WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I
dr inż. Elżbieta Kotlicka-Dwurznik
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2012
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I
dr inż. Elżbieta Kotlicka-Dwurznik
Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
Łódź 2012
1. CIĄGI LICZBOWE
3
1. CIĄGI LICZBOWE
1.1. Definicja ciągu i ciągu liczbowego
Definicja 1.1.
• Ciągiem nieskończonym nazywamy każdą funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych.
• Jeśli funkcja a jest ciągiem, to wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy przez
a
n
def
= a(n),
n ∈ N.
• Ciąg o wyrazach a
n
oznaczamy symbolem
(a
n
) lub a
1
, a
2
, . . . .
• Zbiór wartości ciągu (a
n
) oznaczamy przez {a
n
}
n∈N
.
Ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami nazywamy ciągami liczbowymi (np. ciągi liczbowe o wy-
razach rzeczywistych, ciągi liczbowe o wyrazach zespolonych). Ciągi, których wszystkie wyrazy są funkcjami
nazywamy ciągami funkcyjnymi.
1.2. Własności ciągów liczbowych o wyrazach rzeczywi-
stych: monotoniczność, ograniczoność, zbieżność
Definicja 1.2.
• Ciąg (a
n
) jest rosnący
def
⇔
V
n∈N
a
n+1
> a
n
.
• Ciąg (a
n
) jest niemalejący
def
⇔
V
n∈N
a
n+1
a
n
.
• Ciąg (a
n
) jest malejący
def
⇔
V
n∈N
a
n+1
< a
n
.
• Ciąg (a
n
) jest nierosnący
def
⇔
V
n∈N
a
n+1
¬ a
n
.
Twierdzenie 1.3.
Jeśli a
n
> 0 dla n ∈ N, to
ciąg (a
n
) jest rosnący ⇔
V
n∈N
a
n+1
a
n
> 1.
Ćwiczenie 1.4. Sformułować analogiczne własności dla ciągu niemalejącego, malejącego i nierosnącego.
Definicja 1.5.
• Ciąg (a
n
) jest ograniczony z dołu
def
⇔
W
m∈R
V
n∈N
a
n
m.
• Ciąg (a
n
) jest ograniczony z góry
def
⇔
W
M ∈R
V
n∈N
a
n
¬ M.
• Ciąg (a
n
) jest ograniczony
def
⇔ (a
n
) jest ograniczony z dołu i z góry.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CIĄGI LICZBOWE
4
Definicja 1.6.
• Ciąg liczbowy (a
n
) jest zbieżny do a ∈ R, gdy prawie wszystkie (tzn. wszystkie poza skończoną ilością)
wyrazy ciągu (a
n
) znajdują się dowolnie blisko a, czyli
V
ε>0
W
K∈N
V
nK
|a
n
− a| < ε.
• Liczbę a nazywamy granicą właściwą ciągu (a
n
) i zapisujemy
lim
n→∞
a
n
= a lub a
n
→ a.
Przykład 1.7. Wykazać, że zachodzą równości:
a) lim
n→∞
1
n
= 0;
b) lim
n→∞
1
n
3
= 0.
Definicja 1.8.
• Mówimy, że ciąg (a
n
) jest rozbieżny do +∞ i zapisujemy
lim
n→∞
a
n
= +∞,
gdy prawie wszystkie wyrazy ciągu (a
n
) są większe od dowolnej liczby dodatniej, czyli
V
ε>0
W
K∈N
V
nK
a
n
> ε.
• Mówimy, że ciąg (a
n
) jest rozbieżny do −∞ i zapisujemy
lim
n→∞
a
n
= −∞,
gdy
V
ε>0
W
K∈N
V
nK
a
n
< −ε.
• Mówimy, że ciąg (a
n
) jest rozbieżny, gdy nie posiada granicy (właściwej ani niewłaściwej).
Przykład 1.9. Wykazać, że lim
n→∞
n
2
= +∞.
Twierdzenie 1.10.
Każdy ciąg posiada co najwyżej jedną granicę (właściwą lub niewłaściwą).
