www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM PODSTAWOWY
17
KWIETNIA
2010
C
ZAS PRACY
: 170
MINUT
Zadania zamkni˛ete
Z
ADANIE
1
(1
PKT
.)
Je ˙zeli liczba 3b jest o 20% wi˛eksza od połowy liczby 2a
+
b, to liczba a jest wi˛eksza od b o
A) 100%
B) 80%
C) 50%
D) 200%
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapisujemy podany warunek
3b
=
1, 2
·
2a
+
b
2
=
0, 6
(
2a
+
b
)
/ : 0, 6
5b
=
2a
+
b
4b
=
2a
⇒
a
=
2b.
Zatem a jest wi˛eksze od b o 100%.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
2
(1
PKT
.)
Stosunek miar k ˛
atów czworok ˛
ata jest równy 6:7:8:9. Najmniejszy k ˛
at tego czworok ˛
ata ma
miar˛e
A) 60
◦
B) 72
◦
C) 54
◦
D) 12
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli k ˛
aty czworok ˛
ata oznaczymy przez 6x, 7x, 8x, 9x, to poniewa ˙z suma k ˛
atów w czworo-
k ˛
acie wynosi 360
◦
, mamy równanie
6x
+
7x
+
8x
+
9x
=
360
◦
30x
=
360
◦
⇒
x
=
12
◦
.
Zatem najmniejszy k ˛
at ma miar˛e 6x
=
72
◦
.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(1
PKT
.)
Połow ˛
a odwrotno´sci sze´scianu liczby 8
19
jest
A) 2
170
B) 4
−
86
C)
1
8
57
D)
1
2
170
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
1
2
·
1
(
8
19
)
3
=
1
2
·
1
8
57
=
1
2
·
1
2
3
·
57
=
=
1
2
·
1
2
171
=
1
2
172
=
1
4
86
=
4
−
86
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
4
(1
PKT
.)
Warto´s´c wielomianu x
3
+
x
+
2 dla argumentu
3
√
2
−
3
√
4 jest równa
A) 5
3
√
4
−
5
3
√
16
B) 5
3
√
16
+
5
3
√
4
C) 5
3
√
16
−
5
3
√
16
D) 5
3
√
4
−
5
3
√
2
R
OZWI ˛
AZANIE
B˛edziemy korzysta´c ze wzoru skróconego mno ˙zenia
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3a
2
b
+
3ab
2
−
b
3
Liczymy
(
3
√
2
−
3
√
4
)
3
+
3
√
2
−
3
√
4
+
2
=
=
2
−
3
·
3
√
4
·
3
√
4
+
3
·
3
√
2
·
3
√
16
−
4
+
3
√
2
−
3
√
4
+
2
=
=
2
−
3
3
√
2
·
8
+
3
·
3
√
4
·
8
−
4
+
3
√
2
−
3
√
4
+
2
=
=
2
−
6
3
√
2
+
6
3
√
4
−
4
+
3
√
2
−
3
√
4
+
2
= −
5
3
√
2
+
5
3
√
4.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
5
(1
PKT
.)
Który z narysowanych trójk ˛
atów jest podobny do trójk ˛
ata, w którym miary dwóch k ˛
atów
wynosz ˛
a 55
◦
i 65
◦
?
75
o
60
o
65
o
75
o
55
o
60
o
55
o
75
o
A)
B)
C)
D)
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli dwa k ˛
aty trójk ˛
ata maj ˛
a miary 55
◦
i 65
◦
to trzeci k ˛
at ma miar˛e
180
◦
−
55
◦
−
65
◦
=
60
◦
.
Musimy wi˛ec wybra´c trójk ˛
at, którego dwa k ˛
aty s ˛
a po´sród liczb 55
◦
, 65
◦
, 60
◦
.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
6
(1
PKT
.)
Wska ˙z zbiór, w którym funkcja f
(
x
) =
−
5
x
+
3
jest rosn ˛
aca.
