o
u
(x, t) =
R
R
f
(v, x, t)dv
);
mam
y
wi
te»
(2.9).
Ch¡
dosta¢
ró
wnanie
ru
h
u
uliznego
b
dziem
y
w
nastpn
ym
rozdziale
prze
ho
dzi¢
do
gra-
niy
z
µ
.
14
Rozdziaª
3
Od
ró
wnania
transp
ortu
do
ró
wnania
ru
h
u
uliznego
Zazniem
y
si
teraz
zastana
wia¢
nad
przej±iem
granizn
ym
µ
→ 0
+
.
T
wierdzenie
3.
Nie
h
µ >
0
;
f
µ
r
ozwi¡zuje
(2.3),
(2.4),
(2.1).
Gdy
µ
→ 0
,
to
f
µ
zbie
ga
sªab
o
∗
w
L
∞
do
f
r
ozwi¡zuj¡
ej:
∂
t
f
(v, x, t) + g
′
(v)∂
x
f
(v, x, t) =
∂ν
∂v
,
(3.1)
gdzie
ν
µ
jest
i¡giem
miar
zbie»nym
sªab
o
∗
w
przestrzeni
miar
do
nieujemnej
miary
ν
okr
e-
±lonej
na
R × R × [0, ∞)
.
Do
w
ó
d:
Rozw
a»m
y
funk
j
ω
µ
zdenio
w
an¡
nastpuj¡o:
ω
µ
(v, x, t) =
1
µ
Z
v
−∞
[χ
u
µ
(x,t)
(w) − f
µ
(v, x, t)]dw.
(3.2)
Ustalm
y
na
jpierw
(x, t)
i
b
ez
strat
y
ogólno±i,
»e
u
µ
(x, t) > 0
(drugi
przypadek
rozpatruje
si
analogiznie).
Ozywi±ie
ω
µ
(−∞, x, t) = 0
,
a
b
ezp
o±rednio
z
deniji
funk
ji
χ
w
(v)
i
oszao
w
a«
:
0 ≤
f
(v, x, t) ≤ 1
dla
v
≥ 0
oraz
−1 ≤ f (v, x, t) ≤ 0
dla
v
≤ 0
mam
y
,
»e
na
przedziale
(−∞, u
µ
(x, t))
funk
ja
ω
µ
(·, x, t)
jest
niemalej¡a,
a
na
przedziale
(u
µ
(x, t), ∞)
nierosn¡a.
Mo»em
y
ró
wnie»
wywniosk
o
w
a¢
z
(2.1),
»e
ω
µ
(∞, x, t) = 0
.
P
ok
azali±m
y
wi
nieujemno±¢
tak
zdenio
w
anej
funk
ji
ω
µ
.
P
o
zró»nizk
o
w
aniu
(3.2)
mo»em
y
napisa¢:
1
µ
[χ
u
µ
− f
µ
] =
∂ν
µ
∂v
,
(3.3)
gdzie
ν
µ
jest
ro
dzin¡
nieujemn
y
h
miar
na
R × R × [0, ∞)
,
jednosta
jnie
ogranizon¡
dla
µ
≥ 0
.
Ozywi±ie
ω
µ
jest
gsto±i¡
ν
µ
,
a
z
tego,
»e
jest
nieujemna,
mam
y
nieujemno±¢
ν
µ
.
Musim
y
p
ok
aza¢
wsp
óln¡
ogranizono±¢
∂ν
µ
∂v
w
normie
przestrzeni
miar.
K
orzysta
j¡
z
zau
w
a»am
y
,
»e
f
przez
1
i
−1
,
jak
to
wyk
azali±m
y
w
(2.7),
a
g
′
(v) · f (v, x, t)
jest
ró
wnie»
ogranizona.
P
o
ho
dna
funk
ji
ogranizonej
nale»y
do
przestrzeni
W
−1,∞
(z
de-
niji
tej
przestrzeni).
Pra
w
a
strona
ró
w
ana
jest
wi
sumie
p
o
ho
dn
y
h
funk
ji
ogranizon
y
h.
15
Mam
y
zatem
ogranizono±¢
p
o
ho
dnej
miary
,
a
hem
y
mie¢
ogranizono±¢
samej
miary
.
