II kolokwium
Analiza Matematyczna 2
ZESTAW A
1. W całce podwójnej
2
R
0
dx
√
2x−x
2
R
x
2
−4x
f (x, y)dy zmienić kolejność całkowania.
Sporządzić rysunek obszaru całkowania D. Wykorzystując jeden ze sposobów opisu obszaru D
obliczyć całkę podwójną
RR
D
ydxdy.
2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:
z = 4 − 3
√
x
2
+ y
2
, z = x
2
+ y
2
.
Sporządzić odpowiednie rysunki.
3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
P
n=1
(1 − 2x)
n
√
n2
n
.
4. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania y
0
+ 2ty =
1
t
e
−t
2
, a następnie podać rozwiązanie
zagadnienia początkowego z warunkiem y(1) = 1.
ZESTAW B
1. W całce podwójnej
2
R
−2
dy
−y
R
−2−
√
4−y
2
f (x, y)dx zmienić kolejność całkowania.
Sporządzić rysunek obszaru całkowania D. Wykorzystując jeden ze sposobów opisu obszaru D
obliczyć całkę podwójną
RR
D
xydxdy.
2. Obliczyć masę obszaru określonego warunkami: x
2
+ y
2
4, (x − 2)
2
+ y
2
¬ 4, y 0, jeżeli
gęstość masy zadana jest wzorem σ(x, y) = y. Sporządzić odpowiednie rysunki.
3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
P
n=1
n(2x + 5)
n
3
n
·
√
n
2
+ 1
.
4. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania
ty
0
− 2y = t ln t, a następnie podać rozwiązanie
zagadnienia początkowego z warunkiem y(1) = 0.
ZESTAW C
1. W całce podwójnej
0
R
−4
dx
2+
√
−4x−x
2
R
−x−2
f (x, y)dy zmienić kolejność całkowania.
Sporządzić rysunek obszaru całkowania D. Jaka jest wartość średnia po obszarze D z funkcji
f (x, y) =
√
2 ?
2. Obliczyć pole części powierzchni paraboloidy z = 4 − (x
2
+ y
2
) wyciętej przez płaszczyzny
z = 1, z = 2. Sporządzić odpowiednie rysunki.
3. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego
∞
P
n=1
ln n
n
2
(x + 1)
n
.
4. Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania t
2
y
0
−y = 2, a następnie podać rozwiązanie zagadnienia
początkowego z warunkiem y(1) = 0.