Ćwiczenie 1.11. Wykazać, że:
a) lim
n→∞
a
n
= ±∞ ⇒
lim
n→∞
1
a
n
= 0;
{
1
±∞
= 0}
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CIĄGI LICZBOWE
5
b) lim
n→∞
a
n
= 0
⇒ lim
n→∞
1
a
n
=
+∞,
gdy a
n
> 0 dla prawie wszystkich n ∈ N,
−∞, gdy a
n
< 0 dla prawie wszystkich n ∈ N.
{
1
0
+
= +∞}
{
1
0
−
= −∞}
Ćwiczenie 1.12. Wykazać, że
a) lim
n→∞
n
α
=
0
dla
α < 0,
1
dla
α = 0,
+∞
dla
α > 0.
b) lim
n→∞
q
n
=
nie istnieje
dla
q ¬ −1,
0
dla
q ∈ (−1; 1),
1
dla
q = 1,
+∞
dla
q > 1.
1.3. Arytmetyka granic
Twierdzenie 1.13.
Jeśli lim
n→∞
a
n
= a oraz c 6= 0, to
lim
n→∞
c · a
n
=
c · a,
gdy a ∈ R,
±∞, gdy a = ±∞.
W szczególności dla c > 0 mamy
{c · (+∞) = +∞}
oraz
{c · (−∞) = −∞}
Twierdzenie 1.14.
Jeśli lim
n→∞
a
n
= a oraz
lim
n→∞
b
n
= b, to
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CIĄGI LICZBOWE
6
Twierdzenie 1.15.
Jeśli lim
n→∞
a
n
= a,
lim
n→∞
b
n
= b oraz b
n
6= 0 dla n ∈ N, to
Twierdzenie 1.16.
Jeśli lim
n→∞
a
n
= a,
lim
n→∞
b
n
= b oraz b
n
0 dla n ∈ N, to
Symbole nieoznaczone:
∞ − ∞ 0 · ∞
∞
∞
0
0
0
0
∞
0
1
∞
1.4. Twierdzenia o ciągach zbieżnych i rozbieżnych
Definicja 1.17.
Podciągiem ciągu (a
n
) nazywamy każdy ciąg (a
k
n
), gdzie (k
n
) jest dowolnym rosnącym
ciągiem liczb naturalnych.
Np. Podciągami ciągu (a
n
) są ciągi:
a
1
, a
3
, a
5
, . . .
a
2
, a
4
, a
6
, . . .
a
3
, a
4
, a
5
, . . .
(a
2n−1
)
∞
n=1
(a
2n
)
n∈N
(a
n
)
n3
Twierdzenie 1.18.
Każdy podciąg ciągu zbieżnego jest zbieżny i ma tę samą granicę, co dany ciąg.
Przykład 1.19. Zbadać, czy istnieją granice:
a) lim
n→∞
(−1)
n
;
b) lim
n→∞
cos
nπ
2
;
c) lim
n→∞
(−1)
n
+n
n+1
.
Twierdzenie 1.20.
Jeśli ciąg liczbowy jest zbieżny, to jest ograniczony.
Uwaga 1.21. Twierdzenie odwrotne do Tw.1.20 nie jest prawdziwe.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CIĄGI LICZBOWE
7
Twierdzenie 1.22 (Bolzano-Weierstrassa).
Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony, to istnieje podciąg
zbieżny. Jeśli ciąg liczbowy jest nieograniczony, to posiada podciąg rozbieżny do −∞ lub +∞.
Twierdzenie 1.23.
Jeśli ciąg liczbowy jest ograniczony i monotoniczny, to jest zbieżny.
Lemat 1.24. Jeśli ciągi (a
n
), (b
n
) są zbieżne oraz
W
K∈N
V
nK
a
n
¬ b
n
,
to lim
n→∞
a
n
¬ lim
n→∞
b
n
.
Twierdzenie 1.25 (o trzech ciągach).
Załóżmy,że
(∗)
W
K∈N
V
nK
a
n
¬ b
n
¬ c
n
,
a) Jeśli lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= a, to istnieje granica ciągu (b
n
), przy czym lim
n→∞
b
n
= a.
b) Jeśli lim
n→∞
a
n
= +∞, to lim
n→∞
b
n
= +∞.
c) Jeśli lim
n→∞
c
n
= −∞, to lim
n→∞
b
n
= −∞.