A)
R
\ {−
3
}
B)
R
\ {
3
}
C)
(−
∞, 3
)
D)
(
3,
+
∞
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Wykresem danej funkcji jest hiperbola y
=
−
5
x
przesuni˛eta o 3 jednostki w lewo. Je ˙zeli j ˛
a
sobie naszkicujemy to wida´c, ˙ze funkcja ta jest rosn ˛
aca na ka ˙zdym z przedziałów
(−
∞,
−
3
)
i
(−
3,
+
∞
)
(ale nie na sumie tych przedziałów!).
-5
-1
-3
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
W takim razie jedyna poprawna odpowied´z to
(
3,
+
∞
)
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
7
(1
PKT
.)
Które z poni ˙zszych zda ´n nie jest prawdziwe?
A) Na ka ˙zdym prostok ˛
acie mo ˙zna opisa´c okr ˛
ag.
B) W ka ˙zdy romb mo ˙zna wpisa´c okr ˛
ag.
C) Na ka ˙zdym równoległoboku mo ˙zna opisa´c okr ˛
ag.
D) W ka ˙zdy deltoid mo ˙zna wpisa´c okr ˛
ag.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Zarówno w rombie jak i w deltoidzie dwusieczne wszystkich k ˛
atów wewn˛etrznych przeci-
naj ˛
a si˛e w jednym punkcie, wi˛ec w ka ˙zd ˛
a z tych figur mo ˙zna wpisa´c okr ˛
ag.
Powinno by´c te ˙z jasne, ˙ze na ka ˙zdym prostok ˛
acie mo ˙zna opisa´c okr ˛
ag (jego ´srodkiem jest
punkt przeci˛ecia si˛e przek ˛
atnych). Je ˙zeli równoległobok nie jest prostok ˛
atem, to nie mo ˙zna
na nim opisa´c okr˛egu, bo symetralne przeciwległych boków w ogóle si˛e nie przecinaj ˛
a.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
8
(1
PKT
.)
Zbiorem warto´sci funkcji kwadratowej f
(
x
) = −
x
2
+
2ax
−
a
2
−
2a jest przedział
(−
∞,
−
18
i
.
Zatem
A) a
=
9
B) a
=
√
18
C) a
= −
18
D) a
+
9
=
0
R
OZWI ˛
AZANIE
Zapiszmy wzór funkcji f w postaci kanonicznej
f
(
x
) = −
x
2
+
2ax
−
a
2
−
2a
= −(
x
−
a
)
2
−
2a.
Wykresem tej funkcji jest wi˛ec parabola o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w
punkcie
(
a,
−
2a
)
. Zatem zbiorem jej warto´sci jest przedział
(−
∞,
−
2a
i
. Mamy wi˛ec
−
2a
= −
18
⇒
a
=
9.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
9
(1
PKT
.)
Warto´s´c wyra ˙zenia
sin 15
◦
cos 75
◦
+
cos 15
◦
sin 75
◦
tg 22,5
◦
·
tg 67,5
◦
jest równa
A)
√
2
B)
1
√
2
C) 1
D)
1
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Korzystamy ze wzorków
sin
(
90
◦
−
α
) =
cos α
cos
(
90
◦
−
α
) =
sin α
tg
(
90
◦
−
α
) =
ctg α
=
1
tg α
.
Liczymy
sin 15
◦
cos 75
◦
+
cos 15
◦
sin 75
◦
tg 22, 5
◦
·
tg 67, 5
◦
=
=
sin 15
◦
cos
(
90
◦
−
15
◦
) +
cos 15
◦
sin
(
90
◦
−
15
◦
)
tg 22, 5
◦
·
tg
(
90
◦
−
22, 5
◦
)
=
=
sin 15
◦
sin 15
◦
+
cos 15
◦
cos 15
◦
tg 22, 5
◦
·
1
tg 22,5
◦
=
=
sin
2
15
◦
+
cos
2
15
◦
=
1.
Licznik mogli´smy te ˙z obliczy´c korzystaj ˛
ac ze wzoru
sin
(
α
+
β
) =
sin α cos β
+
sin β cos α.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
10
(1
PKT
.)
