Kolokwium poprawkowe z analizy matematycznej
WETI, 2 sem., r. ak. 2006/2007
1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f (x) = 3 − |x| w przedziale |x| ¬ 6 .
2. a) Sprawdzić czy funkcja u = arctg (2x − y) spełnia równanie różniczkowe u
xx
+ 2u
xy
= 0.
b) Pokazać, że nie istnieje granica funkcji f (x, y) =
4xy
x
2
−y
2
w punkcie (0, 0).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. a) Znaleźć ekstrema lokalne funkcji z = e
x
3
(x + y
2
).
b) Stosując definicję różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość z = 2x + y −
√
x
2
+ y
2
,
gdy x
0
= 3, y
0
= 4, dx = 0, 02 i dy = 0, 1.
4. Obliczyć
Z
D
Z
y
x
2
dxdy, gdzie obszar D określony jest nierównościami 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 2x.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. a) Obliczyć całkę
Z
K
cos 4ydx − 4x sin 4ydy po dowolnym łuku gładkim od punktu A(1,
π
6
) do
B(2,
π
4
).
b) Omówić dwa zastosowania geometryczne całek krzywoliniowych nieskierowanych (podać
odpowiednie wzory i wykonać rysunki).
6. a) Obliczyć całkę powierzchniową
Z
S
Z
(2y + z)dS
gdzie S jest częścią płaszczyzny 3x + 3y + z = 9 zawartą wewnątrz powierzchni x
2
+ y
2
= 4y.
b) Wyprowadzić jakobian przekształcenia dla współrzędnych sferycznych dowolnego typu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] Znaleźć funkcję holomorficzną f (z), gdy dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = x
2
− y
2
+ 2x.