Algebra z geometrią 11, A.Sz.
Płaszczyzny i proste w przestrzeni R
3
Płaszczyzna
Niech ~
n = [A, B, C] - niezerowy wektor z przestrzeni R
3
, P (x
0
, y
0
, z
0
) - dany punkt.
Płaszczyzna π zawierająca punkt P i prostopadła do wektora ~
n określona jest równaniem
π : A(x − x
0
) + B(y − y
0
) + C(z − z
0
) = 0.
Jeśli do równania płaszczyzny podstawimy D = −Ax
0
− By
0
− Cz
0
to otrzymamy równanie ogólne płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0.
Wektorem normalnym płaszczyzny nazywamy każdy wektor prostopadły do tej płaszczyzny.
Dla dowolnych punktów P
1
, P
2
i P
3
, które nie leżą na jednej prostej, istnieje dokładnie jedna
płaszczyzna przechodząca przez te punkty. Punkty P
1
, P
2
i P
3
nie leżą na jednej prostej wtedy
i tylko wtedy, gdy wektory
−−→
P
1
P
2
i
−−→
P
1
P
3
nie są kolinearne. Wektor normalny płaszczyzny jest
prostopadły do wektorów
−−→
P
1
P
2
i
−−→
P
1
P
3
.
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty P
1
(x
1
, y
1
, z
1
), P
2
(x
2
, y
2
, z
2
) i P
3
(x
3
, y
3
, z
3
),
które nie leżą na jednej prostej, można wyznaczyć ze wzoru:
x
y
z 1
x
1
y
1
z
1
1
x
2
y
2
z
2
1
x
3
y
3
z
3
1
= 0
Wzór na odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
Wzajemne położenie płaszczyzn
Rozważmy płaszczyzny π
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 oraz π
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0.
1. Jeśli istnieje α ∈ R, taka że (A
1
, B
1
, C
1
, D
1
) = α · (A
2
, B
2
, C
2
, D
2
)
to oba równania opisują tę samą płaszczyznę.
2. Jeśli istnieje α ∈ R, taka że α(A
1
, B
1
, C
1
) = α · (A
2
, B
2
, C
2
) oraz α · D
1
6= D
2
to płaszczyzny π
1
i π
2
są równoległe i nie mają punktów wspólnych.
3. W pozostałych przypadkach płaszczyzny π
1
i π
2
przecinają się wzdłuż prostej.
Jeśli ~
n
1
jest wektorem normalnym płaszczyzny π
1
oraz ~
n
2
jest wektorem normalnym płaszczyzny π
2
to kąt ϕ ∈ [0,
π
2
] nachylenia płaszczyzn wyznaczamy w oparciu o zależność cos ϕ =
|~n
1
◦ ~n
2
|
k~n
1
k · k~n
2
k
.
1
Algebra z geometrią 11, A.Sz.
Prosta
Jeśli płaszczyzny π
1
i π
2
przecinają się wzdłuż prostej to układ
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
nazywamy postacią krawędziową prostej.
Rozwiązanie takiego układu równań można wyznaczyć w postaci:
x = x
0
+ αt
y = y
0
+ βt
z = z
0
+ γt
, t ∈ R.
Jest to postać parametryczna prostej o wektorze kierunkowym ~
v = [α, β, γ] 6= ~
o, przechodzącej
przez punkt P (x
0
, y
0
, z
0
).
Wyznaczając powyższych równań parametr t (o ile jest to możliwe) otrzymujemy
t =
x − x
0
α
, t =
y − y
0
β
oraz t =
z − z
0
γ
.
Korzystając z tych zależności możemy zapisać postać kierunkową prostej
x − x
0
α
=
y − y
0
β
=
z − z
0
γ
.
Uwaga. W tym zapisie może wystąpić 0 w mianowniku. Nie oznacza to dzielenia przez 0,
tylko że 0 jest współrzędną wektora kierunkowego prostej.
Jeżeli prosta przechodzi przez dwa różne punkty P (x
1
, y
1
, z
1
) i R(x
2
, y
2
, z
2
), to wektor
−→
P R = [x
2
− x
1
, y
2
− y
1
, z
2
− z
1
] jest jej wektorem kierunkowym.
Równanie prostej przechodzącej przez punkty P (x
1
, y
1
, z
1
) i R(x
2
, y
2
, z
2
) przyjmuje postać
x − x
1
x
2
− x
1
=
y − y
1
y
2
− y
1
=
z − z
1
z
2
− z
1
.