Ab
y
uzysk
a¢
p
o
wy»sze
przemnó»m
y
ró
wnanie
∂
t
f
µ
(v, x, t) + g
′
(v)∂
x
f
µ
(v, x, t) =
∂ν
µ
∂v
(3.4)
przez
funk
j
testuj¡¡
φ
(v, x, t)
p
ostai:
φ
(v, x, t) = φ
1
(v) · φ
2
(x) · φ
3
(t)
,
gdzie
funk
je
φ
i
s¡
okre±lone
nastpuj¡o:
φ
2
(x)
jest
gªadk
¡
funk
j¡
k
ap
eluszo
w
¡
przyjm
uj¡¡
w
arto±¢
1
na
przedziale
(−R, R)
i
0
na
przedziaªa
h
(−∞, −R − 1)
,
(R + 1, +∞)
.
W
ygl¡da
wi
tak:
F
unk
ja
φ
3
(t)
jest
okre±lona
na
przedziale
[0, +∞)
,
jest
gªadk
a,
wynosi
1
na
[0, R)
,
0
na
(R + 1, +∞)
.
Jej
wykres
ma
zatem
p
osta¢:
F
unk
j
φ
1
dobieram
y
natomiast
tak,
b
y
jej
p
o
ho
dna
wzgldem
v
b
yªa
funk
j¡
k
ap
eluszo
w
¡
(tak
¡,
jak
φ
2
)
i
b
y
φ
1
(0) = 0
.
Zaraz
ok
a»e
si,
dlazego
tak
dobrali±m
y
funk
j
φ
(v, x, t)
.
P
o
saªk
o
w
aniu
przez
z±i
(3.4)
przemno»onego
przez
φ
(v, x, t)
mam
y:
L
= −
Z
R×R×R
+
(f
µ
(v, x, t) ·
∂φ
3
∂t
φ
1
φ
2
− g
′
(v) · f
µ
(v, x, t) ·
∂φ
2
∂x
φ
1
φ
3
)dvdxdt;
Czªon
y
brzego
w
e
p
o
lew
ej
stronie
zniknªy
,
b
o
funk
je
φ
2
i
φ
3
ma
j¡
zw
arte
no±niki.
Pra
w
a
strona:
P
=
Z
R×R×R
+
∂
∂v
ω
µ
φ
1
φ
2
φ
3
dvdxdt
=
= −
Z
R×R×R
+
∂φ
1
φ
2
φ
3
∂v
·ω
µ
(x)dvdxdt+
Z
R×R
+
ν
µ
φ
1
φ
2
φ
3
(−∞, ·, ·)dxdt+
Z
R×R
+
ν
µ
φ
1
φ
2
φ
3
(+∞, ·, ·)dxdt.
Dwie
ostatnie
aªki
wynosz¡
0
(wynik
a
to
z
okre±lenia
funk
ji
ω
).
Dostali±m
y
wi
nastpuj¡¡
ró
wno±¢:
Z
R×R×R
+
f
µ
(v, x, t) ·
∂φ
3
∂t
φ
1
φ
2
dvdxdt
+
Z
R×R×R
+
g
′
(v) · f
µ
(v, x, t) ·
∂φ
2
∂x
φ
1
φ
3
dvdxdt
=
=
Z
R×R×R
+
∂φ
1
∂v
φ
2
φ
3
· ω
µ
(x)dvdxdt.
16
Zau
w
a»m
y
,
»e
P
≥
R
K
1dν
µ
= kν
µ
k
M
(K)
,
gdzie
K
jest
zw
art
ym
p
o
dzbiorem
R × R × R
+
.
Jest
tak
dlatego,
»e
w
K
funk
je
∂φ
1
∂v
,
φ
2
i
φ
3
s¡
ró
wne
1
.
Je±li
wi
p
ok
a»em
y
ogranizono±¢
lew
ej
stron
y
,
to
dostaniem
y
wsp
óln¡
ogranizono±¢
i¡
gu
ν
µ
i
b
dziem
y
mogli
sk
orzysta¢
z
t
wierdzenia
Bana
ha-Alaoglu.