1.5. Zbieżność pewnych ciągów specjalnych. Liczba e
Twierdzenie 1.26.
a) lim
n→∞
n
√
n = 1.
b) lim
n→∞
n
√
a = 1, gdy a > 0.
c) Jeśli a
n
0 dla każdego n ∈ N oraz lim
n→∞
a
n
= a > 0, to lim
n→∞
n
√
a
n
= 1.
Uwaga 1.27. Tw. 1.26 3) nie zachodzi w przypadku, gdy a = +∞ lub a = 0.
Twierdzenie 1.28.
Ciąg a
n
= (1 +
1
n
)
n
dla n ∈ N jest ograniczony i monotoniczny.
Definicja 1.29.
Liczbą e nazywamy granicę ciągu (1 +
1
n
)
n
, n ∈ N.
Twierdzenie 1.30.
a)
∗
lim
n→∞
n
X
k=0
1
k!
= e.
b) Liczba e jest liczbą niewymierną.
e = 2, 7182818284 . . .
Twierdzenie 1.31.
Jeśli a
n
6= 0 dla każdego n ∈ N oraz lim
n→∞
a
n
= ±∞, to lim
n→∞
(1 +
1
a
n
)
a
n
= e.
Definicja 1.32.
Logarytm o podstawie równej e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy sym-
bolem ln.
ln x
def
= log
e
x dla x > 0
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CIĄGI LICZBOWE
8
1.6. Zbiory ograniczone na prostej, kres górny i dolny
Definicja 1.33.
Niech E ⊂ R, E 6= ∅.
• Liczbę M
0
∈ E taką, że
V
x∈E
x ¬ M
0
nazywamy elementem największym w zbiorze E i oznaczamy przez max E.
• Liczbę m
0
∈ E taką, że
V
x∈E
x m
0
nazywamy elementem najmniejszym w zbiorze E i oznaczamy przez min E.
Definicja 1.34.
Niech E ⊂ R, E 6= ∅.
• Zbiór E jest ograniczony z góry, gdy
W
M ∈R
V
x∈E
x ¬ M.
Liczbę M nazywamy wówczas ograniczeniem górnym zbioru E.
• Liczbę będącą najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem górnym
zbioru E i oznaczamy przez sup E. Inaczej: sup E = M , gdy
(1)
V
x∈E
x ¬ M,
(2)
V
M
1
<M
W
x∈E
x > M
1
.
• W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z góry przyjmujemy sup E = +∞.
Definicja 1.35.
Niech E ⊂ R, E 6= ∅.
• Zbiór E jest ograniczony z dołu, gdy
W
m∈R
V
x∈E
x m.
Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru E.
• Liczbę będącą największym ograniczeniem dolnym zbioru E (o ile istnieje) nazywamy kresem dolnym
zbioru E i oznaczamy przez inf E. Inaczej: inf E = m, gdy
(1)
V
x∈E
x m,
(2)
V
m
1
>m
W
x∈E
x < m
1
.
• W przypadku gdy zbiór E nie jest ograniczony z dołu przyjmujemy inf E = −∞.
• Zbiór E nazywamy ograniczonym, gdy jest zbiorem ograniczonym z góry i z dołu.
Twierdzenie 1.36.
Każdy niepusty zbiór E ⊂ R posiada kresy górny i dolny.
Twierdzenie 1.37.
a) Jeśli ciąg (a
n
) jest niemalejący, to
sup{a
n
: n ∈ N} = lim
n→∞
a
n
,
inf{a
n
: n ∈ N} = a
1
.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
1. CIĄGI LICZBOWE
9
b) Jeśli ciąg (a
n
) jest nierosnący, to
sup{a
n
: n ∈ N} = a
1
,
inf{a
n
: n ∈ N} = lim
n→∞
a
n
.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI
10
2. GRANICE FUNKCJI
2.1. Podstawowe definicje
Definicja 2.1.
Niech x
0
∈ R.
• Sąsiedztwem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór postaci
S(x
0
) = (a, x
0
) ∪ (x
0
, b),
gdzie a, b ∈ R, a < x
0
< b. Zbiory: S
−
(x
0
) = (a, x
0
) oraz S
+
(x
0
) = (x
0
, b) nazywamy odpowiednio
lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwem punktu x
0
.
