Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 1996 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
)
(
9
,
0
)
(
3
,
0
)
(
6
,
0
)
(
B
A
P
C
A
P
C
B
P
C
B
A
P
∩
=
∩
=
∩
=
∩
∩
=
−
+
+
=
∩
∩
+
∩
∩
−
∩
+
∩
+
∩
∩
∩
=
x
x
x
x
x
C
B
A
P
C
B
A
P
C
B
P
C
A
P
B
A
P
C
B
A
P
ODP
x
2
6
,
0
3
,
0
9
,
0
)
(
)
(
3
)
(
)
(
)
(
)
(
4
4 8
4
4 7
6
37
9
2
6
,
0
1
3
,
0
1
9
,
0
1
1
=
−
+
+
=
Zadanie 2
( )
( ) ( )
∑
=
=
4
1
1
2
1
2
k
c
k
P
k
c
P
c
c
P
( )
( )
( )
( )
1
4
2
3
2
3
2
3
1
2
2
0
1
2
=
=
=
=
c
P
c
P
c
P
c
P
( ) ( )
)
1
(
)
(
1
1
c
P
k
P
k
c
P
c
k
P
=
8
5
16
10
16
4
3
2
1
4
1
4
1
4
3
4
1
2
1
4
1
4
1
)
1
(
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
c
P
( )
10
1
5
8
16
1
8
5
/
4
1
4
1
1
1
=
=
=
c
P
( )
5
1
8
5
/
4
1
2
1
1
2
=
=
c
P
( )
10
3
8
5
/
4
1
4
3
1
3
=
=
c
P
( )
5
2
8
5
/
4
1
1
4
=
=
c
P
3
2
15
10
15
6
3
1
5
2
15
3
15
1
5
2
1
10
3
3
2
5
1
3
1
=
=
+
+
=
+
+
=
⋅
+
+
=
ODP
Zadanie 3
(
)
n
l
p
n
k
F
X
z
X
P
p
n
l
Q
p
n
k
Q
ODP
:
:
)
,
,
(
)
,
,
(
≤
≤
=
−
=
∑
=
−
−
=
n
k
i
i
n
i
p
p
i
n
p
n
k
Q
)
1
(
)
,
,
(
=
−
−
−
−
=
−
=
8
8
8
8
5
,
0
8
8
5
,
0
7
8
5
,
0
1
8
5
,
0
0
8
1
2
1
,
8
,
7
2
1
,
8
,
2
Q
Q
ODP
128
119
256
238
256
18
1
2
1
18
1
8
=
=
−
=
−
=
Zadanie 4
∫
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
1
0
1
0
2
2
(0,1)
4
5
8
3
4
1
8
3
4
1
2
4
3
4
1
2
4
3
)
(
y
y
y
xy
y
x
x
dx
y
xy
x
y
f
∫
=
−
−
+
=
+
=
+
=
>
1
5
,
0
1
5
,
0
2
32
21
4
1
8
5
16
3
8
5
8
3
2
4
5
8
3
4
5
8
3
2
1
y
y
y
Y
P
32
21
4
1
2
4
3
1
5
,
0
1
5
,
0
∫ ∫
+
+
=
dxdy
y
xy
x
ODP
∫
∫
=
−
−
−
+
+
=
+
+
=
1
5
,
0
1
5
,
0
1
5
,
0
2
2
8
1
4
1
32
3
4
1
8
3
4
1
2
4
3
y
y
y
y
dy
xy
y
x
x
LICZ
∫
=
=
−
−
+
=
−
−
+
=
+
=
+
=
1
5
,
0
1
5
,
0
2
32
15
64
30
64
9
7
18
28
64
9
64
7
32
9
16
7
32
9
2
8
7
32
9
8
7
y
y
y
7
5
21
15
21
32
32
15
=
=
=
ODP
Zadanie 5
( )
(
)
( )
(
)
λ
S
E
λ
S
E
S
var
var
var
+
=
( )
λ
λ
λ
S
8
5
,
0
2
var
2
=
=
( )
λ
λ
S
E
2
=
4
5
4
2
4
3
=
+
=
λ
E
4
7
1
4
3
2
=
+
=
λ
E
16
3
16
25
4
7
var
=
−
=
λ
4
3
10
16
12
10
16
3
4
4
5
8
)
2
var(
)
8
(
=
+
=
⋅
+
⋅
=
+
=
λ
λ
E
ODP
Zadanie 6
Tu jest chyba błąd w odpowiedziach
