M
M
M
M
ETODA
ETODA
ETODA
ETODA
3
3
3
3-
---
CH
CH
CH
CH
M
M
M
M
OMENTÓW
OMENTÓW
OMENTÓW
OMENTÓW
I
I
I
I
M
M
M
M
ETODA
ETODA
ETODA
ETODA
P
P
P
P
RZEMIESZCZEŃ
RZEMIESZCZEŃ
RZEMIESZCZEŃ
RZEMIESZCZEŃ
W U
W U
W U
W UKŁADACH
KŁADACH
KŁADACH
KŁADACH
B
B
B
B
ELKOWYCH
ELKOWYCH
ELKOWYCH
ELKOWYCH
Przykład nr 1.1
Wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych w belce przedstawionej na rysunku 1.1
(EJ = const.) metodą 3-ch momentów. Otrzymane wyniki zweryfikować metodą
przemieszczeń.
4
2
2
6 kN/m
10 kN
2 EJ
EJ
3 EJ
2
Rys.1.1 Belka statycznie niewyznaczalna dla przykładu 1.1
(długości przęseł podane są w metrach ).
Metoda 3-ch Momentów.
Na początku musimy obliczyć statyczną niewyznaczalność układu.
S = 2
Dany układ jest dwukrotnie statycznie niewyznaczalny.
W celu rozwiązania układu metodą 3-ch momentów sporządzam układ równań, który
w naszym przypadku wygląda następująco:
Kolejnym krokiem jest wyznaczenie długości sprowadzonych „l`” (długości zastępczych)
wg następującego wzoru:
l`= l
k
· EJ`/EJ
k
gdzie:
x0 l'1
⋅
2 x1
⋅
l'1
l'2
+
(
)
⋅
+
x2 l'2
⋅
+
N 1p
x1 l'2
⋅
2 x2
⋅
l'2
l'3
+
(
)
⋅
+
x3 l'3
⋅
+
N2p
l
k
to długość rzeczywista przęsła,
EJ
k
to sztywność rzeczywista przęsła,
EJ` to sztywność porównawcza.
Przyjmuję że EJ`= 2EJ i wg wzoru na obliczenie długości sprowadzonych otrzymuję:
l`
1
= 0 m
l`
2
= 4 m
l`
3
= 4 m
L`2
10 kN
2 EJ
EJ
L`3
X0
X1
X2
X3 = -12
L`1
Rys. 1.2 Model zastępczy belki.
Następnie przystępuje do obliczeń niewiadomych N
1p
i N
2p
korzystają ze wzorów
transformacyjnych . Jak widać z Rys. 1.2 momenty skrajne tj. X0 = 0 i X3 = -12 kNm.
Dla k =1
dla k = 2
N1p
3
8
−
P
⋅
l'2
⋅
l2
⋅
=
N1p
60
−
kN m
2
⋅
⋅
=
N 2p
3
8
−
P
⋅
l'2
⋅
l2
⋅
=
N2p
60
−
kN m
2
⋅
⋅
=
Rozwiązujac układ równań otrzymujemy szukane niewiadome:
X1 = -8,143 kNm,
X2 = 1,286 kNm
Mając szukane wielkości momentów przywęzłowych obliczamy reakcje i sporządzamy
wykresy momentów i sił tnących.
a)
4
2
2
6 kN/m
10 kN
2 EJ
EJ
3 EJ
2
-8,143
6,571
1,286
-12
b)
7,357
-2,643
-12
-6,643
Rys.1.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].
Metoda Przemieszczeń.
Metodę przemieszczeń zaczynamy od przyjęcia układu podstawowego, dla którego
tworzymy układ równań kanonicznych. I tak:
4
2
2
6 kN/m
10 kN
2 EJ
EJ
3 EJ
2
φ
4
2
2
6 kN/m
10 kN
2 EJ
EJ
3 EJ
2
Rys.2.1 Belka a) układ rzeczywisty b) układ podstawowy.
Dla układu obciążonymi siłami zewnętrznymi układ kanoniczny ma postać:
r
11
· φ + R
1p
= 0
W celu wyznaczenia współczynników r
11
, R
1p
wykonujemy wykresy momentów
zgodnie z poznanymi wzorami transformacyjnymi przy φ = 1 oraz od obciążenia siłami
zewnętrznymi.
4
2
2
6 kN/m
10 kN
2 EJ
EJ
3 EJ
2
φ
φ
EJ
2 EJ
3
2
EJ
5
5
-12
6
a)
b)
Rys.2.2 Belka a) od φ = 1 b) od obciążeń zewnętrznych.
Poszczególne współczynniki wyznaczamy z równowagi węzłów:
r
11
= 2EJ + 3/2EJ = 3,5EJ
R
1p
= 5 + 6 = 11
Rozwiązując układ równań otrzymujemy:
φ
=
−
R
1p
/ r
11
=>
φ
=
−
3,143· 1/EJ
wartości te wstawiamy do wzoru:
M
ik
= M
φ
· φ +M
p
otrzymując końcowe wartości momentów na poszczególnych końcach prętów.
Wykresy momentów przedstawiono na poniższym rysunku.
a)
4
2
2
6 kN/m
10 kN
2 EJ
EJ
3 EJ
2
-8,143
6,571
1,286
-12
b)
7,357
-2,643
-12
-6,643
Rys.2.3 Belka a) wykres momentów [kNm], b) wykres sił tnących [kN].