• Otoczeniem punktu x
0
nazywamy każdy zbiór postaci
U (x
0
) = S(x
0
) ∪ {x
0
}.
Zbiory: U
−
(x
0
) = S
−
(x
0
) ∪ {x
0
} oraz U
+
(x
0
) = S
+
(x
0
) ∪ {x
0
} nazywamy odpowiednio lewostronnym
i prawostronnym otoczeniem punktu x
0
.
Definicja 2.2.
• Sąsiedztwem −∞ nazywamy każdy przedział
S(−∞) = (−∞, b),
gdzie b ∈ R.
• Sąsiedztwem +∞ nazywamy każdy przedział
S(+∞) = (a, +∞),
gdzie a ∈ R.
Niech X ⊂ R, X 6= ∅.
Definicja 2.3.
• Mówimy, że punkt x
0
∈ R jest punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciąg (x
n
) taki, że
{x
n
} ⊂ X \ {x
0
} oraz
lim
n→∞
x
n
= x
0
.
• Jeśli dodatkowo wiadomo, że x
n
> x
0
dla n ∈ N (x
n
< x
0
dla n ∈ N), to x
0
nazywamy prawostronnym
(lewostronnym) punktem skupienia zbioru X.
• Punkty zbioru, które nie są jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi.
Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez X
d
. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów
skupienia zbioru X oznaczamy przez X
d+
(X
d−
).
Definicja 2.4 (definicja Heinego granicy funkcji w +∞).
Niech f : X → R, zaś X będzie zbiorem nieogra-
niczonym z góry.
• Mówimy, że liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = g
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI
11
• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = +∞].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = +∞
• Mówimy, że funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X
[ lim
n→∞
x
n
= +∞
⇒
lim
n→∞
f (x
n
) = −∞].
Zapisujemy
lim
x→+∞
f (x) = −∞
Analogicznie definiujemy granice:
lim
x→−∞
f (x) = g,
lim
x→−∞
f (x) = +∞ oraz
lim
x→−∞
f (x) = −∞.
Definicja 2.5 (definicja Heinego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X → R oraz x
0
∈ X
d
.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w x
0
, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = g
• Funkcja f posiada w x
0
granicę niewłaściwą +∞, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X\{x
0
}
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = +∞].
Zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = +∞
Analogicznie definiujemy granicę: lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Definicja 2.6.
Niech f : X → R.
• Niech x
0
∈ X
d−
. Liczba g jest lewostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X∩(−∞,x
0
)
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
−
0
f (x) = g lub f (x
−
0
) = g
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI
12
• Niech x
0
∈ X
d+
. Liczba g jest prawostronną granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
V
(x
n
), {x
n
}⊂X∩(x
0
,+∞)
[ lim
n→∞
x
n
= x
0
⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g].
Zapisujemy
lim
x→x
+
0
f (x) = g lub f (x
+
0
) = g
Analogicznie definiujemy lewostronną i prawostronną granicę niewłaściwą funkcji w punkcie.
Definicja 2.7 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w +∞).
Niech f : X → R oraz niech X będzie zbiorem
nieograniczonym z góry.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w +∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[x > δ
⇒
|f (x) − g| < ε].
• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą +∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[x > δ
⇒
f (x) > ε].
• Funkcja f ma w +∞ granicę niewłaściwą −∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[x > δ
⇒
f (x) < −ε].
Podobnie definiujemy granicę właściwą i niewłaściwą w −∞.
Definicja 2.8 (definicja Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie).
Niech f : X → R oraz niech x
0
∈ X
d
.
• Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w punkcie x
0
, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
|f (x) − g| < ε].
• Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą +∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
f (x) > ε].
• Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę niewłaściwą −∞, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x∈X
[0 < |x − x
0
| < δ
⇒
f (x) < −ε].
Twierdzenie 2.9.
Odpowiadające sobie definicje Heinego i Cauchy’ego granic funkcji są równoważne.
Twierdzenie 2.10 (warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy funkcji w punkcie).
Jeśli x
0
∈ X
d−
∩ X
d+
, to
lim
x→x
0
f (x) = g
⇔
lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x) = g.
2.2. Twierdzenia o granicach funkcji
Przedstawione poniżej twierdzenia o granicach funkcji (tzn. twierdzenia 2.11 − 2.15) zachodzą zarówno
dla granic w punkcie, jak i dla granic jednostronnych oraz granic w +∞ i −∞.
