Matematyka dyskretna – ćwiczenia (04.11.2009) 

 

1.

  ~൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇔ ∃ݔ[~ܲሺݔሻ]  

 

~ሺ∀ݔ ∈ ܴ[ݔ < ݔ + 1]ሻ ⇔ ∃ݔ ∈ ܴ[ݔ ≥ ݔ + 1]  

∃ݔ ∈ ܴ[ݔ ≥ ݔ + 1] ⇔ ∃ݔ ∈ ܴ[ݔ ≥ ݔ + 1]  

 

0 ⇔ 0  

 

~൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇔ ∃ݔ[~ܲሺݔሻ] = 1   

Wpierw przeprowadzamy negację lewej stronie „równania”, w wyniku czego otrzymujemy postać 

taką samą jak prawa strona. Nieważne jest w tym wypadku więc że obie strony mają 

wartość

 0,zawsze będą one równoważne, więc ogólna wartość logiczna wyrażenia wynosi 1. 

2.

  ൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇒ ൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇔ ൫∃ݔܲሺݔሻ൯ ⇒ ሺ∃ݔܳሺݔሻሻ 

 

൫∀ݔܲሺݔሻ൯ = ܣ, ൫∃ݔܲሺݔሻ൯ = ܤ, ൫∃ݔܳሺݔሻ൯ = ܥ  

ܣ 

ܤ 

ܥ 

ܣ ⇒ ܣ 

⇔ 

ܤ ⇒ ܥ 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

      

൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇒ ൫∀ݔܲሺݔሻ൯ ⇔ ൫∃ݔܲሺݔሻ൯ ⇒ ൫∃ݔܳሺݔሻ൯ = 0 

Mamy tu do czynienia ze zdaniem logicznym, w którym po lewej stronie mamy implikację i po prawej 

implikację. Możemy za każdą różną część tego zdania przypisać inną „zmienną literową”, a następnie 

skorzystać z tabeli prawdy. Jeżeli pojawi nam się gdziekolwiek w równoważności dwóch stron 

0, 

wiemy że zdanie to ma wartość logiczną równą 

0. 

3.

  ∃! ݔ ∈ ܴ[ݔ ∗ 6 = 0] 

ݔ ∗ 6 = 0 ⇔ ݔ = 0  

0 ∗ 6 = 0  

Znak 

∃! wskazuje na fakt, że istnieje jedno ݔ mające jakąś cechę. Wystarczy więc wskazać jeden 

przykład jako spełniający tę właściwość. W tym przypadku odpowiedzią jest 

0. 

4.

  ൣ~൫∃ݔ ∈ ܺหܲሺݔሻ൯൧ ⇔ [∀ݔ ∈ ܺ|~ܲሺܺሻ 

[∀ݔ ∈ ܺ|~ܲሺݔሻ] ⇔ [∀ݔ ∈ ܺ|~ܲሺݔሻ]  

Podobnie jak w zadaniu 1 

5.

  ܷ

ᇱ

= ሼ1,2,3ሽ, ܷ" = ሼ4,5,6,7ሽ 

∃ݔ ∈ ܷ

ᇱ

∃ݕ ∈ ܷ"[ݔ < ݔ]  

W związku z tym, że ze zbioru x wybieramy jedną liczbę, nieważne czy będzie to  

1,2 czy 3, wybrana 

liczba nigdy nie będzie niższa od niej samej 

∀ݔ ∈ ܷ

ᇱ

∀ݕ ∈ ܷ"[ݕ < ݔ]  

Patrząc na zbiór 

ܷ′ widzimy, że są w nim elementy o niższych wartościach niż w zbiorze ܷ", więc 

niemożliwym jest by 

ݕ pochodzące z ܷ" było mniejsze niż ݔ z ܷ′ 

6.

  Każdy człowiek jest śmiertelny. Marek jest Iti. Czy Marek jest śmiertelny? 

 

~ܥݖሺݔሻ⋁Ś݉ሺݔሻ  

 

ܫݐ݅ሺܯሻ = ~ܥݖሺܯሻ  

                                       

~ܥݖሺܯሻ⋁Ś݉ሺܯሻ  

 

 

~ܥݖሺܯሻ 

 

 

~ܥݖሺܯሻ⋁Ś݉ሺܯሻ ⋁ ~ܥݖሺܯሻ ⇔ ~ܥݖሺܯሻ⋁Ś݉ሺܯሻ 

 

~Ś݉ሺܯሻ 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

~ܥݖሺܯሻ 

W celu rozwiązania tego zadania korzystamy z zadania. Mamy dane że każdy człowiek jest śmiertelny. 

Czyli albo istota nie jest człowiekiem, albo jest śmiertlena 

~ܥݖሺݔሻ⋁Ś݉ሺݔሻ. Następnie wiemy, że 

Marek jest Iti. Możemy więc to zapisać 

ܫݐ݅ሺܯሻ lub, biorąc fakt że ITI nie jest człowiekiem ܫݐ݅ሺܯሻ – nie 

będzie to miało wpływu na otrzymany wynik. Jak widać na powyższym schemacie, „zderzamy” ze 

sobą fragmenty informacji (w dowolnej kolejności). Na końc u wychodzi nam (zależnie od wybranej 

wersji) 

~ܥݖሺܯሻ lub ~ܥݖሺܯሻ⋁ܫݐ݅ሺܯሻ. Jakoż że nie jest to klauzula pusta, nie możemy wnioskować na 

dany temat. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Autor: shenlon