Klas´
owka poprawkowa, matematyka A, 6 lutego 2006
Na rozwia
,
zanie wszystkich zada´
n jest 150 minut
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza
,
cego, jego
nr. indeksu oraz nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia i nr. grupy ´cwiczeniowej.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elektro-
nicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone!
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zosta ly
udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
1. Rozwia
,
za´c r´ownanie:
1
2
log(x + 11) + log
5x−10
6
= 1 .
2. Zdefiniowa´c log
d
c pamie
,
taja
,
c o za lo˙zeniach o c i d .
Niech a = log
1000
2 , b = log
10
14 . Za
pomoca
,
a i b wyrazi´c
log
10
5 i log
10
35 . Wykaza´c, ˙ze log
10
2 <
12
19
log 3 .
3. Rozwia
,
za´c r´ownanie:
2 log
4
sin(ϕ −
π
4
)
= −1 .
Zilustrowa´c rozwia
,
zanie tego r´ownania na okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 .
4. Poda´c definicje
,
kosinusa dowolnego ka
,
ta dodatniego. Rozwia
,
za´c nier´owno´s´c: | cos t| ≥
√
2
2
. Zilu-
strowa´c rozwia
,
zanie tej nier´owno´sci na okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 .
5. Niech a
n
=
(2−n)(n+3)
4n
2
−11n+2005
, b
n
=
(9n−2n
2
)
6
n
13
−3n+3
i c
n
= 0,99 +
1
n
n
dla n = 1, 2, 3, . . . .
Wyja´sni´c, czy setny wyraz cia
,
gu (a
n
) jest wie
,
kszy, r´owny czy mniejszy ni˙z −
1
4
.
Znale´z´c granice:
lim
n→∞
a
n
,
lim
n→∞
b
n
,
lim
n→∞
c
n
.
6. Znale´z´c kosinus ka
,
ta nierozwartego, kt´ory tworza
,
p laszczyzny o r´ownaniach
y + z = 0 oraz
2x + 2y + z = 0 . Znale´z´c iloczyn wektorowy wektor´ow ~v = [0, 1, 1] i ~
w = [2, 2, 1] oraz ka
,
t jaki
tworzy wektor ~v × ~
w z prosta
,
wsp´olna
,
obu p laszczyzn. Niech ~u = [1, −1, 1] . Obliczy´c ~u · (~v × ~
w) .
7. Niech A =
1 2 3
1 3 2
2 4 5
. Znale´z´c macierze A
−1
, A
T
i A
T
· A oraz wyznaczniki |A| i |A
T
· A| .
Rozwia
,
za´c uk lad r´owna´
n
( x + 2y + 3z = 5;
x + 3y + 2z = 4;
2x + 4y + 5z = 9.
8. Znale´z´c pochodna
,
naste
,
puja
,
cej funkcji:
(a) cos
sin(3x +
√
x)
(b) ln
2
cos x
(c) e
3
√
2−x
9. Niech f (x) = (x−17)·cos
sin
2
(x−17)+tg ln(x−16)
·e
|x−17|
. Znale´z´c f
0
(17) , je´sli ta pochodna
istnieje lub wykaza´c, ˙ze funkcja f nie pochodnej w punkcie 17 .
10. Niech f (x) = −x
3
+ 12x − 6 . Znale´z´c najmniejsza
,
i najwie
,
ksza
,
warto´s´c funkcji f na przedziale
domknie
,
tym [−5, 3] .
Informacje przer´o˙zne (przydatne albo i nie):
sin
5π
6
=
1
2
; sin
5π
4
= −
√
2
2
; 1 + x ≤ e
x
dla x ∈ R ; sin x < x < tg x , gdy
π
2
> x > 0 ;
2
7
= 128 ; 2
9
= 512 ; 2
12
= 4096 ; 2
20
= 1048576 ; 3
4
= 81 , 3
8
= 6561 ; 3
13
= 1594323 .