Która z liczb jest równa liczbie
3
√
10000?
A)
9
√
100000
B) 100
4
3
C) 1000
2
9
D)
1
100
− 2
3
R
OZWI ˛
AZANIE
Liczymy
3
√
10000
=
10
4
3
9
√
100000
=
10
5
9
100
4
3
=
10
8
3
1000
2
9
=
10
6
9
=
10
2
3
1
100
−
2
3
=
10
4
3
.
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
11
(1
PKT
.)
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Bok AB czworok ˛
ata ABCD wpisanego w okr ˛
ag jest ´srednic ˛
a okr˛egu oraz
|]
C
| =
120
◦
.
A
B
C
α
120
o
D
Zatem k ˛
at α ma miar˛e
A) 30
◦
B) 45
◦
C) 50
◦
D) 60
◦
R
OZWI ˛
AZANIE
Dorysujmy przek ˛
atn ˛
a AC.
A
B
C
α
90
o
O
D
α
K ˛
at ACB jest oparty na ´srednicy, wi˛ec ma miar˛e 90
◦
. Ponadto k ˛
aty ACD i ABD s ˛
a oparte
na tym samym łuku, wi˛ec maj ˛
a równe miary. Mamy wi˛ec
α
+
90
◦
=
120
◦
⇒
α
=
30
◦
.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
12
(1
PKT
.)
Rozwi ˛
azaniem równania
3x
5
−
10x
3
−
16
3x
4
−
10x
2
−
16
=
0 jest liczba
A) x
= −
2
B) x
=
1
C) x
= −
1
D) x
=
2
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sprawdzamy, dla której z podanych liczb licznik si˛e zeruje. Po kolei wstawiamy 1,-1,2,-2.
3
−
10
−
16
= −
23
−
3
+
10
−
16
= −
9
3
·
32
−
10
·
8
−
16
=
96
−
80
−
16
=
0
−
3
·
32
+
10
·
8
−
16
= −
96
+
80
−
16
= −
32.
Wida´c, ˙ze pierwiastkiem mo ˙ze by´c tylko x
=
2 (w zasadzie powinni´smy jeszcze sprawdzi´c,
˙ze nie jest to miejsce zerowe mianownika, ale poniewa ˙z wiemy, ˙ze jedna z odpowiedzi jest
poprawna, nie musimy tego robi´c).
Odpowied´z: D
Z
ADANIE
13
(1
PKT
.)
Liczba log
2
6
3
+
log
2
6
2
+
log
6
4 log
6
3 jest
A) dodatnia
B) mniejsza od 1
C) ujemna
D) niewymierna
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Poniewa ˙z log
6
x
>
0 dla x
>
1 wi˛ec wida´c, ˙ze ka ˙zdy składnik danego wyra ˙zenia jest dodat-
ni. Zatem całe wyra ˙zenie jest dodatnie.
Sposób II
Liczymy
log
2
6
3
+
log
2
6
2
+
log
6
4 log
6
3
= (
log
6
3
)
2
+ (
log
6
2
)
2
+
log
6
2
2
log
6
3
=
= (
log
6
3
)
2
+
2 log
6
2 log
6
3
+ (
log
6
2
)
2
= (
log
6
3
+
log
6
2
)
2
= (
log
6
6
)
2
=
1.
Jest to oczywi´scie liczba dodatnia.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
14
(1
PKT
.)
Suma n pocz ˛
atkowych wyrazów ci ˛
agu arytmetycznego a
n
=
10
−
2n, gdzie n
>
1 jest równa
14. Zatem
A) n
=
2
B) liczba n
+
3 dzieli si˛e przez 5
C) n
=
3
D) n
=
4
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
7
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Mamy do czynienia z ci ˛
agiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie a
1
=
8 i ró ˙znicy r
=
−
2. Ze wzoru
2a
1
+(
n
−
1
)
r
2
·
n na sum˛e pocz ˛
atkowych wyrazów ci ˛
agu arytmetycznego mamy
równanie
2
·
8
−
2
(
n
−
1
)
2
·
n
=
14
(
8
−
n
+
1
) ·
n
=
14
(
9
−
n
) ·
n
=
14
9n
−
n
2
=
14
n
2
−
9n
+
14
=
0
∆
=
81
−
56
=
25
n
=
9
−
5
2
=
2
∨
n
=
9
+
5
2
=
7.