P
o
lew
ej
stronie
mam
y
aªki,
które
dadz¡
si
ogranizy¢
niezale»nie
o
d
µ
:
Z
R×R×R
+
f
µ
·
∂φ
1
φ
2
φ
3
∂t
≤ sup |
∂φ
1
φ
2
φ
3
∂t
|
Z
R×R×R
+
|f
µ
| ≤ C;
Z
R×R×R
+
f
µ
·
∂φ
1
φ
2
φ
3
∂x
· g
′
(v) ≤ sup |
∂φ
1
φ
2
φ
3
∂x
· g
′
(v)|
Z
R×R×R
+
|f
µ
| ≤ D;
Oszao
w
ania
te
wynik
a
j¡
z
tego,
»e
∂φ
1
φ
2
φ
3
∂t
,
∂φ
1
φ
2
φ
3
∂x
i
g
′
(v) ∈ L
∞
(R)
,
a
f
µ
(v, x, t) ∈ L
1
(R ×
R × R
+
)
,
(b
o
nale»y
do
L
∞
i
rozpatrujem
y
j¡
na
zbiorze
zw
art
ym
wzgldem
zasu).
Ab
y
ostateznie
udo
w
o
dni¢
t
wierdzenie
(3.4)
p
o
w
oªam
y
si
na
zayto
w
ane
w
pierwszym
roz-
dziale
t
wierdzenie
Bana
ha
-
Alaoglu.
Na
jpierw
kilk
a
u
w
ag:
przestrzeni¡
predualn¡
do
przestrzni
M
(K)
jest
przestrze«
funk
ji
i¡-
gªy
h
na
zbiorze
zw
art
ym
K
.
Jest
to
o
zywi±ie
przestrze«
o±ro
dk
o
w
a.
T
eza
t
wierdzenia
Bana
ha
-
Alaoglu
zap
ewnia
nam
istnienie
p
o
di¡
gu
ν
µ
n
zbie»nego
sªab
o
∗
do
ν
.
P
o
wy»sze
za
ho
dzi
dla
ustalonego
zbioru
zw
artego
K
.
Zau
w
a»m
y
teraz,
»e
R × R × R
+
da
si
p
okry¢
przelizaln¡
sum¡
zbioró
w
zw
art
y
h
K
1
, K
2
, ...
.
W
ybieram
wi
k
olejne
p
o
di¡
gi
zbie»ne
na
K
1
, K
2
, ...
i
meto
d¡
przek
¡tnio
w
¡
wybieram
i¡
g,
który
jest
zbie»n
y
na
K
i
dla
k
a»dego
i
.
Ozywi±ie
do
w
oln
y
zbiór
zw
art
y
nale»¡y
do
K
da
je
sie
p
okry¢
sk
o«zon¡
sum¡
zbioró
w
K
i
.
Otrzym
ujem
y
wi
zbie»no±¢
ν
µ
n
na
K
,
a
wi
tez
t
wierdzenia
(3.4).
Przejdziem
y
teraz
do
t
wierdzenia,
które
da
je
nam
przej±ie
z
zapisu
zja
wisk
a
transp
ortu
w
asp
ek
ie
mezosk
op
o
wym
(ró
wnianie
transp
ortu)
do
opisu
tego
samego
zja
wisk
a,
ale
makro-
sk
op
ow
o
(ró
wnianie
ru
h
u
uliznego).
T
wierdzenie
4.
Nie
h
(f, µ)
sp
eªnia
(3.1).
Wówzas
u
(x, t) =
R
R
f
(v, x, t)dv
jest
dopuszzal-
nym
sªabym
entr
opijnym
r
ozwi¡zaniem
(p
atrz
denija
5)
r
ównania
hip
erb
olizne
go
-
r
ównania
ruhu
ulizne
go.
Zaªó»my
do
datkowo,
»e
u
0
∈ W
1,1
.
Do
w
ó
d:
Do
w
ó
d
b
dzie
przebiegaª
w
paru
krok
a
h.
Udo
w
o
dnim
y
p
o
k
olei
lemat
y:
Lemat
1.
Przy
µ
→ 0 u
µ
→ u
w
L
1
loc
(R × R
+
)
.
Lemat
2.
Z
p
owy»szej
zbie»no±i
mamy
zbie»no±¢:
χ
u
µ
→ χ
u
w
L
1
loc
Lemat
3.
Powy»sze
lematy
daj¡
nam
f
µ
→ χ
u
w
L
1
loc
.
Do
w
ó
d
lematu
1:
P
o
w
oªam
y
si
na
nastpuj¡e:
17
St
wierdzenie
2.
[3,
Cor.
4,
str.
85℄
Nie
h
X
,
Y
i
B
b
d¡
przestrzeniami
Banaha,
X
⊂ B ⊂ Y
,
X
→ B
-
zwarte
wªo»enie.