Bo:
(
)
∑
−
=
2
X
X
Y
i
)
1
(
2
−
≅
n
χ
σ
Y
1
1
2
2
2
2
+
=
=
n
EY
EY
σ
c
Zadanie 7
{
}
{
}
+
+
−
+
2
1
1
2
2
,...,
max
1
2
,...,
max
1
φ
X
X
n
n
φ
X
X
n
n
E
n
n
n
n
φ
t
t
X
P
t
P
=
≤
=
≤
)
(
)
(max
n
n
φ
nt
f
1
1
max
−
=
∫
+
=
+
=
=
+
φ
n
n
n
n
φ
n
n
n
φ
φ
n
φ
nt
E
0
1
1
1
1
max
∫
+
=
+
=
=
+
+
φ
n
n
n
n
φ
n
n
n
φ
φ
n
φ
nt
E
0
2
2
1
2
2
2
1
max
)
2
(
)
2
(
2
4
2
1
2
1
1
2
2
)
1
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
+
+
−
−
+
+
=
+
+
+
−
+
+
=
n
n
φ
n
n
n
n
n
n
n
n
φ
φ
φ
n
n
n
n
φ
φ
n
n
n
n
ODP
Zadanie 8
Π
=
Π
P
3
1
7
1
7
2
7
1
=
→
=
+
q
q
q
Zadanie 9
λ
n
n
X
n
n
X
n
X
X
e
e
λ
n
n
M
e
E
e
E
n
−
−
−
+
+
−
>=<
−
=
−
=
=
1
exp
1
1
...
1
Udowodnimy, że:
1
1
1
−
>
−
−
n
e
n
−
=
−
1
)
(
1
n
e
n
n
f
n
n
n
n
e
n
e
e
n
n
e
n
f
1
1
1
2
1
1
1
1
1
)
(
−
−
−
−
+
−
=
+
−
=
′
)
(
0
1
1
1
1
)
(
1
3
1
3
1
2
1
2
n
f
e
n
e
n
e
n
e
n
n
f
n
n
n
n
′
→
>
=
+
−
=
′′
−
−
−
−
rośnie
0
)
1
(
<
′
f
)
(
0
)
(
0
)
(
lim
n
f
n
f
n
f
n
→
<
′
→
=
′
∞
→
maleje
1
)
1
(
−
>
f
1
)
(
lim
−
=
∞
→
n
f
n
Zadanie 10
<
>
=
t
f
f
t
f
f
X
φ
2
1
2
1
0
1
)
(
x
x
x
f
f
2
3
2
3
2
2
1
=
=
1
,
0
2
3
1
=
>
=
t
X
P
a
∫
=
→
=
1
3
2
2
40
81
1
,
0
2
t
t
x
9
,
0
40
36
40
9
81
4
40
81
3
2
3
2
=
=
⋅
⋅
=
>
>
=
X
t
X
K
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
1996.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1996 10 26 prawdopodobie stwo i statystykaid 18572
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2009 10 05 prawdopodobie stwo i statystykaid 26670
1996.10.26 prawdopodobie stwo i statystyka
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
1998 10 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 18585
2002 10 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21648
2010.10.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2005.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.10.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.10.09 prawdopodobie stwo i statystyka
1998.12.05 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
1996.12.07 prawdopodobie stwo i statystyka
więcej podobnych podstron