Twierdzenie 2.11 (arytmetyka granic właściwych funkcji).
Jeśli f, g : X → R, lim
x→x
0
f (x) = a oraz
lim
x→x
0
g(x) = b, to
a) lim
x→x
0
(c · f (x)) = c · a dla dowolnego c ∈ R;
b) lim
x→x
0
(f (x) ± g(x) = a ± b;
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI
13
c) lim
x→x
0
(f (x) · g(x)) = a · b;
d) lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
a
b
, o ile b 6= 0;
e) lim
x→x
0
(g(x))
f (x)
= b
a
, o ile b > 0 i a 6= 0.
Twierdzenie 2.12 (arytmetyka granic niewłaściwych funkcji).
a + ∞ = +∞ dla −∞ < a ¬ +∞
a · (+∞) = +∞ dla 0 < a ¬ +∞
a · (+∞) = −∞
dla −∞ ¬ a < 0
a
∞
= 0 dla −∞ < a < +∞
a
0
+
= +∞
dla
0 < a ¬ +∞
a
0
+
= −∞
dla
−∞ ¬ a < 0
b
∞
= 0 dla 0
+
¬ b < 1,
b
∞
= +∞ dla 1 < b ¬
+∞
∞
a
= 0
dla
−∞ ¬ a < 0,
∞
a
= +∞
dla
0 < a ¬ +∞
Twierdzenie 2.13 (o granicy funkcji złożonej).
Niech f : X → Y ⊂ R, g : Y → R. Jeśli spełnione są
warunki:
(1)
lim
x→x
0
f (x) = a,
(2)
f (x) 6= a dla każdego x ∈ S(x
0
),
(3)
lim
t→a
g(t) = b,
to lim
x→x
0
g(f (x)) = b.
Twierdzenie 2.14 (o trzech funkcjach).
Jeśli funkcje f, g, h : X → R spełniają warunki:
(1)
V
x∈S(x
0
)
f (x) ¬ g(x) ¬ h(x),
(2)
lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
h(x) = a,
to lim
x→x
0
g(x) = a.
Twierdzenie 2.15 (o dwóch funkcjach).
Niech f, g : X → R oraz
V
x∈S(x
0
)
f (x) ¬ g(x).
a) Jeśli lim
x→x
0
f (x) = +∞, to lim
x→x
0
g(x) = +∞.
b) Jeśli lim
x→x
0
g(x) = −∞, to lim
x→x
0
f (x) = −∞.
Twierdzenie 2.16.
lim
x→0
sin x
x
= 1.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI
14
Twierdzenie 2.17.
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e.
2.3. Asymptoty funkcji
Definicja 2.18.
Niech f : X → R oraz niech x
0
∈ X
d
.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy prawostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli
lim
x→x
+
0
f (x) = −∞ albo
lim
x→x
+
0
f (x) = +∞.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy lewostronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli
lim
x→x
−
0
f (x) = −∞ albo
lim
x→x
−
0
f (x) = +∞.
• Prostą o równaniu x = x
0
nazywamy obustronną asymptotą pionową wykresu funkcji f , jeśli jest
jednocześnie jego lewostronną i prawostronną asymptotą pionową.
Definicja 2.19.
Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z góry oraz f : X → R.
• Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞, gdy
lim
x→+∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
• Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji f w +∞, gdy
lim
x→+∞
f (x) = b.
Definicja 2.20.
Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z dołu oraz f : X → R.
• Prostą o równaniu y = ax + b nazywamy asymptotą ukośną wykresu funkcji f w −∞, gdy
lim
x→−∞
[f (x) − (ax + b)] = 0.
• Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji f w −∞, gdy
lim
x→−∞
f (x) = b.
Twierdzenie 2.21.
Niech X będzie zbiorem nieograniczonym z góry oraz f : X → R. Prosta o równaniu
y = ax + b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji f w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy
a = lim
x→+∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x→+∞
(f (x) − ax).
Analogiczne twierdzenie zachodzi dla asymptoty ukośnej w −∞.
2.4. Ciągłość funkcji
Definicja 2.22.
Niech f : X → R, x
0
∈ X.