Zatem n
=
2 lub n
=
7. W obu przypadkach n
+
3 dzieli si˛e przez 5.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
15
(1
PKT
.)
Wykres funkcji f
(
x
) = (
x
+
√
5
)
8
− (
x
−
√
5
)
8
przecina o´s Oy w punkcie
A)
(
0, 0
)
B)
(
0, 2
√
5
)
C)
(
0,
√
5
)
D)
(
0, 2
·
5
4
)
R
OZWI ˛
AZANIE
Punkt przeci˛ecia wykresu funkcji z osi ˛
a Oy ma współrz˛edne
(
0, f
(
0
))
. W naszym przypadku
mamy
f
(
0
) = (
0
+
√
5
)
8
− (
0
−
√
5
)
8
= (
√
5
)
8
− (−
√
5
)
8
=
5
4
−
5
4
=
0.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
16
(1
PKT
.)
Punkt P jest punktem wspólnym ´srodkowych AD i BE w trójk ˛
acie ABC. Wówczas odcinki
AP i PD mog ˛
a mie´c długo´sci
A)
|
AP
| =
√
2,
|
PD
| =
1
√
2
B)
|
AP
| =
3,
|
PD
| =
6
C)
|
AP
| =
9,
|
PD
| =
3
D)
|
AP
| =
3,
|
PD
| =
9
R
OZWI ˛
AZANIE
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Rozpoczynamy od rysunku.
A
B
C
D
E
P
Poniewa ˙z ´srodkowe dziel ˛
a si˛e w stosunku 2:1 licz ˛
ac od wierzchołka, odcinek AP musi
by´c dwa razy dłu ˙zszy od PD. Sprawdzaj ˛
ac po kolei łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze
2
·
1
√
2
=
2
·
√
2
2
=
√
2.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
17
(1
PKT
.)
Pi˛e´c spo´sród sze´sciu ró ˙znokolorowych kul wkładamy do pi˛eciu ponumerowanych szuflad
tak, ˙ze w ka ˙zdej szufladzie znajduje si˛e jedna kula. Na ile ró ˙znych sposobów mo ˙zna to zro-
bi´c?
A) 120
B) 720
C) 24
D) 126
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Najpierw musimy wybra´c pi˛e´c kul, które znajd ˛
a si˛e w szufladach – mo ˙zna to zrobi´c na 6 spo-
sobów (wystarczy ustali´c, która kula odpada). Potem 5 kul nale ˙zy umie´sci´c w 5 szufladach
– to mo ˙zna zrobi´c na
5!
=
5
·
4
·
3
·
2
·
1
=
120
sposobów (pierwsz ˛
a kul˛e mo ˙zemy wło ˙zy´c na 5 sposobów, drug ˛
a na 4, itd.). Ł ˛
acznie jest wi˛ec
6
·
120
=
720
sposobów.
Sposób II
Ustawiamy 6 kul w dowolnej kolejno´sci – mo ˙zemy to zrobi´c na
6
·
5
·
4
·
3
·
2
=
720
sposobów i pierwsze 5 wkładamy do szuflad. Jest wi˛ec 720 takich układów.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
18
(1
PKT
.)
Równanie prostej przechodz ˛
acej przez punkty
(
5, 11
)
,
(
7, 15
)
,
(
9, 19
)
to
A) y
−
2x
−
1
=
0
B) y
−
3x
+
4
=
0
C) y
−
x
+
6
=
0
D) x
−
2y
=
1
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Mo ˙zna zauwa ˙zy´c, ˙ze współrz˛edne podanych punktów spełniaj ˛
a warunek y
=
2x
+
1 i to
jest szukana prosta.