Nie
h
F
b
dzie
o
gr
anizona
w
L
p
((0, T ); X)
(
1 ≤ p < ∞
),
∂F
∂t
o
gr
anizona
w
L
1
((0, T ); Y )
.
Wówzas
F
jest
r
elatywnie
zwarta
w
L
p
((0, T ); B)
.
W
naszym
przypadku
p
= 1
,
a
przestrzeniami
s¡:
X
= W
1,1
(K)
,
Y
= W
−1,1
(K)
,
B
= L
1
(K)
,
gdzie
K
jest
zw
art
ym
p
o
dzbiorem
R
.
Spra
wdzim
y
,
zy
za
ho
dz¡
wszystkie
zaªo»enia.
Istotnie,
przestrzenie
te
s¡
przestrzeniami
Bana
ha,
a
W
1,1
(K)
wkªada
si
w
sp
osób
zw
art
y
w
L
1
(K)
oraz
W
−1,1
wkªada
si
w
sp
osób
zw
art
y
w
L
1
(gdy»
(W
−1,1
)
∗
= W
1,∞
⊂ L
∞
= (L
1
)
∗
).
Mam
y
wi
p
ok
aza¢,
»e
u
µ
jest
ogranizone
w
L
1
((0, T ); W
1,1
(K))
,
a
∂u
µ
∂t
ogranizona
w
L
1
((0, T ); W
−1,1
(K))
.
Ab
y
spra
wdzi¢,
»e
u
µ
jest
ogranizona
w
L
1
((0, T ); W
1,1
(K))
wystarzy
przepro
w
adzi¢
krótkie
oblizenia:
Z
T
0
Z
K
lim
h
→0
|
u
(x + h, t) − u(x, t)
h
|dt =
=
Z
T
0
lim
h
→0
|
R
K
u
(x + h, t) − u(x, t)|
h
dt
≤
Z
T
0
Z
K
|
∂u
0
(x, t)
∂x
|dt
Ostatnia
ró
wno±¢
bierze
si
wprost
z
udo
w
o
dnionej
w
p
oprzednim
t
wierdzeniu
wªasno±i:
ku(·, t) − ¯
u
(·, t)k
L
1
(R)
≤ ku
0
(·) − ¯
u
0
(·)k
L
1
(R)
,
przyjm
uj¡
¯
u
(x, t) = u(x + h, t)
.
P
amita
j¡,
»e
u
0
∈ W
−1,1
,
ostatnie
wyra»enie
mo»em
y
oszao
w
a¢:
Z
T
0
Z
K
|
∂u
0
∂x
|dt ≤
Z
T
0
cdt
≤ c · T.
Ogranizono±¢
∂u
µ
∂t
w
L
1
((0, T ); W
−1,1
(K))
otrzymam
y
aªkuj¡
∂
∂t
f
µ
(v, x, t) +
∂
∂x
g
′
(v)f
µ
(v, x, t) =
1
µ
[χ
u
(x,t)
(v) − f
µ
(v, x, t)]
wzgldem
zmiennej
v
:
Z
T
0
Z
K
∂
t
f
µ
(v, x, t)dvdt+
Z
T
0
Z
K
g
′
(v)∂
x
f
µ
(v, x, t)dvdt =
Z
T
0
Z
K
1
µ
[χ
u
(x,t)
(v)−f
µ
(v, x, t)]dvdt
zyli:
Z
T
0
∂
∂t
u
µ
dt
= −
Z
T
0
g
′
(v)∂
x
f
µ
(v, x, t)dt + 0.
Ozywi±ie
g
′
(v) · f (v, x, t) ∈ L
1
(K)
,
b
o
g
′
(v) ∈ L
∞
(K)
i
f
(v, x, t) ∈ L
1
(K)
.
Ró»nizkuj¡
elemen
t
przestrzeni
L
1
(K)
otrzymam
y
elemen
t
przestrzeni
W
−1,1
(K)
.
W
yra»enie
p
o
pra
w
ej
stronie
nale»y
zatem
do
tej
przestrzeni.
Mam
y
wi
ogranizono±¢
lew
ej
stron
y
.
Sp
eªnione
s¡
wszystkie
zaªo»enia
yto
w
anego
st
wierdzenia,
zatem
mo»em
y
wniosk
o
w
a¢,
»e
u
µ
jest
relat
ywnie
zw
art
y
w
L
1
loc
(K)
.
P
o
wybraniu
p
o
di¡
gu
zbiega
(mo
no)
do
u
.