• Mówimy, że funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d
albo (istnieje lim
x→x
0
f (x) i
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
)).
• Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d−
albo (istnieje lim
x→x
−
0
f (x) i
lim
x→x
−
0
f (x) = f (x
0
)).
• Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x
0
, gdy
x
0
/
∈ X
d+
albo (istnieje lim
x→x
+
0
f (x) i
lim
x→x
+
0
f (x) = f (x
0
)).
Zbiór punktów ciągłości funkcji f oznaczamy przez C
f
. Zbiór punktów prawostronnej (lewostronnej) cią-
głości funkcji f oznaczamy przez C
+
f
(C
−
f
).
2012, E. Kotlicka-Dwurznik
2. GRANICE FUNKCJI
15
Twierdzenie 2.23 (warunek konieczny i wystarczający ciągłości funkcji).
Niech f : X → R oraz
x
0
∈ X. Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
⇔ f jest lewostronnnie i prawostronnie ciągła w punkcie x
0
.
Definicja 2.24.
Niech f : X → R, A ⊂ X. Mówimy, że funkcja f jest ciągła w zbiorze A, gdy jest ciągła
w każdym punkcie tego zbioru. Jeśli A = D
f
, to krótko mówimy, że f jest ciągła.
Definicja 2.25 (rodzaje nieciągłości).
Niech f : X → R, x
0
∈ X \ C
f
.
• x
0
nazywamy punktem nieciągłości funkcji f pierwszego rodzaju, jeśli granice jednostronne:
lim
x→x
−
0
f (x) oraz lim
x→x
+
0
f (x), istnieją i są skończone.
• x
0
nazywamy punktem nieciągłości funkcji f drugiego rodzaju, jeśli przynajmniej jedna z granic
jednostronnych nie istnieje lub jest nieskończona.
Twierdzenie 2.26.
Jeśli funkcje f, g : X → R są ciągłe, to ciągłe są również funkcje
|f | , f + g, f · g oraz
f
g
(o ile g(x) 6= 0 dla x ∈ X).
Twierdzenie 2.27.
Jeśli funkcje f : X → Y, g : Y → R są ciągłe, to ciągła jest funkcja g ◦ f.
Twierdzenie 2.28.
Jeśli funkcja f : X → R jest ciągła i różnowartościowa, to funkcja odwrotna f
−1
jest
ciągła.
Twierdzenie 2.29.
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe.
2.5. Własności funkcji ciągłych
Niech a, b ∈ R, a < b.
Twierdzenie 2.30 (o lokalnym zachowaniu znaku).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła oraz f (x
0
) > 0 dla pewnego x
0
∈ [a, b], to
W
U (x
0
)
V
x∈U (x
0
)
f (x) > 0.
Twierdzenie 2.31 (Weierstrassa – o osiąganiu najmniejszej i największej wartości).
Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to jest ograniczona na [a, b], przy czym istnieją punkty c
1
, c
2
∈ [a, b]
takie, że
V
x∈[a,b]
f (c
1
) ¬ f (x) ¬ f (c
2
).
Twierdzenie 2.32 (Darboux – o przyjmowaniu wartości pośrednich).
Niech m = min f [[a, b]] oraz M = max f [[a, b]]. Jeśli funkcja f : [a, b] → R jest ciągła, to
V
y∈[m,M ]
W
x∈[a,b]
y = f (x).
Ile jest tych rozwiązań?
Jak je wyznaczyć?
−→ metody numeryczne
2.6. Funkcje jednostajnie ciągłe
Definicja 2.33.
Niech f : X → R. Mówimy, że Funkcja f jest jednostajnie ciągła w zbiorze X, gdy
V
ε>0
W
δ>0
V
x
1
∈X
V
x
2
∈X
[ |x
1
− x
2
| < δ ⇒ |f (x
1
) − f (x
2
)| < ε ].
Twierdzenie 2.34.
Jeśli funkcja f : X → R jest jednostajnie ciągła w X, to jest ciągła w tym zbiorze.
Twierdzenie 2.35.
Niech a, b ∈ R, a < b oraz f : [a, b] → R. Jeśli funkcja f jest ciągła w [a, b] to jest
jednostajnie ciągła w tym przedziale.
2012, E. Kotlicka-Dwurznik