Sposób II
Szukamy prostej postaci y
=
ax
+
b. Aby wyznaczy´c a i b podstawiamy dwa pierwsze punk-
ty.
(
11
=
5a
+
b
15
=
7a
+
b.
Odejmujemy od drugiego równania pierwsze i mamy 4
=
2a, czyli a
=
2. Z drugiego rów-
nania b
=
15
−
7a
=
1. Zatem szukana prosta to y
=
2x
+
1.
Sposób III
Korzystamy ze wzoru
y
−
y
A
=
y
B
−
y
A
x
B
−
y
A
(
x
−
x
A
)
na równanie prostej przechodz ˛
acej przez punkty A
= (
x
A
, y
A
)
i B
= (
x
B
, y
B
)
. W naszej
sytuacji mamy
y
−
11
=
15
−
11
7
−
5
(
x
−
5
)
y
−
11
=
2
(
x
−
5
)
y
=
2x
+
1.
Odpowied´z: A
Z
ADANIE
19
(1
PKT
.)
Kraw˛ed´z podstawy ostrosłupa prawidłowego czworok ˛
atnego jest dwa razy dłu ˙zsza od jego
wysoko´sci. K ˛
at nachylenia ´sciany bocznej do podstawy ma miar˛e
A) α
=
30
◦
B) α
=
45
◦
C) α
=
60
◦
D) α
=
75
◦
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
A
B
C
D
S
E
2a
a
a
α
F
Je ˙zeli kraw˛ed´z podstawy ma długo´s´c 2a, to wysoko´s´c ostrosłupa ma długo´s´c a oraz
tg α
=
SE
EF
=
a
a
=
1
⇒
α
=
45
◦
.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
20
(1
PKT
.)
Diagram przedstawia ile procent rodzin mieszkaj ˛
acych w jednym z łódzkich bloków posia-
da 0,1,2,3 lub 4 dzieci.
0
1
3
4
2
16%
32%
46%
4%
2%
´Srednia liczba dzieci przypadaj ˛acych na jedn ˛a rodzin˛e jest równa
A) 1,22
B) 1,44
C) 2
D) 2,5
R
OZWI ˛
AZANIE
Sposób I
Liczymy ´sredni ˛
a wa ˙zon ˛
a
0, 16
·
0
+
0, 32
·
1
+
0, 46
·
2
+
0, 04
·
3
+
0, 02
·
4
=
1, 44.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Sposób II
Powiedzmy, ˙ze w bloku mieszka 100 rodzin. Wtedy dzieci jest
16
·
0
+
32
·
1
+
46
·
2
+
4
·
3
+
2
·
4
=
144.
Zatem na jedn ˛
a rodzin˛e przypada ´srednio
144
100
=
1, 44
dziecka.
Odpowied´z: B
Z
ADANIE
21
(1
PKT
.)
Warunek „przynajmniej jedna z liczb x, y, z jest niezerowa” jest równowa ˙zny warunkowi
A) xyz
6=
0
B) xyz
6=
0 oraz x
+
y
+
z
6=
0
C) x
2
+
y
2
+
z
2
>
0
D) xyz
6=
0 oraz x
3
+
y
3
+
z
3
6=
0
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli np. x
=
0 i y
= −
z
6=
0 to tylko jedna z odpowiedzi jest spełniona:
x
2
+
y
2
+
z
2
>
0.
Musi to wi˛ec by´c poprawna odpowied´z. Rzeczywi´scie tak jest, warunek
x
2
+
y
2
+
z
2
>
0
nie jest spełniony dokładnie w jednym przypadku, gdy x
=
y
=
z
=
0.
Odpowied´z: C
Z
ADANIE
22
(1
PKT
.)
Układ równa ´n
(
3x
+
py
=
2
qx
+
5y
=
4
z niewiadomymi x i y ma niesko ´nczenie wiele rozwi ˛
aza ´n.