18
Do
w
ó
d
lematu
2:
K
orzysta
j¡
z
p
oprzedniego
lematu
i
pamita
j¡
denij
funk
ji
χ
otrzym
ujem
y
o
d
razu
»¡dan¡
zbie»no±¢,
gdy»
punkto
w
a
zbie»no±¢
u
µ
do
u
da
je
nam
punkto
w
¡
zbie»no±¢
χ
u
µ
do
χ
u
.
P
onadto
ogranizono±¢
R
K
|χ
u
µ
− χ
u
| ≤
R
K
2 ≤ C
da
je
nam,
z
t
wierdzenia
Leb
esgue'a
o
zbie»no±i
zma
joryzo
w
anej:
Z
K
|χ
u
µ
− χ
u
|dvdxdt → 0,
gdzie
K
jest
zw
art
ym
p
o
dzbiorem
R × R × R
+
.
Do
w
ó
d
lematu
3:
Mam
y:
kf
µ
− χ
µ
k
L
1
loc
≤ kf
µ
− χ
u
µ
k
L
1
loc
+ kχ
u
µ
− χ
µ
k
L
1
loc
.
Pierwszy
wyraz
jest
zbie»n
y
do
0
w
L
1
loc
(R×R×R
+
)
na
mo
y
udo
w
o
dnionego
t
wierdzenia
3.1,
natomiast
zbie»no±¢
drugiego
wyrazu
jest
tez¡
udo
w
o
dnionego
p
oprzedniego
lematu.
Zapiszm
y
wi,
o
mó
wi
ostatnie
t
wierdzenie.
Mam
y
niejednoro
dne
ró
wnanie
transp
ortu:
∂
∂t
f
(v, x, t) +
∂
∂x
g
′
(v)f (v, x, t) =
1
µ
[χ
u
(x,t)
(v) − f (v, x, t)]
(3.5)
i
hem
y
z
niego
uzysk
a¢
sform
uªo
w
anie
en
tropijne
z
funk
j¡
u
(x, t)
:
∂
∂t
u
(x, t) +
∂
∂x
g
(u(x, t)) = 0
∂
∂t
η
(u(x, t)) +
∂
∂x
q
(u(x, t)) ≤ 0
(3.6)
(funk
je
η
i
q
okre±lone
jak
w
deniji
5).
Ozywi±ie
in
teresuje
nas
sªab
e
sform
uªo
w
anie,
tak,
jak
w
deniji
5.
Ab
y
uzysk
a¢
nieró
wno±¢
z
(3.6)
przyjrzyjm
y
si
jeszze
raz
ró
wnaniu
(3.4)
i
p
omnó»m
y
je
przez
funk
je
testuj¡e
η
′
(v)
,
ψ
(x, t)
o
zw
art
y
h
no±nik
a
h
i
saªkujm
y
wzgldem
dvdxdt
:
Z
R×R×R
+
∂
t
f
µ
(v, x, t)·η
′
(v)·ψ(x, t)dvdxdt +
Z
R×R×R
+
g
′
(v)∂
x
f
µ
(v, x, t)·η
′
(v)·ψ(x, t)dvdxdt =
=
Z
R×R×R
+
∂ν
µ
∂v
· η
′
(v) · ψ(x, t)dvdxdt.
Caªk
o
w
anie
przez
z±i
da
nam
p
o
pra
w
ej
stronie:
P
=
Z
R×R×R
+
η
′′
(v) · ν
µ
· ψ(x, t)dvdxdt
i
t
ylk
o
t
yle,
p
oniew
a»
miara
ν
µ
miaªa
tak
¡
gsto±¢,
»e
znik
aªa
w
+∞
i
−∞
.
Zau
w
a»m
y
przy
ok
azji,
»e
wyra»enie
to
jest
nieujemne,
b
o
mo»em
y
zaªo»y¢,
»e
ψ
(x, t) ≥ 0
,
miara
ν
µ
jest
miar¡
nieujemn¡,
a
η
′′
(v) ≥ 0
,
gdy»
η
jest
funk
j¡
wypukª¡.