Niech l będzie prostą zadaną w postaci krawędziowej, tzn. l :
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Równanie λ(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + µ(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) = 0, gdzie λ, µ ∈ R nie są
równocześnie równe 0, jest równaniem pęku płaszczyzn o wspólnej krawędzi l.
Dla ustalonego λ i µ otrzymamy równanie jednej konkretnej płaszczyzny zawierającej prostą l.
Wzajemne położenie prostej i płaszczyzny
Rozważmy prostą l :
x = x
0
+ αt
y = y
0
+ βt
z = z
0
+ γt
, t ∈ R i płaszczyznę π : Ax + By + Cz + D = 0.
Badamy liczbę rozwiązań równania A(x
0
+ αt) + B(y
0
+ βt) + C(z
0
+ γt) + D = 0 z niewiadomą t.
Jeśli t
0
jest jedynym rozwiązaniem powyższego równania to punkt P (x
0
+ αt
0
, y
0
+ βt
0
, z
0
+ γt
0
)
jest punktem przebicia prostej l przez płaszczyznę π.
Jeśli rozważane równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań to prosta l zawiera się w płaszczyźnie π,
jeśli brak rozwiązań to prosta l jest równoległa do płaszczyzny π i nie ma z nią punktów wspólnych.
2
Algebra z geometrią 11, A.Sz.
Wzajemne położenie dwóch prostych
Rozważmy proste l
1
:
x = x
1
+ α
1
t
y = y
1
+ β
1
t
z = z
1
+ γ
1
t
, t ∈ R
i
l
2
:
x = x
2
+ α
1
s
y = y
2
+ β
2
s
z = z
2
+ γ
2
s
, s ∈ R.
Jeśli wektory [α
1
, β
1
, γ
1
] i [α
2
, β
2
, γ
2
] są kolinearne to proste l
1
i l
2
są równoległe. Wystarczy wtedy
wziąć dowolny punkt z z prostej l
1
i sprawdzić czy należy do l
2
, żeby stwierdzić czy proste są
rozłączne czy się pokrywają. Jeśli proste l
1
i l
2
są równoległe to leżą w jednej płaszczyźnie.
Jeśli wektory [α
1
, β
1
, γ
1
] i [α
2
, β
2
, γ
2
] nie są kolinearne to możemy zbadać czy proste l
1
i l
2
się
przecinają rozwiązując układ równań
x
1
+ α
1
t = x
2
+ α
1
s
y
1
+ β
1
t = y
2
+ β
2
s
z
1
+ γ
1
t = z
2
+ γ
2
s
z niewiadomymi t i s.
Jeśli proste l
1
i l
2
się przecinają to leżą w jednej płaszczyźnie. Wektor normalny tej płaszczyzny
jest prostopadły do wektorów kierunkowych prostych l
1
i l
2
.
Proste, które nie są równoległe i się nie przecinają nazywamy skośnymi.
Jeśli ~
v
1
jest wektorem kierunkowym prostej l
1
oraz ~
v
2
jest wektorem kierunkowym prostej l
2
to
kąt ϕ ∈ [0,
π
2
] nachylenia prostych wyznaczamy w oparciu o zależność cos ϕ =
|~v
1
◦ ~v
2
|
k~v
1
k · k~v
2
k
.
Wyznaczanie rzutu prostokątnego - przykładowe rozwiązania
1. Rzut prostokątny punktu P na płaszczyznę π.
Wyznaczamy prostą l prostopadłą do płaszczyzny π i przechodzącą przez punkt P .
Szukany punkt jest punktem przebicia prostej l przez płaszczyznę π.
2. Rzut prostokątny punktu P na prostą l.
Wyznaczamy płaszczyznę π prostopadłą do prostej l i zawierającą punkt P .
Rzut prostokątny punktu P na prostą l jest punktem przebicia prostej l przez płaszczyznę π.
3. Rzut prostokątny prostej l na płaszczyznę π.
Wyznaczamy płaszczyznę π
2
prostopadłą do płaszczyzny π i zawierającą prostą l, korzystając z
faktu, że wektor normalny płaszczyzny π
2
jest prostopadły do wektora normalnego płaszczyzny π
oraz wektora kierunkowego prostej l. Szukana prosta jest krawędzią przecięcia płaszczyzn π i π
2
.
4. Rzut prostokątny prostej l
2
na prostą l
1
.
Wyznaczamy płaszczyznę π
1
równoległą do prostej l
2
i zawierającą prostą l
1
.
Wyznaczamy płaszczyznę π
2
prostopadłą do płaszczyzny π
1
i zawierającą prostą l
2
.
Szukany punkt jest punktem przebicia prostej l
1
przez płaszczyznę π
2
.
3