Zatem liczba p
+
q jest równa
A) 6
B)
17
2
C)
13
2
D) 15
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli układ ma mie´c niesko ´nczenie wiele rozwi ˛
aza ´n, to proste odpowiadaj ˛
ace równaniom
układu musz ˛
a si˛e pokrywa´c. To oznacza, ˙ze jedno równanie musi by´c wielokrotno´sci ˛
a dru-
giego. Patrz ˛
ac na prawe strony równa ´n widzimy, ˙ze drugie równanie musi powstawa´c z
pierwszego przez mno ˙zenie przez 2. W takim razie q
=
6 i p
=
5
2
. St ˛
ad
p
+
q
=
6
+
5
2
=
17
2
.
Odpowied´z: B
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
12
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Zadania otwarte
Z
ADANIE
23
(2
PKT
.)
Wyka ˙z, ˙ze dla ka ˙zdej liczby naturalnej n, liczby
(
√
3
+
√
2
)
4n
, 2
n
,
(
√
6
−
2
)
4n
s ˛
a kolejnymi
wyrazami ci ˛
agu geometrycznego.
R
OZWI ˛
AZANIE
Musi uzasadni´c, ˙ze kwadrat ´srodkowej liczby jest iloczynem liczb s ˛
asiednich. Liczymy
(
√
3
+
√
2
)
4n
· (
√
6
−
2
)
4n
=
h
(
√
3
+
√
2
)(
√
6
−
2
)
i
4n
=
=
√
18
−
2
√
3
+
√
12
−
2
√
2
4n
=
3
√
2
−
2
√
3
+
2
√
3
−
2
√
2
4n
=
= (
√
2
)
4n
=
2
2n
= (
2
n
)
2
,
co ko ´nczy uzasadnienie.
Z
ADANIE
24
(2
PKT
.)
Wyznacz dziedzin˛e funkcji f
(
x
) =
4
√
2
−
4x
2
−
3x.
R
OZWI ˛
AZANIE
Wyra ˙zenie pod pierwiastkiem musi by´c nieujemne, wi˛ec
2
−
4x
2
−
3x
>
0
/
· (−
1
)
4x
2
+
3x
−
2
6
0
∆
=
9
+
32
=
41
x
1
=
−
3
−
√
41
8
,
x
2
=
−
3
+
√
41
8
x
∈
*
−
3
−
√
41
8
,
−
3
+
√
41
8
+
.
Odpowied´z:
D
−
3
−
√
41
8
,
−
3
+
√
41
8
E
Z
ADANIE
25
(2
PKT
.)
Oblicz pole kwadratu wiedz ˛
ac, ˙ze ró ˙znica pól kół opisanego i wpisanego w ten kwadrat jest
równa π.
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
13
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
A
B
C
D
r
R
a
Je ˙zeli oznaczymy długo´s´c boku kwadratu przez a to promie ´n okr˛egu wpisanego w kwa-
drat jest równy r
=
a
2
, a promie ´n okr˛egu opisanego jest równy połowie długo´sci przek ˛
atnej,
czyli R
=
a
√
2
2
. Z podanej ró ˙znicy pól otrzymujemy równanie
πR
2
−
πr
2
=
π
/ : π
R
2
−
r
2
=
1
a
2
2
−
a
2
4
=
1
a
2
4
=
1
a
2
=
4.
Odpowied´z: P
=
4
Z
ADANIE
26
(2
PKT
.)
Wyznacz współrz˛edne wierzchołka B równoległoboku ABCD je ˙zeli A
= (−
37, 17
)
, C
=
(
39, 15
)
, D
= (
19,
−
27
)
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Ze wzgl˛edu na du ˙ze współrz˛edne trudno wykona´c dokładny rysunek, ale naszkicujmy rów-
noległobok z przek ˛
atnymi.