19
Natomiast
lew
a
strona
zbiega
mo
no
(na
mo
y
p
oprzedniego
t
wierdzenia
mo»em
y
zast¡
pi¢
funk
j
f
µ
funk
j¡
χ
u
)
do:
Z
R×R×R
+
∂ψ
(x, t)
∂t
· χ
u
(x,t)
(v) · η
′
(v)dvdxdt − (−
Z
R×R
η
′
(v) · χ
µ
(x, t) · ψ(0, x)dvdx)+
+
Z
R×R×R
+
∂ψ
(x, t)
∂x
· g
′
(v) · χ
u
(x,t)
(v) · η
′
(v)dvdxdt =
=
Z
R×R
+
∂ψ
(x, t)
∂t
Z
R
χ
u
(x,t)
(v) · η
′
(v)dvdxdt +
Z
R
ψ
(x, 0)
Z
R
η
′
(v) · χ
u
(x,0)
dvdx
+
+
Z
R×R
+
∂ψ
(x, t)
∂x
Z
R
g
′
(v) · η
′
(v) · χ
u
(x,t)
(v) =
=
Z
R×R
+
∂ψ
(x, t)
∂t
· η(u)dxdt +
Z
R
ψ
(x, 0)η(u(x, 0))dx+
+
Z
R×R
+
∂ψ
(x, t)
∂x
q
(u(t, x))dxdt.
Przepiszm
y
wi
i
up
orz¡dkujm
y
,
o
otrzymali±m
y:
Z
T
0
Z
R
∂ψ
(x, t)
∂t
· η(u(x, t)) +
∂ψ
(x, t)
∂x
· q(u(t, x))dxdt +
Z
R
ψ
(x, 0)η(u(x, 0))dx =
=
Z
R
η
′′
(v) · ν
µ
· ψ(x, t)dxdt ≥ 0.
Zau
w
a»m
y
,
»e
jest
to
wªa±nie
zapisanie
nieró
wno±i
z
(3.6)
w
sªab
ym
sensie
(nieró
wno±i
w
przeiwne
stron
y
bior¡
si
st¡d,
»e
p
o
aªk
o
w
aniu
przez
zsi
zmienia
si
znak
na
przeiwn
y).
Chem
y
teraz
uzysk
a¢
pierwsz¡
ró
wno±¢
z
(3.6).
W
ynik
a
ona
nat
y
hmiast
z
faktu,
»e
η
= Id
jest
zaró
wno
funk
j¡
wypukª¡,
jak
i
wklsª¡,
(dla
takiej
η
mam
y
q
(u) =
R
u
−∞
η
′
(ω)g
′
(ω)dω =
R
u
−∞
1 · g
′
(ω)dω = g(u)
)
wi
z:
∂
∂t
u
(x, t) +
∂
∂x
g
(u(x, t)) ≥ 0
∂
∂t
u
(x, t) +
∂
∂x
g
(u(x, t)) ≤ 0
otrzymam
y:
∂
∂t
u
(x, t) +
∂
∂x
g
(u(x, t)) = 0,
zyli
»¡dan¡
ró
wno±¢,
o
k
o«zy
do
w
ó
d
t
wierdzenia.
20
Rozdziaª
4
P
o
dsumo
w
anie
P
ok
azali±m
y
w
pray
istnienie
rozwi¡za«
dla
problem
u
przybli»onego
z
t
wierdzenia
2
oraz
oszao
w
anie
niezale»ne
o
d
µ
(t
wierdzenie
3
).
Nastpnie
obserw
o
w
ali±m
y
grani
rozwi¡za-
nia
p
o
przej±iu
z
µ
do
0
.
Zau
w
a»yli±m
y
i
udo
w
o
dnili±m
y
,
»e
grania
ta
jest
rozwi¡zaniem
en
tropijn
ym
(t
wierdzenie
4
).
21
Bibliograa
[1℄
La
wrene
C.
Ev
ans,
R
ównania
r
ó»nizkowe
z¡stkowe,
W
yda
wnit
w
o
Nauk
o
w
e
PWN
(2004)
W
arsza
w
a.
[2℄
Constan
tine
M.
Dafermos,
Hyp
erb
oli
Conservation
L
aws
in
Continuum
Physis,
Springer
(2000).
[3℄
Jaques
Simon,
Comp
at
Sets
in
the
Sp
a
e
L
p
(0, T ; B)
,
Ann.
Mat.
Pura
Appl.
146
(1987).
[4℄
Benoit
P
erthame,
Kineti
F
ormulation
of
Conservation
L
aws,
(2002)
Oxford.
[5℄
Andrzej
Alexiewiz,
A
naliza
funkjonalna,
P
a«st
w
o
w
e
W
yda
wnit
w
o
Nauk
o
w
e,
(1969)
W
arsza
w
a.
23