A
B
C
D
S
Sposób I
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
14
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Kluczowe w tym zadaniu jest to, ˙ze przek ˛
atne równoległoboku dziel ˛
a si˛e na połowy. W
takim razie punkt S jest ´srodkiem odcinków AC i BD. Mamy wi˛ec
S
=
A
+
C
2
=
−
37
+
39
2
,
17
+
15
2
= (
1, 16
)
.
Teraz łatwo wyznaczy´c współrz˛edne punktu B
= (
x
B
, y
B
)
.
S
=
B
+
D
2
(
1, 16
) =
x
B
+
19
2
,
y
B
−
27
2
(
2
=
x
B
+
19
⇒
x
B
= −
17
32
=
y
B
−
27
⇒
y
B
=
59.
Zatem B
= (−
17, 59
)
.
Sposób II
Zadanie łatwo rozwi ˛
aza´c u ˙zywaj ˛
ac wektorów.
−→
AB
=
−→
DC
[
x
+
37, y
−
17
] = [
39
−
19, 15
+
27
] = [
20, 42
]
(
x
+
37
=
20
⇒
x
= −
17
y
−
17
=
42
⇒
y
=
59.
Zatem B
= (−
17, 59
)
.
Odpowied´z: B
= (−
17, 59
)
Z
ADANIE
27
(2
PKT
.)
Rozwi ˛
a ˙z nierówno´s´c 3x
+ (
3x
+
1
) + · · · + (
3x
+
99
) <
2010, gdzie lewa strona jest sum ˛
a
kolejnych wyrazów ci ˛
agu arytmetycznego.
R
OZWI ˛
AZANIE
Z lewej strony dodajemy do siebie 100 wyrazów, zatem ich suma jest równa
3x
+ (
3x
+
99
)
2
·
100
=
50
(
6x
+
99
)
.
Musimy wi˛ec rozwi ˛
aza´c nierówno´s´c
50
(
6x
+
99
) <
2010
/ : 30
5
(
2x
+
33
) <
67
10x
+
165
<
67
10x
< −
98
x
< −
9, 8.
Odpowied´z: x
< −
9, 8
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
15
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
28
(2
PKT
.)
Punkt S jest punktem przeci˛ecia si˛e wysoko´sci trójk ˛
ata ostrok ˛
atnego ABC. Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli
|
CS
| = |
AB
|
to
|]
ACB
| =
45
◦
.
R
OZWI ˛
AZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
A
B
C
S
α
α
D
E
Zauwa ˙zmy, ˙ze
]
EBA
=
90
◦
− ]
A
= ]
ACS,
czyli trójk ˛
aty ABE i SCE s ˛
a prostok ˛
atne i maj ˛
a równe k ˛
aty. S ˛
a wi˛ec podobne. Ponadto z
zało ˙zenia maj ˛
a równe przeciwprostok ˛
atne AB
=
SC, wi˛ec s ˛
a przystaj ˛
ace. To oznacza, ˙ze
EB
=
CE, czyli trójk ˛
at prostok ˛
atny BEC jest równoramienny. Wówczas
]
EBC
= ]
ECB
=
45
◦
.
Z
ADANIE
29
(2
PKT
.)
Przy jednoczesnej pracy 40 identycznych pomp nadmuchowych, ˙z ˛
adany przepływ powie-
trza mo ˙zna zrealizowa´c w ci ˛
agu 24 godzin. W ci ˛
agu ilu godzin mo ˙zna zrealizowa´c ten sam
przepływ powietrza przy jednoczesnej pracy 60 pomp?
R
OZWI ˛
AZANIE
Je ˙zeli oznaczymy przez P prac˛e jak ˛
a maj ˛
a wykona´c pompy, to wiemy, ˙ze wydajno´s´c jednej
pompy to
P
24
·
40
.
W takim razie w ci ˛
agu jednej godziny 60 pomp wykona prac˛e
P
24
·
40
·
60
=
P
16
.
Na wykonanie całej pracy potrzeba wi˛ec 16 godzin.
Odpowied´z: W ci ˛
agu 16 godzin
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
16
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
30
(4
PKT
.)
Dany jest wykres funkcji y
=
f
(
x
)
okre´slonej dla x
∈ h−
7, 7
i
.
-5
-1
+1
+5
x
-5
-1
+1
+5
y
Odczytaj z wykresu:
a) rozwi ˛
azania równania f
(
x
+
3
) = −
1;
b) miejsca zerowe funkcji y
=
f
(
x
) −
2;
c) maksymalne przedziały monotoniczno´sci funkcji f
(
x
)
.
R
OZWI ˛
AZANIE
a) Z wykresu widzimy, ˙ze funkcja f
(
x
)
przyjmuje warto´s´c -1 tylko dla argumentu x
=
−
3. Mamy st ˛
ad
x
+
3
= −
3
⇐⇒
x
= −
6.
Odpowied´z: x
= −
6
b) Miejsca zerowe funkcji y
=
f
(
x
) −
2 odpowiadaj ˛
a argumentom, w których warto´sci
funkcji f
(
x
)
s ˛
a równe 2. Jest tylko jeden taki punkt: x
=
3.
Odpowied´z: x
=
3
c) Odczytujemy z wykresu.
Odpowied´z: Malej ˛
aca:
h−
7,
−
5
i
,
h
0, 5
i
, rosn ˛
aca:
h−
5, 0
i
,
h
5, 7
i
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
17
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´
N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
31
(4
PKT
.)
Na prostej y
= −
3x
+
2 wyznacz punkt, którego suma kwadratów odległo´sci od osi układu
współrz˛ednych jest najmniejsza.
R
OZWI ˛
AZANIE
Szukamy punktu postaci P
= (
x, y
) = (
x,
−
3x
+
2
)
. Odległo´s´c tego punktu od osi Ox to
|
x
|
,
a odległo´s´c od osi Oy to
| −
3x
+
2
|
. Zatem suma kwadratów tych liczb to
|
x
|
2
+ | −
3x
+
2
|
2
=
x
2
+ (
2
−
3x
)
2
=
x
2
+
4
−
12x
+
9x
2
=
10x
2
−
12x
+
4.
Wykresem otrzymanej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w gór˛e, wi˛ec jej naj-
mniejsz ˛
a warto´s´c otrzymamy w wierzchołku, czyli dla
x
=
−
b
2a
=
12
20
=
3
5
.
Wtedy
y
= −
3x
+
2
= −
3
·
3
5
+
2
=
−
9
5
+
2
=
−
9
+
10
5
=
1
5
.
Odpowied´z:
(
3
5
,
1
5
)
Z
ADANIE
32
(6
PKT
.)
Listonosz losowo rozmieszcza 4 listy w 6 skrzynkach na listy. Jakie jest prawdopodobie ´n-
stwo, ˙ze przynajmniej dwa listy znajd ˛
a si˛e w tej samej skrzynce?
R
OZWI ˛
AZANIE
O zdarzeniach elementarnych my´slimy jak o ci ˛
agach numerów skrzynek, do których trafiły
kolejne listy. Ka ˙zdy list mo ˙ze trafi´c do jednej z 6 skrzynek, wi˛ec
|
Ω
| =
6
·
6
·
6
·
6
=
6
4
.
Zamiast liczy´c prawdopodobie ´nstwo p zdarzenia opisanego w zadaniu, łatwiej jest policzy´c
prawdopodobie ´nstwo p
0
zdarzenia przeciwnego, czyli zdarzenia, w którym ka ˙zdy list trafi
do innej skrzynki. Takich zdarze ´n jest
6
·
5
·
4
·
3
(pierwszy list mo ˙ze trafi´c dowolnie, drugi do jednej z pozostałych 5 skrzynek itd.). Zatem
p
0
=
6
·
5
·
4
·
3
6
4
=
5
·
4
·
3
6
3
=
10
6
2
=
5
18
.
St ˛
ad
p
=
1
−
p
0
=
1
−
5
18
=
13
18
.
Odpowied´z:
13
18
Materiał pobrany z serwisu
www.zadania.info
18